文档内容
专题 03 二次函数与几何图形
类型一：利用“作差法”求面积
类型二：利用“整体法”求面积
类型三：利用“等面积变形法”求面积
类型四：利用“割补法”求面积
类型一：利用“作差法”求面积
1．如图，△ABC内接于 O，连接OA，OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（ ）
⊙
A． ﹣2 B．4 ﹣4 C．4 ﹣8 D．4π−4❑√2
【答案】C
π π π
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
90π×42 1
∴阴影部分的面积=S −S = − ×4×4=4π−8．
扇 形AOB△AOB 360 2
故选：C．
1
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别以点A，B，C，D为圆心， AB的长为半径画弧，
2
与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积（ ）
9
A．18❑√3−9π B．9❑√3−3π C．9❑√3− π D．12❑√3−6π
2
【答案】A
【解答】解：如图，设AC与BD交于点O．∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6，
1
∴OA= AC＝3，
2
在Rt△AOB中利用勾股定理，得OB=❑√AB2−OA2=❑√62−32=3❑√3，
∴BD＝2OB＝6❑√3，
1 1
∴S菱形ABCD =
2
BD•AC =
2
×6❑√3×6＝18❑√3，
6
∵S空白 ＝（
2
）2 ＝9 ，
∴S阴影 ＝S菱形ABC π D ﹣S π 空白 ＝18❑√3−9 ．
故选：A．
π
3．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接
AE、AF，若AD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣ B．8﹣2 C．4﹣2 D．4﹣
【答案】A
π π π π
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，S
正方形ABCD
＝AD2＝16，
∵点E是BC的中点，
1
∴CE＝BE= BC＝2，
2
∵以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，
∴CF＝CE＝2，∴DF＝CD﹣CF＝2，
90π×22 1 1 1 1
∴S扇形ECF =
360
= ，S
△ABE
=
2
AB•BD =
2
×4×2＝4，S
△ADF
=
2
AD•DF =
2
×4×2＝4，
π
∴S阴影 ＝S正方形ABCD ﹣S
△ABE
﹣S
△ADF
﹣S扇形ECF ＝16﹣4﹣4﹣ ＝8﹣ ．
故选：A．
π π
4．如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积
为（ ）
5 1 3 1 5 1 5 1
A． + π B． − π C． − π D． − π
2 4 2 4 2 2 2 4
【答案】D
【解答】解：连接OE．
1 1
∵S = AD•CD= ×2×2＝2，
△ADC 2 2
1 π
S扇形OCE =
4
×12=
4
，
1 π 1
S = ×1×1= ，
△COE 2 2
π 1
∴S弓形CE =
4
−
2
，
π 1 5 π
∴阴影部分的面积为2﹣（ − ）= − ．
4 2 2 4
故选：D．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD
于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（ ）4π 4π 4π 4π
A．5❑√3− B．5❑√3+ C．3❑√3− D．3❑√3+
3 3 3 3
【答案】A
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝4．
又∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
1
∵BE= BC=2，
2
∴AE=❑√3BE=2❑√3，
1
∴S = ×2×2❑√3=2❑√3，
△AEC 2
同理可得，S =2❑√3，
△AFC
∴S =2❑√3+2❑√3=4❑√3．
四 边 形AECF
120⋅π⋅22 4 1
∵S = = π，S = ×2❑√3×1=❑√3，
扇 形CEF 360 3 △CEF 2
4
∴中间空白部分两边形的面积为 π−❑√3，
3
4 4
∴阴影部分的面积为4❑√3−( π−❑√3)=5❑√3− π．
3 3
故选：A．类型二：利用“整体法”求面积
1．如图，在正方形 ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交 CB的延长线于点E，连结
DE．则图中阴影部分的面积为（ ）
π 1 π π 1 π
A． + B． C． + D．
4 2 2 2 2 4
【答案】D
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，
∴BE＝1，∠ABE＝90°，BC＝CD＝1，
∴BE+BC＝CE＝2，
∴S阴影 ＝S扇形ABE +S正方形ABCD ﹣S
△DCE
90π×12 1
= +1×1− ×2×1
360 2
π
= ，
4
故选：D．
2．如图，直角三角形中阴影部分的面积之和是（ ）cm2．
A．28.26 B．56.52 C．113.04
【答案】B
【解答】解：阴影部分的面积＝ ×62÷2＝18 ≈56.52（cm2），
故选：B．
π π
3．如图，学校一长方形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地，已知圆形的半径为 10米，长方形长为
100米，宽为60米，则广场空地的面积为（ 取3）（ ）
πA．4800平方米 B．5400平方米
C．5700平方米 D．6000平方米
【答案】C
【解答】解：100×60﹣3×102
＝6000﹣300
＝5700（平方米），
∴广场空地的面积为5700平方米．
故选：C．
4．2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．
自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，两车轮的直径均为60cm，现
要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影
部分）需要的铁皮面积约是（ ）
A．300 cm2 B．500 cm2 C．900 cm2 D．1200 cm2
【答案】A
π π π π
【解答】解：∵四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，AB∥CD，
∴∠ADC＝65°，∠BCD＝55°，
∵车轮的直径为24英寸，约60cm，
65π×302 55π×302
∴需要的铁皮面积约是 + =300 （cm）2，
360 360
π
故选：A．
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕一逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经
过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为（ ）
14 33 25
A． ﹣6 B．33+ C． ﹣3 D．
3 8 9
【答案】π
D
π π π【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
40⋅π⋅52 25
∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积= = ，
360 9
π
故选：D．
类型三：利用“等面积变形法”求面积
1．如图， O的半径为1，OA＝2，AB切 O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为（
）
⊙ ⊙
2π π
A． B．2 C． D．
3 6
【答π案】D π
【解答】解：连接OB，OC，
∵弦BC∥OA，
∴S ＝S ，
△ABC △OBC
∵AB切 O于B，
∴OB⊥AB，
⊙
∵ O的半径为1，OA＝2，
OB 1
∴ ⊙ = ，
OA 2
∴∠OAB＝30°，
∴∠AOB＝90°﹣∠OAB＝60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
60π×12 π
∴S阴影 ＝S扇形BOC =
360
=
6
．
故选D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的 O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若AB
＝3，∠BED＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
⊙
9π 3π 3π 9π
A． B． C． D．
16 4 2 4
【答案】A
【解答】解：连接OE，OD，
由条件可知∠AEC＝90°，BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S ＝S ，
△AOD △AED
∴S阴影 ＝S扇形OAD ，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
又∵AC＝AB＝3，3
∴AO= ，
2
3 2
90π×( )
∴ 2 9π，
S = =
扇 形OAD 360 16
9π
∴S = ，
阴影 16
故选：A．
3．已知正方形的边长为3，对角线AC，BD交于点O，以O为圆心，AB长为半径作圆心角为90°的扇形
EOF，则图中阴影部分的面积是（ ）
9π 9 9π 9 9π 9 9π 9
A． − B． − C． − D． −
4 4 4 2 2 2 2 4
【答案】A
【解答】解：如图，设AB与OE交于点G，BC与OF交于点H．
∵四边形ABCD是正方形，点O是对角线AC、BD的交点，
1 1
∴AC⊥BD，AC＝BD，OB= BD，OC= AC，∠OBG＝∠OCH＝45°，
2 2
∴∠BOC＝90°，OB＝OC，
∵∠BOG+∠BOH＝90°，∠COH+∠BOH＝90°，
∴∠COH＝∠BOG，
在△OBG与△OCH中，
{∠BOG=∠COH
)
OB=OC ，
∠OBG=∠OCH
∴△OBG≌△OCH（ASA），
∴S ＝S ，
△OBG △OCH1 1 9
∴S四边形OGBH ＝S
△OBG
+S
△OBH
＝S
△OCH
+S
△OBH
＝S
△BOC
=
4
S正方形ABCD =
4
×32=
4
（cm2），
90 9π
∵S扇形EOF =
360
×32=
4
（cm2），
π 9π 9
∴S阴影 ＝S扇形EOF ﹣S四边形OGBH ＝（
4
−
4
）（cm2）．
故选：A．
4．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O．以B为圆心，BD的长为半径作弧，分别交BA，BC的
延长线于点E，F，再以B为圆心，BO的长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N，若AB＝6，则图
中阴影部分的面积为（ ）
9 9
A． π−18 B． π−9 C．9 ﹣9 D．9 ﹣18
2 2
【答案】C π π
【解答】解：由题知，
左边两块阴影部分的面积可转化为正方形ABCD面积的四分之一．
因为AB＝6，
所以S =62=36，
正 方 形ABCD
1
则 ×36=9．
4
1
又因为∠DBF= ×90°=45°，且BD=❑√62+62=6❑√2，
2
45⋅π⋅(6❑√2) 2 1
所以S = =9 ，S = ×6×6=18，
扇 形BDF 360 △BCD 2
π
所以右边阴影部分的面积可表示为：9 ﹣18，
所以阴影部分的面积为：9+9 ﹣18＝9 ﹣9．
π
故选：C．
π π
5．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，O是AD的中点，以点O为圆心，OD长为半径的半圆与对
角线BD交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）A．6﹣ B．8﹣ C．4 D．8
【答案】C
π π
【解答】解：如图，连接AE，CE，AC，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，即AE⊥BD，
由条件可知AC⊥BD，
∴E在AC上，
∴EA＝EB＝EC＝ED，
1
∴阴影部分的面积为：正方形的面积的 ，
4
1
∴阴影部分的面积为： ×4×4=4；
4
故选：C．
类型四：利用“割补法”求面积
1．如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分
的面积等于（ ）
4π 2π 16π 8π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】B
【解答】解：如图所示：连接OC，∵CD垂直平分半径OA，
∴AC＝OC，
∵OC＝OA，
∴OA＝OC＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
1
=
∴S阴影
2
S
O
﹣2S扇形ACO
⊙
AB 2
1 AB 2 60×( ) π
= ×( ) π−2 2
2 2 ×
360
1 1
= ×4 ﹣2× ×4
2 6
π4 π
＝2 −
3
2π π
= ．
3
π
故选：B．
2．如图，在正方形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，再以AD为直径作半圆，连接AC，若正方形
边长为4，则图中阴影部分的面积为 2 ﹣ 4 ．
π
【答案】2 ﹣4．
【解答】解：如图，设半圆与AC的交点为点E，取AD的中点为点O，连接OE、DE，设以A为圆心，
π
AD为半径画弧交AC于点F，1
∴∠AED＝90°，OE=OD=OA= AD=2，
2
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴OE⊥AD，
1 1
∴S π×4− ×4×2＝2 ﹣4；
^阴影2 2
π
故答案为：2 ﹣4．
3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，以AB为直径作半圆O交CD于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为
π
9❑√3
半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为 .
16
9❑√3
【答案】 ．
16
【解答】解：过点O作OG⊥CD，交CD于点G；过点E作EH⊥AB于点H．连接OB、BE．
∵OG⊥CD，
∴∠CGO＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠GOB＝90°．
∵以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，
∴BE＝OB，
∵OB＝OE，3
∴OB＝OE＝BE（设为R，R= ），
2
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE＝∠OBE＝60°，
∴∠GOE＝∠GOB﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴∠GOE＝∠GOF＝30°，
∴∠EOF＝60°，
60 1
∴S扇形EOF ＝S扇形OBE =
360
R2=
6
R2，
π π
∵S阴影+S弓形OE ＝S扇形EOF ，S
△OBE
+S弓形OE ＝S扇形OBE ，
∴S阴影 ＝S
△OBE
，
❑√3
∵EH＝OE•sin∠BOE= R，
2
1 ❑√3 ❑√3 3 9❑√3
∴S = OB•EH= R2= ×（ ）2= ．
△OBE 2 4 4 2 16
9❑√3
故答案为： ．
16
4．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．到以点C为圆
心，4为半径作圆弧^BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧^BO，O^D，则图中阴影部分的面积
为（ ）
A．4 ﹣4 B．4 ﹣8 C．4 ﹣12 D．16﹣4
【答案】B
π π π π
【解答】解：如图，连接BD．
∵S弓形OB ＝S弓形OD ，
90 1
∴S阴影 ＝S弓形BD ＝S扇形BCD ﹣S
△BCD
=
360
×42−
2
×4×4＝4 ﹣8．
π π故选：B．
5．如图，平行四边形ABCD，AB＝2，BC＝3，以点C为圆心，CD为半径画弧，分别交AD、BC于F、
E，连接AE，若AE⊥BC，则图中阴影部分的面积为（ ）
❑√3 2π ❑√3 4π 3❑√3
A． B． − C． −❑√3 D．
2 3 2 3 2
【答案】A
【解答】解：连接EF，CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，
∵CD＝CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣2＝1，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴AE=❑√AB2−BE2=❑√22−12=❑√3，
∵AB＝2BE，
∴∠BAE＝30°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵CF＝CD，
∴△CFD的等边三角形，
∴∠DCF＝60°，DF＝CD＝2，AF＝AD﹣DF＝3﹣2＝1，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECF＝∠FCD＝60°，
∴弓形DF的面积＝弓形EF的面积，
1 ❑√3 ❑√3
∴S阴 ＝S梯形AECF ﹣S
△ECF
=
2
（1+2）×❑√3−
4
×22=
2
．
故选：A．
