文档内容
七年级数学·上 新课标[北师]
第三章 整式及其加减
1.掌握用代数式表示简单的数量关系的方法,并能够计算代数式的值.
2.理解代数式求值的意义,以及代数式和代数式求值之间的关系.
3.掌握合并同类项和去括号的方法,并能够用其化简代数式.
4.了解整式的相关概念,理解合并同类项和去括号的法则,并会进行简单的整数加减运
算,发展运算能力.
5.建立数感、符号意识,初步形成运算能力,发展抽象思维.
1.经历探索事物之间的数量关系,并用字母与代数式进行表示的过程,建立初步的符号
意识,发展抽象思维.
2.在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代
数式表示.
3.会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
1.经历用代数式探求数学规律的过程,初步体会代数式在数学和实际中的应用.
2.探求具体问题中的一般规律及解释具体问题中的现象或规律.
3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.
用字母表示数,是数学上一次伟大的进步,它使得数的概念一般化了.由于学生在此前缺
乏符号感和必要的逻辑思维,所以本章在安排上注意通过实验引入有关知识.
本章在学习有理数的基础上,结合学过的知识和已有的生活经验,引入字母表示数,使思
维达到由数到式的飞跃,继而介绍了代数式、代数式的值、整式、单项式与多项式及其相
关概念,并在理解这些概念的基础上逐步学习同类项的概念、合并同类项法则以及去括号
法则,最后将这些法则应用于本章的重点——整式的加减,使得全章知识井然有序,层层深入,
结构分明,重点突出.
【重点】
1.用代数式准确表示数量关系.
2.能够使用合并同类项和去括号法则对代数式进行化简.
【难点】
1.掌握代数式求值的方法,理解所求值的实际意义.
2.通过代数式对问题进行分析和思考,培养抽象思维能力.1.让学生通过大量的既生动又有现实意义的例子体会到使用字母表示数的重要意义,逐
步熟悉这种用符号进行逻辑思维的方法,通过用语言描述代数式,锻炼学生表述的能力.
2.本章重点是代数式及其运算,但是决不能脱离实际背景来空谈代数式的内容.在各个
部分的教学中都应该给出具有实际背景的事实材料,让学生充分认识到使用代数知识能够
很好地认识实际问题中的数学规律,避免给学生造成代数就是进行纯粹的符号运算的认识.
3.用整式表示数学关系,使很多数学规律一般化、形式化.在教学中让学生用整式表示
以前学过的有关运算律和各种公式等内容,使学生能够从事物的本质上把握规律,提高对规
律本身的认识,同时也发展了抽象思维能力.
4.在教学中,通过代数关系认识和理解一些有趣的数学规律,既能够增强学生对数学的
热爱,同时又使学生充分地认识到代数对于探索数学规律的重要作用,形成学习代数知识的
正确态度.
1 字母表示数 1课时
2 代数式 2课时
3 整式 1课时
4 整式的加减 3课时
5 探索与表达规律 2课时
本章概括整合 1课时
1 字母表示数
1.在观察、思考的过程中形成字母表示数的一般概念.
2.体会用字母表示数的特点和意义.
3.通过用字母表示一些具体的数学量,初步培养抽象思维能力和符号逻辑.
在实践的过程中,体会用一个一般的量来表示具体数值的必要性.通过自主式学习和研
究式学习,在教师的帮助下形成代数的思维方式.
1.通过实践、观察、思考、归纳等环节,总结规律,培养自主学习的能力.2.体会简单的数学思想是如何运用到具体情况中的.
3.在与其他同学的交流和讨论中,培养既合作又竞争的意识.
【重点】
1.通过实践总结规律,并使用字母表示规律.
2.能够自觉地使用字母表示简单的数学关系.
【难点】
1.认识用字母表示数具有不唯一性.
2.能根据实际情况列出合理的代数式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
78~79
导入一:
同学们,我们来欣赏一首非常熟悉的儿歌.
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,扑通一声跳下水;
两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,扑通扑通两声跳下水;
三只青蛙三张嘴,六只眼睛十二条腿,扑通扑通扑通三声跳下水……
[处理方式] 引导学生接着唱下去,激发学生的学习兴趣.刚开始有的同学还能接着唱,
唱着,唱着,唱不完了,怎么办?
师:你能不能用一句话来概括这首儿歌?
生:n只青蛙n张嘴,2n只眼睛4n条腿,扑通n声跳下水.
师:很好,掌声鼓励.这样一首儿歌我们用一个字母n就概括了,这就是我们今天所要学习
的“字母表示数”(板书课题).
[设计意图] 利用儿歌使学生感受使用一般性符号表达事物的重要性,自然的渗透更说
明生活处处有数学,使学生注意力集中.让学生体验把实际问题抽象成数学问题,把特殊问题
上升到一般问题的方法,产生认知冲突,变被动学习为主动学习,有利于学生完成知识的自我
构建.
导入二:
在我们的生活中,到处可见用字母表示的图片,下面是我搜集的部分图片:提出问题:
1.以上这些图案都是什么标志,每个标志中的字母都代表什么?
2.谁还能说一说,我们身边的其他用字母来表示的例子?
学生先独立思考,再小组交流.展示交流成果:
生1:NBA——美国职业篮球联赛.
生2:UFO——不明飞行物.
生3:WC——厕所(全班哄堂大笑).
生4:……
师:很好,你们知识真丰富,那么这些名称用字母表示有什么优势呢?今天,我们就一起探
究用字母表示数(板书课题).
[设计意图] 利用身边的一些事物让学生明白字母能简明表示一些名称,与此同时培养
学生观察和积累的能力.本设计能启发学生思维迁移,使学生明白用字母也可以表示数,也能
让复杂的运算变得简单.
[过渡语] 在我们身边有许多用字母来表示的例子,数学也可以.想一想,你在以前的学
习中有哪些地方用到了字母?这些字母都表示什么?
探究活动1 公式中的字母
(1)长方形的面积计算公式S=ab,S表示面积,a,b分别表示长与宽.
(2)圆的面积计算公式S=πr2,S表示面积,r表示圆的半径.
(3)长方体的体积计算公式V=abc,V表示体积,a,b,c分别表示长方体的长、宽、高.
(4)圆柱的体积计算公式V=πr2h,V表示体积,r表示底面半径,h表示圆柱的高.
(5)运算律:a+b=b+a ,(a+b)+c =a+(b+c),ab=ba, a(b+c)=ab+ac,其中a,b,c分别表示任何数.
教师板书:字母可以表示任何数.
强调:
(1)我们在不引起混淆的情况下,a×b,2×a通常表示为ab,2a.
a
(2)一般除号可用分数线来代替,例如a÷b可以写成 .
b
[设计意图] 过渡到由字母表示的以前学过的运算律、公式中,在复习旧知识的基础上,
把已学知识重新规划,让学生有一个重新认识的过程.运算律的展示使学生进一步体会用字
母表示数可以使数量关系简明和一般化,初步体验和确认字母可以表示任何数这一点.
探究活动2 用字母表示数(1)
[过渡语] 公式中字母表示数,让我们更进一步地感受到字母表示数的价值,下面我们做个游戏,请同学们取出课前准备的火柴棒,动手拼以下图形,并同时思考以下几个问题.(以4人
为一个小组合作完成,也可以通过画图完成探索)
思路一
搭一个正方形需要4根火柴棒.
(1)按上图的方式,搭2个正方形需要几根火柴棒?搭3个正方形需要几根火柴棒?
(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?
(4)如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
[处理方式] 先动手摆一摆,数一数火柴棒的根数,再小组交流,体会用字母表示数的优
越性.
展示交流结果:
(1)2个正方形需7根;3个正方形需10根.
(2)31根.(有些同学动手画出正方形为10个时的图形,再确定用几根火柴棒,有些同学通
过找规律得到了答案.)
(3)301根.将第一根火柴棒摘出来,后面每增加一个正方形火柴棒就增加3根,所以搭100
个这样的正方形需要火柴棒1+3×100=301(根).(无法动手摆出或画出相应图形,都投入了思考
和讨论.)
(4)教师巡视观察学生思考,通过操作实践,探究交流,学生从多角度去思考,再去发现规律,
将小组的作用发挥到极致.
生1:第一个正方形用火柴棒4根,后面每增加一个正方形火柴棒就增加3根,那么搭x个
这样的正方形需要火柴棒[4+3(x - 1)]根.
生2:将第一根火柴棒摘出来,后面每增加一个正方形火柴棒就增加3根,那么搭x个这样
的正方形需要火柴棒(1+3x)根.
生3:假设每一个正方形都用4根火柴棒,则搭x个正方形需要火柴棒4x根,而这样会多
算火柴棒(x - 1)根,所以搭x个这样的正方形需要火柴棒[4x - (x - 1)]根.
生4:上面的一排和下面的一排各用了x根火柴棒,竖直方向用了(x+1)根火柴棒,共用了
[x+x+(x+1) ] 根火柴棒.[设计意图] 摆火柴棒的环节,涉及的知识主要是运用字母表示规律,但其中蕴涵丰富的
教育价值.此环节可以使学生经历运用数学符号描述变化规律的过程 ,发展了符号感和抽象
思维.通过与同伴交流,学生将体验解决问题的策略的多样性,学会合理清晰地阐述自己的观
点.
思路二
(1)按照上图的方式,搭2个正方形需要多少根火柴棒?搭3个正方形需要多少根火柴棒?
(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?
(4)如果用n表示所搭的正方形的个数,那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒?与
同伴进行交流.
师:请各小组选派一名学生说一说(1),(2),(3)的答案.
生1:(1)搭2个正方形需要7根火柴棒,3个需要10根火柴棒. (2)需31根火柴棒. (3)
需301根.这301根火柴棒我们是这样得到的,第一个正方形用4根,其余的99个正方形每个
用的3根,所以总共用301根.
师:你能用算式表示吗?
生1:算式为4+3×(100 - 1).
师:同学们同意吗?他的结果对不对,解释得有道理吗?
生:结果对,解释得有道理.
师:这位同学说得很好.(鼓掌)还有不同的方法吗?
生2:我是这样想的,如果把每个正方形都看成需要4根火柴棒,那么100个正方形需400
根火柴棒,可是除去第一个正方形,其余的正方形都少用1根火柴棒,所以我的算式是4×100 -
99.
师:同学们明白了吗?这道题还有没有其他方法呢?
(生沉默思考)
生3:还有就是把每个正方形都看成是由3根火柴棒搭成的,100个正方形就需要300根,
但第一个正方形多用了1根,所以列出的算式是3×100+1.
师:这位同学的方法也非常好.大家想了三种不同的方法去解决问题,充分说明了大家善
于动脑,也展示了同学们心灵手巧的优点.我们看第(4)个问题,大家再分组研究一下怎样解决,
有几种方法,越多越好.
生 4:第(4)个问题基本上和第(3)个问题差不多,列出的算式是:①3n+1,②4+3(n -
1),③4n - (n - 1).
探究活动3 用字母表示数(2)
课本78页,做一做
(1)根据你的计算方法,搭200个这样的正方形需要 根火柴棒.
(2)利用小明的计算方法,我们用200代替4+3(x - 1)中的x,可以得到4+3×(200 - 1)=601,
你的结果与小明的结果一样吗?
[处理方式] 学生根据自己的计算方法得出搭200个这样的正方形需要601根火柴棒.生1:601个,一样.我的算式是1+3×200.
生2:601个,一样.我的算式是4×200 - (200 - 1).
生3:601个,一样.我的算式是200+200+(200+1).
师:很好,不同的方法得到的算式是不一样的,我们已经知道当正方形的个数为200时,3
个算式的结果是相等的.下面同学们用自己得到的式子验证一下当正方形个数为2,3,10,100
时,是否和你刚才计算的结果一样呢?(独立完成验证后,小组内简单交流结果.)
[知识拓展] 用字母表示数,同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用
不同的字母表示.用字母表示实际问题中的某一数量时,字母的取值需要使这个问题有意义,
并且符合实际.用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等.
1.用字母表示数量关系、公式、法则、运算律等.
2.规律的探求.
3.把题中变量或未知数用字母表示是写表达式的前提.
1.某种糖每千克10元,小红妈妈买了a千克,共花了多少元?
解析:根据“单价×数量=总价”可求出答案.
解:共花了10×a=10a(元).
2.如图所示,把一个长、宽分别是a,b的长方形纸板的四角各剪去一个边长为c的正方
形(a>b>2c),再做成一个无盖的长方体盒子,用字母表示它的体积和表面积.
解析:由题意知长方体的长为a - 2c,宽为b - 2c,高为c.该长方体的体积=长×宽×高,表面
积=长×宽+(长×高+宽×高)×2.
解:长方体的体积为(a - 2c)(b - 2c)c;
表面积为(a - 2c)(b - 2c)+2[(a - 2c)c+(b - 2c)c].
1 字母表示数
用字母表示数的例子:
(1)长方形的面积计算公式S=ab;
(2)圆的面积计算公式S=πr2 ;
(3)长方体的体积计算公式V=abc;
(4)圆柱的体积计算公式V=πr2h.一、教材作业
【必做题】
教材第79页习题3.1的1题.
【选做题】
教材第79页习题3.1的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.香蕉每千克售价3元,m千克售价 元.
2.温度由5 ℃上升t ℃后是 ℃.
3.每台电脑售价x元,降价10%后每台售价为 元.
4.某人完成一项工程需要a天,此人的工作效率为 .
5.一圆半径为 a cm,将圆半径增加 5 cm 后,圆的周长是 cm,圆的面积是
cm2.
【能力提升】
6.某市对一段全长1500米的道路进行改造. 原计划每天修x米,为了尽量减少施工对城市交
通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的2倍还多35米,那么修这条路实际用了多
少天?
【拓展探究】
2 2
7.已知a≠0,S =2a,S = ,S = ……则S = .(用含a的式子表示)
1 2 S 3 S 2013
1 2
【答案与解析】
1.3m(解析:总价=单价×数量.故填3m.)
2.(5+t)(解析:上升后的温度=原来的温度+上升的温度.故填(5+t).)
3.(1 - 10%)x(解析:降价后的价格等于原价减去降价,x - 10%x=(1 - 10%)x.故填(1 - 10%)x.)
1 1 1
4. (解析:工作效率=工作总量÷工作时间=1÷a= .故填 .)
a a a
5.2π(a+5) π(a+5)2 (解析:由圆的周长、面积公式可知周长=2πr=2π(a+5)cm,面积=πr2=π(a+5)2
cm2.)
6.解:修这条路实际用的天数等于这条路的全长1500米除以实际每天的工作量,原计划每天
1500
修x米,所以实际施工时每天修(2x+35)米,所以修这条路实际用了1500÷(2x+35)= (天).
2x+35
2 2
2 2 1 = 2 2 1
7.2a(解析:依题意可得S = = = ,S =S 1=2a,S = = = ……由此可以看出S 的
2 S 2a a 3 2 4 S 2a a n
1 a 3
1
值的规律是:当n为奇数时,S 等于2a;当n为偶数时,S 等于 .所以S =2a.)
n n a 2013通过对正方形的个数与火柴棒的数量关系的探索,让学生动手,动口,动脑,合作探究,从而
经历寻找规律的过程,在过程中锻炼学生的思维,让学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊
的思维模式,感受用字母表示数或数量关系的优越性.在规律探索中,要给学生留有充分的思
考时间,要充分相信学生的能力.
课堂节奏把握的不够紧凑,最后达标检测环节时间不够充分.
本节课始终要围绕着字母表示数展开,让学生多角度、多层次地感受字母表示数.
随堂练习(教材第79页)
(1)3v (2)解:mn - pq.
习题3.1(教材第79页)
1 s
1.(1)(t - 2) (2)(m - 1) (m+5) (3) (4)(2a+10) (5) (6)(a - 1)3 6(a - 1)2
an t
2.解:对,她先把每个正方形看成由4根火柴棒搭成的,然后再减去多数的根数,就得到4x - (x
- 1).
3.解:(1)从左到右依次填:7,12,17,22,27,32.(2)第n个图形需要[7+5(n - 1)]根或(5n+2)根.
教法:根据教师为主导学生为主体的原则,始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导
—反馈矫正”的教学方法.
学法:引导学生主动探索,发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括,形成能力.
将一些小圆点按如图所示的规律摆放,第1个图形中有6个小圆点,第2个图形
中有10个小圆点,第3个图形中有16个小圆点,第4个图形中有24个小圆点……依此类推,
第6个图形中有 个小圆点,第n(n为正整数)个图形中有 个小圆点.〔解析〕 观察这些图形的外部可知每个图形的最外侧都有4个小圆点,再观察每个
图形内部圆点的行数和列数可知第1个图形中共有4+1×2=6个小圆点,第2个图形中共有
4+2×3=10个小圆点,第3个图形中共有4+3×4=16个小圆点,第4个图形中共有4+4×5=24个
小圆点……依此类推,第6个图形中共有4+6×7=46个小圆点,第n个图形中共有[4+n(n+1)]个
小圆点.
〔答案〕 46 [4+n(n+1)]
2 代数式
1.进一步认识用字母表示数的方法和意义.
2.能够根据实际意义列出代数式.
3.能够说出一个代数式的意义.
使学生通过自主式学习和探究式学习在实践中尝试归纳自己观察到的数学现象的规律,
初步形成数学归纳的能力.
1.进一步了解用字母表示数是学生在数学学习上的一个重要的突破.
2.培养思维的灵活性和多样性.
【重点】
1.理解具体代数式的意义.
2.能够用代数式表示简单的数量关系.
3.能够进行简单的代数式求值.
【难点】
1.准确理解代数式的意义.
2.在理解实际问题的基础上准确列出代数式.第 课时
1.进一步理解字母表示数的意义,能结合具体情境给字母赋予实际意义;理解代数式和
代数式的值的意义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,在具体情境中能求出代
数式的值.
2.通过创设实际背景和引用符号,经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程,体
会数学与现实世界的联系,增强符号感,发展运用符号解决问题的能力和数学探究意识.
教学中从实际问题出发,激发学生的兴趣,引导学生积极独立地思考问题,使学生在自主
探索与交流合作中掌握知识.
在解决问题的过程中体验类比、联想等思维,体验数学美,增强学习的自信心.
【重点】 理解具体代数式的意义,能够用代数式表示简单的数量关系,并能对简单的
代数式求值.
【难点】 正确列出代数式,解释代数式的实际意义.
【教师准备】 预想学生在学习过程中可能遇到的问题.
【学生准备】 预习教材P .
81~82
导入一:
(多媒体展示:播放建国60年国庆阅兵式上女民兵和三军女兵两种方队的视频影像.)
[过渡语] 有一种视觉叫震撼!有一种感觉叫澎湃!相信国庆阅兵一定给同学们留下了
难以磨灭的记忆,接下来请同学们完成下面的问题.
在国庆阅兵式上,检阅了女民兵和三军女兵两种特殊方队,请据此回答:(1)若女民兵有a人,三军女兵有b人,两种方队共有女兵 人.
(2)若三军女兵平均年龄为m岁,比女民兵平均年龄大n岁,则女民兵平均年龄为
岁.
(3)若三军女兵共有m排,且每排有25人,则三军女兵的人数为 人.
(4)女民兵方队用t秒走了s米,她们的平均速度可以表示为 米/秒.
[处理方式] 让学生独立思考理解题意,选出4名同学依次说出4个问题相应的数量关
系式,其他同学纠错互评,规范答案.
生1:(a+b).
生2:(m - n).
生3:25m.
s
生4: .
t
[设计意图] 通过阅兵式的情境再现,激励学生的斗志,激发学生的学习热情.既复习上
节课所学的用字母表示数的知识,也为学习代数式做铺垫.学生回答问题中的几个式子包含
有+, - ,×,÷等多种运算,学生口答过程中,教师顺势板书好答案,为下一步学生观察、理解和引
出代数式埋下了伏笔.
导入二:
问题1
用字母表示下列数量关系.
1.用火柴棒拼摆正方形,如下图所示,如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的
正方形需要多少根火柴棒?请用不同式子来表示这个数量关系?
2.填空:
(1)边长为a cm的正方形的周长是 cm,面积是 cm2;
(2)钢笔每支2元,铅笔每支0.5元,m支钢笔和n支铅笔共 元;
(3)温度由2 ℃下降t ℃后是 ℃;
让学生独立思考理解题意,选出2名同学在黑板上写出2个问题相应的数量关系式,其
他纠错互评,规范答案.
生1:1.〔4+3(x - 1)〕根;〔x+x+(x+1)〕根;(3x+1)根.
生2:2.(1)4a a2 (2) (2m+0.5n) (3) (2 - t)
问题2
仔细观察以上式子,它们有什么共同的特点?
[处理方式] 学生互相讨论数量关系式的特点,教师引入课题.(板书课题)
[设计意图] 通过复习上一节的知识内容,承接先前的若干实例,为引出代数式埋下了伏笔,不仅降低了教学难度,而且激发了学生的学习兴趣.
探究活动1 认识代数式
思路一
[过渡语] 请同学们仔细观察下面式子:4+3(x - 1);x+x+(x+1);3x+1;4a;a2;2m+0.5n;2 - t.它
们有什么特点?
出示问题:谈谈你对代数式的认识?
[处理方式] 学生自主学习,畅所欲言,教师给予评价,从而归纳代数式的意义:用运算符
号把数字和字母连接而成的式子称为代数式.
教师进而强调:
(1)运算符号包括:加、减、乘、除、乘方.
(2)单独的一个数或字母也是代数式.
(3)用具体数值代替代数式中的字母,就可以求出代数式的值.
[设计意图] 让学生经历代数式概念产生的过程,使学生在学习过程中构建自己的数学
知识结构,获得对代数式概念的理解,发展数学能力.
思路二
s
师:请同学们观察并思考下列式子:a+b,m - n,25m, ,6a2,a3,它们有哪些共同点?
t
生1:都含有数字或字母.
师:除了数字和字母外,还有什么?
生2:还有运算符号(+, - ,×,÷,乘方).
师:运算符号在数字和字母之间起到什么样的作用?
生3:把数和字母连接起来了.
师:回答得很好!同学们,这就是代数式.现在你们能用自己的语言叙述一下什么是代数式
吗?
(学生交流2分钟后,找不同学生语言叙述,互相补充,教师加以引导,然后投影展示代数式
的定义.)
s
(投影展示)定义:像a+b,m - n,25m, ,6a2,a3……这样,用运算符号把数和字母连接起来的
t
式子叫做代数式. 单独的一个数或字母也是代数式 .
师:你能举个代数式的例子吗?
(找几个同学进行举例,教师做好板书并给予积极的评价.)
[设计意图] 通过观察、思考、小组合作交流等活动,加深学生对知识的认识和理解,从
而生成新知识,体验探究成功的快乐感.
探究活动2 典例讲评
(教材例题)列代数式,并求值.
(1)某公园的门票价格是:成人票每张10元,学生票每张5元.一个旅游团有成人x人,学生
y人,那么该旅游团应付多少门票费?
(2)如果该旅游团有37个成人,15个学生,那么他们应付多少门票费?
[处理方式] 学生理解题意,自主探究,然后小组内讨论、交流,教师同时巡视指导,参与小组讨论,请一名学生给全体同学讲解板演,然后借助多媒体展示解答过程.
解:(1)该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)把x=37,y=15代入代数式10x+5y得 10×37+5×15 =445.
因此,他们应付445元门票费.
[设计意图] 让学生从实际问题中抽象出数学问题,学会列代数式和求代数式的值,体验
数学来源于生活,又为现实生活服务.用多媒体展示解题过程,进一步规范学生的解题格式,让
学生体会数学的规范性、严密性.
探究活动3 代数式在现实生活中的意义
出示问题:在例题中,10x+5y表示的是x个成人,y个学生进公园的门票费,那么它还可以
表示什么呢?请大家编写能用此式来表达的情境.
[处理方式] 教师举例引导,对于10x+5y,如果用x(m/s)表示小明跑步的速度,用y(m/s)表
示小明走路的速度,那么10x+5y表示他跑步10 s和走路5 s所经过的路程.然后要求学生在
独立思考的基础上,建立自己的情境框架,小组交流,随后全班交流,教师给予鼓励和引导,并作
出积极的评价,共同归纳: 10x+5y可以赋予很多的实际意义.投影展示学生思考的多种结果.
[设计意图] 让学生充分体会代数式在现实背景中的意义,提高学生活学活用知识的能
力,将学生的知识进行深化和升华.
探究活动4 趣题滋润,建模感悟
[过渡语] 大家的思维活跃,能把数学知识和生活实例结合起来,看来数学与现实生活是
密切相关的.下面我们再研究一个生活中的实际问题.(出示题目)
(教材做一做)现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度,这个指数等于人体体重
(kg)与人体身高(m)平方的商.对于成年人来说,身体质量指数在20~25之间,体重适中;身体质
量指数低于18,体重过轻;身体质量指数高于30,体重超重.
(1)设一个人的体重为w(kg),身高为h(m),求他的身体质量指数;
(2)张老师的身高是1.75 m,体重是60 kg,他的体重是否适中?
(3)你的身体质量指数是多少?
[处理方式] 先让学生自主探究,然后小组内讨论、交流.教师同时巡视指导,参与小组
讨论.请一名学生板演,其他学生在练习本上面解答.
[设计意图] 这里首先展示出学生生活中用身体质量指数衡量人体胖瘦程度的问题,目
的是刺激学生的感官,引发学生的求知欲望.对于第(1)问,根据题意列代数式,让学生体会数学
建模的思想.对于第(2)问,目的在于让学生进一步学会求代数式的值.对于第(3)问,目的在于加
深学生对人体胖瘦程度与人体体重(kg)和人体身高(m)的关系的体会.
探究活动5 练习巩固,深化提高
1.代数式6a可以表示什么?
2.(1)一个两位数的个位数字是a,十位数字是2,请用代数式表示这个两位数;
(2)一个两位数的个位数字是a,十位数字是b,请用代数式表示这个两位数;
(3)如何用代数式表示一个三位数?
3.(1)代数式(1+8%)x可以表示什么?
(2)用具体数值代替(1+8%)x中的x,并解释所得代数式值的意义.
[处理方式] 学生独立思考,自主完成.教师巡视学生的答题情况,对做得好的同学应给
予表扬,同时对做得不够好的同学加强辅导.
[设计意图] 在课堂练习中强化学生列代数式的能力,了解代数式的用途,调动学生的积
极性,使他们人人具有成就感,充分体现了人文关怀.[知识拓展] 1.对于一个代数式,它的意义没有统一的规定,以简明而不致引起误解为出
发点,同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义.
2.如果式子中含有“=”“<”“>”“≤”“≥”等符号,它们不是运算符号,那么这样的
式子不是代数式.
3.数与字母,字母与字母相乘,乘号可以省略,也可以写成“·”;数字与数字相乘,乘号不能
省略;数字要写在字母前面.
4.在含有字母的除法中,一般不用“÷”号,而写成分数的形式;式子后面有单位时,和差形
式的代数式要在单位前把代数式括起来.
5.带分数一定要写成假分数.
1.什么是代数式?
用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式 .
2.代数式书写要求.
3.代数式求值的步骤:先把未知数的值代入,然后按照给定的运算顺序计算.
4a
1.下列各式:(1)a+b=5;(2)5a - 3y;(3)2;(4)n;(5)2(a+b)+7;(6) ;(7)2+7 - 6;(8)23;(9)x+5>3.其
b+c
中哪些是代数式,哪些不是代数式?
解析:代数式是用运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数和字母连接而成的式子,而用
“=”“≠”“<”“>”“≤”“≥”等关系符号连接而成的式子都不是代数式.
解:(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)是代数式,而(1)(9)不是代数式.
2.下列各式中符合代数式书写要求的个数为 ( )
1 a2 - b
①5 x2y;②y×3;③ab÷2;④ .
4 6
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:根据代数式的书写要求,不能出现带分数,故①不符合;数字与字母相乘时,乘号省略
或用“·”表示,并且数字在前,故②不符合;含有字母的除法中,一般应写成分数的形式,故③
不符合.故选D.
3.对于代数式2x - 3y,下列读法不正确的有 ( )
A.2x减去3y
B.2x与3y的差
C.x的2倍与y的3倍的差
D.2乘x减去3乘y
解析:代数式的读法有两种,一种是按运算关系读,另一种是按运算结果来读.无论哪一种,
都要注意运算顺序.A,B,C的读法都可以与代数式相对应,D有可能误理解为(2x - 3)y.故选D.第1课时
1.代数式:
用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
2.列代数式,并求值.
(1)某公园的门票价格是:成人票每张10元,学生票每张5元.一个旅游团有成人x人,学生
y人,那么该旅游团应付多少门票费?
(2)如果该旅游团有37个成人,15个学生,那么他们应付多少门票费?
一、教材作业
【必做题】
教材第83页习题3.2的1,2题.
【选做题】
教材第83页习题3.2的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
x - y 1
1.下列各式: - x+1,π+3,9>2, ,S= ab,其中代数式的个数是 ( )
x+ y 2
A.5 B.4 C.3 D.2
2.以下代数式书写规范的是( )
6
A.(a+b)÷2B. y
5
1
C.1 x D.x×y
3
3.举例说明下列代数式的意义.
(1)4a2可以解释为 ;
(2)x(1 - 5%)可以解释为 .
4.今年小明m岁,前年小明 岁,8年后小明 岁.
5.一个长方形的宽为a cm,长比宽的2倍少1 cm,这个长方形的长是 cm.
【能力提升】
6.设甲数为x,乙数为y,用代数式表示下列关系.
(1)甲、乙两数的差除以两数的积: .
(2)甲数的立方与乙数的3倍的和: .
(3)甲数除以乙数的商与乙数平方的差: .
(4)甲数与乙数差的立方: .
【拓展探究】
7.已知a - b=1,则代数式2a - 2b - 3的值是多少?
【答案与解析】x - y 1
1.C(解析:由代数式的定义可知 - x+1,π+3, 是代数式,9>2和S= ab不是代数式.故选
x+ y 2
C.)
2.B (解析:根据代数式的书写要求,代数式中不能出现除号,故A不符合;不能出现带分数,故C
不符合;字母与字母相乘时,乘号省略或用“·”表示,故D不符合.故选B.)
3.(1)如果一个正方形的边长为a,则4个这样的正方形的面积为4a2 (2)如果某件商品的原
价为x元,按照降价5%进行降价促销,则降价后这件商品的售价为x(1 - 5%)元(答案不唯一)
4.(m - 2) (m+8)(解析:前年比今年小两岁,所以为(m - 2)岁,8年后比今年大8岁,所以为
(m+8)岁.)
5.(2a - 1)
x - y x
6.(1) (2)x3+3y (3) - y2 (4)(x - y)3
xy y
7.解:2a - 2b - 3=2(a - b) - 3=2×1 - 3= - 1.
在实际情境中说明代数式的意义,让学生通过交流创设生活中最感兴趣的情境,学生从
中能体会代数式在社会生活中的实际意义.发挥小组合作的积极作用,使每个同学都参与课
堂,培养了学生善于观察、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.
让学生小组合作解决疑惑时,仍有部分学生参与不到发现问题、探讨问题、解决问题
的状态中,对于这部分学生教师关注度还不是很高.
积极参与到学生的小组讨论中,及时发现问题,解决问题.
随堂练习(教材第82页)
1.解:答案不唯一. 例如如果a表示正六边形的边长,那么代数式6a表示正六边形的周长;如
果a表示一本书的价格,那么代数式6a表示6本这样的书的价格.
2.解:(1)10b+a. (2)用a,b,c分别代表一个三位数的个位、十位和百位上的数字,则这个三位
数可表示为100c+10b+a.
3.解:(1)答案不唯一.例如若x表示某件商品的进价,那么(1+8%)x表示价格提高8%后的售价.
(2)答案不唯一.合理即可.
习题3.2(教材第83页)
1
1.(1)11f+2 (2) a+a (3)2n 4n (4)(1+15%)m
82.B
3.答案不唯一.以下均为参考答案.(1)某种笔记本单价为2元,买x本需要2x元 (2)甲种商品
a+b
每件a元,乙种商品每件b元,因母亲节做活动,两种商品均打5折,则 表示买两种商品各
2
一件共需的钱数 (3)正方体的棱长为a, 8a3表示8个正方体的体积
(x )
4.解:(1)用x表示蟋蟀1 min叫的次数,该地当时的温度为 +3 ℃. (2)温度大约是14
7
℃,17 ℃和20 ℃.
合作探究法——借助多媒体为辅助手段,充分利用生活中的实际背景,让学生积极主动
地参与,经历知识的生成过程,了解其生活化的意义,理论联系实际,拓展学生的思维,培养学生
探究的习惯,提高学生语言表达能力及小组合作意识,提高学生应用数学的习惯和意识.
下列代数式中,a不能取0的是 ( )
1 3 2
A. a B. C. D.2a - b
3 a a - 5
〔解析〕 代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义,由分母不能为0可知B选项
中的a不能取0.故选B.
第 课时
1.能熟练地求代数式的值,感受代数式求值可以理解为一个转换过程.
2.掌握代数式求值的方法和步骤,能解释代数式值的实际意义.
教学中从实际问题出发,激发学生的兴趣,引导学生积极独立地思考问题,使学生在自主
探索与交流合作中掌握知识.感受字母取值的变化与代数式的值的变化之间的联系,能利用代数式的值推断一些代
数式所反映的规律.
【重点】 会求代数式的值并解释代数式的值的实际意义.
【难点】 利用代数式的值推断代数式所反映的规律.
【教师准备】 问题卡片.
【学生准备】 预习教材P .
83~84
导入一:
[过渡语] 上节课,我们学习了代数式的有关内容,想一想,如何列代数式?
1.用代数式表示.
(1)a与b的和的平方 ;
(2)a,b两数的平方和 ;
(3)a与b的和的50% ;
(4)x的平方与y的立方的差 ;
(5)一个三位数,个位是a,十位是b,百位是c,则这个三位数是 .
2.某商店购进一批茶杯,每个1.5元,则买n个茶杯需付款 元.如果茶杯的零售价
为每个2元,则售完茶杯盈利 元.当n=300时,该商店的利润为 元.
[处理方式] 第1题由学生独立完成后说出答案,然后教师加以矫正,第2题学生认真审
题,教师引导学生分析题目,首先正确书写代数式,再进行代入计算.
[设计意图] 将复习旧知识与引入新知识有效地结合起来,既达到了温故而知新的效果,
也为下面的学习做好铺垫.
导入二:
[过渡语] 同学们,你们想预测一下自己的身高吗?
出示问题:(1)遗传是影响一个人身高的因素之一. 国外有学者总结出由父母身高预测子
1.08(a+b) 0.923a+b
女身高的公式:儿子成年后的身高= ,女儿成年后的身高= ,其中a
2 2
是父亲的身高,b是母亲的身高,单位:m. 现在你可以预测一下自己的身高了.
(2)你们用同一个公式计算的结果相同吗?为什么?
[处理方式] 学生独立思考,完成第(1)问答案,然后互相交流,完成第(2)问答案.
[设计意图] 学生通过计算自己的身高,发现实际就是代入求值问题,为本节课代数式的
求值的学习做准备.探究活动1 认识数值转换机
思路一
出示图片:
如图所示的是一对“数值转换机”,根据数值转换机填写下表:
1 1 5
输入 - 2 - 0 0.26 4.5
2 3 2
图①的输
出
图②的输
出
[处理方式] 小组合作来完成图①输出的数据,可以引导学生直接代入运算,也可以写出
代数式之后代入计算.一般地,对于同一个数值转换机,当输入的字母x的值不同时,输出的结
果不相同;对于图②,学生可以试着说出“?”表示什么,也可以引导学生直接代入代数式计算.
最后观察计算结果是否相同,写出的代数式是否相同,然后总结因为两个数值转换机所表示
的代数式不同,所以输出的结果不相同.
[设计意图] 使学生感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.进一步理解
求代数式值的方法就是用数值代替代数式里的字母,在进行计算时必须按代数式指明的运
算顺序进行计算.
思路二
[过渡语] 下面是一组“数值转换机”,请根据图上的信息,回答下列问题.
(展示)
(1)图①输出的结果是什么?简单叙述一下过程.
(2)请写出图②的转换步骤.
生1:从图①中可以看出x表示输入的数字,先算x与6的积,再算与3的差,因此输出的结
果可表示为6x - 3.
生2:图②这台转换机是先用输入的x值减去3,所得的差再乘6.探究活动2 议一议:
[过渡语] 同学们说得很好,下面我们一起完成下表.
出示问题:填写下表,并观察下列两个代数式的值的变化情况.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
5n+6
n2
(1)随着n的值逐渐变大,两个代数式的值如何变化?
(2)估计一下,哪个代数式的值先超过100?
[处理方式] 根据求代数式值的方法让学生计算填表,然后观察并分析表中的数据来回
答两个代数式的值的变化情况.小组讨论完成第(2)个问题,然后教师引导得出结果.
[设计意图] 通过填表使学生进一步感受求代数式值的过程和方法,进一步理解代数式
值的概念,并感知字母的取值的变化与代数式的值之间的联系,能利用代数式的值推断一些
代数式所反映的规律,从而解决问题.
探究活动3 例题解析,应用新知
有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是5,可发现第一次输出的结
果是8,第二次输出的结果是4,…,请你探索第2014次输出的结果是 .
[处理方式] 首先让学生认真阅读例题,由小组合作完成.如果学生不理解题意,由教师
引导完成.首先由数值转换器发现第二次输出的结果是4,为偶数,所以第三次输出的结果为
2,第四次为1,第五次为4,第六次为2,…,可得出规律:从第二次开始,每三次一个循环.因为
(2014 - 1)÷3=671,所以第2014次输出的结果是1.
[设计意图] 此题考查了代数式的求值,关键是由已知找出规律,从第二次开始每三次一
个循环,根据此规律求出第2014次输出的结果.也考查了学生利用代数式的值推断一些代数
式所反映的规律的能力.
探究活动4 变式训练,能力提高
物体自由下落的高度h m和下落的时间t s的关系,在地球上大约是h=4.9t2,在月球上
大约是h=0.8t2.
(1)填写下表:
t 0 2 4 6 8 10
h=4.9t2
h=0.8t2
(2)物体在哪儿下落得快?
(3)当h=20 m时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
[处理方式] 首先由学生独立思考,遇到不解问题时,可与同学互相交流,最后由教师引
导,共同完成答案.
[知识拓展]
(1)代数式的值是按代数式的运算关系得到的具体数值,随字母取值的不同而不同,字母
的值确定了,代数式的值也就确定了,但字母的取值必须确保代数式有意义.
(2)代数式中原来省略乘号时,代入具体数值后出现数与数相乘时,必须恢复乘号.
(3)若做乘方运算,字母给出的数值是负数或分数时,代入时要加括号.
(4)一个代数式的值由它所含字母的值决定,具有不唯一性.1.代数式求值步骤:
求代数式的值时,先确定是直接代入还是整体代入,然后按照运算顺序进行计算.
2.如何列代数式?
列代数式时,要善于抓住关键性的词语,如“大、小、多、少、增加、减少、和、差、
积、商”等,还要注意已知量和未知量之间的关系.
1.当x=2时,下列代数式中与代数式2x+1的值相等的是 ( )
A.1 - x2 B.3x+1
C.3x - x2D.x2+1
解析:将x=2代入各代数式,得2x+1=5,1 - x2= - 3,3x+1=7,3x - x2=2,x2+1=5.故选D.
2.如右图所示的图形的面积用代数式表示是 ( )
A.ab+bc
B.c[b - d+d(a - c)]
C.ad+c(b - d)
D.ab - cd
解析:把图形看成一个大的长方形,面积为ab,再减去长为d,宽为c的长方形的面积,剩下
的就是所求图形的面积,即ab - cd.故选D.
3.当m=3,n= - 2时,代数式m2 - 2n2的值是 .
解析:将m=3,n= - 2代入m2 - 2n2得9 - 2×( - 2)2=1.故填1.
4.若x2 - 2x+1=0,则2x2 - 4x= .
解析:根据已知条件目前还解不出 x的值,所以把 x2 - 2x+1=0进行整体思考,将x2 -
2x+1=0变形为x2 - 2x= - 1,2x2 - 4x=2(x2 - 2x)=2×( - 1)= - 2,所以求得2x2 - 4x= - 2.故填 - 2.
5.代数式x2+x+3的值为7,则代数式2x2+2x - 3的值为 .
解析:由x2+x+3=7可知x2+x=4,所以2x2+2x - 3=2(x2+x) - 3=2×4 - 3=5.故填5.
第2课时
1.用代数式表示.
(1)a与b的和的平方 ( a + b ) 2 ;
(2) a,b两数的平方和 a 2 + b 2 ;
(3)a与b的和的50% ( a + b ) ×50% ;
(4)x的平方与y的立方差 x 2 - y 3 .
2.数值转换机
一、教材作业
【必做题】
教材第85页习题3.3的1,2题.
【选做题】教材第85页习题3.3的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在下列表述中,不能代表“4a”的意义的是 ( )
A.4的a倍 B.a的4倍
C.4个a相加 D.4个a相乘
2.当x=2与x= - 2时,代数式x4 - 2x2+3的两个值( )
A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.既不相等也不互为相反数
3.当x= - 2时,代数式 - x2+2x - 1的值等于( )
A.9 B.1
C. - 9 D. - 1
4.如下图所示的是一个正三角形场地,如果在每边上放2盆花共需要3盆花,如果在每边上放
3盆花共需要6盆花,如果在每边上放n(n>1)盆花,那么共需要花 ( )
A.3n盆 B.(3n - 1)盆
C.(3n - 2)盆 D.(3n - 3)盆
5.若2m - 4=6,n=2,则(m - 2)n= .
6.已知 - x+2y=6,则3(x - 2y)2 - 5(x - 2y)+6的值是 .
7.下面是一组数值转换机,写出图①的输出结果(写在横线上),写出图②的转换步骤(填写在框
内).
【能力提升】
8.已知(p+2)2+|q - 1|=0,求代数式p2+3pq+6 - 8p2+pq的值.
9.已知|a|=3,|b|=2,且b<0,求a - b的值.
【拓展探究】
10.如果代数式(a - 1)2x3+5x2 - |b - a+1|x - 1中不含x3和x,求a,b的值.
【答案与解析】
1.D(解析:4个a相乘应为a4.故选D.)
2.A(解析:将x=2与x= - 2分别代入x4 - 2x2+3
可得11和11.故选A.)
3.C (解析:将x= - 2代入 - x2+2x - 1得 - x2+2x - 1= - 9.故选C.)
4.D(解析:当n=2时,共需要3×2 - 3=3盆;当n=3时,需要3×3 - 3=6盆.依此类推,可知选D.)5.9 (解析:由2m - 4=6可知m - 2=3,又n=2,所以(m - 2)n=9.故填9.)
6.144(解析:由 - x+2y=6可知x - 2y= - 6,将x - 2y= - 6代入3(x - 2y)2 - 5(x - 2y)+6得3×( - 6)2
- 5×( - 6)+6=144.故填144.)
7.解:图①输出结果为2x - 3.图②从上到下依次填+3,÷2.
8.解:由(p+2)2+|q - 1|=0可知(p+2)2=0,|q - 1|=0,所以p= - 2,q=1,将p= - 2,q=1代入p2+3pq+6 -
8p2+pq得代数式的值为 - 30.
9.解:因为|a|=3,|b|=2,所以a=±3,b=±2,又因为b<0,所以b= - 2,所以a - b=5或 - 1.
10.解:因为代数式不含x3项,所以(a - 1)2=0,所以a=1,又代数式也不含x,所以|b - a+1|=0,所以
b - 1+1=0,所以b=0.
根据课程标准把握教材.新的课程标准要求注重知识的形成过程和学生对概念的感知
和理解,如通过表格计算,让学生熟练掌握代数式值的概念.
由于填表格用的时间较多,对于不会列代数式
的那部分学生,教师没有时间指导到位.
在教学过程中,让学生重点体会如何根据实际问题列出代数式,并掌握代数式求值的方
法步骤.
随堂练习(教材第84页)
1.解:(1)6%a kg~7.5%a kg. (2)2.1 kg~2.625 kg. (3)略.
2.解:(1)填表如下:
t 0 2 4 6 8 10
h=4.9t2 0 19.6 78.4 176.4 313.6 490
h=0.8t2 0 3.2 12.8 28.8 51.2 80
(2)地球. (3)由表格可以估计,当h=20 m时,t(地球)≈2 s, t(月球)≈5 s,本题要求通过表中的
数据估计时间,不用开方运算.
习题3.3(教材第85页)
1.解:72 ℉≈22.2 ℃,88 ℉≈31.1 ℃.
2.解:(1)如图所示. (2)4x+6y (3)3.5xy (4)46 77x2+ y3
3.解:运算过程为 .填表如下:
2
x - 1 0 1 2
y 1 - 0.5 0 0.5
输出 1 - 0.0625 0.5 2.0625
4.解:
n 1 2 3 4 5 6 7 8
- 8n+5 - 3 - 11 - 19 - 27 - 35 - 43 - 51 - 59
- n2 - 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64
(1)随着n的值逐渐变大,代数式 - 8n+5和 - n2的值逐渐变小. (2) - n2的值先小于 - 100.
5.解:(1)大约1.82 m. (2)略.
6.可列表比较.
a a2 - a
- 1 >0
- 0.5 >0
0 =0
a a2 - a
0.5 <0
1 =0
1.5 >0
2 >0
由此可以估计,当|a|>2时,a2 - a>0.
教法:应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律,让学生感受不同的
代数式在字母取相同值时的值的不同,并感知代数式的值随字母取值的变化而变化的情况,
激发学生的学习兴趣,渗透变量之间的关系,渗透字母的取值和代数式值对应的思想,培养学
生通过对代数式求值推断出代数式所反映的规律的能力.
学法:应重视在具体情境中去体验、理解知识,注重过程,提倡在学习过程中自主探究,逐
步掌握从实际问题中建立数学模型、抽象出数学问题的方法,增强利用数学解决问题的意
识,体验数学与实际生活的密切关系,提高学习数学的积极性和主动性.
已知|x|=3,|y|=2,且xy<0,求x+y的值.解:因为|x|=3,所以x=3或x= - 3.因为|y|=2,所以y=2或y= - 2.
当x=3,y=2时,xy>0,不合题意.
当x=3,y= - 2时,xy<0,此时x+y=3+( - 2)=1.
当x= - 3,y=2时,xy<0,此时x+y= - 3+2= - 1.
当x= - 3,y= - 2时,xy>0,不合题意.
综上所述,x+y的值为1或 - 1.
3 整 式
1.了解单项式、多项式、整式的概念,并能弄清它们与代数式之间的关系.
2.掌握整式、单项式及其系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念,明确它们之间
的关系.
3.会把一个多项式按某个字母升幂排列或降幂排列.
4.能找出多项式的最高次数项及其系数、常数项.
1.创设问题情境,通过对某些例题的分析引入新内容的学习.
2.通过对定义、概念和相关内容的掌握,进一步理解概念.
3.通过对例题的分析熟悉概念的应用.
在引导学生进行升幂或降幂排列的同时让学生发现数学中的形象美,培养学生的审美
情操.
【重点】
1.单项式与多项式的相关概念的理解.
2.能把一个多项式按某个字母升幂排列或降幂排列.
【难点】
1.能熟练地判定一个单项式的系数、次数,多项式的项和次数.
2.能熟练地按升幂或降幂排列多项式.
【教师准备】 本节拓展题.
【学生准备】 预习教材P .
87~88导入一:
[过渡语] 我们每个家庭在装修房子的时候,往往会挂上美丽的窗帘起到美化我们的房
间的作用,窗帘的选择不仅要美观大方还要考虑到窗户的透光效果.你能说说你们家的窗帘
都是怎么设计的吗?下面让我们一起看看小芳家的窗帘.
小芳房间的窗户如图所示,其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们
的半径相同).
(1)装饰物所占的面积是多少?
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少?(窗框面积忽略不计)
学生完成:
π π
(1) b2. (2)ab - b2.
16 16
师:这两个式子都是代数式,那么不同代数式之间都有哪些区别和联系呢?我们这节课就
来研究整式.(板书课题:3 整式)
[设计意图] 问题是思维的出发点,从实际出发,为学生创设了丰富的问题情境,自然引
入新课,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.
导入二:
师:大家能利用我们学过的知识表示出如图所示的草坪和小路的占地面积吗?
[处理方式] 学生小组完成,老师参与到小组学习中,引导后学生完成计算,及时鼓励独
立解决问题的同学.
展示学生计算结果:
1 1
草坪的占地面积为 πa2+ πb2.
4 4
1 1
小路的占地面积为a(a+b) - πa2 - πb2.
4 41 1 1 1
师:在上述问题中大家列出的代数式有 πa2+ πb2,a(a+b) - πa2 - πb2,这就是我们
4 4 4 4
这节课要研究的整式.(教师板书课题)
[设计意图] 利用求草坪与小路的占地面积,体现了数学源于生活,体会学习整式的必要
性,激发学生探究新知的兴趣,同时肯定学生的知识准备,树立学生进一步学习的信心,激发学
生的学习斗志,进一步体会到自己是课堂的主人.
探究活动1 单项式、多项式、整式的概念
[过渡语] 下面我们通过实际问题进一步认识整式,以小组为单位,完成以下的问题.(多
媒体出示)
(1)如图所示,一个十字形花坛铺满了草皮,这个花坛草地面积是 ;
1
(2)当水结冰时,其体积大约会比原来增加 ,x m3的水结成冰后体积约为 m3;
9
(3)如图所示,一个长方体的箱子紧靠墙角,它的长、宽、高分别是a,b,c.这个箱子露在外
面的表面积是 ;
(4)某件商品的成本价为a元,按成本价提高15%后标价,又以八折销售,此件商品的售价
为 元.
[处理方式] 学生思考后,在小组内交流、讨论,然后小组派代表展示结果.
10
生:(1)ab - 4c2 (2) x (3)ab+ac+bc (4)0.92a
9
师:我把大家得到的结果分两组,观察下面两组式子各有什么特点.(多媒体出示)
π 10
(1) b2, x,0.92a;
16 9
π
(2)ab - 4c2, ab+ac+bc,ab - b2.
16
生:(1)都是数与字母的乘积, (2)不仅有乘积还有加减.
π 10
师:像 b2, x,0.92a等,都是数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式.代数式ab -
16 94c2是单项式ab与 - 4c2的和,像这样的几个单项式的和所形成的代数式,我们把它叫做多项
π
式.如ab+ac+bc,ab - b2都是多项式.单项式和多项式统称为整式.
16
教师板书相关定义的关键词,同时强调:
1.单项式:数与字母的乘积.
2.单独一个数或字母也是单项式.
3.分母中出现字母的式子一定不是单项式.
小试牛刀:下列代数式中哪些是单项式?哪些是多项式?分别填入所属的圈中.
3x2
15a2b, ,2x - 3y,4a2b2 - 4ab+b2, - a,x3+2y - x.
π
学生在导学案中完成该练习题,完成后教师用实物投影展示做题情况,并及时进行点评
强调.
[设计意图] 进一步丰富整式的实际背景,使学生再一次体会代数式的表示作用,并借此
引出单项式、多项式及整式的概念.通过练习巩固相关定义.
探究活动2 单项式、多项式相关概念
π 10 π 10
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.例如 b2, x的系数分别是 , .
16 9 16 9
π
所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如 b2,12a3b的次数分别为2,4.
16
π π
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,如多项式ab - b2,ab与 - b2是这个多
16 16
π
项式的项.一个多项式里,最高次数项的次数就是这个多项式的次数.如ab - b2的次数是
16
2,a3 - 3a2+1的次数是3.
【温馨提示】 求多项式的次数时,先判断各项的次数,然后再取其最高值.
练习:
2
1.单项式 - πa3b2c的系数是 ,次数是 ; - a的系数是 ,次数
5
是 ;8的次数是 .
强调:单项式由数字因数和字母因数两部分组成.
1
2.多项式 - x+x2+x2y+2π有 项,分别是 ,次数是 .
3
[设计意图] 让学生试着分类,使学生初步感受单项式、多项式的特点与不同,激发学生
学习兴趣.紧跟着的练习也检查了学生的学习情况.
探究活动3 变式训练,拓展思维
1.(教材议一议)小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示,它们分别由两个四分之一圆和
四个半圆组成(半径分别相同).
(1)窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少?(窗框面积忽略不计)
(2)你能指出其中的单项式或多项式吗?它们的次数分别是多少?2.多项式x2 - (3k - 1)xy - 3y2+8中不含xy项,求k的值.
π π
解:1.(1)窗户中能射进阳光的部分的面积分别是:ab - b2,ab - b2.
8 32
(2)都是多项式,次数都是2.
1
2.由题意可知不含xy项,说明xy项的系数为0,所以 - (3k - 1)=0,所以k= .
3
[设计意图] 提供两个问题,一方面巩固学生对所学知识的掌握,另一方面充分利用情境,
一题多变有助于学生发散思维能力的培养.
[知识拓展]
1
1.分数与字母的积的形式也是单项式,如 a.
8
2.判断一个代数式是否为单项式的主要方法:①看是不是只有乘法运算;②看这个代
2 1 1
数式的分母上是否有字母.如 , 就不是单项式,而 是单项式,因为π表示一个具体的数,
3x x π
而不是字母,所以π出现在分母上可以成为单项式.
3.单项式的系数包括它前面的符号,当系数是 - 1或1时,数字1通常省略不写.
1
4.代数式包括整式,但还有其他类型,如分式 等,而整式包括单项式和多项式,注意分母
x
中含有字母的必定不是整式.
1.单项式、多项式、整式的概念.
数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式.几个单项式的和叫做多项式.单项式和多项
式统称为整式.单独一个数或字母也是单项式.分母中出现字母的式子一定不是整式.
2.单项式的系数、次数.
3.多项式的项数、次数.
1
1.单项式 - x2y3z的系数是 ,次数是 .
7
解析:单项式的系数是前面的数字因数,次数为所有字母指数的和,所有字母指数的和为
6.
1
答案: - 6
7
2.多项式4x3+3xy2 - 5x2y3+y是 次 项式.解析:多项式的所有项中次数最高项的次数为多项式的次数,所以该多项式的次数是5,
项数为4.
答案:五 四
3.32005是 次单项式.
解析:单项式的次数为所有字母指数的和,而32005中没有字母,所以字母的指数为0.故填
零.
4.下列整式中,是单项式且次数为3的是 ( )
A.xy2 B.x3+y3 C.x3yD.3xy
解析:A中xy2的次数为3,符合题意,B中x3+y3不是单项式;C中x3y的次数为4;D中3xy的
次数为2.故选A.
5.关于2×103a,下列说法中正确的是 ( )
A.系数是2,次数是1
B.系数是2,次数是4
C.系数是2×103,次数是0
D.系数是2×103,次数是1
解析:单项式2×103a的系数为2×103,次数为1.故选D.
3 整 式
1.单项式、多项式、整式的概念.
数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式.几个单项式的和叫做多项式.单项式和多项
式统称为整式.单独一个数或字母也是单项式.分母中出现字母的式子一定不是整式.
2.单项式的系数、次数.
3.多项式的项数、次数.
一、教材作业
【必做题】
教材第89页习题3.4的1,2题.
【选做题】
教材第89页习题3.4的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.多项式 - 23m2 - n2是( )
A.二次二项式B.三次二项式
C.四次二项式D.五次二项式
2.下列说法正确的是 ( )
A.3x2 - 2x+5的项是3x2,2x,5x y
B. - 与2x2 - 2xy - 5都是多项式
3 3
C.多项式 - 2x2+4xy的次数是3
D.一个多项式的次数是6,则这个多项式中只有一项的次数是6
3.下列说法正确的是 ( )
A.整式abc没有系数
x y z
B. + + 不是整式
2 3 4
C. - 2不是整式
D.整式2x+1是一次二项式
4.下列代数式中,不是整式的是 ( )
5a - 4b 3a+2
A. - 3x2 B. C. D. - 2005
7 5x
5.下列多项式中,是二次多项式的是 ( )
A.32x+1 B.3x2 C.3xy - 1 D.3x - 52
【能力提升】
6.已知 - 2xmyn+1的次数是2,求4m+4n - 7的值.
1
7.当a= ,b= - 3时,求代数式|b - a|的值.
2
8.如果多项式x4 - (a - 1)x3+5x2 - (b+3)x - 1不含x3和x项,求a,b的值.
【拓展探究】
9.已知四边形ABCD是长方形,以DC为直径的半圆与AB只有一个交点,且AD=a.
(1)用含a的代数式表示阴影部分面积.
(2)当a=10 cm时,求阴影部分面积. (π取3.14,保留两位有效数字)
【答案与解析】
1.A(解析:由多项式的项数和次数的概念可知 - 23m2 - n2是二次二项式.故选A.)
2.B(解析:A中2x应为 - 2x;C中次数为2;D中一个多项式中可以有多个项的次数是6.故选B.)
x y z
3.D (解析:A中整式abc的系数应为1;B中 + + 是整式;C中 - 2是整式;D中整式2x+1是
2 3 4
一次二项式.故选D.)
3a+2
4.C(解析: 中,分母中含有字母,所以不是整式.故选C.)
5x
5.C (解析:32x+1是一次多项式;3x2是二次单项式;3xy - 1是二次多项式;3x - 52是一次多项式.
故选C.)
6.解:由 - 2xmyn+1的次数是2可知m+n+1=2,所以m+n=1,4m+4n=4,所以4m+4n - 7=4 - 7= - 3.1 1 7 7 7
7.解:由a= ,b= - 3可知b - a= - 3 - = - ,所以 b - a = - = .
2 2 2 2 2
8.解:由多项式x4 - (a - 1)x3+5x2 - (b+3)x - 1不含x3和x项,可得 - (a - 1)=0, - (b+3)=0,所以
a - 1=0,b+3=0,所以a=1,b= - 3.
9.解:(1)因为 AD=a,所以DC=2a,左上角空白处的面积等于长方形面积的一半减去半圆面积的
πa2 1
一半,即 a2 - ,三角形 ABD 的面积等于 ×2a·a=a2,所以阴影部分的面积等于 a2 -
4 2
(
πa2
) (
πa2
)
a2 - . (2)把a=10 cm代入a2 - a2 - 得阴影部分的面积约为79 cm2.
4 4
本节课体现了以教师为主导,以学生为主体,以知识为载体,以培养学生的思维能力、动
手能力、探究能力为重点的教学思想.
课堂上留给学生独立思考的时间不充分,为完成教学任务教师讲解得过多或是一些思
维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
一是要注重课堂引入,可以选择精彩一点的引入,使得整堂课能一开始就具有一定的吸
引力,让学生有兴趣继续学下去;二要尽量抽出时间让学生来板书某些练习的具体过程.其实
从学生的当堂练习中可以发现很多问题,而这些课堂上所反应的问题往往都是学生在做作
业的过程中最容易出错的地方;三是在处理练习的时候,不要面面俱到,同类的问题讲解尽量
不要过多,要有所选择,多尝试着让学生自己去思考为什么.
随堂练习(教材第88页)
3x2
单项式: - 15a2b, , - a;多项式:2x - 3y,4a2b2 - 4ab+b2,x3+2y - x;单项式的系数分别为: - 15,
π
3
, - 1;多项式4a2b2 - 4ab+b2的次数最高,为4次.
π
习题3.4(教材第89页)
2
1.解:单项式有7h,次数是1.多项式有xy3+1,2ab+6, x - by3.xy3+1的次数是4,2ab+6的次数是
52
2, x - by3的次数是4.
5
1 1
2.解:(1)有3项, - x的系数是 - ,次数是1, - x2y的系数是 - 1,次数是3,2π是常数项,次数
3 3
是0. (2)有3项,x3的系数是1,次数是3, - 2x2y2的系数是 - 2,次数是4,3y2的系数是3,次数是
2.
(x+6)
3.(1) (2)(3x - 6)
2
1 1
4.解:需铺五彩石的面积是 a(a+b) - πa2 - πb2 m2.
4 4
5.解:图(3)所示的桌布下垂面积是 ( a2 - 1 πa2) m2;图(4)所示的桌布下垂面积是(a2 -
4
b2)m2.
以学生活动为主线,通过精心设计的问题导语启发、点拨学生,采用“启迪诱导 - 自主
探究”的教学模式,引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探
究,促进学生知识、技能和数学素养的提高,指导学生在课堂实践活动中,自主探索,合作交流,
获得知识, 提高技能,培养创造意识.
观察下列单项式:a, - 2a2,3a3, - 4a4,5a5……
(1)观察规律,写出第2011个单项式和第2012个单项式.
(2)请你写出第m个单项式和第(m+1)个单项式.(m为正整数)
〔解析〕 解决本题的关键是确定单项式的符号,根据题中所给的信息,发现第奇数个
单项式的符号是正,第偶数个单项式的符号是负.
解:(1)第2011个单项式是2011a2011,第2012个单项式是 - 2012a2012.
(2)第m个单项式是( - 1)m+1mam,第(m+1)个单项式是( - 1)m+2(m+1)am+1.
[解题策略] 当m为奇数时,( - 1)m+1=1,当m为偶数时,( - 1)m+1= - 1,这一规律可用来准确
地反映本题的符号规律.
4 整式的加减1.理解同类项的概念,会判断同类项并能熟练地合并同类项.
2.掌握去括号和添括号的法则,能准确地进行去括号和添括号运算,并能够将去括号和
添括号及合并同类项的方法综合利用.
3.能熟练地进行整式的加减运算.
1.通过复习相关内容或对相关内容的分析引入新课.
2.通过相关内容的概括引出同类项(合并同类项、去(添)括号、整式加减)的概念.
3.通过适当的例题,加深学生对这些知识及其相关内容的掌握.
4.通过习题巩固加深学生对概念的理解.
1.通过指导学生分析和概括相关的内容以帮助其获得新知识,让学生经历从特殊到一般
的过程,了解一般与特殊的辩证关系,培养辩证唯物主义思想.
2.通过对有关知识的概括和总结,培养学生的探索能力.
3.通过对实际问题的解决帮助学生提高综合运用知识的能力,并能在此过程中让学生体
会解决问题后的成就感,提高他们对数学的学习兴趣.
【重点】
1.同类项的概念.
2.掌握合并同类项的方法,并会应用.
3.学会去括号和添括号.
4.会做整式的加减法运算.
【难点】
1.能熟练地判断同类项.
2.能综合运用去括号法则与合并同类项的方法进行计算.
第 课时
1.领悟判断同类项的两条标准,会识别同类项.
2.掌握合并同类项的法则,并能合并同类项.经历合并同类项的过程,体验探究规律的思想.
培养学生观察、分析、归纳和动手解决问题的能力,初步使学生了解数学的分类思想,
通过合并同类项,体验化繁为简的数学思想.
【重点】 理解同类项的概念,并能正确进行同类项的合并.
【难点】 找准同类项,能熟练地进行同类项的合并.
【教师准备】 预设问题,本节素材.
【学生准备】 预习教材P .
90~91
导入一:
活动内容1:
动漫故事:早上小明妈妈要小明买早点,告诉他:爸爸要3个烧饼,3根油条;妈妈要2个烧
饼,4根油条.而小明自己要2个烧饼,2根油条.小明来到街上,孝顺的他先想到爸爸,买了3个
烧饼,3根油条,又去为妈妈买了2个烧饼,4根油条,最后又汗流满面地为自己买了2个烧饼,2
根油条.
学生观赏动漫故事后笑了.
师:为什么笑了?你发现了什么?如果是你,你会如何做?
生1:我发现小明不会把东西分类,并且合在一起.
生2:如果是我,我会先分类,再把同类的合并在一起买.
师:日常生活中,我们经常会碰到需要整理分类的问题.比如我们每天进教室的第一件事
就是整理课桌,把课本放在一起,练习本放在一起,文具放入文具盒里等.那么,我们这节课要解
决的第一个问题就是会把代数式或代数式的项按照一定标准进行分类.
[设计意图] 用生活中的故事情境迅速吸引了学生的注意力,激发了学生的学习兴趣,主
动积极地构建他们的数学认知结构.简单的问题有利于激起学生的兴趣,感受到分类的必要
性.
活动内容2:
多媒体展示某学校校园的总体规划图.(单位:m)试计算这个学校的土地面积.
生1:(100a+200a+240b+60b)m2.生2:[(100+200)a+(240+60)b]m2.
师:这两位同学给出了两个代数式,比较这两个代数式,你发现了什么?
学生思考讨论,自己发现:100a+200a=(100+200)a,即300a,240b+60b=(240+60)b,即300b.
生3:我发现100a+200a=(100+200)a,即300a,240b+60b=(240+60)b,即300b.
师:为什么第一个代数式中 100a+200a 可以等于(100+200)a,240b+60b 可以等于
(240+60)b?
生4:它们是同类的,可合并在一起.
[设计意图] 通过比较培养了学生观察、思考、类比、判断的能力.使学生亲身体会了
数学与生活存在着密切的关系.
导入二:
[过渡语] 今天这节课我们从一则小游戏开始,同学们玩过这个游戏吗?你对这个游戏
的规则了解吗?
[处理方式] 学生对这个游戏很熟悉,是把同样的图案连起来,也就是把图案归类.
师:在我们的日常生活中,经常会碰到需要我们整理分类的问题.比如我们每天进教室的
第一件事就是整理课桌,把课本放在一起,练习本放在一起,文具放入文具盒里等等.那么,我们
这节课要解决的第一个问题就是会把代数式或代数式的项按照一定标准进行分类.
[设计意图] 通过学生身边喜闻乐见的小游戏激发学生的兴趣,同时让学生知道分类的
思想在生活中经常用到,进而引入本节知识,体会分类在数学中的应用.
[过渡语] 前面所学的多项式中的项我们能不能按照一定的标准分类呢?
探究活动1 识别同类项
思路一
比较下面(1)(2)(3)组中的单项式,有什么共同特点?第(4)(5)组中的单项式具备这个特点
吗?
(1)240b和60b;(2) - 9x2y3和5x2y3;(3)5ab2和 - 13ab2;(4)2abc和3ab;(5)2ab2和3a2b.
[处理方式] 先由学生独立发现,若有困难,可分组讨论交流.
生:(1)(2)(3)组中单项式的共同特点是所含字母相同,并且相同字母的指数也相同.(师板
书)(4)(5)两组不同时具备这些特点.
师:如果你是第一个发现类似(1)(2)(3)中的单项式的共同特点的数学家,你会给它们起什
么名字?哪位同学能给出同类项的准确定义?学生踊跃发言.(师板书)
师:同学们真棒.经过大家的讨论,已经归纳得很准确了.也就是说,所含字母相同,并且相
同字母的指数也相同的项可以结合在一起,我们就把这样的项叫做同类项.(教师电脑演示同
类项的概念)请大家自由读两遍.
[设计意图] 有前面的过程,学生易想到“同类”,又由于它们是多项式中的“项”,所
以叫“同类项”,揭示课题.学生感受数学概念名称的由来,更好地理解概念,享受成功带来的
快乐.
思路二
1.看下面两组单项式:
(1)5a2与 - 4a2; (2)3xy2与 - xy2.
每组单项式的共同点是 ,不同点是 .
像这样所含字母 ,并且 也相同的项叫做同类项.
注意:判断同类项的两个相同是: 相同, 相同.一个无关是:
无关.
2.请你来判断,下列各题中的两个单项式是同类项的打,不是的打×.
(1)a2与3a2( ); (2)a2b与a2c( );
(3)m2n与2mn2( ); (4) - 125与12( ).
[处理方式] 问题1由学生口答完成,由此引入课题. 解决了问题1,问题2可让学生抢
答,激发学生的竞争意识.
[设计意图] 由旧知识引入新知识,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在
不知不觉中感受学习数学的乐趣.
探究活动2 合并同类项
现在我们知道了同类项的意义,当我们在一个式子中遇到了同类项怎么处理呢?仿照
100a+200a=(100+200)a=300a,把下列各式中的同类项合并成一项,并说说你的理由.
(1)7a - 3a= ;
(2)4x2+2x2= ;
1
(3)5ab2+ ab2 - 13ab2= ;
2
(4) - 9x2y3+5x2y3= .
从上面你能得到合并同类项的方法吗?
[处理方式] 学生独立思考,若有困难,可同学之间互相讨论补充.学生仿照
100a+200a=(100+200)a=300a进行计算,注意(3)中系数不能写为带分数.(师板书合并同类项
的法则)
[设计意图] 学生通过练习已经做到了合并同类项.但合并需要旧知识有理数的加法作
为桥梁,体现了知识间的互相渗透与交融.这里又化解了本节的学习难点.
巩固练习
用乘法分配律合并同类项.
y
(1)3y+ ; (2)7a+3a2+2a - a2+3.
2[处理方式] 教师巡视并作指导,展示学生的解题过程,并请学生点评.
根据乘法分配律合并同类项:
(1) - xy2+3xy2;(2)7a+3a2+2a - a2+3.
合并同类项:
1 1
(1)3a+2b - 5a - b;(2) - 4ab+ b2 - 9ab - b2.
3 2
[处理方式] 找两名学生到黑板板演,其他学生在练习本上完成.师生总结合并同类项的
步骤:
(1)发现同类项.(找)找出同类项后,教师引导学生用不同的下划线标出不同类的同类项.
(2)确定各同类项系数.(移)把同类项移动到同一个括号内,注意括号前一定是“+”号,移
动时一定要连同前面的符号一起移动.
(3)合并同类项.(并)严格按照法则合并同类项,一定要有系数相加的步骤,字母和字母的
指数不变.系数相加即有理数的加减,要防止出错.系数相加后不要忘记带上“单位”(即字母
和字母的指数).
[设计意图] 例题的目的是应用法则合并同类项,在掌握合并同类项方法的基础上,进一
步将学生自主学习与创新意识的培养落到实处.通过完成合并同类项,让学生自己总结归纳
合并同类项的步骤.教师要结合学情强调解题时的易错点.
探究活动3 化简求值
1
求代数式 - 3x2y+5x - 0.5x2y+3.5x2y - 2的值,其中x= ,y=7.
5
[处理方式] 学生自己动手解决,并请至少两名学生板演,最好是一名学生先化简再代入
求值,另外一名学生是直接代入求值,然后让学生来评价哪种解题过程简单.
如果没有学生直接代入求值,教师可以引导学生思考:可以把题中x和y的值直接代入多
项式进行计算吗?与先合并同类项,再代入求值相比,哪种方法比较简便?
[设计意图] 学生通过自己实践,亲身体验,更能体会先合并同类项后代入求值往往比直
接代入求值简便,比教师用语言强调先合并同类项后代入求值更有效果.这样设计更能突出
课堂中学生的主体地位和教师的主导地位.
[知识拓展]
(1)两项是同类项的条件有:①含有相同的字母;②相同字母的指数分别相等.两个条件
缺一不可.
(2)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,只与字母及字母的指数有关.
(3)合并同类项时,要注意:①系数相加时,要注意符号.②字母和字母的指数不能变动.
③是同类项的能合并,不是同类项的不能合并.④移动项的位置时,要连同它前面的符号一
起移动.
1.同类项的概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.
2.合并同类项:系数相加,字母与字母的指数不变.
3.巧记合并同类项的法则.将合并同类项的法则编成歌诀:
同类项、同类项,两个条件不能忘;字母要相同,指数要一样;合并同类项,合并法则不能忘;
只求系数和,字母、指数不变样.
1.下面各组中是同类项的是( )
A.3a2b3和2b3a2 B.2x2y和2xy2
C.4与a D.2x和2ax
解析:根据同类项的定义,需要满足两个条件,所含字母相同及相同字母的指数也相同.故
选A.
2.下列合并同类项正确的是( )
A.2x2 - 3x= - xB.2x2 - 3x2= - 1
C.2x2+3x=5x3 D.2x2+5x2=7x2
解析:是同类项的才能合并,合并同类项时,只把系数相加,字母和字母的指数不变.故选
D.
3.合并同类项.
(1)7a2 - 2ab+b2 - 5a2 - b2 - 2a2 - ab;
(2)6x+2x2 - 3x+x2+1;
(3) - 3ab+7 - 2a2 - 9ab - 3.
解:(1)7a2 - 2ab+b2 - 5a2 - b2 - 2a2 - ab
=7a2 - 5a2 - 2a2 - 2ab - ab+b2 - b2= - 3ab.
(2)6x+2x2 - 3x+x2+1
=6x - 3x+2x2+x2+1
=3x+3x2+1=3x2+3x+1.
(3) - 3ab+7 - 2a2 - 9ab - 3
= - 2a2 - 3ab - 9ab+7 - 3
= - 2a2 - 12ab+4.
4.填空: - a2b - ( )=a2b.
解析:由减数=被减数 - 差可得 - a2b - a2b= - 2a2b.故填 - 2a2b.
5.若 - 3x2y3k+4x2y6的结果为单项式, 则k= .
解析: - 3x2y3k+4x2y6的结果为单项式说明两项是同类项,可以进行合并,根据同类项的定
义可得3k=6,所以k=2.故填2.
[设计意图] 题目从易到难符合学生的认知规律,易于培养学生的思维能力.教师根据达
标题完成情况,对于完成较好的学生及时给予激励性的表扬,对于完成不好的学生及时反馈、
纠正,甚至作为课后辅导的对象.
第1课时
1.同类项的定义所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.
2.合并同类项
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
例1
例2
3.化简求值
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第91页习题3.5的1题.
【选做题】
教材第92页习题3.5的6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各组中的两项,不是同类项的是( )
A.a2b与 - 6ab2 B. - x3y与2yx3
C.2πR与π2R D.35与53
2.下列计算正确的是 ( )
A.3a2 - 2a2=1 B.5 - 2x3=3x3
C.3x2+2x3=5x5 D.a3+a3=2a3
3.减去 - 4x等于3x2 - 2x - 1的多项式为 ( )
A.3x2 - 6x - 1 B.5x2 - 1
C.3x2+2x - 1 D.3x2+6x - 1
4.多项式 - 3x2y - 10x3+3x3+6x3y+3x2y - 6x3y+7x3的值( )
A.与x,y都无关 B.只与x有关
C.只与y有关 D.与x,y都有关
【能力提升】
5.若2x2ym与 - 3xny3是同类项,则m+n= .
1 2 1
6.合并同类项: - ab2+ ab2 - ab2= .
2 3 4
7.合并同类项: - 0.8a2b - 6ab - 3.2a2b+5ab+a2b.
【拓展探究】
1 1
8.若单项式 -
a2x
bm与anby - 1可合并为 a2b4,则xy - mn= .
2 2
9.合并同类项:5(a - b)2 - 3(a - b)2 - 7(a - b) - (a - b)2+7(a - b).
10.先化简,再求值.1
(1)5a2 - 4a2+a - 9a - 3a2 - 4+4a,其中a= - ;
2
9 1 11
(2)5ab - a2b+ a2b - ab - a2b - 5,其中a=1,b= - 2;
2 2 4
(3)2a2 - 3ab+b2 - a2+ab - 2b2,其中a2 - b2=2,ab= - 3.
【答案与解析】
1.A(解析:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.故选A.)
2.D(解析:按照合并同类项法则“系数相加,字母和字母的指数不变”判断.故选D.)
3.A (解析:要求的多项式为 - 4x与3x2 - 2x - 1的和.故选A.)
4.A(解析:合并同类项后结果为0.故选A.)
5.5 (解析:由2x2ym与 - 3xny3是同类项可得m=3,n=2,所以m+n=5.)
1 1 2 1 ( 1 2 1) 1
6. - ab2(解析: - ab2+ ab2 - ab2= - + - ab2= - ab2.)
12 2 3 4 2 3 4 12
7.解: - 0.8a2b - 6ab - 3.2a2b+5ab+a2b=( - 0.8 - 3.2+1)a2b+( - 6+5)ab= - 3a2b - ab.
1 1
8. - 3(解析:由单项式 - a2x bm与anby - 1可合并为 a2b4可得x=1,n=2,m=4,y=5.故填 - 3.)
2 2
9.解:把(a - b)与(a - b)2看作一个整体.5(a - b)2 - 3(a - b)2 - 7(a - b) - (a - b)2+7(a -
b)=(5 - 3 - 1)(a - b)2+( - 7+7)(a - b)=(a - b)2.
1 5
10.解:(1)原式= - 2a2 - 4a - 4,将a= - 代入得代数式的值为 - .
2 2
9 1
(2)原式= ab - 5a2b - 5,将a=1,b= - 2代入得代数式的值为 .
4 2
(3)原式=a2 - b2 - 2ab,把a2 - b2,ab均看作一个整体,将a2 - b2=2,ab= - 3代入得代数式的值
为8.
在整堂课的教学活动中充分体现学生的主体性,给学生提供充分参与数学活动的机会,
帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,培养学
生动手、动口、动脑和合作交流能力.
本节课容量较大,时间稍显不足.如达标检测的环节中,题目的处理上稍微显得有点仓促.
课堂设计进一步完善,把课堂中可能遇到的问题能够提前预设出来,使学生能够学好又
不至于集中学生负担.随堂练习(教材第91页)
1.提示:(1) - 2f. (2)15pq. (3)8y+2xy - 5. (4) b - 2a3+1.
2.解:(1)不正确,3x与3y不是同类项,不能合并.
(2)不正确,合并同类项时,字母和字母的指数不变,7x - 5x=2x. (3)不正确, - y2 - y2= - 2y2
.
(4)不正确,19a2b与9ab2不是同类项,不能合并.
11
3.提示:(1) - 1. (2) - .
3
习题3.5(教材第91页)
1.提示:(1)6x - 5f. (2)24b. (3)15a2b - 2b2c. (4) - 8wx.
5
2.提示:(1)61. (2) - 15. (3) - 3 .
8
3.(1)(6a+2) (2)3n+3 (3)(60x+12y)
4.提示:(1)2.5x. (2)5x+8y. (3)4xy.
5.解:答案不唯一.如xyz3,5xyz3.
1 (3 ) (1 3 )(1 ) 1 (1 ) 2 9 π
6.解:绿地面积为ab - mn - πn2= b b - · b b - π b = b2 -
8 2 2 2 2 8 2 8 32
3 1
b2> b2= ab,所以小华的设计符合要求.方案略.
4 2
合并同类项是这一章中的重要内容,熟练掌握合并同类项的法则是解决问题的关键,如
果对合并同类项的法则理解不透彻就会出现计算错误.在学习合并同类项时要学生理解同
类项的概念,弄清代数式中的系数、项等概念,会在较为复杂的代数式中找出同类项,理解合
并同类项实质就是对乘法分配律的逆用,让学生在具体的计算过程中养成用不同的记号标
识不同类别的同类项的习惯,防止漏项.
1
已知 - xa - 3y3与3y5 - bx3是同类项,则ab的值为 .
3
〔解析〕 根据同类项的定义可得a - 3=3,5 - b=3,所以a=6,b=2,所以ab=62=36.故填36.
[解题策略] 掌握两个单项式成为同类项必须具备的条件是解题的关键,即把握住同类
项的两个相同:字母相同,相同字母的指数也分别相同.求代数式p2 - 7p+4q - 2p2 - 3的值,其中p=2,q=1.
解:p2 - 7p+4q - 2p2 - 3=(p2 - 2p2) - 7p+4q - 3= - p2 - 7p+4q - 3,
当p=2,q=1时,原式= - p2 - 7p+4q - 3= - 22 - 7×2+4×1 - 3= - 17.
[解题策略] 利用合并同类项的法则化简多项式可使计算简便,但需要注意的是不是同
类项的一定不能合并.
第 课时
1.在具体情境中体会去括号的必要性,能运用运算律去括号.
2.总结去括号法则,并能利用法则解决简单的问题.
经历类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时符号变化的规律的过程,归纳出去括
号法则.
在现实情境中,培养学生的创新能力,培养学生的“类比”思想,增强学生学习数学的兴
趣.
【重点】 利用去括号法则,准确对整式进行化简.
【难点】 括号前面是“ - ”号和括号前面有系数时的去括号.
【教师准备】 预设学生学习过程中可能遇到的问题.
【学生准备】 火柴一盒.
导入一:
活动内容:
回答下列问题.
问题1请用字母表示乘法对加法的分配律.
问题2
( 2 3 1 )
计算( - 24)× - + + .
3 4 12
问题3
你会化简8a+2b+(5a - b)吗?
[处理方式] 问题1,2学生可以很轻松地得出结果,问题3可能有学生做出,这里仅仅是
提出问题,激发学生兴趣,引出课题,并不要求学生现在解决,而希望在本节课后面再回解该问
题.
[设计意图] 通过问题1,2复习已经学过的知识,让学生初步感知去括号;问题3是让学
生发现在化简代数式的过程中,遇到括号先计算括号内的,并不一定能很好地解决问题,为了
便于合并同类项,常常需要先将括号去掉.
导入二:
课件展示:
1.如果a2m - 1b与a5mbm+n是同类项,则(m+n)2013的值为 .
2.多项式3a - 2b - 5(a - b)中有同类项吗?怎样才能合并同类项?
学生讨论,然后小组选代表回答.
师:同学们到底回答得对不对呢?答案待我们学完本节课再做揭晓.这节课,咱们就一起来
探究一下如何去括号.(教师板书课题)
[设计意图] 学生合并时遇到了困难,要解决这个问题需先去括号,学生急于想知道如何
去括号,这样可激发学生的求知欲望.
[过渡语] 请各小组同学拿出准备好的火柴,让我们先从游戏“智慧大拼图”开始吧!
探究活动1 需要多少根火柴棒
思路一
搭1个正方形需要4根火柴棒;搭2个正方形需要7根火柴棒;搭3个正方形需要10根
火柴棒……
问题1
如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
问题2
你能用不同的搭建方法来解释吗?
[处理方式] 由于用火柴棒搭正方形在学习字母表示数中已经探究过,所以问题1学生
比较容易给出答案,对于问题2,学生可以利用课前准备的火柴棒,以小组为单位,亲自动手操
作,然后班内交流展示.(投影出示)小明、小颖、小刚三位同学的做法:
第一个正方形用4根,每增加一个正方形增加3根,那么搭x个正方形就需要火柴棒
[4+3(x - 1)]根.
把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的,然后再减多算的根数,得到的代数式是
4x - (x - 1).
第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的.此后每增加一个正方形就增
加3根,搭x个正方形共需(3x+1)根.
思路二
搭1个正方形需要4根火柴棒;搭2个正方形需要7根火柴棒;搭3个正方形需要10根
火柴棒……如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
你能用不同的搭建方法来解释吗?
[处理方式] 教师指导学生通过自学课本93页,动手操作,得出求搭x个正方形需要火
柴棒的根数的方法与思路,不理解的问题可以小组内进行交流,仔细理解各种表示法,得到代
数式之间的关系.
(1)
第一个正方形用4根火柴棒,每增加一个正方形火柴棒增加3根,那么搭x个正方形就需
要火柴棒[4+3(x - 1)]根.
(2)
把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的,然后再减去多算的根数,那么搭x个正
方形就需要火柴棒[4x - (x - 1)]根.
(3)
第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的,此后每增加一个正方形就增加火柴棒3根,搭x个正方形共需火柴棒(3x+1)根.
探究活动2 去括号法则
[过渡语] 刚才通过摆火柴棒得到的4+3(x - 1),4x - (x - 1),3x+1这三个代数式相等吗?
你能用我们学过的知识解释这种变形吗?
活动内容1:
利用乘法分配律去括号.
(1)4+3(x - 1); (2)4x - (x - 1); (3)4x+(x - 1).
[处理方式] 先让学生独立尝试利用乘法分配律进行去括号,教师适时点拨,第(2)题可把
括号前系数看作 - 1,第(3)题可把括号前系数看作1,再利用乘法分配律进行去括号.等学生完
成后,教师可以出示去括号过程做示范:
(1)4+3(x - 1)=4+3x+3×( - 1)=4+3x - 3=3x+1.
(2)4x - (x - 1)=4x+( - 1)·(x - 1)=4x+( - 1)·x+( - 1)×( - 1)=4x - x+1=3x+1.
(3)4x+(x - 1)=4x+1·(x - 1)=4x+1·x+1×( - 1)=4x+x - 1=5x - 1.
[设计意图] 在比较中学生会发现小刚的方法是最简便的.从而指出“去括号”的优越
性,即它可以把一些式子化繁为简.这种变形可以利用“乘法分配律进行去括号”的方法得
到,为下面探究括号前是“+”号和括号前是“ - ”号的情况做准备.
活动内容2:
观察下列等式,去括号前后,括号里各项的符号有什么变化?
(1)4x+(+x - 1)=4x+x - 1;
(2)4x - (+x - 1)=4x - x+1.
问题1
你能归纳出去括号的法则吗?
[处理方式] 学生观察、比较、思考、交流、总结,尝试用自己的语言来表述去括号法
则,教师给予引导和点拨.学生初步得出“去括号法则”后,教师利用课件展示完整的去括号
法则:
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变;
括号前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
问题2
下列各式一定成立吗?若不成立,请改正.
(1)3(x+8)=3x+8;
(2)6(x+5)=6x+5;
(3)a+(b - c+d)=a - b+c - d;
(4) - (x - 6)= - x - 6;
(5)a - (b - c)=a - b+c;
(6)a - (b - c+d)=a - b+c - d.
[处理方式] 学生先独立完成,然后找同学在黑板上写出答案,教师适时点拨.
[设计意图] 让学生通过观察、比较、归纳、总结出去括号的法则,教师及时补充,在屏
幕上展示完整的法则帮助学生规范记忆,最后学以致用,判断上面六个去括号的式子是否成
立,进一步加深对“去括号法则”的理解.探究活动3 去括号法则的应用
(教材例3)化简下列各式.
(1)4a - (a - 3b);
(2)a+(5a - 3b) - (a - 2b);
(3)3(2xy - y) - 2xy;
(4)5x - y - 2(x - y).
[处理方式] 本例分两步处理:(1)(2)为一组,即直接去括号(括号前系数为±1);(3)(4)为一
组,即间接去括号(括号前系数不为±1).先给学生20秒钟时间观察四道题目的特点,(1)(2)题找
一名同学在黑板上写出答案.学生板演:
解:(1)4a - (a - 3b)=4a - a+3b=3a+3b.
(2)a+(5a - 3b) - (a - 2b)=a+5a - 3b - a+2b=5a - b.
师:通过这两题的化简,谁能总结直接去括号(括号前系数为±1)的步骤呢?
学生思考,小组讨论1分钟,教师点拨,师生共同总结出直接去括号(括号前系数为±1)的一
般步骤有2步:(1)去括号;(2)合并同类项.(3)(4)题先让学生分析与前两题的区别,在学生口述
过程中,教师可进行有针对性的提问并板书,让学生理解法则的意义,规范书写步骤.
解:(3)3(2xy - y) - 2xy
=(6xy - 3y) - 2xy (乘法分配律)
=6xy - 3y - 2xy (去括号)
=4xy - 3y. (合并同类项)
(4)5x - y - 2(x - y)
=5x - y - (2x - 2y) (乘法分配律)
=5x - y - 2x+2y (去括号)
=(5x - 2x)+( - y+2y) (找同类项)
=3x+y. (合并同类项)
师:通过这两题的化简,谁能总结间接去括号(括号前系数不为±1)的步骤呢?
学生思考讨论后,师生总结出:若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将该数与括
号内的各项分别相乘再去括号,以免发生符号错误.
间接去括号(括号前系数不为±1)的一般步骤有3步:(1)乘系数;(2)去括号;(3)合并同类项.
[设计意图] 对于直接去括号(括号前系数为±1),大部分学生能独立完成.通过学生板演、
互评一方面训练学生的语言表达能力,提高自主学习的热情,另一方面能及时发现问题,规范
书写步骤.对间接去括号(括号前系数不为±1)的化简是本节课的难点.先让学生观察分析特点,
教师板书示范后,让学生再板演并组内互评,目的是让学生在思考、交流合作中成长、学习.
[知识拓展] 去括号时需要注意事项:
(1)去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
(2)要注意括号前的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
(3)要注意括号前面是“ - ”号时,去掉括号后,括号内的各项都要改变符号,不能只改变
括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
(4)当括号里的第一项是省略“+”号的正数时,去掉括号和它前面的“+”号后要补上
原先省略的“+”号.1.去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号
都不改变;括号前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉,原括号里各项的符号都要
改变.简称:“正不变,负变”.
2.去括号步骤:①直接去括号(二步法);②间接去括号(三步法).
3.以后对于有括号的多项式,在合并同类项之前先去括号再合并.
[设计意图] 在紧张而热烈的学习之余,学生需要静下心来,反思自己所学的内容,这是
一个对知识沉淀、吸收的过程.在畅谈自己的收获中,不断强化对知识的识记、理解与领悟.
1.下列各式,去括号正确的为( )
A.6a - 2(3a+b+c)=6a - 6a+b+c
B.(7x - 3y) - 3( - a2 - b)=7x - 3y+3a2+3b
C.a - ( - b+c+d)=a+b+c+d
D. - ( - a+1) - ( - b+c)= - a+1 - b - c
解析:根据去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项
的符号都不改变;括号前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉,原括号里各项的符
号都要改变.故选B.
2.化简4x - 4 - (4x - 5)= .
解析:4x - 4 - (4x - 5)=4x - 4 - 4x+5=1.故填1.
3.化简2(2x - 5) - 3(1 - 4x)= .
解析:2(2x - 5) - 3(1 - 4x)=4x - 10 - 3+12x=16x - 13.故填16x - 13.
4.把下列各式化简.
(1)3x2+5x - 2( - x2+x - 1);
(2)3(a2 - ab) - 5(ab+2a2 - 1).
解:(1)3x2+5x - 2( - x2+x - 1)=3x2+5x+2x2 - 2x+2=5x2+3x+2;
(2)3(a2 - ab) - 5(ab+2a2 - 1)=3a2 - 3ab - 5ab - 10a2+5= - 7a2 - 8ab+5.
第2课时
1.下列代数式相等吗?
(1)4+3(x - 1);
(2)4x - (x - 1);
(3)3x+1.
2.去括号法则:
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号都不改变;括号
前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉,原括号里各项的符号都要改变.简称:“正
不变,负变”.3.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第94页习题3.6的1题.
【选做题】
教材第95页习题3.6的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简 - 2a+(2a - 1)的结果是 ( )
A. - 4a - 1 B.4a - 1
C.1 D. - 1
2.下列变形中,不正确的是 ( )
A.a+(b+c - d)=a+b+c - d
B.a - (b - c+d)=a - b+c - d
C.a - b - (c - d)=a - b - c - d
D.a+b - ( - c - d)=a+b+c+d
3.化简m - n - (m+n)的结果是 ( )
A.0 B.2m
C. - 2n D.2m - 2n
4.下列式子正确的是 ( )
A. - 2x2a+2a2x=0
B. - a2+3a2=2a4
C. - 5a2b+4a2b= - 1
1 1 1
D. y2x - xy2= xy2
2 3 6
【能力提升】
5.(a - b) - (a+b)= .
6.若m,n互为相反数,则5m+5n - 5= .
7.|a - 2|+(a+b - 3)2=0,则代数式3a(a+b)的值为 .
【拓展探究】
8.先化简,再求值: x2+ ( - x2+3xy +2y2) - (x2 - xy +2y2),其中x=1,y=3.
【答案与解析】
1.D(解析:根据去括号法则,先去括号再合并同类项可得结果为 - 1.故选D.)
2.C(解析:C选项中,括号前是“ - ” 号,把括号和“ - ”号都去掉,括号内各项都改变符号. -
d应改为+d.故选C.)
3.C (解析:化简m - n - (m+n)的结果应为 - 2n.故选C.)
4.D(解析:A.不是同类项,不能合并;B.合并后,字母的指数不能发生变化;C.漏掉了字母及指数.故选D.)
5. - 2b (解析:(a - b) - (a+b)=a - b - a - b= - 2b.)
6. - 5(解析:因为m,n互为相反数,所以m+n=0,5m+5n - 5=5(m+n) - 5= - 5.)
7.18(解析:由题意可知a=2,b=1,所以3a(a+b)=18.)
8.解:x2+ ( - x2+3xy +2y2) - (x2 - xy +2y2) =x2 - x2+3xy +2y2 - x2+xy - 2y2= 4xy - x2 .当
x=1,y=3时,4xy - x2=4×1×3 - 1=11.
本节课是以复习的方式引入新课,在复习巩固合并同类项的同时,设计了学生还没学习
的有关带括号的题目,引发学生探究新知的欲望,学生根据现有的知识和解决问题的经验会
联想到去括号,从而很自然地引出了本节课的内容.接着学生利用火柴棒拼正方形所需根数
的问题探究出去括号法则.为了巩固去括号法则,对学生进行了变式训练,通过练习,学生掌握
了整式化简的规范过程,提高了学生解决问题的能力.本节课教师教给学生怎样转化、怎样
类比,让学生感悟到了转化类比的重要性.
经典的练习题没有处理,课堂容量稍低.括号前面同时有系数和“ - ”号时,学生处理得
不理想.
在例题的设置与讲解上更多地与学生互动,争取课堂容量再大一些,以便拓宽学生本节
课的知识面.
随堂练习(教材第94页)
1.(1)11x+5 (2)8x - 3 (3)y+5 (4)5x - 7
2.解:(1)(2)(3)一定不成立;(4)不一定成立.
习题3.6(教材第94页)
1.提示:(1)2xy - 3z. (2) - 3pr. (3) - 3x - 2y. (4) - 2x+6y - 6. (5)4a2b - 3ab. (6)1 -
4x+2y2.
2.解:有道理.因为a2+a(a+b) - 2a2 - ab=a2+a2+ab - 2a2 - ab=(a2+a2 - 2a2)+(ab - ab)=0,所以不
用给a,b的值,便知代数式的值为0.
本节课的重点是去括号法则的理解和运用.首先,从选取的情境“搭火柴棒”引入,注意本章整体的连续性,运用乘法分配律把其中的两个代数式去括号化简成最后一个,保持答案
的一致性和标准性;其次,学生分析去括号前后符号的变化,探究总结出去括号法则并熟记;最
后,让学生尝试运用去括号法则解决有关整式加减运算的问题,在问题解决的过程中教师要
善于发现学生出现的错误,并把突出的问题集中展示,由学生集体剖析错误的原因,提示全体
学生去括号时注意的方面.借助多媒体及动画演示,设置问题情境,让学生主动参与到教学活
动中,启发学生的探索灵感.
计算4xy2 - 3x2y - {3x2y+xy2 - [2xy2 - 4x2y+(x2y - 2xy2)]}.
〔解析〕 去多重括号时,可以由内向外逐层进行,也可以由外向内逐层进行,如果去括
号法则掌握得较熟练,也可以内外同时去括号.
解法1:(由内向外逐层去括号)
原式=4xy2 - 3x2y - [3x2y+xy2 - (2xy2 - 4x2y+x2y - 2xy2)]=4xy2 - 3x2y - (3x2y+xy2 -
2xy2+4x2y - x2y+2xy2)=4xy2 - 3x2y - (6x2y+xy2)=4xy2 - 3x2y - 6x2y - xy2=3xy2 - 9x2y.
解法2:(由外向内去括号)
原式=4xy2 - 3x2y - 3x2y - xy2+[2xy2 - 4x2y+(x2y - 2xy2)]=3xy2 - 6x2y+2xy2 - 4x2y+(x2y -
2xy2)=5xy2 - 10x2y+x2y - 2xy2=3xy2 - 9x2y.
解法3:(内外同时去括号)
原式=4xy2 - 3x2y - 3x2y - xy2+(2xy2 - 4x2y+x2y - 2xy2)=3xy2 - 6x2y - 3x2y=3xy2 - 9x2y.
数学课上,李老师给同学们出了一道整式的化简求值的练习题:
(xyz2+7xy - 2)+( - 3xy+xyz2 - 5) - (2xyz2+4xy).
李老师看着题目对同学们说:“大家任意给出x,y,z的一组值,我能马上说出答案.”同学
27 19
们不相信,小刚同学立刻站起来,但他刚说完“x=2013,y= - ,z= ”后,李老师就说出了答
7 3
案是 - 7.同学们都感到不可思议,计算速度也太快了吧,何况是这么复杂的一组数值呢!但李
老师却信心十足地说:“这个答案准确无误.”
你知道李老师为什么算得这么快吗?
解:(xyz2+7xy - 2)+( - 3xy+xyz2 - 5) - (2xyz2+4xy)
=xyz2+7xy - 2 - 3xy+xyz2 - 5 - 2xyz2 - 4xy
=(1+1 - 2)xyz2+(7 - 3 - 4)xy+( - 2 - 5)
=0+0+( - 7)
= - 7.
化简后的结果不含有字母x,y,z,也就是说整式的值与x,y,z的取值无关,所以李老师能快
速得出答案.
第 课时会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,发展学生的有条理的思考能力及语言表
达能力.
通过探索规律的问题,进一步体会符号表示的意义,发展符号感,发展推理能力.
在运用数学描述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和广泛应用的特点,体
会数学的价值.
【重点】 会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理.
【难点】 正确地去括号、合并同类项,及符号的正确处理.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
95~96
导入一:
师:同学们,今天在上课之前,我们一起玩一个关于数字的“魔术”游戏,想玩吗?
生:想.
师:那好,从现在开始,请你任想一个正整数,先减去2,再加上它本身,再乘5,再加上3,再加
上一个小于10的正整数,最后把答案告诉我,我就能马上猜出你想的两个数.你信吗?
生:不信.(大多数同学回答)
师:那我们就试一试吧,现在你们按要求开始.
生1:我的结果是18.
师:你第一个想的数是2,第二个数是5,对吗?
生1:对.(学生用疑惑的眼神看着教师)
师:你来说一下你的结果.
生2:我的结果是126.
师:你第一个想的数是13,第二个数是3,对吗?
生2:对.(学生很惊讶)……
师:你们想知道为什么吗?
生:想.
师:那我们就一起来学习吧!(教师板书课题)
[设计意图] 让数学知识披着魔术的外衣,不仅能调动学生的好奇心,激发学生的兴趣,
启迪学生的智慧,同时也让学生在不知不觉中走进绚丽多姿的数学王国,从而深深爱上数学.
导入二:
活动内容:
1.填空:整式包括 和 .
2.下列各组单项式中,是同类项的一组是 ( )
1
A.22x2y与
3
B.2m2n与2mn2
2
C. ab与abc
3
1
D.xy2与 xy2
4
3.去括号后合并同类项:(3a - b)+(5a+2b) - (7a+4b).
[处理方式] 教学中,教师和学生复习整理的方式可以多样化,可以口头设问,可以以简
单的练习形式呈现.本环节开始就有效地帮助学生集中注意力,既复习了前面所学的主要内
容,又有利于学生顺利观察归纳出整式加减的实质:整式的加减运算是“合并同类项”与
“去括号”.
[设计意图] 和学生共同回忆以前的知识,降低教学难度,激发学生的兴趣,从而顺利过
渡到本节的知识内容,为下一个环节做好铺垫.
探究活动1 字母表示数的加减规律
思路一
活动内容1:
全班分成多个四人小组,小组内每名学生任写一个两位数,将两数字交换位置后得到的
新的两位数与原数相加,写出自己得到的结果,小组内交流结果,根据以下问题进行讨论.
讨论1:这些和有什么规律?
讨论2:这个规律对任何一个两位数都成立吗?为什么?
如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为
,交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 ,这两个两位数的和为
.
活动内容2:
每名学生任写一个三位数,交换它的百位与个位数字,得到新的三位数,将其与原数相减,
结果有什么规律?这个规律对任何一个三位数都成立吗?为什么?[处理方式] 涉及应用整式的加减运算解决问题的情境很多,所以教学中还可以因地制
宜地选择不同的情境,但务必注意留给学生充分的观察、发现、探索、交流的时间.
[设计意图] 利用两个数字游戏,使学生经历用字母表示数量关系的过程,发展符号感,
体会整式加减运算的必要性,在活动过程中让学生充分发挥主体作用,从自己的视点去观察、
归纳,自然地认识到整式的化简实质上就是整式的加减.
思路二
活动内容1:(多媒体出示)
师:按照下面的步骤做一做:
(1)任意写一个两位数;
(2)交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个数;
(3)求这两个数的和.
(学生选一个两位数按上面的步骤进行运算,如:52+25=77,36+63=99等)
师:设一个两位数的十位数字为a,个位数字为b,请用代数式表示这个两位数.
生:10a+b.
师:交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个数,这个数如何表示?
生:10b+a.
师:这两个数的和如何表示?
生:(10a+b)+(10b+a).
师:结果是什么?有什么规律?
(教师引导学生如果想要计算出结果,则应先根据去括号法则去括号,然后再合并同类项)
生:11a+11b,是11的整数倍(或能被11整除).
师:这个规律对任意一个两位数都成立吗?
生:成立.
活动内容2:
师:同学们,请利用上面的方法来做下面这题.(多媒体出示)
任意写一个三位数
交换它的百位数字与个位数字,又得到一个数
两个数相减
请用整式表示上面的过程,这两个数相减后的结果有什么规律?这个规律对任意一个三
位数都成立吗?
[处理方式] 学生有了做上一题的经验,这一题相对来说较容易.教师适时引导:任意一
个三位数可以表示为100a+10b+c,交换它的百位数字与个位数字后变为100c+10b+a,两数相
减可表示为(100a+10b+c) - (100c+10b+a),根据去括号法则去括号,然后再合并同类项,结果为
99a - 99c,结果都能被99整除,对任意一个三位数都成立.
探究活动2 整式运算实质活动内容:
议一议:在上面的两个问题中,分别涉及了整式的什么运算?说说你是如何运算的?
整式的加减运算实质就是 ,运算的结果是一个 或 .
归纳:进行整式加减运算时,有括号先去括号,再合并同类项.
[处理方式] 给学生自主探究的时间和空间,让学生独立思考问题,如果有困难,学生可
互相交流,让学生自己说出运算的方法和技巧,并能对简单的规律进行解释和归纳.实践表明,
给了学生充分的活动空间,学生会带给我们很多的惊喜.学生踊跃发言,不时闪现智慧的火花.
[设计意图] 通过上面的两个数字游戏,学生实际上已经经历了整式加减运算的两个步
骤,新的问题的提出,目的是引导学生独立总结出整式加减运算的法则、发展有条理的思考
能力及语言表达能力.
探究活动3 整式运算应用
活动内容:
(教材例4) 计算:
(1)2x2 - 3x+1与 - 3x2+5x - 7的和;
1 1 3
(2) - x2+3xy - y2与 - x2+4xy - y2的差.
2 2 2
解:(1)(2x2 - 3x+1)+( - 3x2+5x - 7)
=2x2 - 3x+1 - 3x2+5x - 7
=2x2 - 3x2 - 3x+5x+1 - 7
= - x2+2x - 6.
(2) ( - x2+3xy - 1 y2) - - 1 x2+4xy - 3 y2
2 2 2
1 1 3
= - x2+3xy - y2+ x2 - 4xy+ y2
2 2 2
1 1 3
= - x2+ x2+3xy - 4xy - y2+ y2
2 2 2
1
= - x2 - xy+y2.
2
[知识拓展]
1.整式加减一般步骤并不绝对,在具体运算中,也可以先将同类项合并,再去括号(当然要
按运算顺序去做).
2.已知代数式和代数式中字母的值,求代数式的值,一般不直接将字母的值代入代数式,
而是先把代数式化简,然后代入求值.
1.整式加减运算的法则:先去括号,再合并同类项.
2.数学思想:由特殊到一般.
3.方法、技巧与规律小结.在求整式的和或差时,应根据题意列出算式再计算,列式时注意要把每个多项式看作整
体用括号括起来,以防出错.去括号时,一定要严格按照去括号法则进行,准确判断括号内的各
项是变号还是不变号.合并同类项是最后一步,要做到找对同类项,结果没有同类项可以合并.
1.5a+2b+(3a - 2b) = .
解析:5a+2b+(3a - 2b)= 5a+2b+3a - 2b=8a.故填8a.
2. (1 x3 - 3 x y2) - (1 x y2 - 3 x3) = .
2 4 4 2
解析: (1 x3 - 3 x y2) - (1 x y2 - 3 x3) = 1 x3 - 3 xy2 - 1 xy2+ 3 x3=2x3 - xy2.故
2 4 4 2 2 4 4 2
填2x3 - xy2.
3.求x2 - 7x - 2与 - 2x2+4x - 1的和.
解:(x2 - 7x - 2)+( - 2x2+4x - 1)
=x2 - 7x - 2 - 2x2+4x - 1
= - x2 - 3x - 3.
4.求4k2+7k与 - k2+3k - 1的差.
解:(4k2+7k) - ( - k2+3k - 1)
=4k2+7k+k2 - 3k+1
=5k2+4k+1.
第3课时
计算:
(1)2x2 - 3x+1与 - 3x2+5x - 7的和;
1 1 3
(2) - x2+3xy - y2与 - x2+4xy - y2的差.
2 2 2
一、教材作业
【必做题】
教材第96页习题3.7的1题.
【选做题】
教材第97页习题3.7的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.计算m - [n - 2m - (m - n)]等于 ( )A. - 2n B.2m
C.4m - 2n D.2n - 2m
2.式子3a2 - b2与a2+b2的差是 ( )
A.2a2 B.2a2 - 2b2
C.4a2 D.4a2 - 2b2
3.减去 - 3m等于5m2 - 3m - 5的式子是 ( )
A.5(m2 - 1) B.5m2 - 6m - 5
C.5(m2+1)D. - (5m2+6m - 5)
4.单项式3a2b,2ab, - 3ab2, - 4a2b,3ab的和为 .
【能力提升】
5.去括号并合并同类项.
(1)2a+(a+b) - 2(a+b);
(2)1 - (3xy - x)+2(2x+3yz).
6.计算.
(1) - 3x2y+2x2y+3xy2 - 2xy2;
(2)5(a+b) - 4(3a - 2b)+3(2a - 3b);
(3)3a2 - (5a2 - ab+b2) - (7ab - 7b2 - 3a2).
【拓展探究】
7.已知A=a2+b2 - c2,B= - 4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0.
(1)求多项式C.
(2)若a=1,b= - 1,c=3,求A+B的值.
【答案与解析】
1.C(解析:先去小括号,再去中括号,最后合并同类项.)
2.B(解析:注意算式带上括号,(3a2 - b2) - (a2+b2)=2a2 - 2b2.)
3.B (解析:根据题意可得要求的算式应该是 - 3m+5m2 - 3m - 5=5m2 - 6m - 5.)
4. - a2b+5ab - 3ab2
5.解:(1)原式=2a+a+b - 2a - 2b=a - b. (2)原式=1 - 3xy+x+4x+6yz=1 - 3xy+5x+6yz.
6.解:(1)原式=( - 3x2y+2x2y)+(3xy2 - 2xy2)= - x2y+xy2. (2)原式=5a+5b - 12a+8b+6a - 9b=(5a -
12a+6a)+(5b+8b - 9b)= - a+4b. (3)原式=3a2 - 5a2+ab - b2 - 7ab+7b2+3a2=a2 - 6ab+6b2.
7.解:(1)因为A+B+C=0,所以C= - (A+B)= - (a2+b2 - c2 - 4a2+2b2+3c2)= - ( - 3a2+3b2+2c2)=3a2 -
3b2 - 2c2.
(2)当a=1,b= - 1,c=3时,A+B= - C= - 3a2+3b2+2c2=18.
这节课的知识对于各个层次的学生来说或能全部掌握或能部分掌握,所以“学困生”
也能在学习中获得成功的喜悦,因此要对他们及时给予肯定,要充分抓住习题的最后一个题,
对学优生进行评价,总之要让每个学生有所收获.课堂上引导学生观察、总结整式的加减运算的一般步骤,便于学生积累学习经验.
部分基础较差的学生学习的投入程度远远不够,小组合作中也无法真正融入学习小组
中,很多问题启而不发,如何提高面向全体学生的有效教学是需要研究的一个课题.
课堂习题量很大,学生思考量也不小,因此应格外关注学生是否真正地理解和应用法则.
另外,应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学
生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
随堂练习(教材第96页)
提示:(1)3k2+10k - 1. (2) - 7y - 4x - 16z2. (3)5p3+7p2 - 9p - 7. (4) - 1.
习题3.7(教材第96页)
3
1.提示:(1)x2+3xy - x. (2)x2 - y2. (3)2x2y - 6xy+10. (4) - 2k2+2k+7.
2
1
2.提示:(1)20. (2) - . (3) - 18.
2
3.解:设所选三个数字分别是 x,y,z,则由这三个数字组成的六个两位数可以分别表示为
10x+y,10y+x,10x+z,10z+x,10y+z,10z+y,把它们相加,得22(x+y+z).因此六个两位数的和除以所选
三个数字之和,结果都是22.
整式运算通常是繁琐而又乏味的,学生也通常不知道为什么要进行整式运算.教材在引
入整式运算法则时,创设问题情境,一方面让学生感受到整式的运算是有意义的,是解决问题
的需要,另一方面又使学生在解决问题中思考、类比、归纳运算法则,感受运算法则的合理
性,从而帮助记忆.因此,创设问题情境,没有冲淡主题、没有冲淡数学,而是突出了整式运算的
实际意义、突出了学生对整式运算法则的理解,是从“让学生自己去建构知识的意义”的
角度出发的.
如果多项式|a+b - 1|x4+5x3 - (a+3)x2+2不含x4和x2项,求a,b的值.
〔解析〕 多项式不含x4和x2项,则x4和x2项的系数就是0. 根据这两项的系数等于0
就可以求出a和b的值了.
解:因为多项式不含x4项,所以|a+b - 1|=0,所以a+b=1, 因为多项式也不含x2项,所以 -
(a+3)=0,所以a= - 3,所以b=4.
[解题策略] “字母表示数”是代数学的基础,这种符号化的表示方法随着学习的深入会逐渐加深数学抽象化的程度,我们要体会这种抽象化,它更接近数学的本质,也是有效地解
决数学问题的工具.
5 探索与表达规律
1.掌握探索规律的一般方法与步骤.
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系.
1.经历探索数量关系的过程,应用符号表示规律,通过验算证明规律的过程,培养学生严
谨治学的学习态度和推理能力.
2.在探究图形规律和数列规律的过程中,培养学生的创新能力.
1.培养学生面对挑战勇于克服困难的意志,鼓励大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学
习热情.
2.通过活动,为学生创设生动活泼的探究知识的情境,从而调动学生学习数学知识的积
极性,使学生自主地发现问题,创造性地解决问题.
【重点】 在实际情境中探索发现规律,并能用代数式表达规律.
【难点】 用代数式表达发现的规律,培养学生的创新能力、归纳能力、应用意识.
第 课时
1.在对日历的观察探究活动中,发现日历中横列、竖列的数以及3×3方框里九个数之间
的关系,能用字母表示并借助代数式运算解释其中的规律.
2.能运用合并同类项、去括号等法则验证探索得到的规律.经历“由特殊的例子进行分析、猜想,用符号表示,并给出证明”这一重要的数学探索
过程.在探索过程中体验类比、转化等思维方法.
培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体
验,激发学生的学习热情.同时,让学生感受数学知识在实际生活中的广泛应用.
【重点】 在实际情境中探索发现规律,并能用代数式表达规律.
【难点】 用代数式表达发现的规律;在学习中培养学生的创新能力.
【教师准备】 预设问题、日历.
【学生准备】 预习教材P .
98
导入一:
请同学们伸出左手,一起做下面的游戏:从大拇指开始,像图中显示的这只手那样依次数
数1,2,3,4,5……那么数字20落在哪个手指上?
[处理方式] 先让学生自己独立思考.预测学生会用数手指的方式解决问题,然后教师
再鼓励学生采用画图、列表等方法进行思考、讨论,最终引导他们概括规律,并说出理由.
大拇指 食指 中指 无名指 小指
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
……
当学生说出数字20刚好落在无名指上后,教师继而追问:你们能很快地说出数字200落
在哪个手指上吗?2000呢?预测学生的答案:除了第一排5个数字以外,其他的可先按从右到
左、再从左到右的顺序,每8个数一组,所以我们只需把要数的数字减去5,再除以8,将得到
的余数从无名指开始先向左数、再向右数就可以知道落在哪个手指上了,比如:数字200,先计算(200 - 5)÷8=24……3,所以只需从无名指开始向左数3就可以了,数到3时刚好落在食指
上,即200落在食指上.采取类似的办法,(2000 - 5)÷8=249……3,所以数字2000也落在食指上.
[设计意图] 通过游戏创设问题情境,目的一方面是调动学生的积极性,活跃课堂氛围.
另一方面是让学生在解决问题中形成认知冲突,激发学生的学习兴趣和探究欲望,同时也让
学生初步体验探索规律的一般方法.
导入二:
活动内容:
我爱记歌词:
一只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿,1声扑通跳下水;
两只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿,2声扑通跳下水;
三只青蛙3张嘴,6只眼睛12条腿,3声扑通跳下水;
n只青蛙 张嘴, 只眼睛 条腿, 声扑通跳下水.
学生交流、猜测、讨论,引出课题.
[设计意图] 创设情境、设疑激趣,把学生置于一种探究的欲望之中,并体会现实生活的
规律性以及用数学式子表示现实规律的可行性与应用性.
[过渡语] 请同学们认真观察老师手中的日历表,你能发现有哪些规律?
探究活动1 日历中的规律
(1)请找出同一横行上三个相邻数、竖列上三个相邻数之间的关系:
(2)请同学们找一找右上左下、左上右下对角线上三个相邻数的关系.[处理方式] 对于第1个问题,直接找学生回答.预测学生的答案:同一横行上相邻三个
数之间的关系:相差1;竖列上三个相邻数的关系:相差7.对于第2个问题,先让学生自己独立
思考,不理解时小组内进行讨论,然后选代表说出三个数之间的关系.预测学生的回答:左上右
下对角线上三个相邻数的关系:下一行比上一行多8; 左下右上对角线上三个相邻数的关系:
下一行比上一行多6.
[设计意图] 通过上面的问题把本节课的重点和难点加以分解,利于学生接受,同时也为
下面的探究活动打好基础,做好知识铺垫.
探究活动2 解决日历中的数
(1)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系?
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么?
(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?用代数式表示.
[处理方式] 先让学生自己思考,然后小组讨论交流,并选代表说出小组学习成果,最后
教师加以总结、归纳.预测学生在用代数式表示规律时有一定的难度,教师提示把中间的数
用字母表示,然后由学生根据探究活动1中的结论表示出其他8个数.(可以利用表格的形式)
这是本节课解决问题的关键.
a - 8 a - 7 a - 6
a - 1 a a+1
a+6 a+7 a+8
通过表格可以很快地解决方框中9个数之间的关系:9个数的和是中间这个数的9倍.
(a - 8)+(a - 7)+(a - 6)+(a - 1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8)=9a.
[设计意图] 通过学生自主探究和合作交流的学习方式,让师生共同经历探索数量关系、
运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程,进一步发展其符号感,让学生经历从特殊到
一般再到特殊的认识过程.
探究活动3 日历中的其他规律
活动内容:
(1)如果将方框改为十字形框,你能发现哪些规律?如果改为H形框呢?
(2)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗?[处理方式] 通过上面9个数的处理,对于本道题目学生解决起来比较容易,因此本道题
目让学生自己独立完成.预测学生的结论:“十”字形:5个数的和是中间这个数的5倍;“H”
形:7个数的和是中间这个数的 7倍;设计的其他形状的方框为“M”形框,而“M”形与
“H”形一样,7个数的和是中间这个数的7倍.
[设计意图] 本题遵循循序渐进、逐步深入、由易到难的学习规律,在这里设计的巩固
练习是在原来的问题的基础上的进一步加深,同时给予学生足够的巩固时间,综合利用所学
知识,使知识点都得到充分的落实.
探究活动4 探索规律的应用
下面是用棋子摆成的“小屋子”,观察图形,回答问题.
……
(1)按图示规律填写下表:
图形编号 1 2 3 4 … n
棋子个数
(2)按这种方式摆下去,摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?你是怎样得到的?
学生先独立填写表格,并尝试用n表示结果,结果为6n - 1.
师:刚才大家的表现很好.在这里n指正整数,所以与序号顺序相符,以后在解决探索规律
这类问题时,不妨以序号作为解题的切入点.此外,帮我们快速找到结论的是什么?
生:表格.
师:表格在数学中用起来很方便,特别是在寻找对应关系方面,所以我们在解这类问题时
可以尝试用列表格的方法.
[设计意图] 通过此题,是让学生知道解决探索规律问题的方法很多,关键是要抓住数列
中数据的变化规律,而表格可以清晰地反映数据的变化情况并建立变化次数与变化结果之
间的对应关系,从而帮助学生快速发现规律.
[知识拓展] 教学中多鼓励学生在独立思考的基础上探索出规律.教师一定要鼓励算法
多样化.如果有的学生通过操作,发现摆后面一个“小屋子”总比前面一个多用6枚棋子,进
而概括出摆第n个“小屋子”需要的棋子数为5+6(n - 1)=6n - 1,这些学生善于在图形变化
中发现规律;有的学生对数之间的规律比较敏感,通过观察摆前四个“小屋子”分别用的棋子数为5,11,17,23,从而发现规律;有的学生对图形的组成比较敏感,他们将“小屋子”分为上
下两层分别来看,共用棋子数为(2n - 1)+4n=6n - 1等等.
(1)按如图方式摆放餐桌和椅子,照这样的方式继续排列餐桌,摆4张桌子可坐多
少人?摆5张桌子呢?摆n张桌子呢?
(2)按如图方式摆放餐桌和椅子,照这样的方式继续排列餐桌,摆4张桌子可坐多少人?摆
5张桌子呢?摆n张桌子呢?
学生先独立思考,然后小组内交流,将自己的做法讲给小组其他成员听,互相促进.
师:哪位同学说说自己的做法?
生1:第(1)题第一张桌子坐6人,每增加一张桌子多坐2人,所以4张桌子可以坐12人,5
张桌子可以坐14人,n张桌子可以坐(2n+4)人.
生2:第(2)题我们可以通过表格看出规律:
序
1 2 3 4 5 … n
号
人
6 10 14 18 22 … 4n+2
数
师:同学们总结得非常好,探索规律的方法有很多,在不同的题目中我们应合理选择.
[知识拓展] 对于探索图形规律的题目,我们应该先观察图形排列顺序的规律, 然后把
它们转化为相应的数据,并根据规律用代数式表示事物的数量关系以及它们的变化规律.1.有一串数字 3,6,9,12,15……第n个数字是 .
解析:观察这串数字可知3=3×1,6=3×2,9=3×3,12=3×4,15=3×5……所以第n个数字是3n.故
填3n.
2.观察下列球的排列规律(其中●是实心球,○是空心球):
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1个球起到第2012个球止,共有实心球 个.
解析:根据题意可知每10个球一循环,每个循环里有3个实心球,因为2012÷10=201……2,
所以共有实心球3×201+1=604(个).故填604.
3.观察下列图形的排列规律(其中△是三角形,□是正方形,○是圆):
□○△□□○△□○△□□○△□○△□□○△□○△□□……
若第一个图形是正方形,则第2008个图形是 .(填图形名称)
解析:观察这组图形发现每7个图形一循环,因为2008÷7=286……6,所以第2008个图形
与第6个图形一样,是圆.故填圆.
4.用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案,第(4)个图案中有
黑色地砖4块,那么第(n)个图案中有白色地砖 块.
解析:由题意可知第1个图案有6块白色瓷砖,第2个图案有10块白色瓷砖,每多1块黑
色瓷砖则多4块白色瓷砖,根据此规律可知第n个图案中的白色瓷砖的块数为6+4(n - 1),即
4n+2.故填(4n+2).
第1课时
1.观察日历,发现规律
(1)9个数时的规律
(2)其他情况的规律
2.例题讲解
3.探索图形规律的技巧
一、教材作业
【必做题】
教材第99页习题3.8的2题.
【选做题】
在日历中继续发挥想象,设计其他形状的包含数字规律的数框.相信你一定有所收获.
二、课后作业
【基础巩固】
1.根据下列图形的排列规律,第2011个图形是 ( )……
A. B. C. D.
2.为庆祝十八大胜利召开,某班同学欲按下面的排列规律为教室挂上气球(多媒体展示).若第
一个是深色气体,第二个是浅色气球,则第20个气球是 .
3.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10
个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆……依此规律,第n个图形有
个小圆.
第1个图形第2个图形 第3个图形 第4个图形
4.下图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组
成……第n(n是正整数)个图案由 个基础图形组成.
【能力提升】
5.下列图案是运河古城窗格的一部分,其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第n个图中所贴
剪纸“○”的个数为 .
6.用棋子按如图所示的方式摆正方形:
(1)照这样的规律摆下去,摆第4个正方形需要多少颗棋子?
(2)探究:摆第n个正方形需要多少颗棋子?
【拓展探究】
7.用火柴棒按下图中的方式搭图形.(1)按图示规律填空:
图形符号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数
(2)按照这种方式搭下去,搭第n个图形需要多少根火柴?
【答案与解析】
1.C (解析:观察图形可以得到每4个一循环,2011÷4=502……3.故选C.)
2.浅色气球(解析:观察图形可以得到气球每5个一循环,20÷5=4,所以第20个气球应该和第5
个气球一样颜色,所以第20个应该为浅色气球.)
3.n2+n+4(解析:第1个图形有(2×1+4)个小圆,第2个图形有(3×2+4)个小圆,第3个图形有
(4×3+4)个小圆,所以第n个图形应有(n2+n+4)个小圆).
4.3n+1(解析:由图可得后一个图案比前一个多3个基础图形,所以答案为3n+1.)
5.3n+2 (解析:由图形可得后一个图形比前一个多3个“○”,所以答案为3n+2.)
6.解:(1)25颗. (2)第一个图形有棋子22颗,第二个图形有棋子32颗,第三个图形有棋子42颗,
以此类推,第n个图形有棋子(n+1)2颗.
7.解:(1)表格从左到右依次填4,7,10,13,16. (2)第n个图形需要(3n+1)根火柴.
本节课的引入能注重调动学生的积极性,激发学生的探究欲望,为下一步的探索规律打
下基础.素材的选取贴近学生生活,符合学生的认知发展水平.教师的引导使课堂活动高效而
不流于形式,充分发挥了学生主观能动性,让全体学生都能参与进来.课程的设计由浅入深,满
足了多样化的学习需要.探索规律方法的总结上很有条理性,能让学生对困难的问题寻找到
解决的方法.
在探索规律的研究上,由于都是学生主动参与并探究获得,时间的安排上不是很充分,应
多发挥学习小组的作用.
以日历为线索引导学生探究规律,但学生预习不够时,容易给课堂教学带来困难.再教时
做好预习.
随堂练习(教材第98页)
提示:59枚;(6n - 1)枚.
习题3.8(教材第99页)
1.解:(1)摆4张桌子可坐12人,摆5张桌子可坐14人,摆n张桌子可坐2n+4人. (2)摆4张桌
子可坐18人,摆5张桌子可坐22人,摆n张桌子可坐4n+2人.
2.解:(1)是15的5倍. (2)5a. (3)有. (4)五数之和不能等于2012,能等于2015.“找规律”是新课标教材一道亮丽的风景,生动的情境,生活化的语言描述源于生活中
的数学问题,这种置于特定情境中的数学问题,融入了新课标中人性化、生活化的理念,这一
新颖、新奇的内容也深深地吸引了学生的眼球.在教学设计过程中一要注意让学生自己经
历“找”规律的过程,切勿以教师过多的提示或同伴的回答代替自己的“找”;二要注意让
他们交流,在交流中检验自己“找”的方法是否合适,找到的规律对不对,知道还可以用什么
方法“找”,体会“找”法的多样性;三要注意引导他们反思、归纳,体会怎样找规律,怎样根
据规律用操作或计算的方法解决问题.通过这一节课的学习,让学生体会到“找规律”重点
在“找”上,而不是规律的“应用”,不是做竞赛题.通过增加找规律的机会和活动,让学生不
断拓宽获取数学知识的渠道,感受数学思考的合理性,激发找规律的兴趣,产生对数学的好奇
心和求知欲,培养学生观察、概括的能力.
将连续的偶数2,4,6,8……排列成如图所示的数表.
(1)“十”字框内5个数的和与框内中间的数18有什么关系?
(2)若将“十”字框上、下、左、右平移,框住另外5个数,这5个数还有这样的规律吗?
(3)设中间的数为a,用代数式表示“十”字框内5个数之和.
〔解析〕 观察对比可以发现:左右相邻两数相差2,上下相邻两数相差12.再换另一组
数,同样有这样的规律.
解:(1)6+16+18+20+30=90,而90÷18=5,所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍.
(2)将框上、下、左、右平移,任意框住5个数,同样有这样的规律.
(3)若中间的数为a,则框住的5个数分别为a - 12,a - 2,a,a+2,a+12,其中a为偶数,所以它
们的和为(a - 12)+(a - 2)+a+(a+2)+(a+12)=5a.
第 课时
1.会用代数式表示简单问题中的数量关系,能用合并同类项、去括号等法则验证所探索
的规律.
2.能利用字母表示或由代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象.经历探索数量关系的过程,掌握用代数式表达规律的方法.
能综合运用所学知识解决实际问题和数学问题,在解决问题的过程中体验类比、转化
等思想,发展学生的抽象思维能力,培养学生良好的思维品质.
【重点】 在实际情境中探索发现规律,并能用代数式表达规律.
【难点】 用代数式表达发现的规律,培养学生的创新能力、归纳能力、应用意识.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P ,自主设计一个有规律的数列.
99~100
导入一:
活动内容:(多媒体展示)
游戏规则:从一副扑克牌中任意抽出一些,分成三份,每份张数相等,每份至少3张,然后从
左边一份中抽出2张,放入中间那份;再从右边那份中抽出3张,也放入中间那份;最后再从中
间那份中取出与左边剩余牌数相等的牌数放入左边.回答下列问题.(抓住学生的心,兴趣是最
好的老师)
问题1
猜一猜中间那份扑克牌还剩几张?请数一数.
问题2
你想知道老师是怎么猜到牌的张数的么?
问题3
你想知道这个游戏的奥秘在哪里吗?
[处理方式] 挑选两位同学上台抽牌,按步骤分牌,完成. 由问题1引导学生猜出中间一
份还有几张,学生猜有5,8,9,10张等,老师说出中间一份还有7张.多数同学抱有怀疑态度,请
两位同学把牌拿起来,仔细数一数!老师的回答正确,学生吃惊诧异,进而引导学生说出想知道
老师是怎么猜到牌的张数的,由问题3导入新课.
[过渡语] 同学们不必奇怪,道理很简单!通过今天的学习我们就会知道它的奥妙了.今
天我们将继续学习探索与表达规律.(教师板书课题)
[设计意图] 通过一个游戏活动,创设问题情境,调动学生的积极性,使学生乐于参与,跃
跃欲试,目的是让学生在玩中形成认知冲突,为本节课做好方法和思维的铺垫,同时,不直接告
诉学生原因,调动学生的好奇心,激发学生的学习兴趣和探究欲望,促使他们积极地进行探究
活动.
导入二:
活动内容:
1.仔细观察,按规律填空.(1)1,2,3,4,…,第n个数是 .
(2)2,4,6,8,…,第n个数是 .
(3)1,9,25,49,…,第n个数是 .
(4) 1,8, 27, 64, 125,…,第n个数是 .
2.其实在我们周围的生活中存在着大量的数学信息,希望同学们做生活的有心人.下面
我们来做一个数字游戏,只要你按照我说的去做,我就可以猜出你心中所想的数,同学们信不
信?现在请你任意想一个数,将这个数减去1后乘2,再减去3,然后加上5,将最后的结果告诉
老师,让老师猜猜你心中想的那个数是几.
[处理方式] 设置游戏疑难让学生产生对该问题探究的欲望,也有了想解开数学奥秘的
好奇心,更有了想往后面学习的情感储备和思维、灵感储备.学生积极参与,跃跃欲试.学生开
始在心中默默计算.
生:10.
师:5.
生:48.
师:24.(学生诧异)
师:同学们一定想知道老师是怎么猜到的,这个游戏的奥秘在哪里,今天我们将继续学习
探索与表达规律.
[设计意图] 通过数字游戏创设问题情境,目的是把学生置于一种探究的欲望之中,让学
生欲答而不能,欲说而无语,迫使学生不得不去思考,不得不去想,不得不去“做数学”.同时,
设置情境也达到了丰富教学内容的作用.
探究活动1 数字游戏
活动内容1:
我们解决一下教材第99页的这个数字游戏.请大家看大屏幕:(多媒体出示)
大家都在心里想一到两个两位数,按照上述规则计算一下,然后把你的结果告诉同桌,互
相猜测一下彼此心里所想的两位数,探讨一下你心里所想的两位数与结果之间有什么关系,
你会有什么发现吗?你能用字母表示并借助代数式运算解释其中的道理吗?
[处理方式] 学生分组讨论,然后选出代表说出讨论结果.
生1:用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为
10a+b,则5(2a+3)+b=10a+b+15.
生2:规律:结果为原两位数与15的和.
[设计意图] 一是给学生自主探究的时间和空间,让学生养成独立思考问题的习惯,再次经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程,进一步发展其符号感.
二是给学生交流表达的机会,让学生明确说理的方法和技巧,并能对简单的规律进行解释.虽
然刚开始学生无从入手,一旦老师开了头学生立马明确了方向.
活动内容2:
1.任意写出一个两位数;
2.交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个数;
3.求这两个数的和.
这些和有什么规律?你们能发现并验证这个规律吗?
(设个位数字为a,十位数字为b,则(10b+a)+(10a+b)=11(a+b),所以和是11的倍数.)
你能设计类似的数字游戏并解释其中的道理吗?
[处理方式] 要求学生以小组为单位讨论,鼓励学生大胆设想,通过去括号合并同类项来
验证自己的猜想.
探究活动2 自主设计游戏
[过渡语] 小组内互相设计一个游戏,并验证你猜想的结论的正确性.
预设:小组1:(小组长展示)我们由1号学生随便想一个两位数,将十位数字加上5,然后乘
10,再减去50,再加上个位数字,最后将结果告诉我们,我们就知道1号学生心里想的两位数了,
结果还是原数.
原理是:(小组长在黑板上写下式子)用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,
那么这个两位数可以表示为10a+b,则10(a+5) - 50+b=10a+50 - 50+b=10a+b.
小组2:(小组长展示)我们是由1号学生随便想一个数,并将此数字乘2加3,然后乘5减
5,再除以10,最后告诉我们结果,我们很轻松就知道同伴所想的数了,结果比原数大1.
原理是:(小组长在黑板上写下式子)用 a 表示这个数,则[5(2a+3) - 5]÷10=(10a+15 -
5)÷10=(10a+10)÷10=a+1.
小组3:(小组长展示)我们设计的是猜电话号码游戏,1,2位的数字所形成的两位数比3的
4倍多1;3,4位的数字所形成的两位数比9的4倍多1;5,6,7位的数字依次是6,3,7;8位的数字
是最小的自然数;9,10,11位的数字所形成的三位数比 600多26.结果大家很容易猜出来是
13376370626.
原理是:(小组长在黑板上开始计算)1,2位的数字所形成的两位数是3×4+1=13;3,4位的数
字所形成的两位数是 9×4+1=37;5,6,7位的数字依次是 6,3,7;8位的数字是最小的自然数
0;9,10,11位的数字所形成的三位数是600+26=626.故结果是13376370626.
[设计意图] 这个设计数字游戏的环节具有较强的开放性,同时又体现了设计过程是解
释过程的逆向思维——往往需要先设计好代数式及其简化结果,再由此赋予鲜活的背景,所
以有利于培养学生的创造性思维和创新意识,同时活跃了课堂气氛,激发了学生的求知欲,并
巩固新知,通过学生合作、交流、展示表达,提高了学生的综合能力.
探究活动3 探索数字规律的应用
活动内容:
师:下面大家再跟着老师做一个游戏.
有三堆棋子,数目相等,每堆至少有4枚.从左堆中取出3枚放入中堆,从右堆中取出4枚
放入中堆,再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子放入左堆,这时中堆的棋子数是多
少?请做一做,并解释其中的道理.[处理方式] 学生情绪激动,跃跃欲试.(每个桌上有课前准备的棋子)很快发现无论开始
每堆摆几枚,只要数目相等,按规则取拿之后,结果中堆的棋子数都是10,也就是说结果与你开
始摆的棋子数目无关.选出小组代表,列代数式、进行代数式运算,验证规律,解开游戏的奥秘:
第一堆 第二堆 第三堆
第一步 a a a
第二步 a - 3 a+3 a
第三步 a - 3 a+3+4 a - 4
第四步 2(a - 3) (a+3+4) - (a - 3)=10 a - 4
[设计意图] 通过玩这个游戏,课堂气氛空前地热烈,学生们都在积极地活动.同时通过
合作学习,锻炼了学生的合作意识,促进了学生发散思维的形成.
[知识拓展] 探索规律用到的数学方法有分类讨论法、转化法、归纳法.通过观察、归
纳、类比和猜想,探索具体的数学问题.解答问题之前,先弄清楚题意是关键.通过观察寻找其
中的规律,并尽可能归纳验证自己的猜想结果.
文字语言 符号语言
1.探索规律的基本方法:
分析数量关系 列代数式表示 验证结论
2.探索规律的基本思想:特殊 一般.
1.请按照某种规律填空.
(1)2,4,8,16, , ,…, (第n个);
(2)2,6,12,20, , ,…, (第n个).
解析:第(1)题各数都是2的乘方,所以依次填写32,64,2n;第(2)题各数是两个连续正整数
的积,所以依次填写30,42,n(n+1).
答案:(1)32 64 2n (2)30 42 n(n+1)
2.观察下列等式:12+1=1×2,22+2=2×3,32+3=3×4……则第n个等式可以表示为 .
解析:根据式子特点容易得到第n个等式为n2+n=n(n+1).故填n2+n=n(n+1).
3.观察下列各式,你会发现什么规律?
3×5=15,而15=42 - 1;5×7=35,而35=62 - 1;11×13=143,而143=122 - 1……
请把你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来: .
解析:前面是两个连续奇数的积,后面是这两个数的平均数的平方减1,即(n+1)(n - 1)=n2 -
1(n为偶数).故填(n+1)(n - 1)=n2 - 1(n为偶数).
4.观察下列顺序排列的等式:
9×0+1=1, 9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31, 9×4+5=41……猜想:第n个等式(n为正整数)应为 .
解析:观察式子特点,可以得到第n个等式应为9(n - 1)+n=10n - 9.故填9(n - 1)+n=10n -
9.
第2课时
1.探究活动1 数字游戏
2.探究活动2 自主设计游戏
3.探究活动3 探索数字规律的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第100页习题3.9的1题.
【选做题】
教材第100页习题3.9的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10……这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16……
这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作
两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是 ( )
A.13=3+10 B.25=9+16
C.36=15+21 D.49=18+31
2.如图所示,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第
③个图形中一共有11个平行四边形……则第⑩个图形中平行四边形的个数是 ( )
A.54B.110 C.19D.109
2 4 6 8 10
3.观察下列一组数: , , , , ……它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是
3 5 7 9 11
.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4.观察下列等式: =1 - , + =1 - , + + =1 - ……根据上面的规律计算
2 2 2 22 22 2 22 23 23
1 1 1 1
+ +
+…+ = .
2 22 23 210
【能力提升】
5.有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12……它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1, - 2,3, - 4,5, - 6,7, - 8……
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?
(2)它的第100个数是多少?
(3)2013是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?
6.如图所示的是用棋子摆成的“T”字图案.
从图案中可以看出,第一个“T”字图案需要5枚棋子,第二个“T”字图案需要8枚棋子,第
三个“T”字图案需要11枚棋子.
(1)照此规律,摆成第四个图案需要几枚棋子?
(2)摆成第n个图案需要几枚棋子?
(3)摆成第2014个图案需要几枚棋子?
【拓展探究】
7.观察下列等式:
12×231=132×21,
13×341=143×31,
23×352=253×32,
34×473=374×43,
62×286=682×26
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具
有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子成为“数字对称等式”:
①52× = ×25;
② ×396=693× .
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称
等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).
【答案与解析】
1.C(解析:斜线把正方形分成的两部分点数计算为:第1个图形是4=1+(1+2),第2个图形是
9=(1+2)+(1+2+3),…,所以根据此规律得36=(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6)=15+21.故答案为C.)
2.D(解析:第①个图形中有1个平行四边形;第②个图形中有1+4=5个平行四边形;第③个图形
中有1+4+6=11个平行四边形;第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形……第n个图形中
有1+2(2+3+4+…+n)个平行四边形,所以第⑩个图形中有1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109个平
行四边形.)
2k 2k
3. (解析:因为分子的规律是2k,分母的规律是2k+1,所以第k个数就应该是 .)
2k+1 2k+1
1 1
4.1 - (解析:根据规律得右边结果应有两项,即1 - .)
210 210
5.解:(1)它的每一项可以用式子( - 1)n+1n(n 是正整数)表示. (2)它的第 100 个数是( -
1)100+1×100= - 100.
(3)当n=2013时,( - 1)2013+1×2013=2013,所以2013是其中的第2013个数.6.解:(1)9+5=14(枚).故摆成第四个图案需要14枚棋子. (2)因为第①个图案有5枚棋子,第
②个图案有(5+3×1)枚棋子,第③个图案有(5+3×2)枚棋子,依此规律可得第n个图案需5+3×(n -
1)=5+3n - 3=(3n+2)枚棋子. (3)3×2014+2=6044(枚),即摆成第2014个图案需6044枚棋子.
7. 解 :(1)① 因 为 5+2=7, 所 以 左 边 的 三 位 数 是 275, 右 边 的 三 位 数 是 572, 所 以
52×275=572×25.② 因为左边的三位数是 396,所以左边的两位数是 63,右边的两位数是
36,63×396=693×36.(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,所以左边的两位数是
10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,所以表示
一般规律的式子为(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).
注重学生的动手实践活动,给学生提供充足的“做数学”的时间和空间.在这一过程中,
要求学生不仅要通过自主学习学到相关知识、掌握一些方法和技巧,更重要的是要学生在
动手实践的过程中获得一种深刻的体验,学会用数学的方法解决问题的策略.教师要重视生
生之间、师生之间的合作与交流,给学生提供充分交流的机会.
因学生交流时间过长及补充的例题有一定的难度,教学时间有些不充足,导致本节练习
落实不到位.
本节课再教时可给学生充分展示的空间,自由发挥,更容易全面提高学生的动手实践能
力.
随堂练习(教材第100页)
解:设三堆棋子数均为a,按照题目中的步骤操作后,中堆的棋子数为a+3+4 - (a - 3)=10(枚).因
此中堆的棋子数是10.
习题3.9(教材第100页)
1.解:设心里想的数为x,则5[5(4x+8)+7]=100x+235,如果知道代数式100x+235的值,即可求出
x.
2.提示:密码游戏秘籍为:按英文字母表中顺序,把纸条上所写字母破译成它在英文字母表中
后面的第二个字母,如k,k后面是l,m,则k译成m,其他以此类推,设计略.
3.提示:设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则这个三位数可表示为100c+10b+a,因为
a+b+c能被3整除,100c+10b+a=99c+9b+(a+b+c).所以99c+9b+(a+b+c)也能被3整除.四位数也
有这样的规律.
复习题(教材第101页)
1 2
1.(1)a+(b+c)=(a+b)+c (2)a(bc)=(ab)c (3)(a+b)c=ac+bc (4)3b b2 (5)3c (6) a2
2 3
x+3 1
2.解:图(1)的输出结果为 .图(2)的运算过程为x 2x 2x - 3.图(1)的输出依次为: ,1,
2 25 3 9
, ,2, ;图(2)的输出依次为: - 7, - 5, - 4, - 3, - 1,0.
4 2 4
3.解:单项式有 7y2,4xy2,35abc.7y2的次数为 2,4xy2的次数为 3,35abc 的次数为 3.多项式有
4 1 4 1
3x+5y,1+s2+st, a2x - a2x3+ x.3x+5y的次数为1,1+s2+st的次数为2, a2x - a2x3+ x的次数为
5 5 5 5
5.
4.解:(1)有三项,如表1所示. (2)有四项,如表2所示.
表1
项 系数 次数
- abx2 - 1 4
1 1
x3 3
5 5
1 1
- ab - 2
2 2
表2
项 系数 次数
xy 1 2
- pqx2 - 1 4
5 5
p3 3
9 9
9 9 0
5.提示:(1)6x4 - 11. (2) - 7p2+4pq+6. (3) - y+2z. (4) - a5+3b+7. (5) - 11a2+6b. (6) -
2x2+7xy - 24.
1 5
6.解:(1)原式= - 3.5x2+6x - 1,当x=2时,原式= - 3. (2)原式= - x2 - 1,当x= 时,原式= - . (3)
2 4
原式=a2 - 5b2,当a= - 1,b=1时,原式= - 4. (4)原式=0.
πa2
7.解:面积为4a2+ ,周长为6a+πa.
2
8.提示:(1) - 4x2y+6xy2. (2) - 2mn - 9m+3n. (3) - 5a2 - 8a+9b3. (4) - ab+3.
9.解:(1)2a2+2b2. (2)ab. (3)C=3B - 2A=a2+10ab+b2.
10.解:不一定,不一定.
11.(1)b - c+d (2)a - b+c (3)c - d (4)a - b+c - d
12.解: - 29x+15.
13.解:(1)当a=14时,b=0.8×(220 - 14)≈165(次). (2)当a=45时,b=0.8×(220 - 45)=140(次),而
22×6=132(次),因为132<140,所以不会有危险.
14.解:(1)(80+2x)cm. (2)从左到右依次填82,84,86,88.
15.(1)5 9 13 17 21 (2)4n+1
16.(1)3 6 9 (2)3n 300
17.解:8个;个位数字比十位数字大1.
18.解:(1)结果一样,价格均为m(1+10%)×(1 - 10%),没有恢复原价. (2)结果一样,价格均为
m(1+20%)×(1 - 20%),未恢复原价. (3)在原价基础上,先提价百分之多少,在此基础上再降价
百分之多少,与先降价百分之多少,再提价百分之多少,最后结果一样,但不是恢复原价.
19.解:对折6次,折痕有63条.对折10次,折痕有1023条.对折n次,折痕有(2n - 1)条.1 1 1 1 1 1
20.提示:16 ,9 ,4 ,2,2,4 ,9 ,16 .当a的值互为相反数时,代数式的值相等.
16 9 4 4 9 16
本节课内容是在学生学习了“用字母表示数”、“列代数式”、“去括号”、“合并
同类项”等知识的基础上进行的,它既是对前面所学知识的综合应用,也是对这些知识的拓
展与延伸,对学生体会数学建模具有重要的作用.它是“字母表示数”的一个重要内容,是今
后学习方程、函数等内容的基础.学生通过对本章前几节知识的学习,已经具备了初步的语
言表达能力及符号表示能力.从学生学情来讲,学生的学习方式得到了根本性的转变,具有非
常强的参与意识.在此基础上研究探索规律问题,无论是思想上还是方法上都具备了良好的
契机.能使学生真正体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增强对数学的
理解和学好数学的信心.
观察以下算式,用你所发现的规律得出22010的末位数字是 ( )
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256.
A.2 B.4 C.6 D.8
〔解析〕 四个数为一组,将2010除以4,若余数为1,则末位数字为2;若余数为2,则末
位数字为4;若余数为3,则末位数字为8;若余数为0,则末位数字为6.因为2010除以4余数为
2,所以22010的末位数字是4.故选B.
[解题策略] 本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目
首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
观察下列图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n(n
是正整数)的结果为 ( )
A.(2n+1)2B.(2n - 1)2
C.(n+2)2 D.n2
〔解析〕 对于找规律的题目,首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化
的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个式子表示出变化规律是此类题目的难点.图
(1):1+8=9=(2×1+1)2; 图 (2):1+8+16=25=(2×2+1)2; 图 (3):1+8+16+24=49=(2×3+1)2… … 那 么 图
(n):1+8+16+24+…+8n=(2n+1)2.故选A.1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系.
2.理解同类项概念,掌握合并同类项的方法,掌握去括号时符号的变化规律,能正确地进
行同类项的合并和去括号.在准确判断、正确合并同类项的基础上,进行整式的加减运算.
3.理解整式中的字母表示数,整式的加减运算建立在数的运算的基础上;理解合并同类
项、去括号的依据是分配律;理解数的运算律和运算律性质在整式的加减运算中仍然成立.
4.建立数感、符号意识,初步形成运算能力,发展抽象思维.
1.能分析实际问题中的数量关系,并列出整式表示.体会用字母表示数后,从算术到代数
的进步.
2.会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
渗透数学知识来源于生活,又要为生活而服务的辩证观点;经历由数的加减过渡到整式
的加减的过程,培养学生由特殊到一般的思维;体会整式的加减实质上就是去括号,合并同类
项,结果总是比原来简洁,体现了数学的简洁美.
【重点】理解单项式、多项式的相关概念;熟练进行合并同类项和去括号的运算.
【难点】准确地合并同类项,准确地处理去括号时的符号变化.
{
{单项式{次数
系数
整式
多项式{项
次数
整式的加减{合并同类项
去括号
列代数式
{
用字母表示数 求代数式的值
探索规律
专题一 先化简再求值
【专题分析】
先把代数式化简,化简时,有括号的先去括号,再合并同类项,若有多重括号,可由里向外或
由外向里逐层推进,尽可能减少去括号的次数和变号的项数.1 1
当x=1时,求x2 - x - (x2+x) 的值.
2 2
〔解析〕 由外向内去括号,可减少变号的项数,再合并同类项,代入求值.
1 1
解:原式=x2 - x+ (x2+x)
2 4
1 1 1
=x2 - x+ x2+ x
2 4 4
5 1
= x2 - x.
4 4
5 1
当x=1时,原式= ×1 - ×1=1.
4 4
[解题策略] 先化简,再求值.
【针对训练1】 当x=1,y= - 1时,求xy - xy2 - {2xy+3xy2 - [xy2 - 4xy+(xy - 4xy2)]}的值.
〔解析〕 看清题,去多重括号时,可以由内向外逐层进行,也可以由外向内逐层进行,如
果去括号法则掌握得较熟练,也可以内外同时去括号.
解法1:(由内向外逐层去括号)
原式=xy - xy2 - [2xy+3xy2 - (xy2 - 4xy+xy - 4xy2)]=xy - xy2 - [2xy+3xy2 - ( - 3xy2 -
3xy)]=xy - xy2 - (2xy+3xy2+3xy2+3xy)=xy - xy2 - (5xy+6xy2)=xy - xy2 - 5xy - 6xy2= - 4xy -
7xy2.
当x=1,y= - 1时,原式= - 3.
解法2:(由外向内去括号)
原式=xy - xy2 - 2xy - 3xy2+[xy2 - 4xy+(xy - 4xy2)]= - xy - 4xy2+xy2 - 4xy+(xy - 4xy2)= - 5xy
- 3xy2+xy - 4xy2= - 4xy - 7xy2.
当x=1,y= - 1时,原式= - 3.
解法3:(内外同时去括号)
原式=xy - xy2 - 2xy - 3xy2+(xy2 - 4xy+xy - 4xy2)= - xy - 4xy2+( - 3xy2 - 3xy)= - xy - 4xy2 -
3xy2 - 3xy= - 4xy - 7xy2.
当x=1,y= - 1时,原式= - 3.
[解题策略] 化简时,去括号可由里到外,也可由外到里,还可以内外同时进行,然后再求
值.
专题二 隐含条件求值法
【专题分析】
先通过隐含条件将字母的值求出,然后化简求值.
2
若单项式 xm+2y与单项式 - 3x3y2n的和是一个单项式,求m+n的值.
5
〔解析〕 两个单项式能合并成一个单项式,说明这两个单项式是同类项.由同类项的
定义可求得m和n的值,从而求出它们的和.
1 3
解:由题意得m+2=3,2n=1,所以m=1,n= ,所以m+n= .
2 2
[解题策略] 两个单项式能合并成一个单项式,隐含着这两个单项式为同类项的条件,同
类项中相同字母的指数是相同的.
【针对训练2】 已知m,x,y满足:①(x - 5)2+|m|=0;② - 2aby+1与4ab3是同类项.求代数式(2x2 - 3xy+6y2) - m(3x2 - xy+9y2)的值.
〔解析〕 因为(x - 5)2+|m|=0,所以(x - 5)2=0,|m|=0,又因为 - 2aby+1与4ab3是同类项,所
以y+1=3.
解:由题意可知(x - 5)2=0,|m|=0,所以x=5,m=0,
又因为 - 2aby+1与4ab3是同类项,
所以y+1=3,即y=2,
将x=5,m=0,y=2代入代数式得(2x2 - 3xy+6y2) - m(3x2 - xy+9y2)=44.
[解题策略] 两个非负数的和为0时,每一个数都应为0,从而求出隐含条件中的x,m的
值.
专题三 整体代入法及拆项构造法
【专题分析】
不求字母的值,将所求代数式变形成与已知条件有关的式子,如倍数关系、和差关系等.
1 1
已知x2+xy=2,y2+xy=5,求 x2+xy+ y2的值.
2 2
〔解析〕 由x2+xy=2,y2+xy=5,我们很难求出x,y的值,所以把x2+xy,y2+xy分别看成一个
1 1 1 1 1 1 1 1
整体,试着把 x2+xy+ y2变成与上面代数式有关的式子,即 x2+ xy+ xy + y2= (x2+xy)+
2 2 2 2 2 2 2 2
(xy+y2).
1 1 1 1 1 1 1 1
解: x2+xy+ y2= x2+ xy+ xy + y2= (x2+xy)+ (xy+y2),
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 7
当x2+xy=2,y2+xy=5时,原式= ×2+ ×5= .
2 2 2
[解题策略] 变形时,xy拆成两项,从而构成与已知有关的式子,为整体代入提供了条件.
【针对训练3】 如果a2+ab=8,ab+b2=9,求a2 - b2的值.
〔解析〕 先将a2 - b2变形为a2+ab - ab - b2=(a2+ab) - (ab+b2),再进行计算.
解:a2 - b2=a2+ab - ab - b2=(a2+ab) - (ab+b2)=8 - 9= - 1.
[解题策略] 为构造a2+ab与ab+b2的形式,在a2 - b2中间加上了ab,又减去ab,让所求
的代数式中出现a2+ab与ab+b2的形式,再整体代入,从而计算出结果.
专题四 代数式的值为定值
【专题分析】
无论字母取何值,代数式的值不变,即代数式化简后,不含带有字母的项.
若代数式(2x2+ax - y+b) - (2bx2 - 3x+5y - 1)的值与字母x的取值无关,求代数式
3(a2 - ab - b2) - (4a2+ab+b2)的值.
〔解析〕 代数式(2x2+ax - y+b) - (2bx2 - 3x+5y - 1)的值与字母x的取值无关,说明合
并同类项后不含带有x的项,也就是说凡是含有字母x的同类项合并后,系数为0.
解:(2x2+ax - y+b) - (2bx2 - 3x+5y - 1)
=2x2+ax - y+b - 2bx2+3x - 5y+1
=(2 - 2b)x2+(a+3)x - 6y+b+1.
由题意可知2 - 2b=0,a+3=0,所以b=1,a= - 3,
所以3(a2 - ab - b2) - (4a2+ab+b2)
=3a2 - 3ab - 3b2 - 4a2 - ab - b2
= - a2 - 4b2 - 4ab= - 1.1 1
【针对训练4】 有一道题目:当a=2,b= - 2时,求代数式3a3b3 - a2b+b - 4a3b3 -
2 4
1
a2b - b2 + a3b3+ a2b - 2b2 - 3的值.甲同学做题时把“a=2”错抄成“a= - 2”,乙同学没
4
抄错题,且其他解题过程均正确,但他们做出的结果却一样.你说这是怎么回事呢?
〔解析〕 a的取值抄错了,还可以求出正确结果,说明这个代数式的值与字母a的取值
无关.
1 1 1
解:原式=3a3b3 - a2b+b - 4a3b3+ a2b+b2+a3b3+ a2b - 2b2 - 3= - b2+b - 3.
2 4 4
此代数式经化简后不含字母a,即它的值与a的取值无关,
所以甲同学把a的值抄错不会影响最后的结果.
专题五 探索图形拼接的规律
【专题分析】
近几年的中考中,涉及实际问题的考题比较多,而探索规律则是近年来中考命题的热点
之一.
一张正方形的桌子可坐4人,按照如图所示的方式将桌子拼在一起,回答下列问
题.
(1)两张桌子拼在一起可以坐几人?三张桌子拼在一起可以坐几人?n张桌子拼在一起可
以坐几人?
(2)一家酒楼有60张这样的正方形桌子,按如图所示的方式每4张拼成一张大桌子,则60
张桌子可以拼成15张大桌子,共可坐多少人?
(3)在(2)中若每4张桌子拼成一张大的正方形桌子,共可坐多少人?
(4)对于这家酒楼,(2),(3)中哪种拼桌子的方式能使坐的人更多?
〔解析〕 根据图形的变化发现每加一张桌子,可以多坐2人,进而得到规律.
解:(1)两张桌子拼在一起可以坐6人,三张桌子拼在一起可坐8人.
每加一张桌子,可以多坐2人,则n张桌子拼在一起可以坐4+2(n - 1)=2n+2(人).
(2)4张桌子拼在一起可以坐2×4+2=10(人),则60张桌子拼成15张大桌子后可以坐
10×15=150(人).
(3)易知每4张桌子拼成一张大的正方形桌子可以坐8人,则60张桌子总共可以坐
8×15=120(人).
(4)对于这家酒楼,(2)中拼桌子的方式能使坐的人更多.
[解题策略] 对实际问题要有数学建模思想,用适当的图形直观表达题意,为寻找规律带来方便. 本题考查对于图形变化中的规律的总结能力,通过观察发现每加一张桌子,可以多
坐2人.
【针对训练5】 小明用棋子摆成图形来研究数的规律,如图所示,图(1)中的棋子摆成
三角形,其颗数3,6,9,12……称为三角形数;类似地,图(2)中4,8,12,16……称为正方形数.下列
所给的四个数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )
A.2010 B.2012 C.2014 D.2016
〔解析〕 观察发现,三角形数都是3的倍数,正方形数都是4的倍数,所以既是三角形
数又是正方形数的一定是 12 的倍数,然后对各选项进行计算判断即可.因为
2010÷12=167……6,2012÷12=167……8,2014÷12=167……10,2016÷12=168,所以2016既是三角
形数又是正方形数.故选D.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法中,错误的是( )
A.代数式x2+y2的意义是x,y的平方和
B.代数式5(x+y)的意义是5与x+y的积
y
C.x的5倍与y的和的一半,用代数式表示为5x+
2
D.比x的2倍多3的数,用代数式表示为2x+3
2a - b
2.当a=3,b=1时,代数式 的值是 ( )
2
5
A.2 B.0 C.3 D.
2
3.下面的式子中正确的是 ( )
A.3a2 - 2a=1 B.5a+2b=7ab
C.3a2 - 2a2=2aD.5xy2 - 6xy2= - xy2
96
4.代数式 的值一定不能是 ( )
16 - a
A.6 B.0 C.8 D.24
5.已知代数式x+2y的值是5,则代数式2x+4y+1的值是 ( )
A.6 B.7 C.11D.12
6.已知a是两位数,b是一位数,把a接写在b的后面,就成为一个三位数.这个三位数可表示成
( )
A.10b+a B.ba
C.100b+aD.b+10a
7.一个代数式的2倍与 - 2a+b的和是a+2b,这个代数式是 ( )1 1
A.3a+b B. - a+ b
2 2
3 3 3 1
C. a+ b D. a+ b
2 2 2 2
8.已知a,b两数在数轴上的位置如图所示,则化简代数式|a+b| - |a - 1|+|b+2|的结果是 (
)
A.1 B.2b+3 C.2a – 3 D. - 1
9.在排成每行七天的日历表中取下一个3×3方块(如图所示).若所有日期数之和为189,则n
的值为( )
A.21B.11C.15D.9
10.某商品进价为a元,商店将其进价提高30%作为零售价销售,在销售旺季过后,商店又以8
折(即售价的80%)的价格开展促销活动,这时一件商品的售价为 ( )
A.a元 B.0.8a元
C.0.92a元 D.1.04a元
二、填空题(每小题4分,共32分)
1
11.若x+y=4,a,b互为倒数,则 (x+y)+5ab的值是 .
2
12.已知2a - 3b2 =5,则10 - 2a+3b2 的值是 .
13.如图所示.
(1)阴影部分的周长是 ;
(2)阴影部分的面积是 ;
(3)当x=5.5,y=4时,阴影部分的周长是 ,面积是 .
14.若a - 2b=3,则2a - 4b - 5= .
15.去括号: - 6x3 - [4x2 - (x+5)]= .
16.一个学生由于粗心,在计算35 - a的值时,误将“ - ”看成“+”,结果得63,则35 - a的值
应为 .
17.如果 x=1 时,代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5,那么 x= - 1 时,代数式 2ax3+3bx+4 的值是
.
18.已知甲、乙两种糖果的单价分别是x元/千克和12元/千克.为了使甲、乙两种糖果分别
销售与把它们混合成什锦糖后再销售的收入保持不变,由20千克甲种糖果和y千克乙种糖
果混合而成的什锦糖的单价应是 元/千克.三、解答题(共58分)
19.(12分)化简并求值.
(1)2(2x - 3y) - (3x+2y+1),其中x=2,y= - 0.5.
(2) - (3a2 - 4ab)+[a2 - 2(2a+2ab)],其中a= - 2.
20.(8分)化简关于x的代数式(2x2+x) - [kx2 - (3x2 - x+1)].当k为何值时,代数式的值是常数?
21.(9分)一个两位数,把它十位上的数字与个位上的数字对调,得到一个新的两位数.试说明
原来的两位数与新两位数的差一定能被9整除.
22.(9分)观察下面的变形规律:
1 1
=1 - ;
1×2 2
1 1 1
= - ;
2×3 2 3
1 1 1
= - ……
3×4 3 4
解答下列问题.
1
(1)若n为正整数,请你猜想 = ;
n(n+1)
(2)证明你猜想的结论;
1 1 1 1
(3)求和: + + +…+ .
1×2 2×3 3×4 2011×2012
23.(10分)一种蔬菜x千克,不加工直接出售每千克可卖 y元;如果经过加工,则质量减少了
20%,价格增加了40%,回答下列问题.
(1)x千克这种蔬菜加工后可卖多少元?
(2)如果这种蔬菜1000千克,不加工直接出售每千克可卖1.5元,则加工后原1000千克这种蔬
菜可卖多少元?比加工前多卖多少元?
24.(10分)任意写出一个各数位均不为零且不相等的三位数,任取三个数字中的两个,组合成
所有可能的两位数(有6个).求出所有这些两位数的和,然后将它除以原三位数的各个数位上
的数字之和.例如三位数243,取其两个数字组成所有可能的两位数:24,23,42,43,32,34.它们的
和是198.三位数243各数位上的数的和是9,198÷9=22.再换几个数试一试,你发现了什么?请
写出你按上面方法探索所发现的结果,并运用代数式的知识说明你所发现的结果的正确性.
【答案与解析】
1
1.C(解析:选项C中代数式错误,应写成 (5x+y).故选C.)
2
2a - b 2×3 - 1 5
2.D(解析:将a=3,b=1代入代数式 得 = .故选D.)
2 2 2
3.D (解析:A,B不是同类项,不能合并;C结果应为a2.故选D.)
4.B
5.C(解析:因为x+2y=5,所以2x+4y=10,从而2x+4y+1=10+1=11.故选C.)
6.C(解析:两位数的表示方法:十位数字×10+个位数字;三位数的表示方法:百位数字×100+十位
数字×10+个位数字.a是两位数,b是一位数,依据题意这个三位数可表示成100b+a.故选C.)3 1
7.D(解析:这个代数式的2倍为a+2b - ( - 2a+b)=3a+b,所以这个代数式为 a+ b.故选D.)
2 2
8.B(解析:由数轴可知 - 2|b|,所以a+b>0,故|a+b| - |a - 1|+|b+2|=a+b -
(a - 1)+(b+2)=a+b - a+1+b+2=2b+3.故选B.)
9.A(解析:日历的排列是有一定规律的,在日历表中取下一个3×3方块,若中间的数是n,则它上
面的数是n - 7,下面的数是n+7,左边的数是n - 1,右边的数是n+1,左边最上面的数是n - 1 -
7,最下面的数是n - 1+7,右边最上面的数是n+1 - 7,最下面的数是n+1+7.若所有日期数之和
为189,则9n=189,所以n=21.故选A.)
10.D(解析:依题意可得售价为a(1+30%)×0.8=1.04a(元).故选D.)
1 1
11.7 (解析:因为a,b互为倒数,所以ab=1,所以 (x+y)+5ab= ×4+5×1=7.故填7.)
2 2
12.5 (解析:因为2a - 3b2=5,所以10 - 2a+3b2=10 - (2a - 3b2)=10 - 5=5.故填5.)
13.(1)6x+6y (2)3xy (3)57 66 (解析:阴影部分的面积是4xy - xy=3xy.)
14.1 (解析:2a - 4b - 5=2(a - 2b) - 5=2×3 - 5=6 - 5=1.)
15. - 6x3 - 4x2+x+5 (解析: - 6x3 - [4x2 - (x+5)]= - 6x3 - (4x2 - x - 5)= - 6x3 - 4x2+x+5.)
16.7 (解析:由题意可知35+a=63,故a=28.所以35 - a=35 - 28=7.)
17.3 (解析:把x=1代入代数式2ax3+3bx+4得2a+3b+4=5,所以2a+3b=1.把x= - 1代入代数式
2ax3+3bx+4得 - 2a - 3b+4.因为2a+3b=1,所以 - 2a - 3b= - 1,所以 - 2a - 3b+4= - 1+4=3.)
20x+12y
18. (解析:此题要根据题意列出代数式,先求出20千克甲种糖果和y千克乙种糖
20+ y
果的总价钱,即(20x+12y)元,混合糖果的质量是(20+y)千克,由此可以求出20千克甲种糖果和
20x+12y
y千克乙种糖果混合而成的什锦糖的单价应为 元/千克.)
20+ y
19.解:(1)去括号,合并同类项得 2(2x - 3y) - (3x+2y+1)=4x - 6y - 3x - 2y - 1=x - 8y - 1.将
x=2,y= - 0.5代入得x - 8y - 1=5. (2)去括号,合并同类项得 - (3a2 - 4ab)+[a2 - 2(2a+2ab)]= -
3a2+4ab+a2 - 2(2a+2ab)= - 3a2+4ab+a2 - 4a - 4ab= - 2a2 - 4a.将a= - 2代入得 - 2a2 - 4a= -
2×( - 2)2 - 4×( - 2)= - 2×4+8=0.
20.解:将(2x2+x) - [kx2 - (3x2 - x+1)]去括号,得2x2+x - kx2+3x2 - x+1,合并同类
项,得(5 - k)x2+1,若代数式的值是常数,则5 - k=0,所以k=5.故当k=5时,代数式的值是常数.
21.解:设十位上数字为a,个位上数字为b,则原来的两位数是10a+b,调换位置后的新数是
10b+a,所以(10a+b) - (10b+a)=9(a - b),所以这两个两位数的差一定能被9整除.
1 1
22.(1) - (2) 证 明 : 右 边 =
n n+1
1 1 n+1 n n+1 - n 1
- = - = = =左边,所以猜想成立.
n n+1 n(n+1) n(n+1) n(n+1) n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 2011
(3)解:原式=1 - + - + - +…+ - =1 - = .
2 2 3 3 4 2011 2012 2012 2012
23.解:(1)x千克这种蔬菜加工后质量为x(1 - 20%)千克,价格为y(1+40%)元.故x千克这种蔬菜
加工后可卖x(1 - 20%)·y(1+40%)=1.12xy(元). (2)加工后可卖1.12×1000×1.5=1680(元),加工
前可卖1000×1.5=1500(元),所以加工后比加工前多卖180元.57+75+78+87+58+85
24. 解 : 举 例 1: 三 位 数 578: =22; 举 例 2: 三 位 数 123:
5+7+8
12+21+13+31+23+32
=22.猜想:一个各数位不含零且不相等的三位数,任取三个数字中
1+2+3
的两个,组合成所有可能的两位数的和除以这个三位数的各个数位上的数字之和恒等于 22.
证 明 如 下 : 设 三 位 数 为 100a+10b+c(a,b,c≠ 0 且 a≠ b≠ c), 则 所 有 的 两 位 数 是
10a+b,10a+c,10b+a,10b+c 10c+a,10c+b, 故
10a+b+10b+a+10a+c+10c+a+10b+c+10c+b 22a+22b+22c 22(a+b+c)
= =
a+b+c a+b+c a+b+c
=22.
