新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北师）
第六章 反比例函数
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.
2.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.
3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值.
5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
6.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
7.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
k
8.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式y= (k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.
x
9.能使用反比例函数解决简单实际问题.
1.经历从具体问题情境中抽象出反比例函数概念的过程,进一步感受函数的模型思想.
2.探索反比例函数的性质,体会研究函数的一般性方法.
1.在反比例函数学习的过程中,进一步发展勇于探索与合作交流的精神.
2.根据图象和表达式理解反比例函数的性质,体会数形结合的思想和分类的思想.
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念,是研究现实世界变化
规律的重要数学模型,学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间关系”和“一次函数”等内容,
对函数已经有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数及其性质,可以进一步领悟函数的概念并积累研究
函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,这对后续学习会产生积极影响.
本章通过具体情境的分析,概括出反比例函数的表达式,明确反比例函数的概念,通过例题和学生列举的
实例可以丰富对反比例函数的认识,理解反比例函数的意义.结合实例经历列表、描点、连线等活动,理解函
数的三种表示方法,逐步明确研究函数的一般要求,反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形
k
象,为学生探索反比例函数的一般形式,反比例函数的性质提供了思维活动的空间,通过对反比例函数y=
x
(k>0和k<0)图象的全面观察和比较,发现反比例函数自身的规律,结合语言表述,在相互交流中发展从图象中
获取信息的能力,同时可以使学生更牢固地掌握反比例函数的性质.
本章最后讨论了反比例函数的某些应用,包括在实际中的应用和在数学内部的应用.在这些数学活动中,
注意用函数观点来处理问题或对问题的解决用函数做出某种解释,用以加深对函数的认识,并突出知识之间
的内在联系.
【重点】 反比例函数图象及其性质;利用反比例函数解决简单的生活问题.
【难点】 根据具体情况对变量的情况进行讨论.1.注重反比例函数概念的形成过程和对概念意义的理解.在反比例函数概念形成的过程中,应充分利用
学生已有的生活经验和背景知识,创设丰富的现实情境,引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律,并
逐步加深理解,教学中要提供直观背景,其主要作用是:①展现产生反比例函数的现实原型,提供可概括性材料,
引导学生主动参与并感受数学概念的形成过程;②在获得反比例函数概念之后,现实原型将成为概念的某种
直观解释或实际意义,通过举例、说理、讨论等活动,力求使学生体验如何用数学的眼光来审视某些实际现
象,思考其数学意义.
2.要注意和函数的有关知识的衔接,与一次函数进行类比,掌握函数的三种表示法,深化对函数概念的理
解.反比例函数概念的形成,是从感性认识到理性认识转化的过程,概念一旦建立后,即已摆脱其原型成为数学
对象(有经验支撑的数学知识).要通过对函数图象的观察和分析,掌握反比例函数的主要性质,体验“用数学
k
眼光来研究某些数学现象”,深化函数模型思想,进一步发展我们的抽象思维能力.另外,反比例函数y=
x
(k≠0)具有丰富的数学含义,应转向对其数学意义的理解,从而可以进行更深层次的研究.
1 反比例函数 1课时
2 反比例函数的图象与性质 2课时
3 反比例函数的应用 1课时
1 反比例函数
经历抽象反比例函数概念的过程,体会反比例函数的含义,理解反比例函数的概念.
从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽
象思维能力.
1.通过创设情境,让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的
习惯.
2.在小组讨论中充分体会合作交流的重要性,培养合作意识,提高合作技能.
【重点】 反比例函数的概念及应用.
【难点】 根据已知条件确定反比例函数的表达式.
【教师准备】 求函数值的统计表.
【学生准备】 复习函数的相关知识.导入一:
我们知道,导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时,
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表:
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
[设计意图] 从学生身边的生活和已有知识出发,创设情境,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,
激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象反比例函数概念做铺垫.
导入二:
我们在前面学过一次函数和正比例函数,知道一次函数的表达式为y=kx+b,其中k,b为常数且k≠0,正比
例函数的表达式为y=kx,其中k为不为零的常数,但是在现实生活中,并不是只有这两种类型的函数.这就是本
节课我们要揭开的奥秘.
1.复习旧知
在某变化过程中有两个变量x,y,若给定其中一个变量x的值,y都有唯一确定的值与它相对应,则称y是x
的函数.
例如购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式是y=0.4n,这是一个正比例函数.等腰
三角形的顶角的度数y度与底角的度数x度的关系为y=180-2x,y是x的一次函数.
2.问题探索
问题1
【课件1】 导入一中的电流、电阻、电压之间是否存在函数关系?
220
解:(1)I= .
R
(2)从左到右依次填:11,5.5,3.67,2.75,2.2.
利用表格数据提供的信息,并参照对关系式的分析,可以得出当电阻R越来越大时,电流I越来越小;当R
越来越小时,I越来越大.
(3)当给定一个R的值时,相应地确定了一个I值,因此I是R的函数.
[知识拓展] 舞台灯光可以在很短时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天,或由黑夜变成白昼,这
样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,
灯光较亮.
问题2
【课件2】 京沪高速铁路全长约为1318 km,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京,列车行完全程所需
要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?
【师生活动】 先让学生进行小组合作交流,再在全班范围内进行问答或交流.学生用自己的语言说明
两个变量间的关系为什么可以看成函数,了解所讨论的函数的表示形式.
【归纳规律】 上述实例所列出的等式,它们是函数吗?是正比例函数,还是一次函数?如果不是一次函
数,你能总结自变量和因变量之间的函数关系吗?
k
一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y= (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例
x
k
函数.从y= (k≠0)中可知x作为分母,所以x不能为零.
x
[设计意图] 让学生自己举例、总结规律、抽象概念,便于学生理解和掌握反比例函数的概念,同时培养
和提高学生的总结归纳能力和抽象思维能力.
【做一做】1.一个矩形的面积为20 cm2,相邻的两条边长为x cm和y cm,那么变量y是变量x的函数吗?是反比例
函数吗?为什么?
2.某村有耕地346.2 hm2,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(hm2/人)是全村人口数
n的函数吗?为什么?
3.y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:
1 1
x -2 -1 - 1 3
2 2
2
y 2 -1
3
(1)写出这个反比例函数的表达式;
(2)根据函数表达式完成上表.
[设计意图] 这一过程目的是强化学生对反比例函数概念的理解,体会反比例函数的实际意义,并且让学
生感受自己探索发现的知识与实际生活有着密切的联系并能解决实际问题,从而获得学习的成就感,激发学
生的学习兴趣.
k
[知识拓展] (1)反比例函数的一般式:y= (k为常数,k≠0).反比例函数的变形式:①y=kx-1(x的指数为-1,k
x
为常数,k≠0);②xy=k(k为常数,k≠0).
(2)取值范围:①比例系数k≠0;②自变量x是一切非0实数;③函数值y也是一切非0实数.
k
(3)判断方法:要判断一个函数是不是反比例函数,就看它能不能写成y= (k为常数,k≠0)的形式.
x
下列各式表示y是x的反比例函数的是 ( )
-1
A.x+y=-2 B.y=
2x
x
C.y= D.y=-2x+1
3
1
- x
〔解析〕 A.y=-2-x,是一次函数;B.y=-1 2 ,本选项符合题意;C.y= ,y是x的正比例函数;
= 3
2x x
D.y=-2x+1,y是x的一次函数.故选B.
1.一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 的形式,那么y是x的
,这个函数中自变量x的取值范围是 .
k
答案:y= (k为常数,k≠0) 反比例函数 x≠0
x2.下列函数解析式中,y是x的反比例函数的是 ( )
x -3
A.y= B.y=
2 2x
1 1
C.y= D.y=
x+1 x2
答案:B
k
3.反比例函数y= (k≠0),若x=❑√3时,y=4,则k等于( )
x
4
A.❑√3B.4 C.4❑√3 D.
❑√3
答案:C
4.当a=
时,函数y=(a+2)xa2-5是反比例函数.
答案:2
1 反比例函数
1.复习旧知
2.问题探索
k
形如:y= (k为常数,k≠0)的函数叫y是x反比例函数
x
①k≠0
②x≠0→x>0或x<0
③y≠0→y>0或y<0
【做一做】
一、教材作业
【必做题】
教材第150页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第151页习题5.1的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( )
k
A.y=-2x B.y=-
x
2 x
C.y=- D.y=-
x 2
2.下列函数关系是反比例函数的是 ( )
A.三角形的底边为一常数,则三角形的面积y与三角形的高x间的函数关系
B.力F为一常数,则力所做的功W与物体在力的方向上移动的距离s间的函数关系
C.矩形的面积为一常数,则矩形的长y与宽x间的函数关系
D.当圆锥的底面积为一常数,圆锥的体积V与圆锥的高h的函数关系
m+3
3.已知函数y= 是反比例函数,则m的值为 ( )
x1-m2-3m
A.-3 B.0 C.-3或0 D.24.已知y与x成正比例,z与y成反比例,那么z与x之间的关系是 ( )
A.成正比例
B.成反比例
C.有可能成正比例,也有可能成反比例
D.无法确定
5.已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值,由表知函数表达式为 .根据函数表达式完成
下表.
x -1 3 6 8
y 3 -3 2
6.若y与x2+1成反比例,且x=1时,y=2,则函数的解析式为 .
【能力提升】
7.已知y=y+y,y 与x成正比例,y 与x成反比例,且当x=2时,y=-4;当x=-1时,y=5,求出y与x的函数关系式.
1 2 1 2
【拓展探究】
8.某工作人员打算利用不锈钢制作一个面积为0.8 m2的矩形模具,设矩形模具的长为y m,宽为x m.
(1)写出y与x的函数关系式,并说明y与x之间是什么函数关系;
(2)若使模具长比宽多1.6 m,已知每米这种不锈钢条的价格为6元,制作这个模具共花多少钱?
【答案与解析】
1.C(解析:A,D是正比例函数,B中k未说明不等于0,只有C符合定义.)
2.C
3.B(解析:由1-m2-3m=1,求出m=-3或0,又m+3≠0,∴m=0.)
4.B
6 3
5.y= -6 2 -2 1
x 4
4
6.y=
x2+1
k k
2 2
7.解:∵y 与x成正比例,∴设y=kx,∵y 与x成反比例,∴设y= ,∴y=kx+ .由x=2时,y=-4;x=-1时,y=5得
1 1 1 2 2 1
x x
{ k
2k + 2=-4, 4
1 2 解得k=-1,k=-4,∴y=-x- .
1 2 x
-k -k =5,
1 2
0.8
8.解:(1)分析题意,由矩形的长y与宽x之间的关系,可得yx=0.8,即y= ,∴y是x的反比例函数. (2)由题意
x
0.8
知y=x+1.6,∴x+1.6= ,整理得x2+1.6x-0.8=0,解得x=0.4,x=-2(不符合题意,舍去).当x=0.4时,
x 1 2
x+1.6=2.∴(0.4+2)×2×6=28.8(元).∴制作这个模具共花28.8元.
1.反比例函数知识是对函数学习的进一步深化,与先前的知识有着密切的联系.所有本课时的教学过程
中,对以往函数知识的简要回顾取得了良好效果,不但建立起新旧知识的联系,也为继续深入研究反比例函数
奠定了知识基础和方法基础.
2.把生活中存在的反比例函数关系的事例进行导入和教学,拉近了生活和数学学习的距离,帮助学生感
受到反比例函数的知识就在我们的生活之中,就在我们的身边.k
在反比例函数的关系式y= (k为常数,k≠0)中,忽略了强调k≠0而出错.
x
反比例函数是生活中一种重要的函数关系式,在教学的过程中,要给学生更多的时间去发现和总结生活
中这样的关系式.对于综合性比较强的课堂练习,要给予学生及时的提示和点拨.
随堂练习(教材第150页)
1.解:(1)是反比例函数,k=5. (2)是反比例函数,k=0.4. (3)不是反比例函数(是正比例函数). (4)是反比例函数
( 2)
可写为y=
,k=2.
x
20
2.解:例如:①已知一个矩形的面积为20 cm2,它的长y(cm)是宽x(cm)的反比例函数;表达式为y= .②一本书
x
30
30万字,读完它所用时间t是每天所读字数a(万字)的反比例函数;表达式为t= .(答案不唯一)
a
习题6.1(教材第150页)
1200
1.解:根据题意,y与x之间满足y= ,y是x的反比例函数.
x
2S
2.解:根据题意,y与x之间满足y= ,y是x的函数,y是x的反比例函数.
x
1
1 - 1
3. 解:(1)(3)(4)是.理由如下:(1)xy=- ,即y= 3 ,满足反比例函数的概念,其中k=- . (2)y=5-x,即y=-x+5,是一
3 3
x
-2 2 2a
次函数. (3)y= 满足反比例函数的概念,其中k=- . (4)y= (a≠0)满足反比例函数的概念,其中k=2a.
5x 5 x
5 5 5 1 5 5 5 P
4.解:表中依次填:5, , , , , , , .(1)变量R是变量I的函数. (2)R= ,∴R不是I的反比例函数.
4 9 16 5 36 49 64 I2
k
已知反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).
x
(1)求这个函数的解析式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由.
〔解析〕 (1)把点A的坐标代入已知函数解析式,通过解方程即可求得k的值.(2)只要把点B,C的坐标
分别代入函数解析式,适合函数关系式的点在该函数图象上.
k
解:∵反比例函数y= 的图象经过点A(2,3),
x
k
∴3= ,解得k=6,
2
6
∴函数的解析式为y= .
x6 6
(2)把B,C两点的坐标代入y= ,有6≠-6,2= ,
x 3
∴点B不在该函数图象上,点C在该函数图象上.
[解题策略] 确定反比例函数的表达式,常见类型有:已知图象上一点的坐标、已知一对函数值、已知一
个图形的面积求表达式,另外还有根据实际问题求表达式.
已知函数y=(m2-2m)xm2+m-1.
(1)m为何值时,y是x的反比例函数?
(2)m为何值时,y是x的正比例函数?
解:(1)根据反比例函数的定义可知m2+m-1=-1,且m2-2m≠0,
解得m=-1.
所以m=-1时函数y=(m2-2m)xm2+m-1是反比例函数.
(2)当m2+m-1=1,且m2-2m≠0,
即m=1或-2时,此函数是正比例函数.
已知变量x,y满足(x-2y)2=(x+2y)2+10,则x,y是否成反比例关系?如果不是,请说明理由;如果是,请
求出比例系数.
〔解析〕 直接去括号,进而合并同类项得出y与x的函数关系式即可.
解:∵(x-2y)2=(x+2y)2+10,
∴x2-4xy+4y2=x2+4xy+4y2+10,
整理得出8xy=-10,
-5
∴y= ,
4x
5
∴x,y成反比例关系,比例系数为- .
4
2 反比例函数的图象与性质
1.能画出反比例函数的图象,进一步掌握画函数图象的步骤.
2.理解和掌握反比例函数的性质.
通过画图象,进一步培养“描点法”画图的能力和方法,并提高对函数图象的分析能力,同时尝试用类比
和由特殊到一般的思维方法.
归纳反比例函数的一些性质特征,由图象的画法和分析,体验数学活动中的探索性和创造性、感受双曲
线的数学美,并通过图象的直观教学激发学习兴趣.【重点】 反比例函数的图象画法和性质.
【难点】 借助于图象理解反比例函数的性质.
第 课时
进一步熟悉画函数图象的主要步骤,会画反比例函数的图象,能够利用反比例函数的图象解决一些实际
问题.
激励学生在探索反比例函数的图象的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数的图象特点.
调动学生的主观能动性, 积极参与教学活动,促使学生在学习中培养良好的情感态度与合作、交流的意
识,提高观察、分析、解决问题的能力.
【重点】 反比例函数的图象.
【难点】 对反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析.
【教师准备】 几个反比例函数图象的投影图片、教材相关图片的投影等.
【学生准备】 直尺,坐标纸;复习函数图象的作图过程与方法.
导入一:
【提出问题】 还记得一次函数y=kx+b(k≠0)的图象吗?那么反比例函数的图象又会是什么样子呢?你
想知道吗?
导入二:
同学们还记得正比例函数图象的特点吗?那么反比例函数图象又是怎样的呢?
正比例函数
解析式 y=kx(k≠0)
经过(0,0)与(1,k)
当k>0时,图象经过第一、三象
图象
限;当k<0时,图象经过第二、四
象限4
[过渡语] 画一个函数图象的基本方法是相同的.我们尝试一下画出y= 的图象吧.
x
4
画反比例函数y= 的图象
x
1.列表:
1 1
x … -8 -4 -3 -2 -1 - 1 2 3 4 8 …
2 2
4 1 4 4 1
y= … - -1 - -2 -4 -8 8 4 2 1 …
x 2 3 3 2
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
4
连线:用光滑的曲线顺次连接各点,即可得到函数y= 的图象(如下图).
x
强调:列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于
描点.
2.如果在列表时所选取的数值不同,那么图象的形状是否相同?连线时能否连成折线?为什么必须用光滑
的曲线连接各点?曲线的发展趋势如何?-4
3.让学生尝试作出反比例函数y= 的图象.
x
学生采用相同的步骤和方法完成作图,教师巡视,指导一段时间后,请学生在黑板上画出图象.
4 -4
4.观察函数y= 和y= 的图象,它们有什么相同点和不同点?
x x
图象分别都是由两支曲线组成的,它们都不与坐标轴相交,两个函数图象都是轴对称图形,它们都有两条
对称轴.
5.反比例函数的性质.
再让学生观察反比例函数图象,提问:
(1)当k>0时,双曲线的两个分支各在哪个象限?
(2)k<0时,双曲线的两个分支各在哪个象限?
【总结】 (1)当k>0时,双曲线的两个分支分别分布在第一、三象限内;当k<0时,双曲线的两个分支分
别分布在第二、四象限内.
(2)两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴.
[知识拓展] 反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四
象限,它们关于原点对称,由于反比例函数中自变量x≠0,函数值y≠0,因此它们的图象与x轴、y轴都没有交点,
即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不会与坐标轴相交.
k
反比例函数y= (k≠0)的图象是由两支曲线(双曲线)组成的,当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限
x
内;当 k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.1
1.反比例函数y= 的图象位于 ( )
x
A.第一、三象限内 B.第一、二象限内
C.第二、四象限内 D.第三、四象限内
答案:A
k
2.反比例函数y= (k≠0)的图象,当k>0时,两支曲线分别位于第 、 象限内;当 k<0时,
x
两支曲线分别位于第 、 象限内.
答案:一 三 二 四
k
3.反比例函数y= (k≠0)的图象是两支 ,又称 ,这两个分支不连续,都无限接近但永远不
x
会到达 和 .
答案:关于原点对称的曲线 双曲线 x轴 y轴
3
4.若A(x,y),B(x,y)是双曲线y= 上的两点,且x>x>0,则y y.(填“>”“=”或“<”)
1 1 2 2 x 1 2 1 2
答案:<
第1课时
k
函数y= (k≠0)的图象
x
①k>0 ②k<0
一、教材作业
【必做题】
教材第153页随堂练习.
【选做题】
教材第154页习题6.2的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图,是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 ( )
4
A.y=x2 B.y=
x3 1
C.y=- D.y= x
x 2
k
2.反比例函数y= (k<0)的大致图象是( )
x
k
3.已知点(1,1)在反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象上,则这个反比例函数的大致图象是 ( )
x
k
⊥
4.如图,已知A是反比例函数y= (k≠0)的图象上一点,AB x轴于点B,且ΔABO的面积是3,则k的值是 (
x
)
A.3 B.-3
C.6 D.-6 1 3
5.如图,点A在双曲线y= 上,点B在双曲线y= 上,且AB∥x轴,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的
x x
面积为 .
【能力提升】
4
6.关于反比例函数y= 的图象,下列说法正确的是 ( )
x
A.必经过点(1,1)
B.两个分支分布在第二、四象限内
C.两个分支关于x轴对称
D.两个分支关于原点成中心对称-1
7.函数y=2x与函数y= 在同一坐标系中的大致图象是下图中的 ( )
x
【拓展探究】 1
8.如图所示,A,C是函数y= 的图象上任意两点,过A作y轴的垂线,垂足为B,记RtΔAOB的面积为S;过C作y
x 1
轴的垂线,垂足为D,记RtΔOCD的面积为S,则 ( )
2
A.S>S B.S<S
1 2 1 2
C.S=S D.不能确定
1 2
k 3 k
9.在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y= (k≠0)的图象与y= 的图象关于x轴对称,且反比例函数y= 的
x x x
图象经过A(1,n),试确定n的值.
【答案与解析】
1.B
2.B
k
3.C(解析:∵点(1,1)在反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象上,∴k=1×1=1,∴此反比例函数的图象在第一、三
x
象限内,∴C正确.故选C.)
1
4.C(解析:根据题意可知S = |k|=3,又因为反比例函数的图象位于第一象限,k>0,则k=6.故选C.)
ΔAOB 21
⊥
5.2(解析:过A点作AE y轴,垂足为E,∵点A在双曲线y= 上,∴四边形AEOD的面积为1,∵点B在双曲线
x
3
y= 上,且AB∥x轴,∴四边形BEOC的面积为3,∴四边形ABCD的面积为3-1=2.)
x
6.D
7.B
k
8.C(解析:由反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义可以推出RtΔAOB与RtΔOCD的面积都等于
x
1 1
|k|=
.故选C.)
2 2
k 3 k -3
9.解:因为反比例函数y= 的图象与y= 的图象关于x轴对称,则k=-3,故反比例函数y= 的解析式为y=
x x x x
-3
.因为点A(1,n)在反比例函数y= 的图象上,所以n=-3.
x
研究反比例函数的方法同先前研究函数的方法有着高度的一致,在这里利用学生对以往研究函数的方
法,比较顺利地解决了画反比例函数图象、分析反比例函数特点的探索活动,取得了事半功倍的效果.
在学生画反比例函数图象的时候,老师担心学生画不准、画不好,过早地把一些提示话语传递给了学生,
没有等学生可能出现问题之后,显得对学生放手不够,过多地干预了学生的自主探究活动.
k
应该重点强调反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的值对函数图象的影响,并帮助学生通过规律性的总
x
结,熟记反比例函数图象的特点.调整部分难度过大、综合性过强的训练试题,设置习题的目的以巩固知识、
强化记忆为主.
随堂练习(教材第153页)
-2
解:图(1)是反比例函数y= 的图象.因为图象的两分支位于第二、四象限.
x
习题6.2(教材第154页)
1.解:列表如下:
x -6 -3 -1 1 3 6
6
y= -1 -2 -6 6 2 1
x
6
y=- 1 2 6 -6 -2 -1
x
描点、连线,如图所示.2.解:不对,因为反比例函数中的x,y的值都不能为0,所以反比例函数的图象不可能与坐标轴相交.
3.解:列表:
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
2 2 2
y= … - -1 -2 2 1 …
x 3 3
y=x-1 … -4 -3 -2 0 1 2 …
2
描点、连线,图象如图所示.可见y= 与y=x-1的图象交于点(-1,-2)和点(2,1).
x
b
若ab<0,则正比例函数y=ax和反比例函数y= 在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的
x
( )〔解析〕 ∵ab<0,∴a,b为异号,分两种情况:(1)当a>0,b<0时,正比例函数y=ax的图象过原点、第一、
三象限,反比例函数图象在第二、四象限内,无此选项;(2)当a<0,b>0时,正比例函数的图象过原点、第二、四
象限,反比例函数图象在第一、三象限内,选项C符合.故选C.
某地资源总量Q一定,该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是 ( )
Q
〔解析〕 ∵由题意,得Q= xn,∴x= .∵Q为一定值,∴x是n的反比例函数,其图象为双曲线.又
n
∵x>0,n>0,∴图象在第一象限内.故选B.
第 课时
k
掌握反比例函数y= (k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.
x
激励学生在探索反比例函数图象性质的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数图象的性质.调动学生的主观能动性, 积极参与教学活动,促使学生在学习中培养良好的情感态度与合作、交流的意
识,提高观察、分析、抽象的能力.
k
【重点】 反比例函数y= (k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.
x
k
【难点】 反比例函数y= (k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.
x
【教师准备】 反比例函数基本图象的投影图片.
k
【学生准备】 复习上一课时学过的k值不同,反比例函数y= (k≠0)图象所处的不同象限.
x
导入一:
k
在反比例函数y= (k≠0)中,k的值对函数的性质有什么影响呢?
x
导入二:
【提出问题】
1.作函数图象的一般步骤是什么?
2.一次函数图象是什么?它具有怎样的性质?
3.我们知道反比例函数的图象是双曲线,那么它又具有怎样的性质呢?带着这个疑问我们一起走入今天
的课堂.
【师生活动】 教师提出问题,找学生回答,并引出本节新课的内容.
[设计意图] 通过创设问题情境,引导学生复习一次函数的性质,激发学生参与课堂学习的热情,为学习
反比例函数的性质奠定基础.
[过渡语] 研究反比例函数的性质,我们必须借助于反比例函数的图象.
一、探究反比例函数的性质
出示教材图6-4.
【问题思考】
(1)三个函数解析式的k值有什么特点?
(2)当x取值-2,-4,-6时,y值是怎样变化的?
(3)在第一象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的?
(4)在第三象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的?【小结】 当k>0时,函数图象位于第一、三象限内,在每个象限内,y的值随x值的增大而减小.
出示教材图6-5.
【问题思考】
(1)三个函数解析式的k值有什么特点?
(2)当x取-6,-4,-2时,y值是怎样变化的?
(3)在第二、四象限内,随着x值的增大,y的值是怎样变化的?
【小结】 当k<0时,函数图象位于第二、四象限内,在每个象限内,y的值随着x值的增大而增大.
二、想一想
在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为
S;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S,S 与S 有什么关系?为什么?
1 2 1 2
k
【总结】 S=S.原因如下:在反比例函数y= (k≠0)的图象上任取一点,过这一点分别作x轴、y轴的平
1 2 x
行线,与坐标轴所围成的矩形面积始终等于常量|k|.
k
[知识拓展] 判断一个点是否在反比例函数y= (k≠0)的图象上,关键是看这个点的横、纵坐标的乘积
x
k
是否等于k.如果等于k,那么说明点在其图象上,反之就不在图象上.例如,由点(2,5)在反比例函数y= 的图象
x
10
上,得k=2×5=10.因为(-5)×(-2)=10,所以点(-5,-2)在反比例函数y= 的图象上.
x
k
反比例函数y= (k≠0):
x
k>0⇔双曲线在第一、三象限内⇔在每个象限内,y随着x增大而减小;
k<0⇔双曲线在第二、四象限内⇔在每个象限内,y随着x增大而增大.
k
1.已知反比例函数y= (k≠0)的图象位于第二、四象限内,函数图象上有两点A(2❑√7,y),B(5,y),则y 与y
x 1 2 1 2
的大小关系为 ( )
A.y>y B.y=y
1 2 1 2
C.y<y D.无法确定
1 2
k
解析:由反比例函数y= (k≠0)的图象位于第二、四象限内,可知k<0,且在每一象限内,y随着x增大而增
x
大.因为2❑√7>5>0,所以y>y.故选A.
1 2
3
2.对于反比例函数y= ,下列说法正确的是 ( )
x
A.图象经过点(1,-3)
B.图象位于第二、四象限内
C.x>0时,y随着x增大而增大D.x<0时,y随着x增大而减小
3
解析:由反比例函数y= ,得xy=3,所以该图象经过点(1,3),故A选项错误;因为k>0,所以图象位于第一、
x
三象限内,故B选项错误;当k>0,x>0时,y随着x增大而减小,故C选项错误;当k>0,x<0时,y随着x增大而减小,
故D选项正确.故选D.
a
3.当a≠0时,函数y=ax+1与函数y= 在同一坐标系中的图象可能是图中的 ( )
x
a
解析:当a>0时,y=ax+1经过第一、二、三象限,y= 位于第一、三象限内;当a<0时,y=ax+1过第一、二、
x
a
四象限,y= 位于第二、四象限内.故选C.
x
k-2
4.设有反比例函数y= ,(x,y),(x,y)为其图象上两点,若x<0<x,y>y,则k .
x 1 1 2 2 1 2 1 2
k-2
解析:(x,y),(x,y)为函数y= 图象上两点,又∵x<0<x,y>y,∴该反比例函数的图象位于第二、四象限
1 1 2 2 x 1 2 1 2
内,∴k-2<0,解得k<2.故填<2.
第2课时
k
反比例函数y= 的图象,
x
当k>0时,在每一象限内,y的值随x的值的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y的值随x的值的增大而增大.
一、教材作业
【必做题】
教材第155页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第156页习题6.3的5题.
二、课后作业
【基础巩固】k
1.反比例函数y= 的图象经过点A(-1,-2),则当x>1时,函数值y的取值范围是( )
x
A.y>1 B.0<y<1
C.y>2 D.0<y<2
( 1 ) ( 1 ) (1 ) k
2.若M
- ,y
,N
- ,y
,P
,y
三点都在函数y= (k<0)的图象上,则y,y,y 的大小关系为(
2 1 4 2 2 3 x 1 2 3
)
A.y>y>y B.y>y>y
2 3 1 2 1 3
C.y>y>y D.y>y>y
3 1 2 3 2 1
1
3.若点(x,y),(x,y),(x,y)都是反比例函数y=- 的图象上的点,并且x<0<x<x,则下列各式正确的是 ( )
1 1 2 2 3 3 x 1 2 3
A.y<y<y B.y<y<y
1 2 3 2 3 1
C.y<y<y D.y<y<y
1 3 2 3 2 1
k2+1
4.已知点A(-1,y),B(2,y),C(π,y)在双曲线y=- 上,则下列关系式正确的是( )
1 2 3
x
A.y>y>y B.y>y>y
1 2 3 1 3 2
C.y>y>y D.y>y>y
2 1 3 3 2 1
k
5.如图,一次函数y=kx+b(b≠0)与反比例函数y= (k≠0)的图象交于A(1,4),B(4,1)两点,若y>y,则x的取值范
1 1 2 x 1 2
围是 .
6.已知反比例函数y=(m-2)xm2-m-7的图象在每个象限内,y随着x增大而减小,求m的值.
1
7.若点(-1,y),(-3,y),(2,y)在反比例函数y=- 的图象上,则y,y,y 的大小关系怎样?
1 2 3 x 1 2 3
【能力提升】
12
8.如图所示,已知反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+4的图象交于P,Q两点,并且P点的纵坐标是6.
x
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求ΔPOQ的面积.【拓展探究】
9.定义:在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这
个点叫做“和谐点”.如图所示,矩形ABOC的周长与面积相等,则点A是“和谐点”.
(1)判断点E(2,3),F(4,4)是否为“和谐点”;
18
(2)若点P(a,b)是双曲线y= 上的“和谐点”,求满足条件的所有P点坐标.
x
【答案与解析】
1.D(解析:∵反比例函数的图象过点A(-1,-2),∴由函数图象可知,当x<-1时,-2<y<0,∴当x>1时,0<y<2.故选D.)
2.B(解析:比较y,y,y 的大小→用特殊值法令k=-4→把各x值代入关系式后求出y值再比较.)
1 2 3
3.B(解析:由0<x<x,得(x,y)和(x,y)在同一象限内,∵k=-1,∴y>y,∵x<0,则(x,y)在第二象限内,y>0,而
2 3 2 2 3 3 3 2 1 1 1 1
y<y<0,∴y>y>y.)
2 3 1 3 2
4.B(解析:由-(k2+1)<0→作草图→描出x=-1,2,π时的大致点→比较y,y,y.双曲线草图如图所示,由图可知
1 2 3
y>y>y.故选B.)
1 3 2
5.x<0或1<x<4(解析:通过观察图象,当图象在A,B之间时,一次函数的图象在反比例函数图象上方,同时,当x<0
时,一次函数的图象在反比
例函数图象上方,所以x的取值范围是x<0或1<x<4.)
{m2-m-7=-1,
6.解:由题意得 解得m=3.
m-2>0,
1
7.解:由y=- ,k=-1<0知函数的图象在第二、四象限内.在每个象限内,y随着x增大而增大,画草图如图所示.
x
∵-3<-1<0,∴y>y>0.而点(2,y)在第四象限内,∴y<0.∴y>y>y.
1 2 3 3 1 2 3
12 12
8.解:(1)∵点P在反比例函数y= 的图象上,且其纵坐标为6,∴ =6,解得x=2,∴P(2,6),又∵点P在函数
x x
y=kx+4的图象上,∴6=2k+4,解得k=1.∴所求一次函数的解析式为y=x+4.{y=x+4,
{x =-6, {x =2,
(2)作PA垂直x轴于点A,QB垂直x轴于点B.解方程组 12 得 1 或 2 ∴Q点的坐标
y= , y =-2, y =6.
x 1 2
为(-6,-2).令y=0,代入y=x+4得x=-4,故y=x+4的图象与x轴的交点是N(-4,0).∴ΔPON和ΔQON的公共边
1 1
ON=4,ON边上的高分别为PA=6,QB=2.∴S =S +S = ×4×6+ ×4×2=16.
ΔPOQ ΔPON ΔQON 2 2
9.解:(1)∵2×(2+3)=10,2×3=6,10≠6,∴点E(2,3)不是“和谐点”,∵2×(4+4)=16,4×4=16,16=16,∴点F是“和谐点”.
( 18) | 18|
(2)设P点的坐标为 x, ,由题意得出18=2 x+ .当x>0时,整理,得x2-9x+18=0,解得x=3,x=6.当
x x 1 2
x<0时,整理,得x2+9x+18=0,解得x=-3,x=-6.∴满足条件的P点的坐标为(3,6),(6,3),(-3,-6),(-6,-3).
3 4
通过复习整理一次函数的相关知识,有效地引导了学生对反比例函数的学习.不但帮助学生建立起知识
之间的练习,也降低了学习知识的难度.
各种函数图象是学生比较难记忆的知识.在记忆反比例函数图象特点的时候,没有给予学生方法上的指
导.
放手让学生借助于以往研究函数的方法,自我总结和探索反比例函数的性质.并给学生空白的表格,让
学生对比一次函数的性质,自我尝试总结反比例函数的性质.
随堂练习(教材第155页)
6
1.解:(1)因为-6<0,所以反比例函数y=- 的图象在每个象限内y随x的增大而增大.因为-6<-4,所以y<y. (2)
x 1 2
因为-6<0,所以反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而增大,因为4<6,所以y<y. (3)因为-6<0,所以反
3 4
比例函数图象位于第二、四象限,当x=-4时,y>0.当x=6时,y<0,所以y>y.
5 6 5 6
2.(1)(2)(3) (4)
习题6.3(教材第157页)
1.(1)(2)(3) (4)
2.解:∵k=1>0,∴点(-1,y)和点(-2,y)都在第三象限.∵-2<-1,∴y<y<0.同理可知0<y<y.∴y<y<y<y.
3 4 3 4 1 2 3 4 1 2
k k 6 6
3.解:把点P(3,2)代入y= ,得2= ,所以k=6.所以反比例函数的表达式为y= .把点Q(-2,a)代入y= 中,得a=
x 3 x x
6
,所以a=-3.由k的几何意义可知S=S=|k|=6.
-2 1 2
4.解:因为x 与x 的符号不确定,所以无法比较y 与y 大小,所以需要分类讨论.当x>x>0时, y<y ;当x>0>x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
时,y>y ,当0>x>x 时,y<y.
1 2 1 2 1 2k
5.解:以矩形的一个顶点为坐标原点O,以两邻边所在直线为x,y轴建立直角坐标系,由反比例函数y= (k≠0)
x
k
中系数k的几何意义可知,从反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围
x
成的矩形面积为|k|=9,所以矩形两邻边的乘积等于9,即矩形两邻边之间成反比例函数关系.如图所示.
反比例函数的图象、性质及k的几何意义
3 反比例函数的应用经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,解决实际问题的过程,体会数学与现实生活
的紧密联系,增强应用意识.
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程,初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题.
发展应用意识,建立函数思想.
在数学活动中,激发学生的好奇心与求知欲;在引导学生解决问题的过程中,树立学好数学的信心,培养认
真勤奋、独立思考、合作交流的学习习惯,形成严谨求实的科学态度.
【重点】 用反比例函数的知识解决实际问题.
【难点】 如何从实际问题中抽象出数学问题、建立函数模型.
【教师准备】 分配学习小组(建议4到6人一组),明确每个人的任务.
【学生准备】 复习反比例函数的图象与性质,预习课本P58~60.
导入一:
6 6
下图是由四条曲线围成的广告标志,在如图所示的直角坐标系中,双曲线表达式分别为y= ,y=- ,现在
x x
曲线间设计了一个ABCD的矩形广告牌,准备在ABCD上镶霓虹灯,已知OF=OH=2 m,每平方米霓虹灯造价
为15元,你知道广告牌上所用霓虹灯的总造价吗?
导入二:已知某矩形的面积为6 cm2.
(1)写出其长y与宽x之间的函数表达式;
(2)当矩形的长为12 cm时,其宽为多少?当矩形的宽为4 cm时,其长为多少?
从上题中可以看出,生活中有很多问题可以借助于反比例函数知识来解决.
[过渡语] 我们首先尝试一下教材中提出的这个问题吧.
问题1
【课件1】
某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地,你能解释他们这样做的道理吗?
当人和木板对湿地的压为一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?
如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N,那么:
(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗?为什么?
(2)当木板面积为0.2 m2时,压强是多少?
(3)如果要求压强不超过6000 Pa,木板面积至少要多大?
(4)在平面直角坐标系中,画出相应的函数图象.
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.
【教师提示】 首先要根据题意分析实际问题中的两个变量,然后看这两个变量之间存在的关系,从而
去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系,若是,则可用反比例函数的有关知识去解决问题.
F 600
【结果展示】 (1)由p= 得p= ,p是S的反比例函数,因为给定一个S的值,对应的就有唯一的一
S S
个p值和它对应,根据函数定义,则p是S的反比例函数.
600
(2)当S=0.2 m2时,p= =3000(Pa).当木板面积为0.2 m2时,压强是3000 Pa.
0.2
600
(3)当p=6000 Pa时,S= =0.1(m2).如果要求压强不超过6000 Pa,木板面积至少要0.1 m2.
6000
(4)图象如下:
(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这
些点所处的位置及它们的横坐标的取值范围.【师】 反比例函数的图象是两支双曲线,它们要么位于第一、三象限内,要么位于第二、四象限内,从
(1)中已知pS=600>0,所以图象应位于第一、三象限内,为什么这位同学只画出了一支曲线,是不是另一支曲线
丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢?
【生1】 第三象限的曲线不存在,因为这是实际问题,S不可能取负数,所以第三象限的曲线不存在.
【师】 很好,那么在(1)中是不是应该有条件限制呢?
600
【生2】 是,应为p= (S>0).
S
[设计意图] 通过创设问题情境,让学生理解生活中反比例函数的应用,激发学生运用反比例函数解决问
题的兴趣和热情.
【教师总结】 应用反比例函数解决实际问题时,关键是将实际问题转化为数学问题,建立反比例函数
模型,首先要分清变量、常量、函数、自变量,其次建立函数与自变量的关系.在应用时,还要根据实际意义确
定自变量的取值范围.
问题2
【课件2】
k
如图,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 2 的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(❑√3,2❑√3
1
x
).
(1)分别写出这两个函数的表达式;
(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.
【教师提示】 要求这两个函数的表达式,只要把A点的坐标代入即可求出k,k,求点B的坐标即求
1 2
k
2
y=kx与y= 的交点.
1 x
k
解:(1)∵A(❑√3,2❑√3)既在y=kx的图象上,又在y= 2 的图象上,
1
x
k
∴❑√3k=2❑√3,2❑√3= 2 .
1
❑√3
∴k=2,k=6.
1 2
6
∴表达式分别为y=2x,y= .
x
{y=2x,
6
(2)由 6 得2x= ,
y= , x
x
∴x2=3,∴x=±❑√3.
当x=-❑√3时,y=-2❑√3.
∴B(-❑√3,-2❑√3).[设计意图] 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现,这类试题不仅能考查两个
函数的基本性质,而且能考查同学们综合分析问题的能力.
一、探求同一坐标系下的图象
k
在同一直角坐标系中,函数y=-kx+k与y= (k≠0)的图象大致是 ( )
x
\
〔解析〕 本题可采用排除法.由选项A,B的一次函数图象知-k>0,即k<0,则一次函数y=-kx+k的图象与
y轴交点应在y轴负半轴上,而选项A,B都不符合要求,故都排除;由选项D的一次函数图象知-k<0,即k>0,则
k
反比例函数y= (k≠0)的图象应在第一、三象限内,而选项D不符合要求,故也排除.所以本题应选C.故选C.
x
[解题策略] 本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出,有较强的综合性,解决这类问题
常用排除法.
二、探求函数解析式
k
2
如图,直线y=kx+b与双曲线y= (k>0)只有一个交点A(1,2),且与x轴,y轴分别交于B,C两点,AD
1 2
x
垂直平分OB,垂足为D,求直线与双曲线的解析式.
〔解析〕 解决本题的关键是确定点B的坐标,由AD垂直于OB知点D和点A的横坐标应相同,所以点
D的坐标为(1,0),又由AD平分OB知OB=2OD=2,所以点B坐标为(2,0),进而求出一次函数解析式.
k
2
解:∵双曲线y= 过点A(1,2),
x
k 2
2
∴ 2= ,k=2,得双曲线的解析式为y= .
1 2 x
∵AD垂直平分OB,A点的坐标为(1,2),
∴B点的坐标为(2,0).∵y=kx+b过点A(1,2)和B(2,0),
1
{ k +b=2,
1
∴
2k +b=0,
1
{k =-2,
1
解得
b=4,
∴直线的解析式为y=-2x+4.
三、探求三角形面积
4 1
如图所示,反比例函数y=- 的图象与直线y=- x的交点为A,B,过点A的y轴的平行线与过点B
x 3
的x轴的平行线相交于点C,则ΔABC的面积为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
〔解析〕 由于点A,B在反比例函数图象上关于原点对称,所以ΔABC的面积为=2|k|=2×4=8.故选A.
四、综合运用
2m+5n
已知关于x的一次函数y=mx+3n和反比例函数y= 的图象都经过点(1,-2).求:
x
(1)一次函数和反比例函数的解析式;
(2)两个函数图象的另一个交点的坐标.
2m+5n
〔解析〕 一次函数y=mx+3n和反比例函数y= 的图象都经过点(1,-2),则该点坐标满足两解
x
析式;要求两图象交点,则应由两图象的解析式组成方程组求解.
解:(1)∵两函数图象都过点(1,-2),
{m+3n=-2, {m=4,
∴ 解得
2m+5n=-2. n=-2.
∴一次函数的解析式为y=4x-6,
2
反比例函数的解析式为y=- .
x
{y=4x-6,
(2)根据题意,列出方程组 2
y=- .
x
{ 1
{ x=1, x= ,
解得 或 2
y=-2,
y=-4.(1 )
∴两函数图象的另一个交点为
,-4
.
2
反比例函数的应用是指运用反比例函数的有关概念、图象与性质解决实际问题.在解答过程中,我们通
过对题目的阅读理解,抽象出实际问题中的函数关系,并将文字信息转化为数学语言,再利用反比例函数的思
想方法去解决实际问题.其中根据实际问题确定函数关系式是关键.
k
2
1.(2014·仙桃中考)如图,正比例函数y=kx和反比例函数y= 的图象交于A(1,2),B两点,给出下列结论:
1 1 2
x
①k
1
<k
2
;②当x<-1时,y
1
<y
2
;③当y
1
>y
2
时,x>1;④当x<0时,y
2
随x的增大而减小.其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个D.3个
k
2
解析:①正比例函数y
1
=k
1
x和反比例函数y
2
= 的图象交于A(1,2),∴k
1
=2,k
2
=2,k
1
=k
2
,故①错误;②当x<-1
x
时,一次函数图象在下方,故②正确;③当y
1
>y
2
时,-1<x<0或x>1,故③错误;④k
2
=2>0,当x<0时,y
2
随x的增大而
减小,故④正确.故选C.
2.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)当R=10 Ω时,电流能是4 A吗?为什么?
解:(1)电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,
k
设I= (k≠0),把(4,9)代入得k=4×9=36,
R
36
∴I= .
R
(2)当R=10时,I=3.6≠4,
∴电流不可能是4 A.3 反比例函数的应用
问题1
问题2
一、教材作业
【必做题】
教材第159页随堂练习.
【选做题】
教材第159页习题6.4的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.水池中有水1000 m3,因灌溉需要放水,能表示放水时间t(s)与放水速度v(m3/s)的关系的是 ( )
2.当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是 ( )
A.正比例函数 B.反比例函数
C.一次函数 D.不成函数关系
3.某变阻器两端的电压为220 V,则通过变阻器的电流I(A)与它的电阻R(Ω)之间的函数关系的图象大致为下
图中的 ( )
4.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=5 m3时,它的密度ρ=1.98 kg/m3,则ρ关于V的函数的图象(如下图)大
致是( )【能力提升】
5.(2014·云南中考)将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程s(单位:km)与平均耗油量a(单位:L/km)之间是反比
k
例函数关系,关系式为s= (k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1 L的速
a
度行驶,可行驶700 km.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式);
(2)当平均耗油量为每千米0.08 L时,该轿车可以行驶多少千米?
6.我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下
生长最快的新品种.下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图
k
象,其中BC段是双曲线y= 的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
x
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时?
(2)求k的值;
(3)当x=16时,大棚内的温度约为多少摄氏度?
【拓展探究】
7.制作一种产品,需先将材料加热达到60 ℃后,再进行操作,设该材料温度为y(℃),从加热开始计算的时间为
x(min),据了解,设该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比
例函数关系(如图所示),已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃,加热5 min后,温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x之间的函数关系式;
(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15 ℃时必须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间?
【答案与解析】1.C
2.B
3.D
m
4.C(解析:由物理知识可知,质量m,体积V,密度ρ之间的关系为ρ= ,先求出m,确定出ρ关于V的函数关系式,
V
m
再求出V的变化范围,就可确定其函数图象.把V=5 m3,ρ=1.98 kg/m3,代入ρ= ,得m=1.98×5=9.9(kg).∴ρ与V
V
9.9
的函数关系式是ρ= .∵V的取值范围是V>0,故选C).
V
k 70
5.解:(1)由题意得a=0.1时,s=700,代入反比例函数关系式s= 中,得k=sa=70,所以函数关系式为s= . (2)将
a a
70 70 70
=
a=0.08代入s= 得s= =875(km),故该轿车可以行驶875 km.
a a 0.08
6.解析:(1)根据图象直接得出大棚内温度为18 ℃的时间为12-2=10(小时).(2)利用待定系数法求反比例函数
解析式即可;(3)将x=16代入函数解析式求出y的值即可.解:(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时
k k 216
间为10小时. (2)∵点B(12,18)在双曲线y= 上,∴18= ,∴k=216. (3)当x=16时,y= =13.5,∴当x=16时,
x 12 16
大棚内的温度为13.5 ℃.
7.解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b.因为还没开始加热时,温度为15 ℃.即x为0 min时y为15 ℃,所以
{ b=15, {k=9,
y=kx+b经过点(0,15),又由图象知一次函数的图象过点(5,60),所以 解得 所以材料加
5k+b=60, b=15,
m m
热时,y与x之间的函数关系式为y=9x+15(0<x<5).停止加热时,设y= ,由于其图象过点(5,60),所以60= ,即
x 5
300 300
m= 300.所以停止加热进行操作时,y与x之间的函数关系式为y= (x≥5). (2)把y=15代入y= 中,得
x x
x=20.所以从开始加热到停止操作,共经历了20 min.
本节课的重点是探讨反比例函数在生活中的应用.本节课所选取的例题和习题多是与具体的生活情境
相联系的,这就增加了学生学习反比例函数的兴趣.从反比例函数应用的角度看,由于情境贴近学生的生活,例
题和习题的难度不大,有利于学生开展更深层次的探索活动.
通过反比例函数解决生活中的问题是通过建立数学模型实现的,函数的数学模型和实际生活的意义是
不完全相同的,这是在本课时的教学活动中没有注意强调的地方.函数的形式是多种多样的,不同的函数有着
不同的特点,本课时也忽略了反比例函数和其他函数的内在联系,应该从函数的角度把握反比例函数和其他
函数之间的内在联系.
本课时的问题2在教学的过程中注重了函数知识的综合运用,有些脱节在实际生活中的运用.今后的教
学设计中,更换更贴近学生生活的事例,让学生真正体验到反比例函数就在生活的周围,同时鼓励学生自主发
现和解决生活中的反比例函数问题.
随堂练习(教材第159页)48
解:(1)8×6=48(m3),即蓄水池的容积为48 m3. (2)将满池水排空所需时间将减少. (3)t= . (4)当t=5时,5=
Q
48 48
,解得Q=9.6,即每小时的排水量至少为9.6 m3. (5)当Q=12时,t= =4,即最少4 h可将满池水排空.
Q 12
习题6.4(教材第159页)
k k k 6
1.解:设反比例函数的表达式为y= (k≠0).把点A的坐标(2,3)代入y= ,得3= ,∴k=6,∴y= .把点B的坐标(-
x x 2 x
6 6 ( 2)
❑√2,3❑√2)代入y= ,等式不成立;把点C的坐标(2❑√3,-❑√3)代入y= ,等式不成立;把点D的坐标 9, 代
x x 3
6
入y= ,等式成立.∴B,C两点不在该函数的图象上,点D在该函数的图象上.
x
k k k
2.解:(1)由图象知p与V成反比例关系,∴设p= (k≠0).把点A的坐标(0.8,120)代入p= ,得120= ,解得
V V 0.8
96 96 96 96
k=96.∴p= . (2)把V=1代入p= ,得p= =96,即此时的气压是96 kPa. (3)把p=140代入p= ,得V=
V V 1 V
96 24 24
= .∴为了安全起见,气体的体积应不小于 m3.
140 35 35
k k
2 2
3.解:(1) 把(1,3)代入y=kx,有3=k,所以正比例函数表达式为y=3x.把(1,3)代入y= ,有3= ,所以k=3,所以
1 1 2
x 1
{y=3x,
3
反比例函数的表达式为y= .解 3 得另一个交点的坐标为(-1,-3). (2)列表:
x y=
x
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
y=3x … -9 -6 -3 3 6 9 …
3
y= … -1 -1.5 -3 3 1.5 1 …
x
描点,连线,函数图象如图所示.由图象可知,当x<-1或0<x<1时,反比例函数值大于正比例函数值.
复习题(教材第161页)1.-69 二、四[解析:k=23×(-3)=-69;因为-69<0,所以该函数的图象位于第二、四象限.]
2.解:不在该反比例函数的图象上.因为2×23≠32×3.
3.m<-1[解析:由题意得m+1<0, 解得m<-1.]
k
4.-4❑√2-2[解析:把(-2,❑√2)代入y= ,得k=(-2)×❑√2=-2❑√2,∴一次函数的表达式为y=(-2❑√2-1)x.当x=2时,y=-4
x
❑√2-2.∴直线一定经过点(2,-4❑√2-2).]
5.-1 -1<y<0 x≤-2或x>0
6.D[解析:A中由反比例函数图象位于第一、三象限内,得a>0,由直线与y轴正半轴相交,得-a>0,即a<0,故排
除A;B中由反比例函数图象位于第一、三象限内,得a>0,又因为直线经过第一、二、四象限,所以a<0,故排
除B;C中由反比例函数图象位于第二、四象限内,得a<0,又因为直线经过第一、三、四象限,所以a>0,故排
除C;D中由反比例函数图象位于第二、四象限内,得a<0,又因为直线经过第一、二、四象限,且直线与y轴
正半轴相交,所以a<0,故两个函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是D.]
7.提示:当k>0时,y>y>y;当k<0时,y>y>y.
3 1 2 2 1 3
{ y=a, {a=3,
8.解:设横坐标是1的交点的坐标为(1,y),把(1,y)代入两个函数表达式,得 解得 ∴横坐标
y=6-a, y=3.
为1的交点的坐标为(1,3).∵两个交点关于原点对称,∴另一个交点的坐标为(-1,-3).
9.<[解析:当k,k 异号时,两个函数的图象没有公共点,即kk<0.]
1 2 1 2
1 1 1
10.C B D A[解析:函数|y|= 中x的值为正数,所以|y|= 对应的图象是C;函数y= 中的y值为正数,
x x |x|
1 1 1 1
所以y= 对应的图象是B;函数y=- 中的y值为负数,所以y=- 对应的图象是D;函数|y|=
|x| |x| |x| |x|
1
中的x值可以是正数也可以是负数,y的值可以是正数也可以是负数,所以|y|= 对应的图象是A.]
|x|
-2 -2 -2
11.解:(1)∵直线y=kx+b与双曲线y= 相交于点A(-1,m),B(n,-1),∴m= =2,n= =2,即直线过点
x -1 -1
{2=-k+b, {k=-1,
A(-1,2),B(2,-1).将A,B两点的坐标分别代入y=kx+b,可得方程组 解得 ∴一次函数的
-1=2k+b, b=1.
表达式为y=-x+1. (2)画函数图象如图所示.当一次函数值大于反比例函数值时,有x<-1或0<x<2.k
如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于点
x
❑√2
A(m,1),B(-1,n),与x轴相交于点C(2,0),且AC= OC.
2
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
k
(2)直接写出不等式ax+b≥ 的解集.
x
❑√2
〔解析〕 (1)过点A作AD垂直于x轴,如图所示,由点C的坐标求出OC的长,根据AC= OC求出
2
AC的长,由点A的纵坐标为1,得到AD=1,
利用勾股定理求出CD的长,由OD=OC+CD求出OD的长,确定出m的值,将点A与点C的坐标代入一
次函数解析式求出a与b的值,即可得出一次函数解析式;将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值,
即可确定出反比例函数解析式;(2)将点B坐标代入反比例函数解析式中求出n的值,确定出B点坐标,利用图
象即可得出所求不等式的解集.
⊥
解:(1)过点A作AD x轴,可得AD=1,
∵C(2,0),即OC=2,
❑√2
∴AC= OC=❑√2,
2
在RtΔACD中,根据勾股定理,得CD=1,
∴OD=OC+CD=2+1=3,
∴A(3,1),
{3a+b=1,
将A与C的坐标代入一次函数解析式得
2a+b=0,
解得a=1,b=-2.
∴一次函数解析式为y=x-2.
将A(3,1)代入反比例函数解析式得k=3,
3
∴反比例函数解析式为y= .
x
(2)将B(-1,n)代入反比例函数解析式得n=-3,即B(-1,-3),
k
根据图象得不等式ax+b≥ 的解集为-1≤x<0或 x≥3.
x[解题策略] 对于反比例函数与一次函数结合题,一般可通过已知点在反比例函数图象上而确定反比例
函数解析式,再由反比例函数解析式确定另一个点的坐标,而两个交点即可确定一次函数解析式.求解不等式
的解集,实质是已知两函数值大小判断自变量的取值范围,只需以交点为界限,观察其左、右域两函数图象上、
k
下位置关系,从而写出自变量的取值范围.对于求三角形面积问题,实质是利用反比例函数y= (k≠0)中k的几
x
何意义来求.
1.理解反比例函数的意义,能根据具体情况求出反比例函数关系式.
2.掌握反比例函数的图象和性质,能根据反比例函数的图象和性质解题.
1.进一步提高学生解决实际问题的能力,掌握解题的方法和思路.
2.通过实例情景提高分析、判断问题的能力.
在实际问题的探索过程中,培养学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.
【重点】 反比例函数的图象和性质.
【难点】 正确运用反比例函数的图象和性质解题.k
定义:一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y= (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数
{ x
k
{一般式:y= (k为常数,k≠0)
x
表达式
{y=kx-1(k为常数,k≠0)
变形式
xy=k(k为常数,k≠0)
反比例函数的图象(双曲线)的画法:(1)列表;
(2)描点;(3)连线
{当k>0时,函数的图象在第一、三象限内,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是说,在每个象限内,y随x的增大而减小
性质
当k<0时,函数的图象在第二、四象限内,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是说,在每个象限内,y随x的增大而增大
建立反比例函数模型
利用反比例函 {
利用反比例函数的图象与性质进行解答
数解决实际问题
实际问题的答案与数学问题答案间的区别与联系
专题一 数形结合思想在本章的具体应用
【专题分析】
反比例函数这一章很多题目都需要用数形结合思想来解决.比如反比例函数图象与三角形、矩形面积
相结合;由图象确定函数解析式或由解析式判定函数图象;实际问题与图象相结合,考查自变量的取值范围;与
一次函数相结合的交点问题,与三角形、矩形、菱形等几何图形联系求函数解析式,等等.可以说数形结合思
想贯穿于本章的始终,起着举足轻重的作用.
k
⊥
如图所示,点A,B在反比例函数y= (k≠0)的图象上,且点A,B的横坐标分别为a,2a(a>0),AC x轴,
x
垂足为点C,且ΔAOC的面积为2.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若点(-a,y),(-2a,y)在该反比例函数的图象上,试比较y 与y 的大小;
1 2 1 2
(3)求ΔAOB的面积.
k
〔解析〕 (1)利用S 可求得y= 的k值,从而确定其解析式. (2)代入后用作差法求解. (3)采用割补
ΔAOC x
转移的办法完成.
解:(1)设A点坐标为(x,y),
1
则S = xy,xy=2×2=4.
ΔAOC 2k
∵点A(x,y)在反比例函数y= 的图象上,
x
∴k=xy=4.
4
∴反比例函数解析式为y= .
x
4 2
(2)∵y=- ,y=- ,
1 a 2 a
4 2 2
+
∴y-y=- =- .
1 2 a a a
∵a>0,∴y-y<0,即y<y.
1 2 1 2
⊥
(3)过B点作BD x轴,垂足为D,
设AC交OB于E点.
∵S =S =2,
ΔAOC ΔBOD
∴S -S =S -S ,
ΔAOC ΔOCE ΔBOD ΔOCE
即S =S ,
ΔAOE 四边形ECDB
∴S =S .
ΔAOB 梯形ACDB
∵A,B的横坐标分别为a,2a,
4 2
∴y = ,y = .
A a B a
( 4)
∴A点的坐标为
a,
,
a
( 2)
B点的坐标为
2a,
.
a
1
∴S =S = (BD+AC)×CD
ΔAOB 梯形ACDB 2
1(2 4)
+
= ×(2a-a)=3.
2 a a
n+1
【针对训练1】 如图所示,直线:y=kx+k (k≠0)与双曲线y= 交于C,D两点,直线与x轴交于点A.
x
(1)求n的取值范围和点A的坐标;
⊥
(2)过点C作CB y轴,垂足为B,若S =4,求双曲线的解析式;
ΔABC(3)在(1)(2)的条件下,若AB=❑√17,求点C和点D的坐标,并根据图象直接写出反比例函数的值小于一次
函数的值时,自变量x的取值范围.
解:(1)由图象得n+1<0,解得n<-1,
由y=kx+k,令y=0,解得x=-1,
则点A的坐标为(-1,0).
(2)设C(a,b),
1
∵S = a·(-b)=4,
ΔABC 2
∴ab=-8 ,
∵点C在双曲线上,
8
∴y=- .
x
⊥
(3)∵CB y轴,∴B(0,b),
在RtΔAOB中,AB=❑√17,OA=1,根据勾股定理得OB=4,
∴B(0,-4),∴C(2,-4),
4
将C点的坐标代入直线y=kx+k中,得2k+k=-4,即k=- ,
3
4 4
∴直线AC的解析式为y=- x- ,
3 3
4 4
{y=- x- ,
3 3
联立一次函数与反比例函数的解析式得
8
y=- ,
x
{x=-3,
{ x=2,
解得 8 或
y= , y=-4,
3
由图象可得:当x<-3或0<x<2时,反比例函数的值小于一次函数的值.
[规律方法] 两个函数的图象相交,说明交点处的横坐标和纵坐标既适合于第一个函数,又适合于第二个
函数,所以根据题意可以将函数问题转化为方程(组)问题,从而求出交点坐标.数形结合思想的灵活运用,即根
据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧
妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决.
专题二 开放探究性问题
【专题分析】
反比例函数中的开放探究性问题一般有两类:一类是条件开放题,题目条件给出不足,需要补充合适的条
件使结论成立;结论给出多个,要求从中选出合适的条件证明合适的结论.另一类是结论开放题,题目没有给出
明确的结论,要求根据条件给出合适的结论并证明它.
k
已知反比例函数y= (k≠0)和一次函数y=2x-1,其中一次函数图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点.
2x
(1)求反比例函数的表达式;(2)如图,已知点A在第一象限内,且同时在上述两函数的图象上,求点A的坐标;
(3)利用(2)的结果,在x轴上是否存在点P,使ΔAOP为等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明
理由.
〔解析〕 (1)代入点形成方程组可求得k;(2)联立方程组可求得交点坐标;(3)按一定顺序探索存在性.
{ b=2a-1,
解:(1)依据题意,得
b+k=2(a+1)-1,
∴k=2,
2 1
=
∴反比例函数表达式为y= .
2x x
{y=2x-1,
(2)根据题意得 1
y= ,
x
{ 1
{x =1, x =- ,
解得 1 2 2
y =1,
1 y =-2.
2
∵A在第一象限内,
∴A(1,1).
⊥
(3)存在.过A作AB x轴,垂足为B,
∵A(1,1),∴AB=BO=1.
∴OA=❑√12+12=❑√2,OA与两坐标轴所夹的锐角为45°.
①当∠POA是等腰三角形的顶角时,OA=OP得P(❑√2,0),P(-❑√2,0).
1 2
②当∠OAP是等腰三角形的顶角时,AO=AP.
⊥
∵AB OP,∴OP=2OB=2.
∴P(2,0).
3
③当∠APO是等腰三角形的顶角时,PO=PA,此时P点和B点重合,得P (1,0).
4
∴这样的点有4个,坐标分别是(❑√2,0),(-❑√2,0),(2,0),(1,0).
1 k
【针对训练2】 正比例函数y= x的图象与反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A
2 x
作x轴的垂线,垂足为M,已知ΔOAM的面积为1.
(1)求反比例函数解析式;
(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点横坐标为1,在x轴上求一点
P,使PA+PB最小.
解:(1)设点A的坐标为(a,b),
k
则b= ,ab=k.
a1
∵ ab=1,
2
1
∴ k=1.∴k=2.
2
2
∴反比例函数解析式为y= .
x
2
{ y= ,
x {x=2, {x=-2,
(2)由 得 或
1 y=1, y=-1.
y= x,
2
∴A点坐标为(2,1).
设A点关于x轴的对称点为C,则C点的坐标为(2,-1).
令直线BC的解析式为y=mx+n.
{ 2=m+n,
∵B(1,2),∴
-1=2m+n,
{m=-3,
∴
n=5.
∴直线BC的解析式为y=-3x+5.
5
当y=0时,x= .
3
(5 )
∴P点的坐标为
,0
.
3
[方法归纳] (1)只需求得双曲线上一点横、纵坐标的乘积即是k值.
(2)组成方程组,确定解析式.
专题三 反比例函数的应用
【专题分析】
对函数知识的应用不仅体现在学科内的应用题中,同时也体现在学科间的应用题中,利用数学知识解决
问题是近几年中考的热点问题之一.
某地计划用120~180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量
为360万米3.
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:万米3)之间的函数关系式,
并给出自变量x的取值范围;
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3,工期比原计划减少了24天,原
计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?
360
解:(1)由题意得y= ,
x
360
把y=120代入y= ,得x=3.
x
360
把y=180代人y= ,得x=2,
x
∴自变量的取值范围为2≤x≤3,
360
∴y= (2≤x≤3).
x
(2)设原计划平均每天运送土石方x万米3,则实际平均每天运送土石方(x+0.5)万米3,
360 360
根据题意得 - =24,
x x+0.5解得x=2.5或x=-3.
经检验x= 2.5或x=-3均为原方程的根,但x=-3不符合题意,故舍去.
答:原计划每天运送2.5万米3,实际每天运送3万米3.
[解题策略] 现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量
之间的函数关系,然后利用待定系数法求出其关系式.
【针对训练3】
某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.右图表示的是该电路中电流I与电阻R
之间的函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ( )
6 6
A.I= (R>0) B. I=- (R>0)
R R
3 2
C. I= (R>0) D. I= (R>0)
R R
U
〔解析〕 由题意知,电流I与电阻R成反比例关系,设I= ,由于点(3,2)在反比例函数的图象上,所以2=
R
U 6
,所以U=6,所以函数表达式为I= (R>0).故选A.
3 R
[规律方法] 运用反比例函数知识解决实际问题要注意以下步骤:
(1)弄清题意,确定变量之间的相互关系.如:路程=速度×时间,压力=压强×受力面积等.
(2)建立函数关系式,并确定自变量的取值范围.若要画函数图象,则必须是在实际问题中自变量允许的范
围内的图象.
(3)结合不等式、方程(组)等知识和反比例函数的图象与性质解决题目给出的问题.
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(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
k
1.(2014·扬州中考)若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点P(-2,3),则该函数的图象不经过的点是 ( )
x
A.(3,-2) B.(1,-6)
C.(-1,6) D.(-1,-6)
3
2.对于反比例函数y= ,下列说法正确的是( )
x
A.图象经过点(1,-3)
B.图象在第二、四象限
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.x<0时,y随x的增大而减小
3.为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池,池的底面积S(m2)与其深
度h(m)满足关系式:V=Sh(V≠0),则S关于h的函数图象大致是 ( )m+2
4.若函数y= 的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则m的取值范围是(
x
)
A.m<-2 B.m<0
C.m>-2 D.m>0
k
5.(2014·乐山中考)反比例函数y= 与一次函数y=kx-k+2在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
x
6.两位同学在描述同一反比例函数的图象时,甲同学说:“这个反比例函数的图象上任意一点到两坐标轴的
距离的积都是3.”乙同学说:“这个反比例函数的图象与直线y=x有两个交点.”你认为这两位同学所描述
的反比例函数的解析式是( )
3 3
A.y= B. y=-
x x
❑√3 ❑√3
C.y=- D.y=
x xa
7.已知反比例函数y= (a≠0)的图象在其所在的每一象限内,y的值随x值的增大而减小,则一次函数y=-ax+a
x
的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四k象限 k
1 1
8.如图,反比例函数y= 和正比例函数y=kx的图象交于A(-1,-3),B(1,3)两点,若 >kx,x的取值范围是 (
1 2 2 2
x x
)
A.-1<x<0
B.x<-1或0<x<1
C.-1<x<1
D.-1<x<0或x>1 m
9.如图,双曲线y= (a≠0m)与直线y=kx+b交于点M, N,并且点M的坐标为(1,3),点N的纵坐标为-1.根据图象
x
信息可得关于x的方程 =kx+b的解为 ( )
x
A.-3,1 B.-3,3
C.-1,1 D.-1,3
1
k
02.如+2 图
k
,矩+形
1
ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数y=
的图象上.若点A的坐标为(-2,-2),则k的值为 ( )
x
A. 1 B.-3
C.4 D. 1或-3
二、填空题(每小题4分,共24分)
100
11.已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)满足的关系式为y= ,则当近视眼镜的度数为200度时,镜
x
片焦距为 m.k
12.已知正比例函数y=-2x与反比例函数y= 的图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐标为
x
.
k
13.已知正比例函数y=-4x与反比例函数y= 的图象交于A,B两点,若点A的坐标为(x,4),则点B的坐标为
x
.
2 1 1
14.设函数y= 与y=x-1的图象的交点坐标为(a,b),则 - 的值为 .
x a b
4
15.如图,ΔPOA,ΔPAA 是等腰直角三角形,点P,P 在函数y= (x>0)的图象上,斜边OA,AA 都在x轴上,则
1 1 2 1 2 1 2 x 1 1 2
点A 的坐标是 .
2
k
16.如图,▱ABCD的顶点A,B的坐标分别是(-1,0),(0,-2),顶点C,D在双曲线y= 上,边AD交y轴于点E,且四边
x
形BCDE的面积是ΔABE的面积的5倍,则k= .
三、解答题(共66分) k
17.(7分)如图,一次函数y=x+b的图象经过点B(-1,0),且与反比例函数y= (k为不等于0的常数)的图象在第
x
一象限交于点A(1,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)当1≤x≤6时,求反比例函数的函数值y的取值范围.
k
18.(7分)反比例函数y= 的图象上有一点P,它的坐标是(m,n),如果m,n是方程t2-4t-2=0的两个根.
x
(1)求k的值;n m
+
(2)求 的值.
m n
19.(8分)某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时,本年度计划将电价调至0.55~0.75元之间,经测算,
若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0. 4)亿元成反比例.又当x=0.65时,y=0. 8.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,电价调至0.6元,请你预k算一下本年度电力部门的纯收入是多少.
20.(8分)如图,点A(m,m+1),B(m+3, m-1)都在反比例函数y= (k≠0)的图象上.
x
(1)求m,k的值;
(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数
表达式. k
21. (9分)一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系:t= ,其图象为如图所
v
示的一段曲线且端点为A(40,1)和B(m,0.5).
(1)求k和m的值;
(2)若行驶速度不得超过60 km/h,则汽车通过该路段最少需要多长时间?
22.(9分)病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后2 h,每毫升血液中的含药量达到最大值为4 mg,已知
服药后,2 h前每毫升血液中的含药量y(mg)与时间x(h)成正比例,2 h后y与x成反比例(如图所示).根据以上
信息解答下列问题.
(1)求当0≤x≤2时,y与x的函数关系式;
(2)求当x>2时,y与x的函数关系式;
(3)若每毫升血液中的含药量不低于2 mg时治疗有效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?
k
23.(9分)(2014·兰州中考)如图,直线y=mx与双曲线y= 相交于A,B两点,A点的坐标为(1,2).
x(1)求反比例函数的表达式;
k
(2)根据图象直接写出当mx> 时,x的取值范围;
x
(3)计算线段AB的长.
m
24.(9分)如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y= (x>0)交于点B(2,1).过点P(p, p-1)(p>1)作x轴的平行线
x
m m
分别交双曲线y= (x>0)和y=- (x<0)于点M, N.
x x
(1)求m的值和直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证ΔPMB∽ΔPNA.
【答案与解析】
1.D
2.D
V
3.C(解析:∵V=Sh(V为不等于0的常数),∴S= (h≠0),S是h的反比例函数.依据反比例函数的图象和性质可知,
h
图象为反比例函数在第一象限内的部分.)
m+2
4.A(解析:∵函数y= 的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,∴m+2<0,解得
x
m<-2.)
5.D(解析:A,反比例函数图象经过第一、三象限,则k>0,所以一次函数图象经过第一、三象限,与图象不符,故
本选项错误;B,反比例函数图象经过第二、四象限,则k<0,-k+2>0,所以一次函数图象经过第一、二、四象限,
与图象不符,故本选项错误;C,反比例函数图象经过第二、四象限,则k<0,-k+2>0,所以一次函数图象经过第一、
二、四象限,与图象不符,故本选项错误;D,反比例函数图象经过第一、三象限,则k>0,所以一次函数图象必定
经过第一、三象限,与图象一致,故本选项正确.)
k
6.A(解析:设反比例函数的解析式为y= ,根据甲同学说的可知k=±3,根据乙同学说的可知k>0,综合可得k=3,
x
3
所以反比例函数的解析式为y= .故选A.)
x
7.Ck
1
8.B(解析:根据题意知若 >kx,则只需y>y,又知反比例函数的图象和正比例函数的图象相交于A,B两点,从
2 1 2
x
图象上可以看出当x<-1或0<x<1时,y>y.故选B.)
1 2
3
9.A(解析:∵点M(1,3)在反比例函数的图象上,∴m=1×3=3,∴反比例函数的解析式为y= ,∵N也在反比例函数
x
m
图象上,点N的纵坐标为-1,∴点N的坐标为(-3,-1),∴关于x的方程 =kx+b的解为-3,1.故选A.)
x
10.D(解析:设点C的坐标为(x,y),∵四边形ABCD是矩形,点A的坐标为(-2,-2),∴B(-2,y),D(x,-2).∵矩形ABCD的
y -2 k2+2k+1
=
对角线BD经过坐标原点, ,即xy=4①.又∵点C在反比例函数y= 的图象上,
-2 x x
∴xy=k2+2k+1②,由①②得k2+2k-3=0,即(k-1)(k+3)=0,∴k=1或k=-3.故选D.)
100
11.0.5 (解析:令y=200,即200= ,解得x=0.5,故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m.)
x
12.(1,-2)(解析:反比例函数的图象是中心对称图形,则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.根据
中心对称的性质可知另一个交点的坐标是(1,-2).)
k
13.(1,-4)(解析:∵正比例函数y=-4x与反比例函数y= 的图象交于A,B两点,点A的坐标为(x,4),∴4=-4x,解得
x
-4 -4
x=-1,∴xy=k=-4,∴反比例函数的解析式为y= ,则由 =-4x,解得x=1,x=-1,当x=1时,y=-4,∴点B的坐标为
x x 1 2
(1,-4).)
1 2 2 1 1 b-a 1
=
14.- (解析:∵y= 与y=x-1的图象的交点坐标为(a,b),∴b= ,b=a-1,∴b-a=-1,ab=2,∴ - =- .)
2 x a a b ab 2
15.(4
❑√2
,0)(解析:如图,作PB
⊥
y轴于B,PA
⊥
x轴于A,PD
⊥
x轴于D.又因为ΔPOA,ΔPAA 是等腰直角
1 1 2 1 1 2 1 2
三角形,所以AP=BP,AD=DA=DP,则OA·OB=4,所以OA=OB=AA =2,OA= 4,设AD=x,由题意得(4+x)x=4,
1 1 1 2 2 1 1 1
解得x=-2+2❑√2或x=-2-2❑√2(舍去),则OA=4+2x=4-4+4❑√2=4❑√2,故A 的坐标是(4❑√2,0).
2 2
⊥
16.12(解析:如图,过C,D两点作x轴的垂线,垂足分别为F,G,DG交BC于点M,过C点作CH DG,垂足为H.
由题意得CD∥AB,CD=AB,∠ABO=∠CDH,∠AOB=∠CHD,∴ΔCDH≌ΔABO,同理,
ΔCMH≌ΔAEO,∴CH=AO=1,DH=OB=2,设C(m+1,n),D(m,n+2),则(m+1)n=m(n+2)=k,得n=2m.设直线AD的解析
{-a+b=0, {a=2,
式为y=ax+b,将A,D两点坐标代入得 解得 ∴直线AD的解析式为y=2x+2,E点
ma+b=2m+2, b=2,
1
坐标为(0,2),BE=4,∴S = ×BE×AO=2,∴S =2,∵S =5S ,S +S =10,即2+4×m=10,解得
ΔABE 2 ΔCDM 四边形BCDE ΔABE 四边形BEDM ΔCDM
m=2,∴n=2m=4,∴k=(m+1)n=3×4=12.)17.解析:(1)根据题意,首先把点B(-1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数
y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入法求出反比例函数的解析式.(2)分别
求出当x=1,x= 6时的y值,即可得到答案.解:(1)把点B(-1,0)代入一次函数y=x+b得0=-1+b,∴b=1,∴一次函数的
k
解析式为y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+1的图象上,∴n=1+1=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数y= 的
x
2 2
图象经过点A(1,2),∴k=1×2=2,∴反比例函数的解析式是y= . (2)反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而
x x
1 1
减小,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数的函数值y的取值范围是 ≤y≤2.
3 3
18.解析:(1)根据反比例函数图象上点的坐标特点,可得mn=k,又由一元二次方程中根与系数的关系,可得
mn=-2,进而可得k的值;(2)根据题意,m,n是方程t2-4t-2=0的两个根,结合根与系数的关系,可得m+n=4,mn=-2,
n m m2+n2 (m+n)2-2mn k
又由 + = = ,代入数据可得答案.解:(1)反比例函数y= 的图象上有一点P,
m n mn mn x
它的坐标是(m,n),则有mn=k,又由m,n是方程t2-4t-2=0的两个根,根据根与系数的关系可得mn=-2,故k=-2.
(2)根据题意知m,n是方程t2-4t-2=0的两个根,则m+n=4,mn=-2,
n m m2+n2 (m+n)2-2mn 16-(-4)
+ = = = =-10.
m n mn mn -2
19.解析:(1)由题目提供的信息知y与(x-0.4)之间是反比例关系,把(x-0.4)看成一个变量,于是可设出关系式,再
由题目的条件x=0.65时,y=0.8得出字母系数的值;(2)纯收入=总收入-总成本.解:(1)∵y与(x-0.4)成反比例,∴设
k k k 0.2
y= (k≠0),把x=0.65,y=0.8代入y= ,得 =0.8,解得k=0.2,∴y= ,即y=
x-0.4 x-0.4 0.65-0.4 x-0.4
1 1
,∴y与x之间的函数关系式为y= (0.55≤x≤0.75,且x≠0.4). (2)根据题意得本年度电力部门的
5x-2 5x-2
( 1 ) ( 1 )
纯收入为(0.6-0.3)(1+y)=0.3
1+
=0.3
1+
=0.3×2=0.6.答:本年度电力部门的纯收入
5x-2 0.6×5-2
为0.6亿元.
20.解:(1)由题意可知m(m+1)=(m+3)(m-1),解得m=3.∴A(3,4),B(6,2),∴k=4×3=12. (2)存在两种情况,如图:①当M
点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴上时,设M 点坐标为(x,0),N 点坐标为(0,y).∵四边形ANMB为平
1 1 1 1 1 1
行四边形,∴线段NM 可看做由线段AB先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的(也可看
1 1
做先向下平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度得到的).由(1)知A点的坐标为(3,4),B点的坐标为
(6,2),∴N 点的坐标为(0,4-2),即N(0,2);M 点的坐标为(6-3,0),即M(3,0).设直线MN 的函数表达式为y=kx+2,
1 1 1 1 1 1 1
2 2
把x=3,y=0代入,解得k
1
=-
3
,∴直线M
1
N
1
的函数表达式为y=-
3
x+2.②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴
的负半轴上时,设M 点的坐标为(x,0),N 点的坐标为
2 2 2(0,y).∵AB∥NM,AB∥MN,AB=NM,AB=MN,∴NM∥MN,NM=MN,∴线段MN 与线段NM 关于原点O
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1
成中心对称.∴M 点的坐标为(-3,0),N 点的坐标为(0,-2).设直线MN 的函数表达式为y=kx-2,把x=-3,y=0代入,
2 2 2 2 2
2 2 2 2
解得k=- ,∴直线MN 的函数表达式为y=- x-2.∴直线MN的函数表达式为y=- x+2或y=- x-2.
2 3 2 2 3 3 3
k k 40 40
21.解:(1)将(40,1)代入t= ,得1= ,解得k=40.所以函数解析式为t= .当t=0.5时,0.5= ,解得m=80.所以
v 40 v m
40 2 2
=
k=40,m=80. (2)令v=60,得t= .结合函数的图象可知,汽车通过该路段最少需要 h.
60 3 3
22.解:(1)根据图象知正比例函数图象经过点(2,4),设正比例函数关系式为y=kx,则2k=4,解得k=2,所以正比例
k k
函数关系式为y=2x(0≤x≤2). (2)根据图象知反比例函数图象经过点(2,4),设反比例函数关系式为y= ,则
x 2
8 8
=4,解得k=8,所以反比例函数关系式为y= (x>2). (3)当y=2时,由2x=2,解得x=1,由 =2,解得x=4,4-1=3(h),∴
x x
服药一次,治疗疾病的有效时间是3 h.
k 2
23.解:(1)把A(1,2)代入y= 得k=2,即反比例函数的表达式是y= . (2)把A(1,2)代入y=mx得m=2,即直线的
x x
{ 2
y= ,
解析式是y=2x,解方程组 x 得出B点的坐标是(-1,-2),
y=2x,
k
⊥
∴当mx> 时,x的取值范围是-1<x<0或x>1. (3)过A作AC x轴于C,∵A(1,2),∴AC=2,OC=1,由勾股定理得
x
AO=❑√22+12=❑√5,同理求出OB=❑√5,∴AB=2❑√5.m
24.解析:(1)把点B(2,1)代入y= 即可得m的值,用待定系数法求解二元一次方程组可得直线l的解析式.
x
(2)P(p,p-1)在直线y=2上,实际上表示点P是直线y=2和l的交点,这样要证明ΔPMB∽ΔPNA,只要证出对应线
m m
段成比例即可.解:(1)由点B(2,1)在双曲线y= 上,有1= ,得m=2.设直线l的解析式为y=kx+b,由点A(1,0),点
x 2
{k+b=0,
B(2,1)在直线y=kx+b上,得 解得k=1,b=-1.∴所求直线l的解析式为y=x-1. (2)如图,连接
2k+b=1,
MB,NA,点P(p,p-1)在直线y=2上,且P在直线l上,∴P是直线y=2和l的交点,如图.根据题意得各点坐标为
N(-1,2),M(1,2),P(3,2).∴NP=3-(-1)=4,MP=3-1=2,AP=❑√22+22=❑√8=2❑√2,BP=❑√12+12=❑√2.∴在ΔPMB和
NP AP
=
ΔPNA中,∠MPB=∠NPA, =2.∴ΔPMB∽ΔPNA.
MP BP
综合与实践 制作视力表
1.探索视力表的奥秘.
2.通过度量“E”的长、宽及空白缺口宽,培养大家的动手能力.
对所测量的数据进行探索它们之间的关系,训练学生的探索能力.
通过探索视力表中的奥秘,让学生感受到数学活动充满着探索与创造,同时让学生认识数学与人类生活
的密切联系及对人类历史发展的作用.
【重点】 探索视力表中蕴含的数学知识.
【难点】 从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型,综合已有的知识解决问题.
【教师准备】 视力表一张;三角板一个;用硬纸板复制视力表中为0.1,0.2,0.3,0.5,1.0所对应的“E”;投
影图片五张(教材图1~5).
【学生准备】 了解视力表的相关知识.导入一:
【师】 知道自己的视力情况的同学请举手,那么你是通过什么方式知道的?
【生】 我是通过视力表知道的,我是配眼镜时通过电脑验光知道的.
【师】 看来平常的视力表却蕴含着许多数学知识,今天就以“标准对数视力表”为例,一起来探索视
力表的奥秘.
[设计意图] 教师简明的语言,创设一个学生熟知而又与自身息息相关的问题情境,激发学生的好奇心和
探索问题的兴趣,自然地揭示本节课所要探究的问题.
导入二:
1.课前展示:(让学生课前查找视力表,研究蕴含在视力表中的知识)
2.预习汇报:
现在我们查视力时用的视力表,通常是哪一种呢?视力表对我们来说并不陌生,但你想过吗?视力表中蕴
含着一定数学知识,你知道是什么知识吗?
学生通过课前展示,说出是由一组字母“E”组成的视力表.它是以能分辨“E”的开口朝向为依据来测
定视力的,换句话说,它的测试依据是能否看清楚“E”的两个空白缺口(如教材图1中AB,CD两个缺口).
[过渡语] 视力表中蕴含着怎样的数学道理呢?
问题1
下面我们以“标准对数视力表”为例,探索视力表中的奥秘:度量视力表中视力为
0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.0,1.2,1.5,2.0所对应的“E”的长a,b,空白缺口宽d,(如图(1)(2)所示)
请大家量视力表中的各个“E”.
教师解析:观察上表,大家讨论看这些数据之间有什么关系.从而决定视力表中的各“E”形图之间有什
么关系.
学生总结归纳:视力为0.1时,a=72 mm,b=72 mm,d=15mm,可知“E”的长和宽相等.
72 15
视力为0.2时,a=36 mm,b=36 mm,d=7.5 mm,可知“E”的长和宽相等,且 =36, =7.5.
2 2
72 15
视力为0.3时,a=24 mm,b=24 mm,d=5 mm,可知“E”的长和宽相等,且 =24, =5.
3 3
72 15
视力为0.4时,a=18 mm,b=18 mm,d=3.8 mm,可知“E”的长和宽相等,且 =18, =3.75.因为测量时
4 4
15
有误差,眼睛大致可以精确到0.1 mm,所以有 ≈3.8.
4
72 72 15
由此可以猜想,视力为0.5时,a= =14.4 mm,b= =14.4 mm,d= =3 mm.
5 5 5
72 15
视力为0.8时,a= =9 mm,b=9 mm,d= ≈1.9 mm.
8 872 15
视力为1.0时,a= =7.2 mm,b=7.2 mm,d= =1.5 mm.
10 10
72 15
视力为2.0时,a= =3.6 mm,b=3.6 mm,d= =0.75 mm.
20 20
总结:由此可知,视力表中的各“E”形图都是长与宽相等的图形,如果把视力为0.1时的“E”形图作为
基本图形,则视力为0.2,0.3,…,2.0时的“E”形图是基本图形的相似图形.
[设计意图] 引导学生先观察视力表,大胆猜想其数学特征,再通过实际测量、计算,验证自己的猜想,让
学生亲身体验从数学的角度用数学的方法研究实际问题的过程;同时,通过“视力表”这个载体,将学生已学
的全等、相似、平移、旋转等知识有机结合,沟通了相关知识之间的联系.
[过渡语] 怎样制作一张视力表呢?
问题2
用硬纸板复制视力表中视力为0.1,0.2,0.3,0.5,1.0所对应的“E”,并依次编号为①②③④⑤.取编号为
①②的两个“E”,按下图的方式把它们放置在水平桌面上.
如下图所示,将②号“E”沿水平桌面向右移动,直至从右侧点O看去,点P,P,O在一条直线上为止.这时
1 2
我们说,在D 处用①号“E”测得的视力与在D 处用②号“E”测得的视力相同.
1 2
从上图中你发现了什么?与同伴交流.
b l
1= 1
总结:根据相似三角形的判定方法,两角对应相等的两个三角形相似,得ΔPAO∽ΔPAO,即 ,即
1 1 2 2 b l
2 2
b b
1= 2
.
l l
1 2
问题3
按照上述方式,将①~⑤各个“E”排列成下图所示的样子.猜想应得出的结论,然后和同学交流,证明你的
结论正确与否.
思路解析:在D 处用①号“E”测得的视力,在D 处用②号“E”测得的视力,在D 处用③号“E”测得
1 2 3
的视力,在D 处用④号“E”测得的视力,在D 处用⑤号“E”测得的视力都相同.
4 5
问题4
制作一个测试距离为3 m的视力表.
b l
1= 1
答案:同标准视力表中的b=72 mm,l 为5 m,可计算出l=3 m时,b 的值,得 ,∴b=43.2 mm.
1 1 2 2 b l 2
2 2所以应制作一个“E”形图,使得它的长与宽都是43.2 mm.
视力表中的“E”形图的外形是正方形,所有的“E”都相似,对于大小不同的“E”,只要每个“E”的高
与测试距离的比值相等,那么用它们测得的视力就相同.
制作视力表
问题1
问题2
问题3
问题4
制作一个测试距离为6米的视力表.
本节的学习是相似多边形和位似图形的相关内容在视力表中的应用,通过实地观察和操作,对制作视力
表的原理学生有了比较清楚的认识.学生对参与制作视力表的活动也表现出较高的热情.
对学生进行分组测量“E”的大小时没有考虑到“E”太小给一部分同学的测量带来困难,一部分同学
(b)
对“用E的高与它到眼睛的水平距离之比 来刻画视力”不能理解,因而导致这部分同学在后面的学习
l
中不能说出制作视力表的方法.
度量视力表中不同视力所对应的“E”的长和空白缺口宽,可以事先发给学生测量表进行测量统计,这样
可以节省更多的课堂活动时间.
(1)视力表的类型:
视力表是用于测量视力的图表.国内使用的视力表有:国际标准视力表、对数视力表、兰氏环视力表.从
功能上分有近视力表、远视力表.视力表是根据视角的原理制成的.
(2)标准对数视力表的工作原理:
是以能否分辨出“E”的开口朝向为依据来测定视力的.换句话说,它的测试依据是能否看清楚“E”的
两个空白缺口.
(3)标准对数视力表的制作原理:
如果把视力为0.1时的“E”形图作为基本图形,则视力为0.2,0.3,…,2.0时的“E”形图都与基本图形是
相似图形.
综合与实践 猜想、证明与拓广1.让学生经历探索与证明数学结论的过程,增强问题意识和自主探索的意识,感受由特殊到一般、数形
结合的思想方法,体会证明的必要性和不同数学知识领域之间的联系,形成对数学的整体理解.
2.通过对一个开放性、研究型问题的探索,获得探索和发现的体验,运用归纳、综合和拓展,感悟处理问
题的策略和方法,发展学生的推理探索能力.
通过反思自己以及同伴解决问题的过程,使学生提出问题的能力得到提高,积极思考并与同学合作交流,
在合作交流中扩展思路,获得成功的体验和克服困难的经历,增强学习数学的信心.
通过生生之间的互动,培养学生团结协作的精神,探索学习的意识,激发学生学习的积极主动性,追求成功
的精神,增强学生自我价值感.
【重点】 探究“任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面
积的2倍”,从而获得解决问题的方法和途径.
【难点】 从特殊到一般,启发学生综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的
结论,寻求一般性的解决方法.
【教师准备】 投影图片.
【学生准备】 复习有关计算正方形、矩形的面积的知识.
问题1
任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?你
是怎样做的?你有哪些解决问题的方法?你能提出新问题吗?
[过渡语] 请大家结合自己学过的知识,认真思考问题,并谈谈你自己的想法.
【探究(1)】
举例,若给定的正方形的边长是1,则它的周长是4,面积是1,另一个正方形周长变成它的2倍,即周长变为
4×2=8,面积则变成了4,即这个正方形的面积是原来正方形面积的4倍,所以不存在另一个正方形,它的周长和
面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.
【探究(2)】
设已知给定的正方形的边长为a,则其面积为a2,周长为4a,若周长变为原来的2倍,即周长变为8a,则正方
形的边长变为2a,面积变为4a2,不符合要求;若面积变为原来的2倍,即面积变为2a2,则正方形的边长变为❑√2
a,周长变为4❑√2a,不符合要求,即无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
[过渡语] 刚才通过举特例猜想这样的正方形不存在,又从一般情况验证了这样的正方形确实不存在,已
经经历了一个数学问题的解决过程,但如果将问题拓展,正方形不具有这样的特点,我们学过的矩形是否有这
样的特点呢?
[设计意图] 从简单到复杂,从特殊到一般,启发学生利用所学知识解决问题,从而呈现探索问题的方法,
同时引导学生进行下一步的探究.
问题2
任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍?【思路一】
(1)若已知矩形的长和宽分别是2和1,则其周长和面积分别是6和2,则所求矩形的周长和面积分别是12
和4.
解法1:如果先固定矩形的周长,周长为12,设长为x,根据题意,可得x(6-x)=4,整理得x2-6x+4=0.解得x=3+
1
❑√5,x=3-❑√5.所以这样的矩形存在,且长和宽分别为3+❑√5和3-❑√5.
2
4
解法2:如果先固定矩形面积,面积为4,设长为x,根据题意,得x+ =6.解得x=3+❑√5,x=3-❑√5.所以这样
x 1 2
的矩形存在,且长和宽分别为3+❑√5和3-❑√5.
{x+ y=6, {x=3+❑√5,
解法3:设所求矩形的长和宽分别为x和y,根据题意,得方程组 解得 所以这
xy=4. y=3-❑√5,
样的矩形存在,且长和宽分别为3+❑√5和3-❑√5.
结论:如果已知矩形的长和宽分别是2和1,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面
积的2倍.
(2)如果已知矩形的长和宽分别是3和1,是否还有相同的结论?已知矩形的长和宽分别是4和1,5和
1,…,n和1呢?
用类比的方法可得出结论:如果已知矩形长和宽分别是3和1,4和1,5和1,…,n和1时,都存在另一个矩形,
它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
(3)(选取一般的矩形):已知矩形的长和宽分别是n和m时,是否还有相同的结论?
解:当已知矩形的长和宽分别是n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求的矩形周长和面
积分别为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.
整理得x2-2(m+n)x+2mn=0.
解得x=m+n+❑√m2+n2,x=m+n-❑√m2+n2.
1 2
经检验,x,x 符合题意,所以存在一个矩形,它的长为m+n+❑√m2+n2,宽为m+n-❑√m2+n2.
1 2
结论:任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
【思路二】
【探究(1)】
可以先固定所求矩形的周长.周长为12的矩形很多,它们的长和宽可以是5和1,4和2,3和3,也可以
是……其中是否有面积为4的呢?尝试着寻找.
【探究(2)】
1
可以先固定所求矩形面积.面积为4的矩形也有很多,它们的长和宽可以是1和4,2和2, 和8,……其中
2
是否有周长为12的呢?
【探究(3)】
设矩形的长为x,你可以从哪些角度找出等量关系列出方程呢?完成表格.
矩形 长 宽 周长 面积 方程 解
加倍之前 2 1 6 2
加倍之后 x 12 4
加倍之后 x 12 4
加倍之后 x 12 4
〔答案〕
矩形 长 宽 周长面积 方程 解
加倍之
2 1 6 2
前
加倍之 3±
x 6-x 12 4 x(6-x)=4
后
❑√5
加倍之
x
4
12 4 2
( x+ 4)
=12
3±
后 x x ❑√5
加倍之 2(x+y)=12
x y 12 4 3±
后 xy=4❑√5
【探究(4)】
4
从函数的角度,如果把x+y=6,xy=4看成一次函数y=6-x与反比例函数y= ,那么怎么解决问题呢?
x
〔答案〕 学生画出图象,满足“加倍”要求的(x,y)就可以看做是两个图象在第一象限的交点坐标.从
图中可以看到,这样的交点存在,即满足要求的矩形是存在的.
我们再对几种特殊情形进行验证.你能推广到更一般的情况吗?
【探究(5)】
矩形 长 宽 周长 面积 方程 根
加倍之前 3 1 8 3
加倍之后 x
加倍之前 4 1 10 4
加倍之后 x
加倍之前 5 1 12 5
加倍之后 x
加倍之前 m n 2(m+n) mn
加倍之后 x 4(m+n) 2mn
〔答案〕
矩形 长 宽 周长 面积 方程 根
加倍之
3 1 8 3
前
加倍之 4±
x 8-x 16 6 x(8-x)=6
后
❑√10
加倍之
4 1 10 4
前
加倍之 5±
x 10-x 20 8 x(10-x)=8
后
❑√17
加倍之
5 1 12 5
前
加倍之 6±
x 12-x 24 10 x(12-x)=10
后
❑√26
加倍之 2(m+n
m n mn
前 )
加倍之 2(m+n 4(m+n x[2(m+n)-x] (m+n)±
x ) 2mn
后 ) =2mn ❑√m2+n2
-x
【结论】 任意给定一个矩形,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
问题3
任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?
【探究(1)】
如果已知矩形的长和宽分别是2和1,3和1,4和1,5和1时,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是
已知矩形周长和面积的一半?解:设矩形的长为x时,在这些条件下所列出的方程均无解.
【结论】 如果矩形的长和宽分别是2和1,3和1,4和1,5和1时,都不存在另一个矩形,它的周长和面积
分别是已知矩形周长和面积的一半.
【探究(2)】
如果已知矩形的长和宽分别是6和1时,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和
面积的一半?
解:设矩形的长为x时,得出方程x(3.5-x)=3.解得x=1.5,x=2.
1 2
【结论】 如果矩形的长和宽分别为6和1时,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长
和面积的一半.
【探究(3)】
如果已知矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积就
mn (m+n) [(m+n) ]
分别为m+n和 ,设所求矩形的长为x,那么宽为 -x,其面积为x
-x
.根据题意得x
2 2 2
[(m+n) ] mn
-x = ,即2x2-(m+n)x+mn=0.由Δ=(m+n)2-4×2×mn=m2+n2-6mn知道只有当m2+n2≥6mn时,才
2 2
存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
[设计意图] 反思、归纳总结是很有价值的活动,它不但可以帮助学生理解思考对象,更可以使学生在研
究方法、研究能力方面得到提高.
猜想——例证——证明是我们进行问题探索的基本方法.
1.任意给定一个正方形,一定不存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.
2.任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
3.任意给定一个矩形,不一定存在一个矩形,它的周长和面积分别是所给矩形周长和面积的一半.
4.探究一般过程.
问题情境——猜想——验证——发现规律——证明——拓广.
5.策略:(1)先考查一些简单的、特殊的情形;(2)发现规律,再讨论一般情形;⑶最后得出结论.
猜想、证明与拓广
问题1
问题2
问题3
【必做题】
教材第169页习题第2题.
【选做题】
教材第169页习题第3题.
本节课的探索活动从学生熟悉的简单情形出发,引导学生逐步思考一个个看似简单但又具有挑战性的
问题,不断经历判断、选择及综合运用方程、方程组、函数等知识的过程.在活动中同学们能积极参与数学
活动,独立思考、合作探究,体现归纳、综合和拓展的能力,感悟处理问题的策略和方法,积累了数学活动经验,
获得了成功的体验.
对于教材给出的问题探索,没有直接把完整表格内容呈现给学生,让学生领会推导和证明的过程即可.为了分解课堂活动的容量,通过举例和简单证明的问题,可以让学生先做好准备,这样课堂上可以抽出更
多的时间探索其他更深入的问题.
习题(教材第169页)
2.(1)不存在. (2)不存在.
3.(1)存在. (2)不一定存在.
蜂窝猜想
加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称,经过1600年的努力,数学家终于证明“蜜蜂”是世界
上工作效率最高的建筑者.
4世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状是自然界最有效劳动的代表.他猜想,人们所见到的截
面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为“蜂窝猜想”,但这一猜想一直没
有人能证明.
数学家黑尔宣称,他已破解这一猜想.蜂窝是一座十分精密的建筑工程.蜜蜂建巢时,青壮年工蜂负责分泌
片状新鲜蜂蜡,每片只有针头大小,而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置,以形成竖直六面
柱体.每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小.六面隔墙宽度完全相同,墙之间的角度正好是120度,形成一个完
美的几何图形.人们一直有疑问:蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面,
而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑,但每一个蜂巢都是六面柱体,而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截
面有关.由此引出一个数学问题,即寻找面积最大、周长最小的平面图形.
1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正六边形的周长是最小的.但如果
多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小.但
他不能证明这一点.而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外凸,还是向内凹,都证明了由许多正六边形
组成的图形周长最小.
综合与实践 池塘里有多少条鱼
1.通过具体情境,初步感受统计推断的合理性.
2.通地实例,体会概率与统计之间的关系,进一步丰富对概率的认识,并能解决一些实际问题.
经历对问题的探索过程,收集数据,寻求从不同角度解决问题的方法,学会在与他人交流中获益,使学生对
问题由感性认识上升到理性认识.
在解决一系列有趣且富有挑战性的问题的过程中,发展学生的思维能力、合作意识和团队精神,体验获
得成功的乐趣.【重点】
1.结合具体情境,初步感受统计推断的合理性.
2.进一步体会概率与统计之间的关系.
【难点】 结合具体情境,初步感受统计推断的合理性.
【教师准备】 预想学生设计方案中可能遇到的问题.
【学生准备】 复习有关概率的知识.
导入一:
养鱼大户李叔叔的困惑:“李叔叔春季放养了一批鱼苗,两个月就收获了,现在想知道池塘里鱼的大概数
目.”你能帮助他解决这个问题吗?
[设计意图] 这里创设了一个现实情境,教师不要急于让学生找出答案,而是让学生带着问题去学习,激
发学生的学习兴趣.
导入二:
学生介绍有关统计学基本思想的故事《赌博游戏》.赌博游戏是三百年前从法国开始的,那个时候法国
的赌博游戏引起了数学家的极大关注.比如说掷骰子、抛硬币、赛马等.就说抛硬币吧,你抛出一枚硬币,当它
落回地面的时候,朝上的面究竟是正面还是反面呢?这太不可预测了!你无从知道!现在你抛10次,它出现了4
次正面,6次反面!你再抛,你抛100次,出现了45次正面,55次反面!然后你还抛,一直到抛1000次,结果出来了,
你数了数,一共出现了485次正面,515次反面,你发现什么秘密了吗?数学家们发现了.他们发现,抛掷硬币的
次数越多,出现正面的次数就越接近总次数的一半,而且这个规律是如此的稳定和可靠,如此的不可动摇,以至
于让数学家们激动不已.于是,数学家们就在这种反反复复的试验以及对赢和输的各种可能性的计算当中,发
展出了统计学.
[设计意图] 课前两分钟交流是同学们展示的舞台,学生自信的主持、精彩的展示,体现出对学生数学应
用意识的培养,引起了学生的好奇心和求知欲,同时为下文问题的提出和解决打下基础.
[过渡语] 统计概率在生活中有哪些用处呢?
一、探讨方案
问题1
一个口袋里装有8个黑球,32个白球,任意摸出一个球,摸到黑球的概率有多大?若任意摸出10个球,你能
推断这10个球中可能有几个黑球吗?为什么?
【学生活动】 学生顺利作答.
问题2
一个口袋里有8个黑球和若干个白球,如果不允许打开袋子看,也不允许将球倒出来数,你能估计其中的
白球数吗?
(1)分组设计摸球方案,估计口袋中所放的白球数.有几种摸球方案?
(2)交流各组的摸球方案.
【学生活动】 学生独立思考后小组内讨论,互相完善,达成一致意见,然后各组选派一名学生在班级展
示交流结果,其他小组补充,得出以下两种方案.
第一种方案(利用频率估计概率):
从口袋中随机摸出一球,记下其颜色,再把它放回口袋中,不断重复上述过程,共摸了m次,其中有n次摸到
黑球,因此可以估计口袋中白球数.
n
具体如下:假设口袋中有x个白球,通过多次试验,可以得出摸出黑球的频率为 ,因此,我们可以估计出
m
n 8 n
=
从口袋中摸出一球,它为黑球的概率为 ,得 ,解得x的值就是袋中白球数.
m 8+x m
第二种方案(利用样本估计总体):
利用抽样调查的方法,从口袋中一次摸出10个球,求出其中黑球数与10的比值,再把球放回口袋中.不断
重复上述过程.总共摸了a次,黑球数与10的比值的平均数为p,因此可以估计口袋中白球数,具体如下:假设口袋中有x个白球,通过多次抽样调查,求出样本中黑球数与总球数比值的“平均水平”记作p,这
8
个“平均水平”应近似等于从口袋中摸出黑球的概率.得 =p.解得x的值就是袋中白球数.
8+x
【教师活动】 学生在对问题的讨论过程中,想法多种多样,只要有道理教师应给予肯定与鼓励.同时教
师可以发出疑问:为什么要把球再放回口袋中?如果不放回可以吗?
[设计意图] 以问题1和问题2这样设计处理教材是为了分散难点为下面归纳新知做铺垫,分组设计摸
球方案,更大地激发了学生学习的主动性.
二、比较方案
[过渡语] 同学们总结的两种方案都很好,它们都有什么优缺点?其中哪个方案更好呢?大家想不想用这
两种方法试验一下?
分小组进行下面的活动.
在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球,这些球除颜色外都相同.
(1)各小组分别采用两种摸球方案进行试验,估计口袋中的白球数目,结果相同吗?
(2)打开口袋,数数口袋中白球的个数,你们的估计值和实际情况一致吗?为什么?
(3)全班交流,看看各组的估计结果是否一致,各组结果与实际差别有多大.
(4)将各组的数据汇总,并根据这个数据估计一个口袋中的白球数,看看估计的结果又如何.
(5)谈谈这两种方案的优缺点.
【教师活动】 教师深入各个小组,观察并参与他们的试验,注意学生在每次试验前是否将口袋里的两
种球混匀,每次试验后是否将球放回,记录数据的方法是否正确,小组成员的参与程度等,注重培养每位学生的
动脑动手能力.
【学生活动】 各个小组在同一时间内先后用两种方案进行试验,同时依据表格1进行的试验次数统一
为200次,依据表格2进行的试验次数统一为20次,每次取出球总数统一为10个,小组记录白球数的估计值
和实际情况的差异.最后将各组的数据汇总,并根据这个数据估计一个口袋中的白球数,记录白球数的估计结
果和实际情况的差异.
表格1:频数分布表
摸到可能 频数累计 频数 频率
黑球
白球
合计 200
由此得到的估计结果是: .
表格2:抽样统计表
抽样次数 取出黑球数 取出白球数 取出球总数
1 10
2 10
3 10
… 10
20 10
由此得到的估计结果是: .
学生总结,教师补充得出结论:两种方案的计算结果都是近似值,都有误差.在保证摸球的随机性的同时,要
使试验次数尽可能地多,进而求“平均值”,这是减小误差的有效方法.当总数较小时,用第一种方法比较精确;
当总数较大时,用第二种方法具有现实意义.
[设计意图] 一方面,按照表格试验平衡了各小组的试验时间及进度,有利于教师把握整个教学节奏,避
免课堂局面的失控;另一方面,各小组同时分两个方案进行,为学生提供自主探索交流的空间,有利于双向比较
与评价,即纵向上的两种试验方案的对比和横向上各小组试验情况的对比,实现了组内合作与组间竞争的效
果.
三、出台方案
[过渡语] 你能帮助李叔叔设计一个估计鱼塘中鱼的总数的方案吗?
通过“摸球”的类比探讨,学生会得到如下方案:可以先捞出若干条鱼将它们做上标记,然后再放回鱼塘.
经过一段时间后,再随机捕捞出若干条鱼,并以其中有标记的鱼的比例作为整个有标记的鱼的比例,据此估计
整个鱼塘的鱼的数量.
这种方法可以帮助我们解决很多的生活中的问题,这种方法也体现了数学中的建模思想.这种方法还可
以帮助我们解决生活中的哪些问题?请同学们举一个实例,并提供一个相应的解决方案.通过试验方法求频率,并估计相关情境中的某个未知量的步骤:
1.设计并做某个试验得出相关事件发生的频率;
2.计算某个事件发生的理论概率;
3.(在一定合理性条件下)假设试验频率=理论概率,列出方程求解,得出要求的未知数的值.
池塘里有多少条鱼
1.探讨方案
2.比较方案
3.出台方案
教材第172页习题.
本课时的教学重点是帮助学生感受推断统计的合理性.首先从学生容易接受和理解的问题入手,初步帮
助学生感受统计知识的用处.在此基础上过渡到用统计知识解决生活中的实际问题,这就遵从了从感性到理
性、从认识到实践的认知发展规律.
对于设计的估计鱼塘中鱼的总数的方案,应该给学生一定的交流讨论时间.在这个问题的处理上,教案只
做了一个结论性的总结.虽然在前面的相关活动中,为本课时的设计活动做了准备,但总觉得应该作为课堂的
一个重点活动凸显出来.
不要固化学生的思维,要放手让学生自己探究、实践,并通过小组之间的交流、评价和质疑,形成解决问
题的方法.按照这种教学思路去设计本课时的教学活动.
总复习(教材第173页)
1 1
1.解:设在菱形ABCD中,AC=6 cm,BD=8 cm,AC与BD交于一点O.则AO= AC=3 cm,BO= BD=4 cm,∴AB=
2 2
1 1
❑√AO2+BO2=❑√32+42=5(cm).于是得到菱形的周长=4AB=20 cm,菱形的面积= AC·BD=
2 2
×6×8=24(cm2).
2.解析:连接菱形钝角的两个顶点的对角线等于菱形的边长,于是该对角线分菱形为两个等边三角形,所以该
菱形的各角为60°,120°,60°,120°.
3.证明:∵ΔAEF为等边三角形,∴AE=AF.∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠D=90°,且
AB=AD,∴RtΔABE≌RtΔADF(HL),∴BE=DF.∵BC=CD,∴CE=CF.∴∠CEF=∠CFE.
4.解:设这两个连续整数为n和n+1.则n(n+1)=272,化简得n2+n-272=0,解得n=-17,n=16.当n=-17时,n+1=-16;
1 2
当n=16时,n+1=17.∴两个连续整数为-17,-16或16,17.14
5.解:设原来的两位数个位数字为n,则十位数字为n+2.∴[10n+(n+2)]2-138=10(n+2)+n.解得n=1,n=- (舍去).
1 2 11
∴原来的两位数为31.
37
6.解:设高为h cm,则宽为2h cm.于是(25+2h)(2h+2h)=888.解得h=6或h=- (舍去),即盒子的宽为12 cm,高
2
为6 cm.
3 1 2+❑√14 2-❑√14 2 2
7.解析:(1)x=- ,x=5. (2)x=1,x= . (3)x= ,x= . (4)x=-2,x= . (5)x=1,x=- .
1 4 2 1 2 3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3
(6)x=-9,x=8. (7)x=-7,x=1. (8)x=0,x=3.
1 2 1 2 1 2
a a
8.解:设原来矩形较长边为a,较短边为b.①若b> ,则沿中点将纸一分为二后,所得矩形较短边长为 ,较长边
2 2
a a
长为b,由题意可知a∶b=b∶ ,得a2=2b2,即a∶b=❑√2∶1.②若b< ,则沿中点将纸一分为二后,所得矩形的较短边
2 2
a a 1
长仍为b,较长边长为 ,由题意可知 ∶b=a∶b,得出ab= ab,这与实际相矛盾,故舍去.综上所述,可知这种矩形
2 2 2
纸的长、宽之比是❑√2∶1.
AC 2 AD AC 2 a 2 3
= = = =
9.解:(1)∵2BC=3AC,∴ .∵ΔABC∽ΔDAC,∴ .∵AD=a,∴ ,∴AB= a,∴AB的长为
BC 3 AB BC 3 AB 3 2
3 DC AC 2 DC 2 2 2
= = =
a cm. (2)∵ΔABC∽ΔDAC,∴ .∵AC=b,∴ ,∴DC= b,∴DC的长为 b cm.
2 AC BC 3 b 3 3 3
(3)∵ΔABC∽ΔDAC,∴∠DAC=∠ABC=36°,∠CAB=∠D=117°,∴∠BAD=∠DAC+∠CAB=36°+117°=153°,∴∠BAD的
度数为153°.
AB 4 AC 6 4 AB AC AB BC
= = = = =
10.解:∵ , ,∴ .又∵∠CAB=∠DBC, ∴ΔABC∽ΔBCD, ∴
BC 5 BD 7.5 5 BC BD BC CD
4 5 25
.∵AB=4,BC=5,∴ = ,即CD= .
5 CD 4
AD CD
11.解:①当∠BCA为锐角时,如图(1)所示,∵AD ⊥ BC,∴∠BDA=∠ADC.∵AD2=BD·DC,∴
BD
=
AD
,∴ΔBAD∽ΔACD,∴∠BCA=∠BAD.∵∠BAD=90°-∠B=90°-25°=65°,∴∠BCA=65°.②当∠BCA为钝角时,如图(2)所
AD DC
示.∵AD2=BD·DC,∴ = .
BD AD
又∵∠D=∠D,∴ΔBAD∽ΔACD,∴∠DAC=∠DBA=25°,∴∠BCA=∠DAC+∠D=25°+90°=115°.
12.解:如图所示,线段AB,BC表示小高的影子.13.解:(3)(4)(1)(2).
14.解析:相等.
1.75 1.75-0.05
=
15.解:设此刻小红的影长是x m,则 ,解得x≈1.94.所以此刻小红的影长约是1.94 m.
2.0 x
16.解:如图所示.
17.解:如图所示.
质量 50
18.解:由物理学知密度= ,所以ρ= .
体积 V
k 6
19.解:∵反比例函数y= 的图象经过点(3,-2),∴k=3×(-2)=-6,∴y=- .∵(-2)×3=(-3)×2=-6,因此点(-2,3)和(-3,2)都在
x x
这个函数的图象上.2
20.解:由题意得a<0,所以y= 的图象位于第二、四象限,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大.理由:对
ax
k
于反比例函数y= (k≠0),当k<0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大.
x
( m) m
21.解:(1)∵点(m+3,2)和
3,
在同一个反比例函数的图象上,∴2(m+3)=3· ,解得m=-6. (2)反比例函数为
3 3
6
y=- ,列表如下:
x
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
6
y=- … 2 3 6 -6 -3 -2 …
x
描点、连线如图所示. (3)A(-3,2),B(3,-2)两点在函数图象上的位置如图所示.
5 1
=
22.解:列表可知共有25种情况,相同的情况有5种,故概率为 .
25 5
a c a+c a c a -c a-c a-c a+c
= = = =
23.解:成立.理由如下:∵ =k,∴ =k.∵ =k,∴ =k,∴ =k,即 .
b d b+d b d b -d b-d b-d b+d
24.解:2条.①如图所示,过点D作DE∥BC,交AB于点E.②如图所示,过点D作∠ADE=∠ABC,交AB于点E.25.解:连接三角形三边的中点,将原三角形分成四个小三角形,这四个小三角形全等,并且都与原三角形相似.
26.解:如图所示.
27.解:如图所示,线段AB,BC是小高在太阳光下的影子.
28.解:如图所示.
29.解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示. (3)如图(3)所示. (4)如图(4)所示.1
30.解:(1)未必是 ,因为该盒子是长方体盒子,各面朝上的可能性未必相等. (2)利用试验数据可以估计很多
6
事件发生的概率.如可以估计落地一面数字大于3的概率等.
31.解:设道路的宽为x m,根据题意,得(100-2x)·(90-x)=8448,整理,得x2-140x+276=0.解得x=2,x=138>90(不合
1 2
题意,舍去).答:道路的宽为2 m.
32.解:(1)当d=90 m时,h=90-0.004×902=57.6(m). (2)当h=50 m时,50=d-0.004d2,解得d=125-25
1 ❑√5
≈69(m),d=125+25 ≈181(m)(不符合题目要求,舍去).
2
❑√5
33.解:(1)根据你的年龄求出x的值,把x值代入p=0.006x2-0.02x+120或p=0.01x2+0.05x+107,可以求出自己的
-5+5❑√209 -5-5❑√209
收缩压. (2)当p=120时,120=0.01x2+0.05x+107,解得x= ≈34,x= ≈-39(不合题
1 2 2 2
5+5❑√601
意,舍去),所以她的年龄大概是34岁. (3)当p=130时,130=0.006x2-0.02x+120,解得x= ≈43,x=
1 3 2
5-5❑√601
≈-39(不合题意,舍去).所以他的年龄大概是43岁.
3
34.解:设存款的年利率为x,根据题意,得(1+x)2=1.0609,解得x=0.03=3%,x=-2.03(舍去).答:存款的年利率为3%.
1 2
35.解:设这个百分数为x,根据题意,得200+200(1+x)+200(1+x)2=1400,整理得x2+3x-4=0,解得x=-4(不合题意,舍
1
去),x=1.答:这个百分数为100%.
2
36.解:如图所示,设矩形ABCD为卡车的纵截面,宽AB为x m,则高AD为(x+2)m,AE=(x-2)m.O为EF的中点,过
1 x 5 (x) 2 (5) 2
点O作OH ⊥ AB,则HB= AB= m,OB= m.在RtΔBOH中, +(x-2)2= ,整理,得5x2-16x-9=0,解这
2 2 2 2 2
8+❑√109 8-❑√109
个方程,得x= ≈3.7,x= ≈-0.49(不合题意,舍去),所以AD≈3.7+2=5.7(m).答:卡车约有5.7
1 5 2 5
m高.37.解:如图所示.测量某建筑物DE的高度时,将小镜子放在离建筑物底部a m的A处,眼睛距地面b m,在离
ab
镜子d m处从镜子中看到建筑物的顶端,则建筑物的高度为 m.理由如下:如图83所示,过点A作
d
⊥
AF CE,则∠BAF=∠DAF.∵∠CAB+∠BAF=∠EAD+∠DAF=90°,∴∠CAB=∠EAD.又
AC BC d b ab
= =
∵∠ACB=∠AED=90°,∴ΔABC∽ΔADE,∴ .∵AC=d m,BC=b m,AE=a m,∴ ,即DE= m.
AE DE a DE d
38.解析:根据自己的喜好选择图案并将它的边缘放大.(答案不唯一)
20-x
39.解法1:设每次倒出液体x L,根据题意,得20-x- ·x=5,解得x=10,x=30(不合题意,舍去).答:每次倒出
20 1 2
( x ) 2 x 1
液体10 L.解法2:设每次倒出液体x L,根据题意,得20
1-
=5,1- =± .所以x=30(不合题意,舍去),
20 20 2 1
x=10.答:每次倒出液体10 L.
2
1 1
40.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.又由题意得AM= AB,CN=
2 2
⊥
CD,∴AM=CN,∵AB∥CD,即AM∥CN,∴四边形AMCN是平行四边形.∵AC=BC,AM=BM,∴CM AB,即
∠AMC=90°,∴四边形AMCN是矩形.
41.解:(1)假命题;逆命题:菱形的对角线互相垂直,是真命题. (2)真命题;逆命题:对应边成比例的四边形是相似
四边形,是假命题.
42.解:(1)根据题意,得A,B两点关于原点成中心对称,所以点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(-1,-3). (2)把
k 3
A(1,3)分别代入y=kx和y= 中,得两个函数的表达式分别为y=3x,y= .
x x
捕获—标记—再捕获法理论及应用发展.
在自然界研究中,为了估计一个种群中动物的数量,科学家最常用的方法就是“捕获—标记—再捕获”
法.“捕获—标记—再捕获”法是根据2个或2个以上独立样本来估计生物群体大小的一种方法.它最早由
野生动物学家用于估计限定区域内某种野生动物(如鱼、鸟、昆虫等)的数量,现用于研究人类疾病和健康问
题,其理论随着生物统计学的发展而逐步完善.
本节课所说方法就是先在一个种群中捕获一些动物,在不伤害它们的前提下给它们小心地做上标记,如
涂上颜料、拴上绳子等.然后再把它们放回到原来的生活环境中去,过一段时间后再从这个种群中捕获一些这样的动物,并记录其中做了标记的动物的个数,这样就可以通过比例来估计整个种群中此种动物的数量.如
先从鱼塘里捕获一定数目的鱼,做上标记后将它们放回鱼塘,等它们在鱼塘里混合后,再从鱼塘里随机地捕获
若干条鱼,看看其中有多少比例的鱼做过标记,据此就可以估计鱼塘里的鱼的数目.
“捕获—标记—再捕获”法是抽样方法的一种.抽样是在生活中经常使用的方法,如制造业通过抽样来
检测所生产的产品的合格率;在一定范围内进行的民意调查也是一种抽样.
“捕获—标记—再捕获”法也是估计某地有某病或某种特征人数的多少的一种快速调查方法,如用
“捕获—标记—再捕获”法估计三峡库区居民出生和死亡水平,估计艾滋病高危人群基数等.
期中综合检测
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,将边长为❑√2的正方形ABCD沿对角线AC平移,使点A移至线段AC的中点A'处,得到新正方形
A'B'C'D',则新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是 ( )
1 1
A. ❑√2 B. C.1 D.
2 4
⊥
2.如图,矩形ABCD中,AB= 4,BC= 5,AF平分∠DAE,EF AE,则CF等于 ( )
2
A. B.1
3
3
C. D.2
2
3.(2013·资阳中考)如图所示,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是 (
)A.48 B.60
C.76 D.80
4.若方程2x2-mx+x+8=0有两个相等的实数根,则m为 ( )
A.9或-7 B.-7
C.9或7 D.-9或-7
5.已知一元二次方程x2-2x-2014=0的两根分别是x 和x,则(1-x)(1-x)等于 ( )
1 2 1 2
A.-2013 B.-2014 C.-2015 D.2014
6.已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是 ( )
A.当k=0时,方程无解
B.当k=1时,方程有一个实数解
C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
7.由于受H7N9禽流感的影响,今年4月份鸡肉的价格两次大幅下降.由原来的每千克12元连续两次下降a%
后售价下调到每千克5元,下列所列方程中正确的是 ( )
A.12(1+a%)2=5 B.12(1-a%)2=5
C.12(1-2a%)=5 D.12(1+a2%)=5
8.在四张完全相同的卡片上,分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形,现从中随机抽取一张,卡片上的图
形是中心对称图形的概率是 ( )
1 1
A. B.
4 2
3
C. D.1
4
9.甲盒子中有编号为1,2,3的3个白色乒乓球,乙盒子中有编号为4,5,6的3个黄色乒乓球.现分别从每个盒子
中随机地取出1个乒乓球,则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为 ( )
4 5
A. B.
9 9
2 7
C. D.
3 9
10.抛一枚硬币,背面朝上的概率为P,抛一枚普通的正方体骰子,抛得的点数小于7的概率为P,口袋中有红、
1 2
黄、白球(大小、质地均相同)各一个,从中一次摸出两个红球的概率是P,则P,P,P 的大小关系是 ( )
3 1 2 3
A.P<P<P B.P<P<P
3 2 1 1 2 3
C.P<P<P D.P<P<P
3 1 2 2 1 3
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,AC=10,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点
E,则ΔBDE的周长为 .12.如图所示,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过A,C作l的垂线,垂足分别为E,F.若AE=1,CF=3,则AB的长
度为 .
13.已知3-❑√2是方程x2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 .
14.若两个不等实数m,n满足条件m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,则m2+n2的值是 .
15.写一个你喜欢的实数m的值: ,使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.
16.某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如下表所示.
移植总数(n) 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数(m) 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
(m)
成活的频率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
n
根据表中数据,估计这种幼树移植成活的概率为 .(精确到0.1)
三、解答题(共66分)
17.(6分)如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ΔOAB是等边三角形,DE∥AC,AE∥BD.求证:
(1)四边形ABCD是矩形;
(2)四边形AODE是菱形.
18.(6分)如图,点E是正方形ABCD内一点,ΔCDE是等边三角形,连接EB,EA,延长BE交边AD于点F.(1)求证ΔADE≌ΔBCE;
(2)求∠AFB的度数.
19.(8分)如图所示,某小区在一个长为40 m,宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,其中两
条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144 m2,求甬路的宽度.
20.(8分)已知ΔABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边
BC的长为5.
(1)当k为何值时,ΔABC是以BC为斜边的直角三角形?
(2)当k为何值时,ΔABC是等腰三角形?并求ΔABC的周长.
21. (8分)解方程.
(1)x2+4x-2=0;
(2)(3x+2)(x+3)=x+14.
22.(10分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字3,4,5,x.甲、乙两
人每次同时从袋中各随机摸出1个球,并计算摸出的这2个小球上数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,
进行重复试验.试验数据如下表.
摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450
“和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150
“和为8”出现的频率0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
解答下列问题.
(1)如果试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为
8”的概率是 .
1
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是 ,那么x的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说
3
明理由;如果x的值不可以取7,请写出一个符合要求的x值.
23.(10分)某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况,从九年级随机抽取部分女生进
行该项目测试,并以测试数据为样本,绘制出如图所示的部分频数分布直方图(从左到右依次分为六个小组,每
小组含最小值,不含最大值)和扇形统计图.根据统计图提供的信息解答下列问题.(1)补全频数分布直方图,并指出这个样本数据的中位数落在第几小组;
(2)若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀,该校九年级女生共有260人,请估计
该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数;
(3)如果测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩为满分,在这个样本中,从成绩为优秀的女
生中任选一人,她的成绩为满分的概率是多少?
24.(10分)(2013·南通中考)如图所示,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证四边形BCDE是矩形.
【答案与解析】
1.B
2.C
3.C
4.A(解析:∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=(1-m)2-4×2×8=0,∴m=9或-7.)
5.C(解析:∵x,x 是方程x2-2x-2014=0的两个根,∴x+x=2,xx=-2014,(1-x)(1-x)=xx-(x+x)+1=-2014-
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2+1=-2015.故选C.)
6.C
7.B(解析:由原来的每千克12元,第一次下降a%后售价为12(1-a%)元/千克,再下降a%售价为12·(1-a%)(1-
a%)=12(1-a%)2(元/千克).)
8.B
9.C
10.C
⊥
11.60(解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=13,AC BD,OB=OD,OA=OC=5,∴OB=
❑√AB2-OA2=12,BD=2OB=24,∵AD∥CE,AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形,
∴CE=AD=BC=13,DE=AC=10,∴ΔBDE的周长是BD+BC+CE+DE=60.故填60.)
12.❑√10(解析:由题意得∠BCF=∠ABE,又∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC,∴ΔABE≌ΔBCF,∴BE=CF=3,∴AB=
❑√12+32=❑√10.)
13.-6 3+❑√2
14.61 1
15. (解析:只要保证m< 即可,答案不唯一.)
5 4
16.0.9
17.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵ΔOAB是等边三角形,∴OA=OB,∴AC=BD,∴四边
形ABCD是矩形. (2)∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形,由(1)知四边形ABCD是矩形,
∴OA=OD,∴四边形AODE是菱形.
18.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.∵ΔCDE是等边三角形,
∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE.∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,∴∠ADE=∠BCE=30°.∵AD=BC,∠ADE=∠
BCE,DE=CE,∴ΔADE≌ΔBCE. (2)解:由(1)知
ΔADE≌ΔBCE,∴AE=BE,∴∠BAE=∠ABE.∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE,∴∠DAE=∠AFB.∵
AD=CD=DE,∴∠DAE=∠DEA.由(1)知∠ADE=30°,∴∠DAE=∠AFB=75°.
19.解法1:设甬路的宽为x m,根据题意,得40×26-(40x+2×26x-2x2)=144×6,整理得x2-46x+88=0,解得x=44,x=2,
1 2
40
因为甬路的宽必须小于 m,即小于20 m,所以x=44不符合题意,舍去,所以x=2.答:甬路的宽为2 m.解法2:
2
设甬路的宽为x m,根据题意,得(40-2x)·(26-x)=144×6,整理得x2-46x+88=0,解得x=44,x=2,因为甬路的宽必须
1 2
40
小于 m,即小于20 m,所以x=44不符合题意,舍去,所以x=2.答:甬路的宽为2 m.
2
20.解:(1)因为x2-(2k+1)x+k(k+1)=0可化为(x-k)[x-(k+1)]=0,所以x= k,x=k+1.由勾股定理,得k2+(k+1)2=52,解得
1 2
k=3,k=-4(舍去).所以当k=3时,ΔABC是以BC为斜边的直角三角形. (2)当ΔABC是等腰三角形时,有三种情
1 2
况:当AB=AC时,在一元二次方程中,由于b2-4ac=[-(2k+1)]2-4k(k+1)=1>0,即AB≠AC,故此种情况不存在.当
AB=BC或AC=BC时,x=5是已知方程的一个根,所以52-5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k=4,k=5.当k=4时,方程的两个
1 2
根为x= k=4,x=k+1=5,此时等腰三角形的周长为4+5+5=14;当k=5时,方程的两个根为x= k=5,x=k+1=6,此
1 2 1 2
时等腰三角形的周长为6+5+5=16.综上,当k=4或k=5时,ΔABC是等腰三角形,其周长为14或16.
21.解:(1)x2+4x-2=0, x2+4x=2, x2+4x+4=6,(x+2)2=6,∴x+2=±❑√6, x=❑√6-2,x=-❑√6-2. (2)原方程化为
1 2
-10±❑√102+4×3×8 -5±7 2
3x2+10x-8=0,∴x= ,即x= ,∴x= ,x=-4.
6 3 1 3 2
22.解析:(1)根据试验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可;(2)根据小球分别标有数字
3,4,5,x,用画树状图法说明当x=7时,得出数字之和为9的概率,即可得出答案.解:(1)0.33 (2)当x=7时,树状图
如下.
2 1
=
∴两个小球上数字之和为9的概率是 ,故x不可以取7.当x=6时,两个小球上数字之和为9的概率是
12 6
1
.
3
23.解:(1)总人数是10÷20%=50(人),第四小组的人数是50-4-10-16-6-4=10,补全的频数分布直方图如图所示.中
位数位于第三小组.50-4-10-16
(2)该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是 ×260=104(人). (3)成绩是优秀
50
的人数是10+6+4=20(人),成绩为满分的人数是4人,则从成绩为优秀的女生中任选一人,她的成绩为满分的概
4
率是 =0.2.
20
24.证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,∴∠BAE=∠CAD,在ΔBAE和ΔCAD中,
AE=AD,∠BAE=∠CAD, AB=AC, ∴ΔBAE≌ΔCAD(SAS),∴∠BEA=∠CDA,BE=CD, ∵DE=BC,∴四边形BCDE是平
行四边形,∵AE=AD,∴∠AED=∠ADE,∵∠BEA=∠CDA,∴∠BED=∠CDE,∵四边形BCDE是平行四边形,
∴BE∥CD,∴∠CDE+∠BED=180°,∴∠BED=∠CDE=90°,∴四边形BCDE是矩形.
期末综合检测
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,矩形ABCD的对角线AC=8 cm,∠AOD=120°,则AB的长为 ( )
A.❑√3 cm B.2 cm
C.2❑√3 cm D.4 cm
⊥
2.如图所示,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6 cm,8 cm,AE BC于点E,则AE的长是 (
)
A.5❑√3 cm B.2❑√5 cm48 24
C. cm D. cm
5 5
3.ΔABC的三边长分别为❑√3,❑√10,3,ΔA'B'C'的最长边为❑√5,如果ΔABC与ΔA'B'C'相似,那么ΔA'B'C'的最短
边长为 ( )
❑√6
A.❑√6 B.
2
3❑√2
C. D.2❑√2
2
4.已知x,x 是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x+x=3,xx=1,则a,b的值分别是 ( )
1 2 1 2 1 2
A.-3,1 B.3,1
3 3
C.- ,-1 D.- ,1
2 2
5.如下图所示的是一个正六棱柱的主视图和左视图,则图中的a等于 ( )
A.2❑√3 B.❑√3
C.2 D.1
6.有人把如图(1)所示的几何体的三视图画出来如图(2)所示,不考虑尺寸,在这三种视图中,正确的是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②
k
7.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 在同一直角坐标系中的图象如图所示,则当y<y 时,x的取值范
1 2 x 1 2
围是( )
A.x<-1或0<x<3 B.-1<x<0或x>3
C.-1<x<0 D.x>38.如图所示,甲为四等分数字转盘,乙为三等分数字转盘,同时自由转动两个转盘,当转盘停止转动后(若指针指
在边界处,则重转),两个转盘指针指向数字之和不超过4的概率是 ( )
5 1 2 1
A. B. C. D.
6 3 3 2
9.如图所示,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,相似比为2∶5,且三角尺的一边长为6 cm,则
投影三角形的对应边长为 ( )
A.8 cm B.15 cm
C.3.2 cm D.10 cm
1
10.如图所示,平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=- 图象上的一个动点,过点
x
⊥
P作PQ x轴,垂足为Q.若以点O,P,Q为顶点的三角形与ΔOAB相似,则相应的点P共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图,在▱ABCD中,E为AB延长线上一点,AB∶BE=2∶3,若S
ΔDFC
=12 cm2,则S
ΔEFB
= .12.如图所示,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将ΔADE沿AE对折至ΔAFE,延长EF交边
BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①ΔABG≌ΔAFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S
ΔFGC
=3.其中正确结论的个数是
.
13.如下图所示,在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个
挂画总面积为y cm2,金色纸边的宽为x cm,则y与x的关系式是 .
14.在平面直角坐标系中,已知A(6,3),B(6,0)两点,以坐标原点为位似中心,位似比为3∶1,把线段AB缩小后得到
线段A'B',则A'B'的长度为 .
15.如下图所示,点E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD, BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条
件 时,四边形EFGH是菱形.
k
⊥
16.如图所示,已知函数y=2x和函数y= 的图象交于A,B两点,过点A作AE x轴于点E,若ΔAOE的面积为
x
4,P是坐标平面上的点,且以点B,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的点P的坐标是 .
三、解答题(共66分)
17.(5分)已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0,求a2+b2的值.18.(6分)如图所示,在▱ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线
于点G.
(1)求证DE∥ BF;
(2)若∠G=90°,求证四边形DEBF是菱形.
19.(8分)某商店进了一批服装,进货单价为50元,如果按每件60元出售,可销售800件,如果每件提价1元出售,
其销售量就减少20件;现在要获利12000元,且进货成本不超过24000元,则这种服装销售单价确定为多少为
宜?这时应进多少件服装?
⊥
20.(8分)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C= 90°.AB=AD=25,BC=32.连接BD,AE BD,垂足为E.
(1)求证ΔABE∽ΔDBC;
(2)求线段AE的长.
21. (8分)在等边三角形ABC中,点D为AC上一点,连接BD,直线l与AB,BD,BC分别相交于点E,P,F,且
∠BPF= 60°.
(1)如图(1),写出图中所有与ΔBPF相似的三角形,并选择其中一对给予证明;
(2)若直线l向右平移到图(2)、图(3)的位置(其他条件不变),(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出来(不证
明);若不成立,请说明理由;
1
(3)探究:如图(1),当BD满足什么条件时(其他条件不变),PF= PE?请写出探究结果,并说明理由.(说明:结论中
2
不得含有未标识的字母)22.(9分)如图所示,4张背面完全相同的纸牌(用①②③④表示),在纸牌的正面分别写有四个不同的条件,小明
将这4张纸牌背面朝上洗匀后,先随机摸出一张(不放回),再随机摸出一张.
(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果;
(2)以两次摸出牌上的结果为条件,求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率.
k
1
23. (10分)如图所示,已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B,与反比例函数y= 的图象的一个交点为
x
k
2
A(1,m).过点B作AB的垂线BD,垂足为B,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点D(n,-2).
x
(1)求k 和k 的值;
1 2
(2)若直线AB, BD分别交x轴于点C,E,则在y轴上是否存在一个点F,使得ΔBDF∽ΔACE?若存在,求出点F的
坐标;若不存在,请说明理由.
24.(12分)如右图所示,菱形ABCD的边长为24厘米,∠A=60°,点P从点A出发沿线路AB→BD做匀速运动,同
时点Q从点D出发沿线路DC→CB→BA做匀速运动.(1)求BD的长;
(2)已知点P,Q运动的速度分别为4厘米/秒,5厘米/秒,经过12秒后,P,Q分别到达M,N两点,若按角的大小进
行分类,请你确定ΔAMN是哪一类三角形,并说明理由;
(3)设(2)中的点P,Q分别从M,N同时沿原路返回,点P的速度不变,点Q的速度改变为a厘米/秒,经过3秒后,
P,Q分别到达E, F两点,若ΔBEF与(2)中的ΔAMN相似,试求a的值.
【答案与解析】
1
1.D(解析:在矩形ABCD中,AO=BO= AC=4 cm,∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,∴ΔAOB是等边三角形,
2
∴AB=AO=4 cm.)
2.D
3.B
4.D
5.B
6.B
k
7.B(解析:根据图象知,一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的交点是(-1,3),(3,-1),∴当y<y 时,-1<x<0或x>3.
1 2 x 1 2
故选B.)
8.D(解析:甲、乙两个转盘的数字之和共有12种情况,和不超过4的情况共有6种.)
9.B(解析:∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,相似比是2∶5,三角尺的一边长为6 cm,∴投影
2
三角形对应边长为6÷ =15(cm).故选B.)
5
10.D
11.27 cm2
1
12.3(解析:①正确,∵AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°,∴ΔABG≌ΔAFG;②正确,∵EF=DE= CD=2,设
3
BG=FG=x,则CG=6-x,在RtΔEGC中,根据勾股定理,得(6-x)2 +42 = (x+2)2,解得x=3,∴BG=3=6-3=GC;③正确,由
①②得CG =BG=GF,∴ΔFGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF,又∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF=180°-
⊥
∠FGC=∠GFC+∠GCF,∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,∴AG∥CF;④错误,如右图,过F作FH DC于
FH EF
⊥ =
H,∵BC DH,∴FH∥ GC,∴ΔEFH∽ΔEGC,∴ ,由①②得EF=DE=2,GF=3,∴EG=5,∴
GC EG
FH EF 2 1 1 (2 ) 18
= = ,∴S =S -S = ×3×4- ×4× ×3 = ≠3.)
GC EG 5 ΔFGC ΔGCE ΔFEC 2 2 5 513.y=4x2+260x+4000(解析:依题意得y=(80+2x)(50+2x)=4x2+260x+4000.)
14.1
15.AB=CD
k 1
16.(0,-4)或(-4,-4)或(4,4)(解析:∵ΔAOE的面积为4,函数y= 的图象位于第一、三象限,∴S =
x ΔAOE 2
k 8
·OE·AE=4,∴OE·AE=8,∴xy=8,∴k=8,∵函数y= 2x和函数y= 的图象交于A,B两点,由2x= ,得x=±2,当x=2时,
x x
y=4,当x=-2时,y=-4,∴A,B两点的坐标分别是(2,4),(-2,-4),由题意知以点B,O,E,P为顶点的平行四边形共有3个,
∴满足条件的点P有3个,分别为P(0,-4),P(-4,-4),P(4,4).)
1 2 3
17.解析:把a2+b2看做一个整体,设a2+b2=y,利用换元法得到新方程y2-y-6=0,求解即可.解:设a2+b2=y,根据题意,
得y2-y-6=0,解得y=3,y=-2.∵a2+b2≥0,∴a2+b2=3.
1 2
1 1
18.证明:(1)在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∵E,F分别为边AB,CD的中点,∴DF= DC,BE=
2 2
AB,∴DF∥BE,DF=BE.∴四边形DEBF为平行四边形.∴DE∥BF. (2)∵AG∥BD,∴∠G=∠DBC=90°.∴ΔDBC为直
1
角三角形,又∵F为边CD的中点,∴BF= DC=DF.由(1)知四边形DEBF为平行四边形,∴四边形DEBF是菱形.
2
19.解:设这种服装提价x元.由题意得(60-50+x)(800-20x)=12000,解得x=10,x=20,当x=10时,800-
1 2 1
20×10=600,50×600=30000>24000,舍去;当x=20时,800-20×20=400,50×400=20000<24000,60+20=80(元).答:这
2
种服装销售单价确定为80元为宜,这时应进400件服装.
20.(1)证明:
⊥
∵AB=AD=25,∴∠ABD=∠ADB.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∴∠ABD=∠DBC.∵AE BD,∴∠AEB=∠C=90°.∴ΔABE
AB BE
⊥ =
∽ΔDBC. (2)解:∵AB=AD,又∵AE BD,∴BE=DE,∴BD=2BE,由(1)知ΔABE∽ΔDBC,得 .
BD BC
25 BE
∵AB=AD=25,BC=32,∴ = ,∴BE=20.∴AE=❑√AB2-BE2=❑√252-202=15.
2BE 32
21.解:(1)ΔBPF∽ΔEBF与ΔBPF∽ΔBCD,以ΔBPF∽ΔEBF为例,证明如下:
∵∠BPF=∠EBF=60°,∠BFP=∠BFE,∴ΔBPF∽ΔEBF. (2)均成立,仍有ΔBPF∽ΔEBF,ΔBPF∽ΔBCD. (3)BD平分
1 1
∠ABC时,PF= PE.理由如下:∵BD平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBF=30°,∵∠BPF=60°,∴∠BFP=90°,∵PF= PB,又
2 2
1
∠BEF=60°-30°=30°=∠ABP,∴BP=EP,∴PF= PE.
2
22.解:(1)画树状图如图所示,共有12种等可能的结果.(2)∵能判断出四边形ABCD是平行四边形的有①②,①③,②①,②④,③①,③④,④②,④③,共有8种情况,∴能判断
8 2
=
四边形ABCD是平行四边形的概率为 .
12 3
23.解:(1)将A(1,m)代入一次函数y=2x+2中,得m=2+2=4,即A(1,4),∵B是一次函数y=2x+2的图象与y轴的交点,
k
1 ⊥ ⊥
∴B(0,2).将A(1,4)代入反比例函数的解析式y= 得k=4.如图所示,过A作AM y轴,过D点作DN y轴,
1
x
⊥
垂足分别为M,N,∴∠AMB=∠DNB=90°,∴∠BAM+∠ABM=90°,∵AB BD,即
AM BM 1 2
= =
∠ABD=90°,∴∠ABM+∠DBN=90°,∴∠BAM=∠DBN,∴ΔABM∽ΔBDN,∴ ,即 ,∴DN=8,∴D(8,-
BN DN 4 DN
k
2
2),将点D的坐标代入y= 得k=-16.
2
x
(2)符合条件的F的坐标为(0,-8),理由如下:由y=2x+2,求出C的坐标为(-1,0),结合(1)知
BD
OB=ON=2,DN=8,∴OE=4,可得AE=5,CE=5,AC=2❑√5,BD=4❑√5,∠EBO=∠ACE=∠EAC,若ΔBDF∽ΔACE,则
AC
=
BF 4❑√5 BF
=
,即 ,解得BF=10,则F(0,-8).综上所述,点F的坐标为(0,-8)时,ΔBDF∽ΔACE.
AE 2❑√5 5
24.解析:(1)根据菱形的性质证明ΔABD是等边三角形即可.(2)求出P,Q走的路程,再根据等腰三角形性质即可
得出答案.(3)分为三种情况:根据相似三角形的性质,得到比例式,求出Q走的路程,即可求出答案.解: (1)∵四边
形ABCD是菱形, ∴AB= AD,∵∠A=60°,∴ΔABD是等边三角形, ∴BD=AB=24厘米. (2)12秒后,P走了
⊥
4×12=48,∵AB+BD=24+24= 48,∴P到达D点.同理Q到达AB的中点上,∵AD= BD, ∴MN AB,∴ΔAMN是直
1
角三角形. (3)有三种情况:如图(1),∠ANM=∠EFB=90°,∠A=∠DBF=60°,DE=3×4=12= AD.根据相似三角形性
21
质得BF= AN=6,∴NB+BF=12+6=18,∴a=18÷3=6,同理,如图(2),求出a=2;如图(3),求出a=12.∴a的值是2或6
2
或12.
