专题01集合11种常见考法归类（全国通用）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

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2021-2025高考真题分类 集合11种常见考法归类
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2021-2025高考真题分类 集合11种常见考法归类1
一 判断元素与集合的关系 1
二 根据元素与集合的关系求集合 1
三 集合元素互异性的应用 1
四 集合的表示方法 2
五 判断两个集合的关系 3
六 根据集合的包含关系求参数 3
七 交集的概念及运算 4
八 并集的概念及运算 8
九 补集的概念及运算 8
十 集合的交并补混合运算 9
十一 集合新定义 12
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一 判断元素与集合的关系
1. (2022·全国乙卷·高考真题)设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁ M={1,3}，则 ( )
U
A. 2∈M B. 3∈M C. 4∉M D. 5∉M
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算
【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可
【解析】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误
故选:A
二 根据元素与集合的关系求集合
1. (2023·上海·高考真题)已知P=1,2  ，Q=2,3  ，若M={x|x∈P且x∉Q}，则M= ( )
A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {1,2,3}
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据给定条件，直接求出集合M中的元素作答.
【解析】因为P={1,2}，由x∈P，得x=1或x=2，
又Q={2,3}，且x∉Q，即有x≠2且x≠3，因此x=1，
所以M={1}.
故选：A
三 集合元素互异性的应用
1. (2023·全国乙卷·高考真题)已知等差数列a n 
2π
的公差为 ，集合S= cosa 3 n   n∈N*   ，若S=a,b  ，则
ab= ( )
1 1
A. -1 B. - C. 0 D.
2 2
数学试题 第 1 页 共 16 页【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求余弦(型)函数的最小正周期、利用定义求等差数列通项公式、数列周期性的应用、集合元素
互异性的应用
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
2π 2π 2π
【解析】依题意，等差数列{a }中，a =a +(n-1)⋅ = n+a -
n n 1 3 3 1 3
 ，
2π 2π
显然函数y=cos n+a -
3 1 3
  

 的周期为3，而n∈N∗，即cosa 最多3个不同取值，又{cosa |n∈
n n
N∗}={a,b}，
则在cosa ,cosa ,cosa 中，cosa =cosa ≠cosa 或cosa ≠cosa =cosa 或cosa =cosa ≠cosa
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2
2π
于是有cosθ=cosθ+
3

4π
或cosθ=cosθ+
3
 ，
2π
即有θ+θ+
3

π
=2kπ,k∈Z，解得θ=kπ- ,k∈Z；
3
4π
或者θ+θ+
3

2π
=2kπ,k∈Z，解得θ=kπ- ,k∈Z；
3
π
所以k∈Z，ab=coskπ-
3

π
cos kπ-
3

4π
  +
 3

π
=-coskπ-
3

π 1
coskπ=-cos2kπcos =- 或
3 2
2π
ab=coskπ-
3

1
coskπ=- .
2
故选：B
四 集合的表示方法
1. (2024·北京·高考真题)已知M= x,y  y=x+tx2-x    ,1≤x≤2,0≤t≤1  是平面直角坐标系中的点
集.设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 ( )
A. d=3，S<1 B. d=3，S>1 C. d= 10，S<1 D. d= 10，S>1
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】描述法表示集合、三角形面积公式及其应用、求平面两点间的距离
y≤x2

【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域y≥x ，结合图形分析求解即可.
1≤x≤2
【解析】对任意给定x∈1,2  ，则x2-x=xx-1  ≥0，且t∈0,1  ，
可知x≤x+tx2-x  ≤x+x2-x=x2，即x≤y≤x2，
y≤x2

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域y≥x ，
1≤x≤2
如图阴影部分所示，其中A1,1  ,B2,2  ,C2,4  ，
可知任意两点间距离最大值d=AC  = 1-2  2+1-4  2= 10，
1
阴影部分面积S<S = ×1×2=1.
△ABC 2
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思
想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是
题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应
数学试题 第 2 页 共 16 页关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
2. (2022·北京·高考真题)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集
合．设集合T= Q∈S   PQ≤5

 ，则T表示的区域的面积为 ( )
3π
A. B. π C. 2π D. 3π
4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】描述法表示集合、球的截面的性质及计算、立体几何中的轨迹问题
【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.
【解析】
设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，
2 3
且BO= ×6× =2 3，故PO= 36-12=2 6.
3 2
因为PQ=5，故OQ=1，
故Q的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，
3
2× ×36
4
而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为 = 3>1，
3×6
故Q的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为π
故选：B
五 判断两个集合的关系
1. (2021·上海·高考真题)已知集合A={x|x2-x-2≥0}，B={x|x>-1}，则 ( )
A. A⊆B B. ∁ A⊆∁ B C. A∩B=ϕ D. A∪B=R
R R
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求解集合A中不等式，计算∁ A,∁ B，依次判断即可
R R
【解析】由题意，A={x|x2-x-2≥0}={x|(x-2)(x+1)≥0}={x|x≥2或x≤-1}
∴∁ A={x|-1<x<2}
R
由B={x|x>-1}∴∁ B={x|x≤-1}
R
∴A,B和∁ A,∁ B不存在包含关系，A∩B={x|x≥2},A∪B=R
R R
故选：D
六 根据集合的包含关系求参数
数学试题 第 3 页 共 16 页1. (2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)设集合A=0,-a  ，B=1,a-2,2a-2  ，若A⊆B，则a=( )．
2
A. 2 B. 1 C. D. -1
3
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【解析】因为A⊆B，则有：
若a-2=0，解得a=2，此时A=0,-2  ，B=1,0,2  ，不符合题意；
若2a-2=0，解得a=1，此时A=0,-1  ，B=1,-1,0  ，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
七 交集的概念及运算
1. (2024·天津·高考真题)集合A=1,2,3,4  ，B=2,3,4,5  ，则A∩B= ( )
A. 1,2,3,4  B. 2,3,4  C. 2,4  D. 1 
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【解析】因为集合A=1,2,3,4  ，B=2,3,4,5  ，
所以A∩B=2,3,4  ，
故选：B
2. (2025·北京·高考真题)已知集合M={x∣2x-1>5},N={1,2,3}，则M∩N= ( )
A. {1,2,3} B. {2,3} C. {3} D. ∅
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】先求出集合M，再根据集合的交集运算即可解出.
【解析】因为M=x|2x-1>5  =x|x>3  ，所以M∩N=∅，
故选：D.
3. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)设集合A=x-2<x<4  ，B=2,3,4,5  ，则A∩B= ( )
A. 2  B. 2,3  C. 3,4  D. 2,3,4 
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】利用交集的定义可求A∩B.
【解析】由题设有A∩B=2,3  ，
故选：B .
4. (2022·全国乙卷·高考真题)集合M=2,4,6,8,10  ,N=x-1<x<6  ，则M∩N= ( )
数学试题 第 4 页 共 16 页A. {2,4} B. {2,4,6} C. {2,4,6,8} D. {2,4,6,8,10}
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【解析】因为M=2,4,6,8,10  ，N=x|-1<x<6  ，所以M∩N=2,4  ．
故选：A.
5
5. (2022·全国甲卷·高考真题)设集合A={-2,-1,0,1,2},B=x∣0≤x<
 2
 ，则A∩B= ( )
A. 0,1,2  B. {-2,-1,0} C. {0,1} D. {1,2}
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【解析】因为A=-2,-1,0,1,2 
5
，B=x∣0≤x<  2  ，所以A∩B=0,1,2  ．
故选：A.
6. (2022·上海·高考真题)若集合A=-1，2  ，B=Z，则A∩B= ( )
A. -2，-1,0,1   B. -1,0,1  C. -1,0  D. -1 
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算
【分析】由于Z是整数集，结合交集的概念即可求出结果.
【解析】因为A=-1，2  ，B=Z，所以A∩B=-1,0,1  ，
故选：B.
7. (2025·全国二卷·高考真题)已知集合A={-4,0,1,2,8},B=x∣x3=x  ,则A∩B= ( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合B后结合交集的定义可求A∩B.
【解析】B=x|x3=x  =0,-1,1  ，故A∩B=0,1  ，
故选：D.
8. (2024·全国甲卷·高考真题)若集合A=1,2,3,4,5,9  ，B=xx+1∈A  ，则A∩B= ( )
A. 1,2,3  B. 3,4,9  C. 1,2,3,4  D. 2,3,4,5 
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合B的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
数学试题 第 5 页 共 16 页【解析】依题意得，对于集合B中的元素x，满足x+1=1,2,3,4,5,9，
则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8}，
于是A∩B={1,2,3,4}.
故选：C
9. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)若集合M={x∣ x<4}, N={x∣3x≥1}，则M∩N= ( )
A. x0≤x<2 
1
B. x ≤x<2  3  C. x3≤x<16 
1
D. x ≤x<16  3 
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合M,N后可求M∩N.
1
【解析】M={x∣0≤x<16},N=x∣x≥
 3

1
，故M∩N=x ≤x<16
 3
 ，
故选：D
10.(2024·广东江苏·高考真题)已知集合A=x∣-5<x3<5  ,B={-3,-1,0,2,3}，则A∩B= ( )
A. {-1,0} B. {2,3} C. {-3,-1,0} D. {-1,0,2}
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、由幂函数的单调性解不等式
【分析】化简集合A，由交集的概念即可得解.
【解析】因为A=x|-35<x< 35  ,B=-3,-1,0,2,3  ，且注意到1< 35<2，
从而A∩B=-1,0  .
故选：A.
11.(2023·北京·高考真题)已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x-1<0}，则M∩N= ( )
A. {x∣-2≤x<1} B. {x∣-2<x≤1} C. {x∣x≥-2} D. {x∣x<1}
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】先化简集合M,N，然后根据交集的定义计算.
【解析】由题意，M={x∣x+2≥0}={x|x≥-2}，N={x∣x-1<0}={x|x<1}，
根据交集的运算可知，M∩N={x|-2≤x<1}.
故选：A
12.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知集合M=-2,-1,0,1,2  ，N=xx2-x-6≥0  ，则M∩N= ( )
A. -2,-1,0,1  B. 0,1,2  C. -2  D. 2 
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
数学试题 第 6 页 共 16 页【解析】方法一：因为N=xx2-x-6≥0  =-∞,-2  ∪3,+∞  ，而M=-2,-1,0,1,2  ，
所以M∩N=-2  ．
故选：C．
方法二：因为M=-2,-1,0,1,2  ，将-2,-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成
立，所以M∩N=-2  ．
故选：C．
13.(2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知集合A=-1,1,2,4  ,B= x x-1    ≤1  ，则A∩B= ( )
A. {-1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. {-1,4}
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式
【分析】方法一：求出集合B后可求A∩B.
【解析】[方法一]：直接法
因为B=x|0≤x≤2  ，故A∩B=1,2  ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x=-1代入集合B= x x-1    ≤1  ，可得2≤1，不满足，排除A、D；
x=4代入集合B= x x-1    ≤1  ，可得3≤1，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
14.(2021·全国甲卷·高考真题)设集合M=1,3,5,7,9  ,N=x2x>7  ，则M∩N= ( )
A. 7,9  B. 5,7,9  C. 3,5,7,9  D. 1,3,5,7,9 
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合N后可求M∩N.
7
【解析】N= ,+∞
2
 ，故M∩N=5,7,9  ，
故选：B.
15.(2021·全国甲卷·高考真题)设集合M=x0<x<4 
1
,N=x ≤x≤5  3  ，则M∩N= ( )
1
A. x0<x≤  3 
1
B. x ≤x<4  3  C. x4≤x<5  D. x0<x≤5 
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据交集定义运算即可
1
【解析】因为M={x|0<x<4},N={x ≤x≤5
3

1
，所以M∩N=x ≤x<4
 3
 ,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
数学试题 第 7 页 共 16 页16.(2021·全国乙卷·高考真题)已知集合S=ss=2n+1,n∈Z  ，T=tt=4n+1,n∈Z  ，则S∩T=
( )
A. ∅ B. S C. T D. Z
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算
【分析】分析可得T⊆S，由此可得出结论.
【解析】任取t∈T，则t=4n+1=2⋅2n  +1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，
因此，S∩T=T.
故选：C.
八 并集的概念及运算
1. (2022·浙江·高考真题)设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B= ( )
A. {2} B. {1,2} C. {2,4,6} D. {1,2,4,6}
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【解析】A∪B=1,2,4,6  ，
故选：D.
2. (2021·北京·高考真题)已知集合A=x|-1<x<1  ，B=x|0≤x≤2  ，则A∪B= ( )
A. x|-1<x<2  B. x|-1<x≤2  C. x|0≤x<1  D. x|0≤x≤2 
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】并集的概念及运算
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【解析】由题意可得：A∪B=x|-1<x≤2  .
故选：B.
3. (2024·北京·高考真题)已知集合M={x|-3<x<1}，N={x|-1≤x<4}，则M∪N= ( )
A. x-1≤x<1  B. xx>-3  C. x|-3<x<4  D. xx<4 
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【解析】由题意得M∪N=x|-3<x<4  .
故选：C.
4. (2024·上海·高考真题)设全集U=1,2,3,4,5  ，集合A=2,4 

，则A= ．
【答案】1,3,5 
【难度】0.94
数学试题 第 8 页 共 16 页【知识点】补集的概念及运算

【分析】根据补集的定义可求A.

【解析】由题设有A=1,3,5  ，
故答案为：1,3,5 
九 补集的概念及运算
1. (2025·全国一卷·高考真题)设全集U=xx是小于9的正整数  ，集合A={1,3,5}，则∁ A中元素个数
U
为 ( )
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】补集的概念及运算
【分析】根据补集的定义即可求出．
【解析】因为U=1,2,3,4,5,6,7,8  ，所以∁ A=2,4,6,7,8
U
 ，∁ A中的元素个数为5，
U
故选：C．

2. (2025·上海·高考真题)已知全集U={x∣2≤x≤5,x∈R}，集合A={x∣2≤x<4,x∈R}，则A=
．
【答案】x|4≤x≤5,x∈R  /4,5 
【难度】0.94
【知识点】补集的概念及运算、区间的定义与表示
【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【解析】根据补集的含义知A=x|4≤x≤5,x∈R  .
故答案为：x|4≤x≤5,x∈R  .
3. (2022·北京·高考真题)已知全集U= x   -3<x<3

 ，集合A= x   -2<x≤1

 ，则∁ A= ( )
U
A. (-2,1] B. (-3,-2)∪[1,3) C. [-2,1) D. (-3,-2]∪(1,3)
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】补集的概念及运算
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【解析】由补集定义可知：∁ A={x|-3<x≤-2或1<x<3}，即∁ A=(-3,-2]∪(1,3)，
U U
故选：D．
十 集合的交并补混合运算
1. (2021·天津·高考真题)设集合A=-1,0,1  ，B=1,3,5  ,C=0,2,4  ，则(A∩B)∪C= ( )
A. 0  B. {0,1,3,5} C. {0,1,2,4} D. {0,2,3,4}
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【解析】∵A=-1,0,1  ，B=1,3,5  ,C=0,2,4  ，
数学试题 第 9 页 共 16 页∴A∩B=1  ，∴(A∩B)∪C=0,1,2,4  .
故选：C.
2. (2024·全国甲卷·高考真题)已知集合A=1,2,3,4,5,9  ,B=x x∈A  ，则∁ A∩B
A
 = ( )
A. 1,4,9  B. 3,4,9  C. 1,2,3  D. 2,3,5 
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.
【解析】因为A=1,2,3,4,5,9  ,B=x x∈A  ，所以B=1,4,9,16,25,81  ，
则A∩B=1,4,9  ，∁ A∩B
A
 =2,3,5 
故选：D
3. (2022·天津·高考真题)设全集U=-2,-1,0,1,2  ，集合A=0,1,2  ,B=-1,2  ，则A∩∁ B
U
 =
( )
A. 0，1   B. 0,1,2  C. -1,1,2  D. 0,-1,1,2 
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】先求出∁ B，再根据交集的定义可求A∩∁ B
U U
 .
【解析】∁ B=-2,0,1
U
 ，故A∩∁ B
U
 =0,1  ，
故选：A.
4. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩
∁ B
U
 = ( )
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】根据交集、补集的定义可求A∩∁ B
U
 .
【解析】由题设可得∁ B=1,5,6
U
 ，故A∩∁ B
U
 =1,6  ，
故选：B.
5. (2023·全国乙卷·高考真题)设全集U=0,1,2,4,6,8  ，集合M=0,4,6  ,N=0,1,6  ，则M∪∁ N=
U
( )
A. 0,2,4,6,8  B. 0,1,4,6,8  C. 1,2,4,6,8  D. U
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】由题意可得∁ N的值，然后计算M∪∁ N即可.
U U
【解析】由题意可得∁ N=2,4,8
U
 ，则M∪∁ N=0,2,4,6,8
U
 .
故选：A.
数学试题 第 10 页 共 16 页6. (2023·全国甲卷·高考真题)设全集U=1,2,3,4,5  ，集合M=1,4  ,N=2,5  ，则N∪∁ M= ( )
U
A. 2,3,5  B. 1,3,4  C. 1,2,4,5  D. 2,3,4,5 
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【解析】因为全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，所以∁ M=2,3,5
U
 ，
又N={2,5}，所以N∪∁ M={2,3,5}，
U
故选：A.
7. (2025·天津·高考真题)已知集合U=1,2,3,4,5  ,A=1,3  ,B=2,3,5  ，则∁ A∪B
U
 = ( )
A. 1,2,3,4  B. 2,3,4  C. 2,4  D. 4 
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【解析】由A=1,3  ,B=2,3,5  ，则A∪B=1,2,3,5  ，
集合U=1,2,3,4,5  ，
故∁ A∪B
U
 =4 
故选：D.
8. (2023·全国甲卷·高考真题)设全集U=Z,集合M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈
Z}，∁ (M∪N)= ( )
U
A. {x|x=3k,k∈Z} B. {x∣x=3k-1,k∈Z}
C. {x∣x=3k-2,k∈Z} D. ∅
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【解析】因为整数集Z=x|x=3k,k∈Z  ∪x|x=3k+1,k∈Z  ∪x|x=3k+2,k∈Z  ，U=Z，所以，
∁ M∪N
U
 =x|x=3k,k∈Z  ．
故选：A．
9. (2023·天津·高考真题)已知集合U=1,2,3,4,5  ,A=1,3  ,B=1,2,4  ，则∁ B∪A= ( )
U
A. 1,3,5  B. 1,3  C. 1,2,4  D. 1,2,4,5 
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【解析】由∁ B={3,5}，而A={1,3}，
U
所以∁ B∪A={1,3,5}.
U
数学试题 第 11 页 共 16 页故选：A
10.(2022·全国甲卷·高考真题)设全集U={-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,2},B=
x∣x2-4x+3=0  ，则∁ (A∪B)= ( )
U
A. {1,3} B. {0,3} C. {-2,1} D. {-2,0}
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【解析】由题意，B=xx2-4x+3=0  =1,3  ，所以A∪B=-1,1,2,3  ,
所以∁ A∪B
U
 =-2,0  .
故选：D.
11.(2021·全国乙卷·高考真题)已知全集U=1,2,3,4,5  ，集合M=1,2  ,N=3,4  ，则∁ (M∪N)=
U
( )
A. 5  B. 1,2  C. 3,4  D. 1,2,3,4 
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】交并补混合运算
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【解析】由题意可得：M∪N=1,2,3,4  ，则∁ M∪N
U
 =5  .
故选：A.
12.(2023·全国乙卷·高考真题)设集合U=R，集合M= x   x<1

 ，N= x   -1<x<2

 ，则 x   x≥2

 =
( )
A. ∁ M∪N
U
 B. N∪∁ M C. ∁ M∩N
U U
 D. M∪∁ N
U
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|x≥2  即可.
【解析】由题意可得M∪N=x|x<2  ，则∁ M∪N
U
 =x|x≥2  ，选项A正确；
∁ M=x|x≥1
U
 ，则N∪∁ M=x|x>-1
U
 ，选项B错误；
M∩N=x|-1<x<1  ，则∁ M∩N
U
 =x|x≤-1或x≥1  ，选项C错误；
∁ N=x|x≤-1或x≥2
U
 ，则M∪∁ N=x|x<1或x≥2
U
 ，选项D错误；
故选：A.
十一 集合新定义
1. (2025·北京·高考真题)已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8  ,M= x,y   ∣x∈A,y∈A  ，从M中选取n个
不同的元素组成一个序列：x 1 ,y 1  ,x 2 ,y 2  ,⋯,x n ,y n  ，其中x i ,y i  称为该序列的第i项
i=1,2,⋯,n  ，若该序列的相邻项x i ,y i  ,x i+1 ,y i+1  满足： x i+1 -x i  =3, y i+1 -y i   或  =4
数学试题 第 12 页 共 16 页x i+1 -x i  =4,
y i+1 -y i 
  i=1,2,⋯,n-1
=3
 ，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项．
(2)设Γ为K列，且Γ中的项x i ,y i  i=1,2,⋯,n  满足：当i为奇数时，x ∈{1,2,7,8}：当i为偶数时， i
x ∈{3,4,5,6}.判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
i
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【答案】(1)6,7  或7,6 
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【难度】0.4
【知识点】集合新定义
【分析】(1)根据新定义即可得解；
(2)假设(3,2)与(4,4)能同时在Γ中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在Γ中的结论；
(3)假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
x =x±3 x =x±4
【解析】(1)根据题目定义可知，

i+1 i 或

i+1 i ，
y =y±4 y =y±3
i+1 i i+1 i
若第一项为3,3  ，显然x 2 =0或-1不符合题意(不在集合A中)，所以下一项是6,7  或7,6  ；
(2)假设二者同时出现在Γ中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设3,2  在4,4  之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从3,2  到4,4  必定要向下一
项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从3,2  到4,4  必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在Γ中.
(3)法1：若M中的所有元素构成K列，考虑K列中形如x i ,y i  x,y∈1,2,7,8 i i    的项，
这样的项共有16个，由题知其下一项为x i+1 ,y i+1  ,x ,y ∈3,4,5,6 i+1 i+1  ，共计16个，
而x i+1 ,y i+1  ≠(3,3),(6,3),(3,6),(6,3)，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个x i ,y i  ，有12个x i+1 ,y i+1  与之相对应，矛盾．
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则n=64.
设T 1 = x,y   x∈1,2,7,8  ,y∈1,2,3,4,5,6,7,8     ，T = 2
x,y   x∈3,4,5,6  ,y∈1,2,3,4,5,6,7,8     .
则T和T 都包含32个元素，且T中元素的相邻项必定在T 中.
1 2 1 2
如果存在至少两对相邻的项属于T，那么属于T 的项的数目一定多于属于T的项的数目，
2 2 1
所以至多存在一对相邻的项属于T.
2
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1，
否则将导致属于T 的项的个数比属于T的项的个数多2，此时m=1,2,3,⋯,31.
2 1
从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T，第偶数项属于T；
1 2
这个序列的后64-2m项中，第奇数项属于T，第偶数项属于T.
2 1
如果不存在相邻的属于T 的项，那么也可以看作上述表示在m=0或m=32的特殊情况.
2
数学试题 第 13 页 共 16 页这意味着必定存在m∈0,1,2,...,32  x ,y ，使得 2k-1 2k-1  ∈T 1 ,x 2k ,y 2k  ∈T,1≤k≤m 2
x ,y 2k-1 2k-1  ∈T 2 ,x 2k ,y 2k 
  .
∈T,m+1≤k≤32 1
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为
1
偶数的点的数量一定分别是m和32-m(不一定对应).
但容易验证，T和T 都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以m
1 2
=32-m=16，得m=16.
x ,y 从而有 2k-1 2k-1  ∈T 1 ,x 2k ,y 2k  ∈T,1≤k≤16 2
x ,y 2k-1 2k-1  ∈T 2 ,x 2k ,y 2k 
  .
∈T,17≤k≤32 1
这就得到T 1 = x k ,y k    k=1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64   .
再设T 3 = x,y   x∈1,2,3,4,5,6,7,8  ,y∈1,2,7,8     ，T = 4
x,y   x∈1,2,3,4,5,6,7,8  ,y∈3,4,5,6     .
x ,y 则同理有 2k-1 2k-1  ∈T 3 ,x 2k ,y 2k  ∈T,1≤k≤16 4
x ,y 2k-1 2k-1  ∈T 4 ,x 2k ,y 2k 
  .
∈T,17≤k≤32 3
这意味着T 3 = x k ,y k    k=1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64   .
从而得到T =T，但显然它们是不同的集合，矛盾.
3 1
所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．
2. (2025·上海·高考真题)已知函数y=f(x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合M ={x∣f(x+a)=
a
f(x)}．
π
(1)若f(x)=sinx，判断 是否是M 中的元素，请说明理由；
3 π
(2)若fx 
x+2, x<0

= x, x≥0 ,M a ≠∅，求a的取值范围；
(3)若y=f(x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)=1-x，且对任意a∈(0,2)，均有M ⊆M ．写出y=
a 2
f(x)，x∈(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数y=f(x)-c在[-3,3]上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
7
(2)  ,4
 4
 ；
(3)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】求函数零点或方程根的个数、集合新定义、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
π
【分析】(1)直接代入计算f
3

π
和f +π
3
 即可；
3
(2)法一：转化为在实数x 使得f(x +a)=f(x )，分析得x +2= x +a，再计算得a=x +
0 0 0 0 0 0 2

2
+
7
，最后根据x 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线y=t与该函数有两个交点，将a用t
4 0
表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
(3)利用函数奇偶性和集合新定义即可求出x∈(1,2)时解析式，再分析出f(-3)∉(0,1)，最后对c的
范围进行分类讨论即可.
π
【解析】(1)(1)f
3

π 3 π
=sin = ，f +π
3 2 3

π 3 π
=-sin =- ，则 不是M 中的元素.
3 2 3 π
(2)法一：因为M ≠∅，则存在实数x 使得f(x +a)=f(x )，且a>0，
a 0 0 0
当x<0时，fx  =x+2，其在-∞，0  上严格单调递增，
数学试题 第 14 页 共 16 页当x≥0时，fx  = x，其在[0,+∞)上也严格单调递增，
则x <0≤x +a，则x +2= x +a，
0 0 0 0
令x+2=0，解得x=-2，则-2≤x <0，
0
则a= x 0 +a  2-x 0 =x 0 +2 
3
2-x =x + 0 0 2 
2 7 7
+ ∈  ,4 4  4  .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线y=t与该函数有两个交点，
由图知0≤t<2，假设交点分别为Am,t  ，Bn,t  ，
联立方程组  m=t 得a=|AB|=m-n=t2-(t-2)=t- 1 n+2=t 2  2 7 7 + ∈  ,4 4  4 
(3)(3)对任意x ∈(1,2),x -2∈(-1,0)，因为其是偶函数，
0 0
则fx 0 -2  =f2-x 0  ，而2-x 0 -x 0 -2  =4-2x ∈(0,2)， 0
所以x -2∈M ⊆M ，
0 4-2x0 2
所以fx 0  =fx 0 -2  =f2-x 0  ，因为x 0 ∈1,2  ，则2-x 0 ∈0,1  ，
所以fx 0  =f2-x 0  =1-2-x 0  =x -1，所以f(x)=x-1,x∈(1,2)， 0
所以当s∈(0,1)时，1-s∈(0,1)，1+s∈(1,2)，则f(1-s)=1-(1-s)=s，
f(1+s)=1+s  -1=s，则f(1-s)=f(1+s)，
而1+s-1-s  =2s，3-s  -1-s  =2，
则1-s∈M ⊆M ，则f(1-s)=f(3-s)，
2s 2
所以当x∈(2,3)时，f(x)=f(x-2)=1-(x-2)=3-x，而f(x)为偶函数，画出函数图象如下：
其中f-3  =f3  ,f-2  =f2  ,f0  ，但其对应的y值均未知.
首先说明f(-3)=n∉(0,1)，
若f(-3)=n∈(0,1)，则-3+n∈-3,-2  ，易知此时fx  =x+3,x∈-3,-2  ，
则f(-3+n)=n，所以f(-3)∈M n ⊆M 2 ，而x∈-1,0  时，fx  =x+1，
所以f(-3)=f(-1)=0，与f(-3)=n矛盾，所以f(-3)∉(0,1)，即f(-3)=f(3)∉(0,1)，
令y=f(x)-c=0，则y=f(x)=c，
当c=0时，即使让f-3  =f3  =f-2  =f2  =f0  =0，此时最多7个零点，
当c≥1时，若f-2  =f2  =f0  =f-3  =f3  =c，此时有5个零点，
数学试题 第 15 页 共 16 页故此时最多5个零点；
当c<0时，若f-2  =f2  =f0  =f-3  =f3  =c，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当0<c<1时，若f-2  =f2  =f0  =c，此时有3个零点，
若f(-3)=c∈(0,1)，则-3+c∈-3，-2  ，易知此时fx  =x+3，
则f(-3+c)=c，所以f(-3)∈M c ⊆M 2 ，而x∈-1,0  时，fx  =x+1，
所以f(-3)=f(-1)=0，与f(-3)=p矛盾，所以f(-3)∉(0,1)，
则最多在(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点，
以及在x=-2,0,2处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
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