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6.4 数据的离散程度
课堂知识梳理
实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程
度，即它们相对于集中趋势的偏离情况．一组数据中最大数据与最小数据的差
(称为极差)，就是刻画数据离散程度的一个统计量．
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画．方差(variance)是各
个数据与平均数差的平方的平均数，即s2＝[(x －x)2＋(x －x)2＋…＋(x －x)2]．
1 2 n
其中，x是 x ，x ，…，x 的平均数，s2 是方差．而标准差(standard
1 2 n
deviation)就是方差的算术平方根．
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．有一组数据1、2、3、4 、5，它的方差是（ ）
A．2 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】先求出这组数据的平均数，在根据方差的定义计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数为 ，
则其方差 ；
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的计算方法，牢记方差的计算公式是解题的关键．
2．甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方
差S 2与S 2的大小关系是（ ）
甲 乙
A．S 2＜S 2 B．S 2＞S 2 C．S 2＝S 2 D．无法确定
甲 乙 甲 乙 甲 乙【答案】B
【分析】利用折线统计图可判断甲日平均气温波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙
的方差的大小．
【详解】解：由折线统计图得甲日平均气温波动较大，
∴S 2＞S 2，
甲 乙
故选：B．
【点睛】本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差
越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，
稳定性越好．
3．2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，某校开设了冰球选修课，12名同学被分
成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如表所示：
队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 队员6
甲
176 176 175 177 177 175
组
乙
183 175 170 174 178 176
组
设两队队员身高的平均数依次为 ， ，方差依次为 ，下列关系中正确的是（
）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲乙的平均数，然后根据方程公式计算出甲乙的
方差即可对各选项进行判断．
【详解】解： ，
，
，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查了方差和平均数，熟练掌握一组数据中各数据与它们的平均数的差的平
方的平均数，叫做这组数据的方差是解题的关键．
4．在第十四届全运会女排比赛中，山东女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的
队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，极差变大 B．中位数变小，方差变小
C．平均数变大，极差变小 D．中位数变大，方差变大
【答案】B
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【详解】解：原数据的平均数为 ×（180+184+188+190+192+194）=188，
方差为
= ，
新数据的平均数为 ×（180+184+188+190+186+194）=187，
方差为
= ，
所以平均数变小，方差变小，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．
5．如图是南方某市4月7日开始未来7天日最高气温和日最低气温走势图，则在这7天中
温度值的极差为________________℃．
【答案】15
【分析】根据极差的定义求解即可．
【详解】由图可知04-13的温度最高，为30℃，
04-08的温度最低，为15℃，
∴在这7天中温度值的极差为30-15=15℃．
故答案为：15．
【点睛】本题考查极差的定义．掌握一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差是解题关键．
6．已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则这组数据的方差为___________．
【答案】2
【分析】根据求平均数的公式可求出x的值，再由求方差的公式计算即可．
【详解】由题意有 ，
解得： ．
∴这组数据为：1，5，2，4，3，
∴这组数据的方差 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查由平均数求未知数据的值，求方差．掌握求平均数的公式和求方差的公
式是解题关键．
7．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为： ， ，
， ， ， ， ．关于这组数据，
(1)众数是________，中位数是________．
(2)这组数据的平均数是________．
(3)求这组数据的方差．
【答案】(1)11，11
(2)12
(3)
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得；
（2）根据平均数的公式进行计算即可得；
（3）根据方差的公式进行计算即可得．
（1）
解：在这组数据中，11出现的次数最多，
所以众数是11，
将这组数据按从小到大进行排序为 ，
所以中位数是11，
故答案为：11，11．
（2）
解：这组数据的平均数是 ，
故答案为：12．
（3）解：这组数据的方差为 ，
答：这组数据的方差为 ．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟记各定义和计算公式是解题关键．
8．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测
试成绩如表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次
甲 9 8 8 7
乙 10 6 7 9
(1)根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩和方差；
(2)根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
【答案】(1)甲的平均成绩是8，方差是 ；乙的平均成绩是8，方差是
(2)推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析
【分析】（1）根据图表得出甲、乙每次数据和平均数以及方差的计算公式列式计算即可；
（2）根据方差和平均数两者进行分析．
（1）
解：甲的平均成绩是：（9+8+8+7）÷4＝8，
甲的方差是： ＝ ，
乙的平均成绩是：（10+6+7+9）÷4＝8，
乙的方差是： ．
（2）
解：推荐甲参加省比赛更合适．
理由：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但是甲的测试成绩的方差比乙小，说明甲发
挥较为稳定，故推荐甲参加省比赛更合适．
【点睛】此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题
的关键．
培优第二阶——拓展培优练
9．己知一组数据a，b，c的平均数为6，方差为4.1，那么数据 ， ， 的平均
数和方差分别是（ ）A．4，2.1 B．4，4.1 C．6，2.1 D．6，4.1
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的计算公式即可得．
【详解】解：∵一组数据a,b,c的平均数为6，方差为4.1，
∴ ， ，
∴数据 ， ， ，的平均数为 ，
方差为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了求平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的公式是解题关键．
10．已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是4，则这个样本的标准差为_____．
【答案】
【分析】根据平均数的公式求出a的值，再代入方差的公式，开方后即可得出标准差．
【详解】解：∵样本a，4，2，5，3，它的平均数是4，
∴ ，
解得： ，
，
∴这个样本的标准差为 ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了平均数的求法和标准差的求法，计算标准差需要先算出方差，计
算方差的步骤是：①计算数据的平均数x；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计
算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准
差和方差一样都是非负数．
11．已知一组数据 、 、 、 、 的方差为 ，则新的数据 、 、 、
、 的方差是______．
【答案】4.8
【分析】根据方差的变化规律即可得出答案，即当数据都减去一个数时，方差不变，当乘
以一个数时，方差变成原方差的平方倍．
【详解】解： 数据 、 、 、 、 的方差是 ，
数据 、 、 、 、 的方差是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方差的性质，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，
即数据的波动情况不变；当乘以一个数时，方差变成原方差的平方倍．12．小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：
日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温
最低气
1 3 2 5 3
温
由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____．
【答案】4和2
【分析】根据平均数算出5天气温的总和，进而算出第四日的气温，根据平均数和每日的
气温算出方差．
【详解】解：3×5=15，
15-1-3-2-5=4，
∴方差 ，
故答案为：4和2．
【点睛】本题考查平均数和方差，能够根据平均数和每日的气温算出方差是解决本题的关
键．
13．为增强学生的防疫意识，学校进行了防疫知识宣传教育活动，为了了解活动效果，组
织了测试．现从七、八年级分别任意抽取了 名学生的测试成绩如下： 满分为 分，七、
八年级学生人数分别为 人和 人
七年级： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
八年级： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
经整理、分析获得如下不完整的数据分析表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87.4 43.44
八年级 89.2
(1)填空： ______， ______．
(2)若成绩 分以上的为良好，请估计该校七、八年级各有多少名学生的成绩为良好；
(3)根据数据分析表中所提供的统计量判断哪个年级的成绩较好？说明理由． 仅需要从一
个的角度说明推断的合理性
【答案】(1) ；(2)该校七年级 名学生的成绩为良好，八年级 名学生的成绩为
良好
(3)七年级的成绩较好，理由见解析
【分析】（1）由众数的定义求出a的值，由中位数的定义求出b的值
（2）由该校七、八年级人数乘以各自成绩良好的学生所占比例即可
