专题02常用逻辑用语5种常见考法归类（全国通用）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2021-2025高考真题分类 常用逻辑用语5种常见考法归类 ~ ~ 2021-2025高考真题分类 常用逻辑用语5种常见考法归类 1 一 判断命题的真假 1 二 充分条件和必要条件的判断与探求 2 三 判断命题的充分不必要条件 4 四 判断命题的必要不充分条件 5 五 判断命题的充要条件 7 ~ ~ 一 判断命题的真假 1. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则 ( ) A. p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C. p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【解析】对于p而言，取x=-1，则有x+1  =0<1，故p是假命题，¬p是真命题， 对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. 故选：B. 2. (2021·全国乙卷·高考真题)已知命题p:∃x∈R,sinx<1﹔命题q:∀x∈R﹐e|x|≥1，则下列命题中为 真命题的是 ( ) A. p∧q B. ¬p∧q C. p∧¬q D. ¬p∨q  【答案】A 【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正 确选项. 【解析】由于sin0=0，所以命题p为真命题； 由于y=ex在R上为增函数，x  ≥0，所以e|x|≥e0=1，所以命题q为真命题； 所以p∧q为真命题，¬p∧q、p∧¬q、¬p∨q  为假命题. 故选：A． 3. (2022·上海·高考真题)数列a n  对任意n∈N*，且n≥2，均存在正整数i∈1,n-1  ，满足a =2a - n+1 n a ,a =1,a =3. i 1 2 (1)求a 可能值； 4 (2)命题p：若a ,a ,...a 成等差数列，则a <30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是 1 2 8 9 假，说明理由： (3)若a 2m =3m,m∈N*  成立，求数列a n  的通项公式. 【答案】(1)7或9； (2)答案见解析； 数学试题 第 1 页 共 9 页1,n=1  n-3 (3)a n =  5×3 2 ,n=2k+1,k∈N*.  n 32,n=2k,k∈N* 【分析】(1)利用递推公式可得a =5，进而可求出a ； 3 4 (2)由题意可得a n =2n-1 n∈1,8   ,n∈N*  ，则a =2a -a<30，从而命题p为真命题，给出反例即 9 8 可得出命题q为假命题； (3)由题意可得a 2m+2 =2a 2m+1 -a ii≤2m  ，a 2m+1 =2a 2m -a jj≤2m-1  ，然后利用数学归纳法证明数 列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式. 【解析】(1)因为a =2a -a =5，所以a =2a -a =7或a =2a -a =9，所以a 可能值为7或9； 3 2 1 4 3 2 4 3 1 4 (2)因为a 1 ,a 2 ,...a 8 成等差数列，所以d=2，a n =2n-1 n∈1,8   ,n∈N*  , 所以a =2a -a=30-a <30， 9 8 i 逆命题q：若a <30，则a ,a ,...a 为等差数列是假命题，举例：a =1,a =3,a =5,a =7,a =9, 9 1 2 8 1 2 3 4 5 a =11,a =13,a =2a -a =17,a =2a -a =21,故命题q为假命题， 6 7 8 7 5 9 8 7 (3)因为a 2m =3m,m∈N*  ，所以a 2m+2 =3m+1,a 2m+2 =2a 2m+1 -a ii≤2m  , a 2m+1 =2a 2m -a jj≤2m-1  ，所以a =4a -a -a， 2m+2 2m j i 因此2a +a =4a -a =4×3m-3m+1=3m=a ， j i 2m 2m+2 2m 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明a >a 恒成立： n+1 n 当n=1时，a >a 明显成立； 2 1 假设当n=k时命题成立，即a >a >a >⋯>a >a ， k k-1 k-2 2 1 则a -a =2a -a -a =a -a >0，即a >a ，即命题得证； k+1 k k i k k i k+1 k 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： ①.若j=2m-1，则a =2a +a =2a +a >a -a 矛盾； 2m j i 2m-1 i 2m-1 i ②.若j=2m-2，则a =3m-1，所以a =3m-2a =3m-1，所以i=2m-2， j i j 此时a =2a -a =2×3m-3m-1=5×3m-1， 2m+1 2m j 1,n=1  n-3 所以a n =  5×3 2 ,n=2k+1,k∈N*，  n 32,n=2k,k∈N* ③.若j<2m-2，则2a <2×3m-1，所以a =3m-2a >3m-1，所以j=2m-1， j i j 所以a =2a -a (由(2)知对任意m成立)，所以a =2a -a ，与事实上a =2a -a 矛盾， 2m+2 2m+1 2m-1 6 5 3 6 5 2 1,n=1  n-3 综上a n =  5×3 2 ,n=2k+1,k∈N*.  n 32,n=2k,k∈N* 【点睛】i．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时 步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． ii．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n=n 的n 不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始 0 0 值．第(2)步，证明n=k+1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 二 充分条件和必要条件的判断与探求  1. (2024·全国甲卷·高考真题)设向量a=x+1,x   ,b=x,2  ，则 ( )     A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=1+ 3”是“a⎳b”的必要条件 数学试题 第 2 页 共 9 页    C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+ 3”是“a⎳b”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.     【解析】对A，当a⊥b时，则a⋅b=0， 所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A错误；  对C，当x=0时，a=1,0   ,b=0,2    ，故a⋅b=0，   所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；   对B，当a⎳b时，则2(x+1)=x2，解得x=1± 3，即必要性不成立，故B错误；   对D，当x=-1+ 3时，不满足2(x+1)=x2，所以a⎳b不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2. (2021·上海·高考真题)已知函数y=f(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是 ( ) A. f(x)为偶函数且关于直线x=1对称 B. f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称 C. f(x)为奇函数且关于直线x=1对称 D. f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称 【答案】D 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得fx+2  -f(x)=2，据 此可判断D的正误. 【解析】对于A，因为f(x)为偶函数，故f-x  =f(x)， 而f(x)的图像关于直线x=1对称，故f2-x  =f(x)，故f2-x  =f(-x)， 故fx  为周期函数且周期为2， 而fx  在0,2  必有最大值，故fx  必有最大值，故A错误. 对于B，而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2-x  +f(x)=2， 故fx-2  +f(x)=2，故fx+2  +f(x)=2，故fx+2  =f(x-2) 故fx  为周期函数且周期为4， 而fx  在0,4  必有最大值，故fx  必有最大值，故B错误. 对于C，因为f(x)为奇函数，故f-x  =-f(x)， 而f(x)的图像关于直线x=1对称，故f2-x  =f(x)，故fx-2  =-f(x)， 所以fx+4  =f(x)故fx  为周期函数且周期为4， 而fx  在0,4  必有最大值，故fx  必有最大值，故C错误. 对于D，因为f(x)为奇函数，故f-x  =-f(x)， 而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2-x  +f(x)=2， 故f(x)-fx-2  =2，设x=2n,n∈N*， 则f(2n)=f0  +2n，故fx  无最大值， 故选：D 3. (2024·上海·高考真题)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P,P ,P ∈Ω，存在不全为 1 2 3     0的实数λ ,λ ,λ ，使得λOP +λ OP +λ OP =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) A. 0,0,0  ∈Ω B. -1,0,0  ∈Ω C. 0,1,0  ∈Ω D. 0,0,-1  ∈Ω 【答案】C 数学试题 第 3 页 共 9 页【分析】首先分析出三个向量共面，显然当1,0,0  ,0,0,1  ,0,1,0  ∈Ω时，三个向量构成空间的一个 基底，则即可分析出正确答案.    【解析】由题意知这三个向量OP ,OP ,OP 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 1 2 3 对A，由空间直角坐标系易知0,0,0  ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当0,0,0  ,1,0,0  ∈Ω 无法推出(0,0,1)∉Ω，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知-1,0,0  ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当-1,0,0  ,1,0,0  ∈ Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故B错误； 对C，由空间直角坐标系易知1,0,0  ,0,0,1  ,0,1,0  三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由1,0,0  ,0,1,0  ∈Ω能推出0,0,1  ∉Ω， 对D，由空间直角坐标系易知1,0,0  ,0,0,1  ,0,0,-1  三个向量共面， 则当0,0,-1  (1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故D错误. 故选：C． 三 判断命题的充分不必要条件 1. (2025·天津·高考真题)设x∈R，则“x=0”是“sin2x=0”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【解析】由x=0⇒sin2x=sin0=0，则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件； 又当x=π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0⇏x=0， 故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件， 综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件. 故选：A. 2. (2025·北京·高考真题)已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x ∈ 0 D，使得 fx 0    >M”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解析】若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1  =M  +1， 取x 0 =x 1 ，则 fx 0    =M  +1>M，充分性成立； 取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1  =M  +1， 取x 0 =x 1 ，则 fx 0    =M  +1>M，但此时函数f(x)的值域为0,+∞  ，必要性不成立； 所以“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x 0 ∈D，使得 fx 0    >M”的充分不必要条件. 故选：A. 3. (2022·天津·高考真题)“x为整数”是“2x+1为整数”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由当x为整数时，2x+1必为整数；当2x+1为整数时，x不一定为整数；即可选出答案. 【解析】当x为整数时，2x+1必为整数； 当2x+1为整数时，x不一定为整数， 数学试题 第 4 页 共 9 页1 例如当2x+1=2时，x= . 2 所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 4. (2022·浙江·高考真题)设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【解析】因为sin2x+cos2x=1可得： 当sinx=1时，cosx=0，充分性成立； 当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立； 所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件. 故选：A. 5. (2021·天津·高考真题)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【解析】由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立； 若a2>36，则a>6或a<-6，推不出a>6，故必要性不成立； 所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件. 故选：A. 6. (2021·北京·高考真题)已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函 数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【解析】若函数fx  在0,1  上单调递增，则fx  在0,1  上的最大值为f1  ， 若fx  在0,1  上的最大值为f1  ， 比如fx  1 =x- 3  2 ， 但fx  1 =x- 3  2 1 在 0,  3  1 为减函数，在  ,1  3  为增函数， 故fx  在0,1  上的最大值为f1  推不出fx  在0,1  上单调递增， 故“函数fx  在0,1  上单调递增”是“fx  在0,1  上的最大值为f1  ”的充分不必要条件， 故选：A. 四 判断命题的必要不充分条件     1. (2024·北京·高考真题)设 a，b是向量，则“a+b    ·a-b      =0”是“a=-b或a=b”的( )． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 数学试题 第 5 页 共 9 页  【分析】根据向量数量积分析可知a+b    ⋅a-b   =0等价于a   =b  ，结合充分、必要条件分析判断.   【解析】因为a+b    ⋅a-b       =a2-b2=0，可得a2=b2，即a   =b  ，   可知a+b    ⋅a-b   =0等价于a   =b  ，      若a=b或a=-b，可得a   =b    ，即a+b    ⋅a-b  =0，可知必要性成立；   若a+b    ⋅a-b   =0，即a   =b      ，无法得出a=b或a=-b，  例如a=1,0   ,b=0,1   ，满足a   =b      ，但a≠b且a≠-b，可知充分性不成立；   综上所述，“a+b    ⋅a-b      =0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 故选：B.      2. (2021·浙江·高考真题)已知非零向量a,b,c，则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.               【解析】如图所示，OA=a,OB=b,OC=c,BA=a-b,当AB⊥OC时，a-b与c垂直，a-b   ·c       =0，所以a·c=b·c成立，此时a≠b，       ∴a·c=b·c不是a=b的充分条件，        当a=b时，a-b=0，∴a-b         ⋅c=0⋅c=0,∴a·c=b·c成立，       ∴a·c=b·c是a=b的必要条件，       综上，“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件 故选：B. 3. (2023·天津·高考真题)已知a,b∈R，“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【解析】由a2=b2，则a=±b，当a=-b≠0时a2+b2=2ab不成立，充分性不成立； 由a2+b2=2ab，则(a-b)2=0，即a=b，显然a2=b2成立，必要性成立； 所以a2=b2是a2+b2=2ab的必要不充分条件. 故选：B 4. (2023·全国甲卷·高考真题)设甲：sin2α+sin2β=1，乙：sinα+cosβ=0，则 ( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 数学试题 第 6 页 共 9 页【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. π 【解析】当sin2α+sin2β=1时，例如α= ,β=0但sinα+cosβ≠0， 2 即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0； 当sinα+cosβ=0时，sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1， 即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5. (2021·全国甲卷·高考真题)等比数列a n  的公比为q，前n项和为S ，设甲：q>0，乙：S n n  是递增数列， 则 ( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当S n  是递增数列时，必有a >0成立即可 n 说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【解析】由题，当数列为-2,-4,-8,⋯时，满足q>0， 但是S n  不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若S n  是递增数列，则必有a >0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0 n 成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过 程． 五 判断命题的充要条件 1. (2024·天津·高考真题)已知a,b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b，所以二者互为充要条 件. 故选：C. 2. (2022·北京·高考真题)设a n  是公差不为0的无穷等差数列，则“a n  为递增数列”是“存在正整数N ， 0 当n>N 时，a >0”的 ( ) 0 n A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设等差数列a n  的公差为d，则d≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义 判断可得出结论. 【解析】设等差数列a n  的公差为d，则d≠0，记x  为不超过x的最大整数. 若a n  为单调递增数列，则d>0， 若a 1 ≥0，则当n≥2时，a n >a 1 ≥0；若a 1 <0，则a n =a 1 +n-1  d， 数学试题 第 7 页 共 9 页由a n =a 1 +n-1  a a d>0可得n>1- 1 ，取N =  1- 1 d 0  d  +1，则当n>N 时，a >0， 0 n 所以，“a n  是递增数列”⇒“存在正整数N ，当n>N 时，a >0”； 0 0 n 若存在正整数N ，当n>N 时，a >0，取k∈N∗且k>N ，a >0， 0 0 n 0 k 假设d<0，令a n =a k +n-k  a a d<0可得n>k- k ，且k- k >k， d d a 当n>  k- k  d  +1时，a <0，与题设矛盾，假设不成立，则d>0，即数列a n n  是递增数列. 所以，“a n  是递增数列”⇐“存在正整数N ，当n>N 时，a >0”. 0 0 n 所以，“a n  是递增数列”是“存在正整数N ，当n>N 时，a >0”的充分必要条件. 0 0 n 故选：C. y x 3. (2023·北京·高考真题)若xy≠0，则“x+y=0”是“ + =-2”的 ( ) x y A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C x y 【分析】解法一：由 + =-2化简得到x+y=0即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=0得到x y x x y x y =-y，代入 + 化简即可，证明必要性可由 + =-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明 y x y x x y x y 充分性可由 + 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入即可，证明必要性可由 + y x y x 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入，解方程即可. 【解析】解法一： x y 因为xy≠0，且 + =-2， y x 所以x2+y2=-2xy，即x2+y2+2xy=0，即x+y  2=0，所以x+y=0. x y 所以“x+y=0”是“ + =-2”的充要条件. y x 解法二： 充分性：因为xy≠0，且x+y=0，所以x=-y， x y -y y 所以 + = + =-1-1=-2， y x y -y 所以充分性成立； x y 必要性：因为xy≠0，且 + =-2， y x 所以x2+y2=-2xy，即x2+y2+2xy=0，即x+y  2=0，所以x+y=0. 所以必要性成立. x y 所以“x+y=0”是“ + =-2”的充要条件. y x 解法三： 充分性：因为xy≠0，且x+y=0， x y x2+y2 x2+y2+2xy-2xy x+y 所以 + = = = y x xy xy  2-2xy -2xy = =-2， xy xy 所以充分性成立； 数学试题 第 8 页 共 9 页x y 必要性：因为xy≠0，且 + =-2， y x x y x2+y2 x2+y2+2xy-2xy x+y 所以 + = = = y x xy xy  2-2xy x+y = xy  2 -2=-2， xy x+y 所以  2 =0，所以x+y xy  2=0，所以x+y=0， 所以必要性成立. x y 所以“x+y=0”是“ + =-2”的充要条件. y x 故选：C 4. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)记S 为数列a n n  的前n项和，设甲：a n  S 为等差数列；乙： n  n  为等差数 列，则 ( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理 判断作答.， 【解析】方法1，甲：a n  为等差数列，设其首项为a =2，公差为d， 1 n(n-1) S n-1 d d S S d 则S =na + d, n =a + d= n+a - , n+1 - n = ， n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2 S 因此 n  n  为等差数列，则甲是乙的充分条件； S 反之，乙： n  n  S S nS -(n+1)S na -S 为等差数列，即 n+1 - n = n+1 n = n+1 n 为常数，设为t， n+1 n n(n+1) n(n+1) na -S 即 n+1 n =t，则S =na -t⋅n(n+1)，有S =(n-1)a -t⋅n(n-1),n≥2， n(n+1) n n+1 n-1 n 两式相减得：a =na -(n-1)a -2tn，即a =na -(n-1)a -2tn⇒a -a =2t，对n=1也 n n+1 n n n+1 n n+1 n 成立， 因此a n  为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：a n  为等差数列，设数列a n  n(n-1) 的首项a =2，公差为d，即S =na + d， 1 n 1 2 S (n-1) d d S 则 n =a + d= n+a - ，因此 n n 1 2 2 1 2  n  为等差数列，即甲是乙的充分条件； S 反之，乙： n  n  S S S 为等差数列，即 n+1 - n =D, n =S +(n-1)D， n+1 n n 1 即S =nS +n(n-1)D，S =(n-1)S +(n-1)(n-2)D， n 1 n-1 1 当n≥2时，上两式相减得：S -S =S +2(n-1)D，当n=1时，上式成立， n n-1 1 于是a =a +2(n-1)D，又a -a =a +2nD-[a +2(n-1)D]=2D为常数， n 1 n+1 n 1 1 因此a n  为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 数学试题 第 9 页 共 9 页