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第七章 证明（复习讲义）
1. 了解定义、命题（含真假命题）、公理、定理的意义，体会“定义-命题-公理/定理”之间的逻辑联系，
明确证明的基础要素。
2. 能用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法判定两直线平行；能利用“垂直于同一直线”“平
行线传递性”识别平行线。
3. 理解平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能结合平行线的判定与性质，解决
线线平行相关的推理问题。
4. 建立“判定（由角定线）-性质（由线定角）”的知识关联，能区分证明过程中公理、定理的应用场景，
提升逻辑推理的条理性。清单01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，
不能保证结论正确，即结论不成立.
清单02 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定
理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
清单03 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
清单04 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.
题型一 判断是否是命题
【例1】（24-25七年级下·广西钦州·月考）下列语句中不是命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．连接A，B两点
C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交
【变式1-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（ ）
A．若 ，求 的值 B．两直线相交有几个交点
C．画一个角等于已知角 D．若 ，则
【变式1-2】（24-25七年级下·四川广安·月考）下列语句中，是命题的是（ ）
①若 ， ，则 ；
②同位角相等吗？
③画线段 ；
④地球围着太阳公转；
⑤直角都相等
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
题型二 判断命题的真假
【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．判断某一件事情的句子叫作命题
C．如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等
D．三角形具有稳定性
【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补
B．两个互补的角一定是邻补角C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式2-2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列命题中，是真命题的有（ ）
①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0
④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型三 举反例说明命题是假命题
【例3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假
命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． D． ，
【变式3-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若 ，则 ”是假
命题的反例是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列
所举的反例不正确的是（ ）
A．设这个角是 ，它的补角是 ，但
B．设这个角是 ，它的补角是 ，但
C．设这个角是 ，它的补角是 ，但
D．设这个角是 ，它的补角是 ，但
题型四 写出命题的题设与结论
【例4】（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那
么…”的形式： ．
【变式4-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如
果……，那么……”的形式是 ．【变式4-2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如
果……那么……”的形式是
题型五 判断使两直线是否平行
【例5】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在下列条件中，不能判断直线 的是( )
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将一块含有 、 、 的三角尺如图放置，点
A、B分别在直线m、n上，下列条件中：① ，② ，③ ，④
，⑤ ， ，能判断 的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（ ）
A．因为 ，所以 （内错角相等，两直线平行）
B．因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补）
C．因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）
D．因为 ，所以 （同位角相等，两直线平行）
题型六 补充条件使两直线平行
【例6】（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知 ，要判定 ，则可以补充的一个条
件为 ．【变式6-1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图所示，请添加一个合适的条件： ，使
（填一个即可）．
【变式6-2】（2024·河南南阳·一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享
单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中 、 都与地面 平行， ，
，当 时， ．
题型七 利用平行线的性质求解
【例7】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，直线 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）根据题意分析 如图， ， ，若 ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式7-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘 ，
三角板 中 角的顶点 在 上，直角顶点 在 上，三角板与直尺边缘形成的 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型八 平行线的判定与性质多结论问题
【例8】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在三角形 中，延长 至点 ， 的平分线
与 的平分线 交于点 ，在 的内部做射线 ，已知 ， ．下列
结论：① ；② ；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号是
．
【变式8-1】（24-25七年级下·吉林·期末）某自行车的示意图如图所示，其中 ，且都与地面 平行，
若 ，则下列结论正确的是 （填序号）
① ；②当 时，有 ；
③当 时，有 ；④当 时，有 ．【变式8-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在 中，点 分别在 上，
连接 ，下列条件： ； ； ；
； ．其中能判定 的条件有 （填序号即可）．
题型九 平行线的判定与性质的综合问题
【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光 和 分别沿水平方
向发射．一束斜向光线 照射到 上，经过折射后与 相交于点F，并继续折射至 上的点D处，
从点D引出一条新的折射光线 ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若命题“已知 ______，则 ”是真命题，请填空，并说明理由．
【变式9-1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，在四边形 中， ， ，点
在 上方，连接 ， ， 交 于点 ， ， ．
(1)求 的度数；(2)点 是 上的一点，连接 ， ，求证 ．
【变式9-2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图 ，点 在线段 的延长线上， ， 交于点
，且 ， ．
(1)猜想 与 的位置关系，并证明；
(2)如图 ， 为 反向延长线上一点， ， 的平分线交于点 ，求 的度数．
基础巩固通关测
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角都是对顶角 B．若一个数的相反数是 ，则这个数是
C．若 ，则 D．同旁内角相等，两直线平行
2．能说明命题“对于任何实数 ”是假命题的一个反例是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，点D、E、F分别在边 上，且 ．要使 ，还需要添加的
条件可以是（ ）A． B． C． D．
4．有两个直角三角形纸板，一个含 角，另一个含 角，如图①所示叠放，先将含 角的纸板固定
不动，再将含 角的纸板绕顶点 顺时针旋转，使 ，如图②所示，则旋转角 的度数为
（）
A． B． C． D．
二、填空题
5．“4的平方根是2”这个命题是 命题．（填“真”或者“假”）
6．根据光的反射定律，入射光线和平面镜的夹角等于反射光线和平面镜的夹角．如图，笔直的墙面 上
点的灯泡发出的一束光线照在平面镜 上的 点， ，反射光线 恰好和墙面 平行，
若 ，则 的度数为 ．
7．（1）如图①，E是 延长线上一点，如果添加一个条件，使 ，则可添加的条件为：
，（任意添加一个符合题意的条件即可）
（2）如图②，点 在 的延长线上，对于给出的四个条件：① ；② ：③ ；
④ ．其中能判定 的是 ．（填序号）8．如图，点E在 延长线上， ， 交于F，且 ， ， 比 的
余角小 ， P 为线段 上一动点，Q为线段 上一点，且满足 ， 为 的平
分线，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ；⑤ 的度数
为定值，其中正确结论的是 ．（填序号）
三、解答题
9．如图， ， ， ，求证 ．
10．填空：
已知： ，
求证： _______．
证明：过A点作_______∥_______，
则 _______， _______．（_______，_______）
∵ 是平角，∴ _______+_______ ．（______________）
∴ _______ _______．（______________）
即 ______．
11．【问题感知】
（1）如图1，若 ， 平分 ，求证： ．
请将下列证明过程补充完整：
证明： 平分 ，（已知），
_____（角平分线的定义）．
（已知），
_____ （两直线平行，内错角相等）．
（等量代换）．
【问题探索】
（2）如图2，直线 ， 被直线 所截， 平分 ， ，点 在射线 上，
点 在线段 上，连接 ，若 ，求证： ；
【衍生拓展】
（3）如图3，将（2）中的点 移动到线段 的延长线上，其他条件不变，连接 ，若
，求 的度数．
能力提升进阶练
一、单选题
1．下列命题中真命题的个数是（ ）
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线距离．②平移时，对应点的连线平行．③过一点有且只有
一条直线与已知直线平行．④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．⑤如果 ，那么 ．⑥
在同一平面内，垂直于一条直线的两条直线平行．
A．1 B．2 C．3 D．02．如图， ， ，点 在 上，点 在 上，设与 相等的角的个数为
不包括 本身 ，与 互补的角的个数为 若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知 ， ， ，给出下列结论：① ；② ；③
；④ 平分 ；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（ ）与它的对边（ ）是否平行，启航小组的四位同
学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（ ）
A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行
B．画一条直线，分别与 ， 相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行
C．画一条直线，分别与 ， 相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行
D．将直角三角板 的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边 ， 分别与刻度尺的两
条边 ， 相交于点M，N，度量 与 ，若相等，则平行
二、填空题
5．将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
6．如图，若 ，则 °．7．命题“若 ，则 ．”是假命题，举一个反例时， 可以是 ．
8．如图， ，点 、 在直线 上，点 在 上， ， 平分 ，
．下列结论：① ；② ；③ ；④ 平分 ．其中正确的
有 ．（填序号）
三、解答题
9．如图，有如下三个论断：① ，② ，③ ．请以其中2个条件为题设，另1
个条件为结论构成一个真命题．
(1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号）
(2)请证明你选择的命题．
10．完成推理，并在右侧的括号内填写推理依据：(1)如图①， ________， （________________）．
________， （________________）．
， ， ________（________________）．
(2)如图②，填空：
① （已知）， ________（________________）
② （已知）， ________（________________）
③ （已知）， ________（________________）
④ ________ （已知）， （________________）
11．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．
(1)如图1，若 ，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为 上一点，且 ，请写出 与
之间的数量关系，并说明理由．
12．已知 ．(1)如图1，若 ．则 ；
(2)如图2， 于点E， 的角平分线交于点P， 平分 ，若 比 的
5倍还多 ，求 的度数；
(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足： 直
线 与直线 交于点Q．直接写出 的大小 ．
