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专题 03 不等式
易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）
1．比较大小基本方法
方法
关系
做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0)或 <1(a，b<0)
b b
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a0)或 >1(a，b<0)
b b
2．．等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性 a>b>0，n∈N¿ ⇒an >bn类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的
是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数
的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前
提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，
后者一般是解不等式的理论基础．
例 ．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 ，则 成立，充分性成立；
由 ，若 ，显然 不成立，必要性不成立；
所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．已知 ，则下列关系式正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则【答案】A
【详解】A选项，因为 ，故 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，B错误；
C选项，若 ，则 在R上单调递减，
因为 ，所以 ，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，
因为 ，则 ，故 ，D错误.
故选：A
变式2．对于实数 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】解：对于A： 时，不成立，A错误；
对于B：若 ，则 ，B错误；
对于C：令 ，代入不成立，C错误；
对于D：若 ， ，则 ， ，则 ，D正确；
故选：D．
变式3．已知 均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【详解】A，当 时， ，A错误；
B，当 时， 没意义，B错误；
C，由 ，知 ，所以 ，C正确；
D，当 时， 不成立，D错误.
故选：C
1．已知实数 ， ， ，若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】选项A：因为 ，取 ，则 ，故A错误；
选项B：因为 ，
与已知条件矛盾，故B不正确；
选项C：因为
所以 ，故C正确；
选项D：当 时， ，故D不正确；
故选：C.
2．若 ，则下列结论不正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以A正确，
对于B，因为 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为 在 上递增， ，所以 ，所以C正确，
对于D，若 ，则 ，则 ，所以D错误，
故选：D
3．已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，令 ，显然有 ， ，而 ，A错误；
对于B，由 ，知 ，令 ，显然有 ，而 ，B错误；
对于C，由 ， ，得 ，因此 ，C正确；
对于D，若 ，令 ，有 ，而 ，D错误.
故选：C
4．若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 ，所以 ，则 .
所以 即 ，AB错误.
因为 ，所以 ，则 ，C错误.
因为 ，所以
则 ，D正确.
故选：D
5．若 、 、 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 、 、 ，且 ，则 ， ，
由不等式的基本性质可得 ，A错； ，B对；
当 时， ，C错； ，D错.
故选：B.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】A选项，当 时， ，故A错误；
B选项，当 ， ， ， 时， ， ，故B错误；
C选项，当 ， ， ， 时， ，故C错误；D选项，若 ， ，则 ，即 ，故D正确．
故选：D.
7．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 ，可得 ，
则 是 的必要不充分条件.
故选：B
8．已知 ， ， ： ， ： ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为 ， ， ：
即 ，即 ，则 ，
而 ： ，
所以， 是 的充分不必要条件，
故选： .
9．下列四个选项能推出 的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】 ，
对于A，当 时， ，所以 ，所以A正确，
对于B，当 时， ，所以 ，所以B错误，对于C，当 时， ，所以 ，所以C正确，
对于D，当 时， ，所以 ，所以D正确，
故选：ACD.
10．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】因为 ，所以 ，故 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD．
11．已知实数a，b满足 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】选项A，由 得 ，∴ ，故A正确；
选项B，取 ， ，可得 ， ，不满足 ，故B错误；
选项C， ，
∵ ，所以 ，故 ，
∴ ，故C正确；选项D，设函数 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
故 时， ，即 ，故 ，故D错误.
故选：AC
易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解
集问题）
解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出
错；③结果未按要求写成集合．
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
具体模型解题方案：
1、已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)（其中mn>0），解关于x的不等式
cx2 +bx+a>0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 +b x +c>0的解集为( n ， m )，即关于 x 的不等式
1 1
cx2 +bx+a>0
的解集为(
n
，
m
)．已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 +bx+a≤0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 +b x +c≤0的解集为(−∞， n ]∪[ m ，+∞)即关于 x 的不
1 1
等式 cx2 +bx+a≤0 的解集为(−∞， n ]∪[ m ，+∞)．
2、已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)（其中n>m>0），解关于x的不等式
cx2 −bx+a>0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 −b x +c>0的解集为(− m ，− n )即关于 x 的不等式
1 1
cx2 −bx+a>0
的解集为(−
m
，−
n
)．
3．已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 −bx+a≤0．
1 1 1 1
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得:a( x ) 2 −b x +c≤0的解集为(−∞，− m ]∪[− n ，+∞)即关于 x 的
1 1
不等式 cx2 −bx+a≤0 的解集为(−∞，− m ]∪[− n ，+∞)，以此类推．
{a>0¿¿¿¿
4、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
x ax2 +bx+c>0 R
{a<0¿¿¿¿
5、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
x
ax2 +bx+c>0 φ
{a<0¿¿¿¿
6、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
x ax2 +bx+c<0 R
{a>0¿¿¿¿
7、已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ．
x
ax2 +bx+c<0 φ
易错提醒：一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的
两个根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上．
（2）①若 ，解集为 ．②若 ，解集为 ．③若 ，解集为 ．
(2) 当 时，二次函数图象开口向下．
①若 ，解集为 ②若 ，解集为 。
例 ．若对于任意实数x，不等式 恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】ABD
【详解】当 时，不等式为 恒成立，故满足题意；
当 时，要满足 ，
而 ，
所以解得 ；
综上，实数a的取值范围是 ；
所以对比选项得，实数a可能是 ，0，1.故选：ABD.
变式1．已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．不等式 的解集是
C． D．不等式 的解集为
【答案】BD
【详解】不等式 的解集为 ，则 是方程 的根，且 ，
则 ，即 ，A错误；
不等式 化为 ，解得 ，即不等式 的解集是 ，B正确；，C错误；
不等式 化为 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，D正确.
故选：BD
变式2．已知命题 ：关于 的不等式 的解集为R，那么命题 的一个必要不充分条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】命题p：关于x的不等式 的解集为R，
则 ，解得
又 ， ，
故选：CD．
变式3．下列叙述不正确的是（ ）
A． 的解是
B．“ ”是“ ”的充要条件
C．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．函数 的最小值是
【答案】AD
【详解】选项A： 的解是 或 ，故A不正确；
选项B：由 得 ， 恒成立则 或 ，解得 ，所以“ ”是“ ”的充要条件，故B正确；
选项C：由 得 ，解得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故
C正确；
选项D：由均值不等式得 ，当且仅当 时等号成立，
此时 无实数解，所以 的最小值大于 ，故D不正确；故选：AD
1．已知 的解集是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集是
B． 的最小值是
C．若 有解，则m的取值范围是 或
D．当 时， ， 的值域是 ，则 的取值范围是
【答案】ABD
【详解】因 的解集是 ，则 是关于x的方程 的二根，且 ，
于是得 ，即 ，
对于A，不等式 化为： ，解得 ，A正确；
对于B， ， ，
当且仅当 ，即 时取“=”，B正确；对于C， ，令 ，则 在 上单调递增，
即有 ，因 有解，则 ，解得 或 ，
C不正确；
对于D，当 时， ，则 ， ，
依题意， ，由 得， 或 ，因 在 上的最小值为-3，
从而得 或 ，因此 ，D正确.
故选：ABD
2．已知集合 ，或 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 或 ，
所以 ．
故选：A
3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ，解得 ，所以 ，
因为 ，得 ，所以 ，故 .
故选:C．
4．已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则满足要求的有序数对 有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】B
【详解】由题意若不等式 在 上恒成立，
则必须满足 ，即 ，
由 ，两式相加得 ，
再由 ，两式相加得 ，
结合（4），（5）两式可知 ，代入不等式组得 ，
解得 ，
经检验，当 ， 时， ，
有 ， ，满足 在 上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对 为： ，共一个.
故选：B.
5．设集合 ， ，且 ，则 （ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】D【详解】 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
故选：D.
6．若两个正实数x，y满足 ，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足 ，变形可得 ，即 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，则 的最小值为2，
若不等式 有解，则 ，可得 或 ，
即实数m的取值范围是 ．
故选：D．
7．“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述，不等式 恒成立时， ，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是 .故选：D.
8．已知当 时，不等式： 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时，由 得 ，
因 ，故 ，当且仅当 即 时等号成立，
因当 时， 恒成立，得 ，
故选：C
9．已知集合 中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由集合 中恰有两个元素，得 ，
解得 ．
故选：B．
10．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】易知方程 可化为 ，方程的两根为 ；
所以不等式 的解集为 .
故选：B．11．若不等式 的解集是 ，函数 的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ 和 是方程 的两个根，
∴ ，∴ ，
∴函数 的对称轴是 ．
故选：A．
易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问
题）
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.
（3）其他变形：
① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
3.常见求最值模型
n √ n
模型一：mx+ ≥2√mn(m>0,n>0)，当且仅当x= 时等号成立；
x m
n n √ n
模型二：mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a= 时等号成立；
x−a x−a m
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
模型三：ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b ，当且仅当
x=
√c 时等号成立；
x a
模型四： ，当且仅当 时等号
成立.
易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初
始范围.
a
注意：形如y x (a 0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的
x
单调性求解．
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满
足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加
上一个数，“1”的代换法等.
例 ．函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ， ，则
的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【详解】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ,所以 ，
,
,当且仅当 ，即 等号成立
故选：B.
变式1．已知 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【详解】由 ， ，即 ，易知 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，此时 ，
所以 的最小值为 .
故选：D
变式2．已知命题p：在 中，若 ，则 ；q：若 ，则 ，则下列命
题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】命题p：在 中，若 ，由正弦定理得 ，所以 ，为真命题，
当 ，对于 ，当且仅当 时等号成立，
所以命题q：若 ，则 ，为真命题，
所以 为真命题， 假命题， 假命题， 假命题，
故选：A.
变式3．设 ， ， ，则 有（ ）
A．最小值3 B．最大值3
C．最小值 D．最大值
【答案】B
【详解】 ， ，故 ，
故 ，当且仅当 时成立，
AD错误，B正确；
当 时， ，C错误.故选：B．
1．已知 ，点 在线段 上（不包括端点），向量 ， 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ，点 在线段 上（不包括端点），
故存在 ，使得 ，即 ，即 ，
因为向量 ，所以 ，
可得 ，
， ，由基本不等式得
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C．
2．已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为3 B． 的最小值为
C． 的最小值为3 D． 的最大值为
【答案】ABD
【详解】对于A：由 ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B：由 得， ，当且仅当 时取等号，所以 ，当且仅当 时取等号，故B正确；
对于C：因为
，
当且仅当 时取等号，故C错误；
对于D：由 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
3．已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为8 D． 的最大值为
【答案】ABC
【详解】对于A和B中，因为 且 ，可得 且 ，
即 ，所以 ，且 ， ，所以A、B正确；
对于C中，由 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，取“ ”号，所以C正确；
对于D中，由 ，即 ，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，
取“ ”号，所以D错误．故选：ABC.
4．任取多组正数 ，通过大量计算得出结论： ，当且仅当 时，等号成立．若
，根据上述结论判断 的值可能是（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】BD
【详解】根据题意可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．故 的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
5．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为16 B． 的最小值为9
C． 的最大值为1 D． 的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，因为 ，
所以 （ 舍去），所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为16，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得 ，则 ，
则 ，故C错误；
对于D， ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
所以当 时， 的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD.
6．已知正数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对A，由题意得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A错误，
对B， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确；
对C， ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故C正确；对D， ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，当且仅当 ， 时等号成立，故
D正确.
故选：BCD.
7．设正实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为6 B． 的最大值为
C． 的最小值为2 D． 的最小值为
【答案】BD
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故选项A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立， 的最大值为 ，故选项B正确；
对于C，因为 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 ，故选项C错误；
对于D，因为 ，故选项D正确，
故选：BD.
8．已知 ， ，且 ，则不正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】ACD
【详解】对于A，因为 ， ，
所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，故A错误；
对于B， ，
由A得， ，
所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，故C错误；
对于D， ， ，
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，即 ，
所以 ，故D错误；
故选：ACD．
9．若实数 ， ，满足 ，以下选项中正确的有（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为5 D． 的最小值为
【答案】AB
【详解】对于A： 实数 ， ， ，整理得 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值为 ，故A正确；
对于B： ， ， ，
，
，当且仅当 、 时取等号，故B正确；
对于C： ， ， ， ，
，
当且仅当 ，即 、 时取等号，
因为等号取不到，可知5不为最小值，故C错误；
对于D： ，
当且仅当 ，即 时取等号，故D错误.
故选：AB.
10．已知 ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． .
C． 的最大值为 D．
【答案】ABD
【详解】由题意可得 ，当且仅当 时取得等号，即A正确；
，
当且仅当 时取得等号，即B正确；
先证柯西不等式 ，
设 ，
则 ，
所以 ，
由柯西不等式可知：
，
当且仅当 ，即 时取得等号，即D正确；
若 ，则 ，此时 ，故C错误.
故选：ABD
11．设 且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以由基本不等式得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
综上所述： 的最小值是 .
故答案为： .
