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专题 03 二次函数的定义、图象和性质
二次函数的识别
1.（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数 （ 是常数）是二次函数，那么 的取值范围是 ．
利用二次函数的定义求参数
1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于 的函数 的图象是抛物线，则 的值是 ．
2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数 （m是常数）是二次函数，则m的值是
．
3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数 是二次函数，则m的值为 ．
4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若 是关于x的二次函数．则m的值为 ．
5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数 的图象是抛物线，则 ．
把y=ax²+bx+c化成顶点式
1.（23-24九年级上·甘肃白银·期末）用配方法将函数 写成 的形式是
．
2.（23-24八年级下·云南昆明·期末）抛物线 的顶点坐标是 ．
3.（23-24九年级上·四川广元·期末）若把二次函数 化为 的形式，其中 为常
数，则 ．
4.（23-24九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数 可以写成 ，则 的取
值范围是 ．
5.（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数 化为 的形式为
．二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
1.（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线 的描述正确的是（ ）
A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的
C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的
2.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数 的图像与性质的描述，正确的是( )
A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数 的图像平移得到
3.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线 的对称轴是直线 ，那么下列等式成
立的是（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点 在二次函数 的图像上，那么a
b填“ ”“ ”或“ ”）
5.（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线 开口向上，且经过点 和 ，如果
点 与 在此抛物线上，那么 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
二次函数图象的平移
1.（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式是 ．
2.（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，将函数 的图像先向右平移2个单位长度，
再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为 ．3.（23-24九年级上·西藏·期末）将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长
度，则平移后抛物线解析式是 ．
4.（23-24九年级上·山东潍坊·期末）二次函数 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3
个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ．
5.（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线 及一点 ，
的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为 ，则此时 的坐标为
．
待定系数法求二次函数解析式
1.（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数 的图象．
(1)求该二次函数的关系式及顶点坐标；
(2)当 时 的取值范围是___________．
2.（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数 自变量 与函数 的部分对应值如下表：… 0 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点 为抛物线上一点，抛物线与 轴交于 、 两点，若 ，求出此时点 的坐标．
3.（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，二次函数的图象经过点(1,0)，顶点坐标为 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点；
(3)当 时，y的取值范围为______．
4.（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数 图象上部分点的横纵坐标 的对应值如表：
x … 0 1 2 m …
y … n …
(1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______；
(2)表中的 _______， _______；
(3)若 是这个函数图象上的两点，且 ，则 _______ （填“>”或“=”或
“<”）；
(4)写出这个函数的一条性质___________．根据二次函数增减性求某区域的最值问题
1.（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当 时，函数的最大值为1，
则a的值为 ．
2.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数 ，当 时，该函数 的最小值是 ．
3.（23-24八年级下·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数 的最小4，则常数m的值
为 ．
4.（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数 （其中 ），当 时， 的最大
值是4，则 的值为 ．
5.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 ，则此函数的顶点坐标是
；若 ，当 时，函数有最小值 ，则 ．
二次函数与一次函数或反比例函数共存问题
1.（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( )
A． B． C． D．
3.（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若 ，则函数 、 在同一坐标系中的图象可能是
（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
画二次函数y=ax²+bx+c的图象1.（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数 的图象，根据图象，解决下列问题：
（1）当 时，x的取值范围是 ．
（2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ．
2.（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）根据要求画出二次函数 的图象并解决相关问题．
(1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(2)请根据图像直接写出：当 时，自变量 的取值范围 ．
3.（23-24九年级上·河南南阳·期末）【操作与探究】已知点P(x,y)在抛物线 上移动．(1)在下图的平面直角坐标系 中画出函数 的图象；
(2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
函数 时， 的取值范围是______；
方程 的根是______；
若 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是______；
若当 时，函数 的最小值是 ，最大值是 ，直接写出 的取值范围．
4.（22-23八年级下·福建福州·期末）已知二次函数 ．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点 在该函数图象上
①当 时，则x的取值范围为___________；
②当 （t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
… …
x 0 1
… …… …
y 0 3 4 3 0
… …
5.（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数 ．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为 的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当 时，则y的取值范围是____________．
利用二次函数的图象和性质求解综合问题
1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线 ，其中a为常数．
(1)求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示）
(2)将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值．
2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知某二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线
(1)求此抛物线的顶点坐标；(2)观察图象，直接写出当 时自变量x的取值范围．
3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 一条抛物线经过点 和原点O，连接
，线段 交y轴于点C．已知实数m， 分别是方程 的两个根．
(1)求m，n的值；
(2)求这条抛物线对应的函数解析式；
(3)若P为线段 上的一个动点（不与点O，B重合），当 为等腰三角形时，求点P的坐标．
4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
，对称轴是 ，点 在对称轴上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在一点 ，使得 为直角？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将线段 绕着点 逆时针方向旋转 后得到线段 ，当点 与 恰有一点落在抛物线上时，求点
的坐标．
5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线 ．(1)求抛物线 的顶点坐标；
(2)将二次函数 的图像向右平移2个单位长度，与二次函数 的图像
组成一个新的函数图像，记为 ，设 上的一点 的坐标为 ．
①当 满足_______时， 随 的增大而增大；
②直接写出 的函数表达式；
③当 时，过点 作 轴的垂线，分别交 ， 于点 ， ，若点 是线段 的三等分点，求点
的坐标．
6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 经过 、C(0,−3)两点，
与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），
①当点E在直线 的下方运动时，求 的面积的最大值；
②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的
四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
