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专题 03 不等式
易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）
1．比较大小基本方法
方法
关系
做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0)或 <1(a，b<0)
b b
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a<b a−b=0 a a
<1(a，b>0)或 >1(a，b<0)
b b
2．．等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a
传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c
可加性 a>b⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc
同向 a>c，c>d⇒a+c>b+d
可加性
同向同正 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘性可乘方性 a>b>0，n∈N¿ ⇒an >bn
类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的
是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数
的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前
提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，
后者一般是解不等式的理论基础．
例 ．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 ，则 成立，充分性成立；
由 ，若 ，显然 不成立，必要性不成立；
所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．已知 ，则下列关系式正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 且 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【详解】A选项，因为 ，故 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，B错误；
C选项，若 ，则 在R上单调递减，
因为 ，所以 ，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，
因为 ，则 ，故 ，D错误.
故选：A
变式2．对于实数 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】解：对于A： 时，不成立，A错误；
对于B：若 ，则 ，B错误；
对于C：令 ，代入不成立，C错误；
对于D：若 ， ，则 ， ，则 ，D正确；
故选：D．
变式3．已知 均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【详解】A，当 时， ，A错误；
B，当 时， 没意义，B错误；
C，由 ，知 ，所以 ，C正确；
D，当 时， 不成立，D错误.
故选：C
1．已知实数 ， ， ，若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】选项A：因为 ，取 ，则 ，故A错误；
选项B：因为 ，
与已知条件矛盾，故B不正确；
选项C：因为
所以 ，故C正确；
选项D：当 时， ，故D不正确；
故选：C.2．若 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以A正确，
对于B，因为 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为 在 上递增， ，所以 ，所以C正确，
对于D，若 ，则 ，则 ，所以D错误，
故选：D
3．已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，令 ，显然有 ， ，而 ，A错误；
对于B，由 ，知 ，令 ，显然有 ，而 ，B错误；
对于C，由 ， ，得 ，因此 ，C正确；
对于D，若 ，令 ，有 ，而 ，D错误.
故选：C
4．若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 ，所以 ，则 .
所以 即 ，AB错误.
因为 ，所以 ，则 ，C错误.
因为 ，所以
则 ，D正确.
故选：D
5．若 、 、 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 、 、 ，且 ，则 ， ，
由不等式的基本性质可得 ，A错； ，B对；
当 时， ，C错； ，D错.
故选：B.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】A选项，当 时， ，故A错误；
B选项，当 ， ， ， 时， ， ，故B错误；
C选项，当 ， ， ， 时， ，故C错误；D选项，若 ， ，则 ，即 ，故D正确．
故选：D.
7．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 ，可得 ，
则 是 的必要不充分条件.
故选：B
8．已知 ， ， ： ， ： ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为 ， ， ：
即 ，即 ，则 ，
而 ： ，
所以， 是 的充分不必要条件，
故选： .
9．下列四个选项能推出 的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】 ，
对于A，当 时， ，所以 ，所以A正确，对于B，当 时， ，所以 ，所以B错误，
对于C，当 时， ，所以 ，所以C正确，
对于D，当 时， ，所以 ，所以D正确，
故选：ACD.
10．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】因为 ，所以 ，故 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD．
11．已知实数a，b满足 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】选项A，由 得 ，∴ ，故A正确；
选项B，取 ， ，可得 ， ，不满足 ，故B错误；
选项C， ，∵ ，所以 ，故 ，
∴ ，故C正确；
选项D，设函数 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
故 时， ，即 ，故 ，故D错误.
故选：AC
易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解
集问题）
解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出
错；③结果未按要求写成集合．
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
具体模型解题方案：
1、已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)（其中mn>0），解关于x的不等式cx2 +bx+a>0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 +b x +c>0的解集为( n ， m )，即关于 x 的不等式
1 1
cx2 +bx+a>0
的解集为(
n
，
m
)．
已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 +bx+a≤0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 +b x +c≤0的解集为(−∞， n ]∪[ m ，+∞)即关于
x
的不
1 1
等式 cx2 +bx+a≤0 的解集为(−∞， n ]∪[ m ，+∞)．
2、已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)（其中n>m>0），解关于x的不等式
cx2 −bx+a>0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 −b x +c>0的解集为(− m ，− n )即关于
x
的不等式
1 1
cx2 −bx+a>0
的解集为(−
m
，−
n
)．
3．已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 −bx+a≤0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 −b x +c≤0的解集为(−∞，− m ]∪[− n ，+∞)即关于
x
的
1 1
不等式 cx2 −bx+a≤0 的解集为(−∞，− m ]∪[− n ，+∞)，以此类推．
{a>0¿¿¿¿
4、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
x ax2 +bx+c>0 R
{a<0¿¿¿¿
5、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
x
ax2 +bx+c>0 φ
{a<0¿¿¿¿
6、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
x ax2 +bx+c<0 R
{a>0¿¿¿¿
7、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ．
x
ax2 +bx+c<0 φ
易错提醒：一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的
两个根，且（1）当 时，二次函数图象开口向上．
（2）①若 ，解集为 ．
②若 ，解集为 ．③若 ，解集为 ．
(2) 当 时，二次函数图象开口向下．
①若 ，解集为 ②若 ，解集为 。
例 ．若对于任意实数x，不等式 恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】ABD
【详解】当 时，不等式为 恒成立，故满足题意；
当 时，要满足 ，
而 ，
所以解得 ；
综上，实数a的取值范围是 ；
所以对比选项得，实数a可能是 ，0，1.故选：ABD.
变式1．已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．不等式 的解集是
C． D．不等式 的解集为
【答案】BD
【详解】不等式 的解集为 ，则 是方程 的根，且 ，则 ，即 ，A错误；
不等式 化为 ，解得 ，即不等式 的解集是 ，B正确；
，C错误；
不等式 化为 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，D正确.
故选：BD
变式2．已知命题 ：关于 的不等式 的解集为R，那么命题 的一个必要不充分条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】命题p：关于x的不等式 的解集为R，
则 ，解得
又 ， ，
故选：CD．
变式3．下列叙述不正确的是（ ）
A． 的解是
B．“ ”是“ ”的充要条件
C．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．函数 的最小值是
【答案】AD
【详解】选项A： 的解是 或 ，故A不正确；选项B：由 得 ， 恒成立则 或 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，故B正确；
选项C：由 得 ，解得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故
C正确；
选项D：由均值不等式得 ，当且仅当 时等号成立，
此时 无实数解，所以 的最小值大于 ，故D不正确；故选：AD
1．已知 的解集是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集是
B． 的最小值是
C．若 有解，则m的取值范围是 或
D．当 时， ， 的值域是 ，则 的取值范围是
【答案】ABD
【详解】因 的解集是 ，则 是关于x的方程 的二根，且 ，
于是得 ，即 ，
对于A，不等式 化为： ，解得 ，A正确；对于B， ， ，
当且仅当 ，即 时取“=”，B正确；
对于C， ，令 ，则 在 上单调递增，
即有 ，因 有解，则 ，解得 或 ，
C不正确；
对于D，当 时， ，则 ， ，
依题意， ，由 得， 或 ，因 在 上的最小值为-3，
从而得 或 ，因此 ，D正确.
故选：ABD
2．已知集合 ，或 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 或 ，
所以 ．
故选：A
3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】由 ，解得 ，所以 ，
因为 ，得 ，所以 ，
故 .
故选:C．
4．已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则满足要求的有序数对 有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】B
【详解】由题意若不等式 在 上恒成立，
则必须满足 ，即 ，
由 ，两式相加得 ，
再由 ，两式相加得 ，
结合（4），（5）两式可知 ，代入不等式组得 ，
解得 ，
经检验，当 ， 时， ，
有 ， ，满足 在 上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对 为： ，共一个.
故选：B.5．设集合 ， ，且 ，则 （ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
故选：D.
6．若两个正实数x，y满足 ，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足 ，变形可得 ，即 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，则 的最小值为2，
若不等式 有解，则 ，可得 或 ，
即实数m的取值范围是 ．
故选：D．
7．“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，综上所述，不等式 恒成立时， ，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是 .
故选：D.
8．已知当 时，不等式： 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时，由 得 ，
因 ，故 ，当且仅当 即 时等号成立，
因当 时， 恒成立，得 ，
故选：C
9．已知集合 中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由集合 中恰有两个元素，得 ，
解得 ．
故选：B．
10．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】易知方程 可化为 ，方程的两根为 ；
所以不等式 的解集为 .
故选：B．
11．若不等式 的解集是 ，函数 的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ 和 是方程 的两个根，
∴ ，∴ ，
∴函数 的对称轴是 ．
故选：A．
易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问
题）
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.
（3）其他变形：
① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
3.常见求最值模型
n √ n
模型一：mx+ ≥2√mn(m>0,n>0)，当且仅当x= 时等号成立；
x m
n n √ n
模型二：mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a= 时等号成立；
x−a x−a m
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
模型三：ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b ，当且仅当
x=
√c 时等号成立；
x a
模型四： ，当且仅当 时等号
成立.
易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
a
注意：形如y x (a 0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的
x
单调性求解．
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满
足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加
上一个数，“1”的代换法等.
例 ．函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ， ，则
的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【详解】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ,所以 ，
,
,当且仅当 ，即 等号成立
故选：B.
变式1．已知 ，则 的最小值为（ ）A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【详解】由 ， ，即 ，易知 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，此时 ，
所以 的最小值为 .
故选：D
变式2．已知命题p：在 中，若 ，则 ；q：若 ，则 ，则下列命
题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】命题p：在 中，若 ，由正弦定理得 ，所以 ，为真命题，
当 ，对于 ，当且仅当 时等号成立，
所以命题q：若 ，则 ，为真命题，
所以 为真命题， 假命题， 假命题， 假命题，
故选：A.
变式3．设 ， ， ，则 有（ ）
A．最小值3 B．最大值3
C．最小值 D．最大值
【答案】B
【详解】 ， ，故 ，故 ，当且仅当 时成立，
AD错误，B正确；
当 时， ，C错误.
故选：B．
1．已知 ，点 在线段 上（不包括端点），向量 ， 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ，点 在线段 上（不包括端点），
故存在 ，使得 ，即 ，即 ，
因为向量 ，所以 ，
可得 ，
， ，由基本不等式得
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C．
2．已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为3 B． 的最小值为
C． 的最小值为3 D． 的最大值为
【答案】ABD【详解】对于A：由 ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B：由 得， ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，故B正确；
对于C：因为
，
当且仅当 时取等号，故C错误；
对于D：由 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
3．已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为8 D． 的最大值为
【答案】ABC
【详解】对于A和B中，因为 且 ，可得 且 ，
即 ，所以 ，且 ， ，所以A、B正确；
对于C中，由 ，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，取“ ”号，所以C正确；
对于D中，由 ，即 ，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，
取“ ”号，所以D错误．
故选：ABC.
4．任取多组正数 ，通过大量计算得出结论： ，当且仅当 时，等号成立．若
，根据上述结论判断 的值可能是（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】BD
【详解】根据题意可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．故 的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
5．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为16 B． 的最小值为9
C． 的最大值为1 D． 的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，因为 ，
所以 （ 舍去），所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为16，故A正确；对于B，因为 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得 ，则 ，
则 ，故C错误；
对于D， ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
所以当 时， 的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD.
6．已知正数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对A，由题意得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A错误，
对B， ，当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确；
对C， ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故C正确；
对D， ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，当且仅当 ， 时等号成立，故
D正确.
故选：BCD.
7．设正实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为6 B． 的最大值为
C． 的最小值为2 D． 的最小值为
【答案】BD
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故选项A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立， 的最大值为 ，故选项B正确；
对于C，因为 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 ，故选项C错误；对于D，因为 ，故选项D正确，
故选：BD.
8．已知 ， ，且 ，则不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 ， ，
所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，故A错误；
对于B， ，
由A得， ，
所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，故C错误；
对于D， ， ，
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，即 ，
所以 ，故D错误；
故选：ACD．
9．若实数 ， ，满足 ，以下选项中正确的有（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为C． 的最小值为5 D． 的最小值为
【答案】AB
【详解】对于A： 实数 ， ， ，整理得 ，
当且仅当 时取等号，即 的最大值为 ，故A正确；
对于B： ， ， ，
，
，当且仅当 、 时取等号，故B正确；
对于C： ， ， ， ，
，
当且仅当 ，即 、 时取等号，
因为等号取不到，可知5不为最小值，故C错误；
对于D： ，
当且仅当 ，即 时取等号，故D错误.
故选：AB.
10．已知 ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． .C． 的最大值为 D．
【答案】ABD
【详解】由题意可得 ，
当且仅当 时取得等号，即A正确；
，
当且仅当 时取得等号，即B正确；
先证柯西不等式 ，
设 ，
则 ，
所以 ，
由柯西不等式可知：
，
当且仅当 ，即 时取得等号，即D正确；
若 ，则 ，此时 ，故C错误.
故选：ABD
11．设 且 ，则 的最小值是 ．
【答案】【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以由基本不等式得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
综上所述： 的最小值是 .
故答案为： .
