专题 03 二次函数应用分类汇编
【题型01 ：抛物线问题】
【题型02 ：拱桥问题】
【题型03：面积问题】
【题型04：每每问题】
【题型05：利润问题】
【题型06：分配问题】
【题型07：分段函数】
【题型01 ：抛物线问题】
1．如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有h=20t- 5t2的函数
关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出h=0的两根，两根
之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后
根据方程20t- 5t2 =15的意义为h=15时所用的时间，据此解答．
【详解】解：20t- 5t2 =15的两根t =1与t =3，即h=15时所用的时间，
1 2
∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A不符合题意；h=20t- 5t2 =- 5(2- t) 2 +20，
∴对称轴直线为：t=2，最大值为20，故D不符合题意；
∴t=3时，h=15，此时小球继续下降，故B不符合题意；
∵当h=0时，t =0，t =4，
1 2
∴t - t =4，
2 1
∴小球从飞出到落地要用4s，故C符合题意．
故选：C．
2．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的
飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系h=20t- 5t2．则小球从飞出到达
到最高点瞬间所需要的时间为 秒．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．把函数关系式配方成顶点式h=- 5(t- 2) 2 +20，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：h=20t- 5t2 =- 5(t- 2) 2 +20，
∵a=- 5<0，
当t=2时，h的最大值为20，
即t=2s时，h的值最大，
故答案为：2．
3．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函
数解析式是S=10t- 0.25t2，此飞行器滑行的最大距离是 米．
【答案】100
【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出s取得最大值时的
t的值即可得．
1
【详解】解：∵ S=10t- 0.25t2 =- (t- 20) 2 +100，，
4
∴当t=20时，s取得最大值100，此飞行器滑行的最大距离是100米．
故答案为：100．
4．如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度y(m)与运
行的水平距离x(m)之间满足关系式y=ax2 +x+c，当球运行的水平距离为1.5m球离地面高
度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为
3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
【答案】当球运行的水平距离为2.5m时，球在空中达到最大高度，最大高度为3.5m
【分析】本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等
技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．
利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案．
【详解】解：依题意，抛物线y=ax2 +x+c经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，
∴¿
解得¿
∴y=- 0.2x2 +x+2.25=- 0.2(x- 2.5) 2 +3.5，
∵- 0.2<0，
∴当x=2.5时，y取得最大值3.5，
当球运行的水平距离为2.5m时，球在空中达到最大高度，最大高度为3.5m．
5．足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学
们的最爱．在一次足球训练中，小王从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈
抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点D，此时球离地面4米．已知球
门BC的高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，请通过计算说明当时
20
小王应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过B点正上方 米处入门？
9
1
【答案】(1)y=- x2 +4，球不能射进球门
9
20
(2)当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方 米处入门
9
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律．
（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标(0,4)，设抛物线的表达式为y=ax2 +4，把
1
A(6,0)代入，当x=- 3时，y=- ×(- 3) 2 +4=3>2.44，即可作答．
9
（2）依题意设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为
y=- 1 (x- m) 2 +4，再把点 ( - 3, 20) 代入，- 1 ×(- 3- m) 2 +4= 20 ，计算出n的值，即
9 9 9 9
可作答．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点D的坐标为(0,4)．
设抛物线的表达式为y=ax2 +4，把A(6,0)代入，
1
得36a+4=0，解得a=- ．
9
1
∴抛物线的函数表达式为y=- x2 +4．
91
当x=- 3时，y=- ×(- 3) 2 +4=3>2.44，
9
∴球不能射进球门
1
（2）解：设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为y=- (x- m) 2 +4，
9
把点 ( - 3, 20) 代入，得- 1 ×(- 3- m) 2 +4= 20 ，
9 9 9
解得m =- 7（舍去），m =1．
1 2
20
答：当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方 米处入门．
9
6．如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，
出手点整直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮
球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度
为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到
篮球？并说明理由．
(3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点
的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰
不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，
乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入框？请说明理由．
1
【答案】(1)y=- (x- 2.5) 2 +3.5；
5
(2)乙能碰到篮球，理由见详解；
(3)篮球未入篮筐；【分析】（1）本题考查二次函数的应用，设解析式为y=a(x- h) 2 +k，再将顶点
(2.5,3.5)，(4,3.05)代入求解即可得到答案；
（2）本题考查二次函数的运用，将x=1代入求出y与最高距离比较即可得到答案；
1
（3）本题考查二次函数的运用，设解析式为y=- (x- h ) 2 +k ，将题目中数据代入求解
5 1 1
即可得到答案；
【详解】（1）解：设解析式为y=a(x- h) 2 +k，由题意可得，
函数过顶点(2.5,3.5)及点(4,3.05)，
∴h=2.5，k=3.5，a(4- 2.5) 2 +3.5=3.05，
1
解得：a=- ，
5
1
∴
y=- (x- 2.5) 2 +3.5；
5
（2）解：乙能碰到篮球，理由如下，
当x=1时，
1 2
y=- (1- 2.5) +3.5=3.05，
5
∵3.05<3.2，
∴乙能碰到篮球；
（3）解：∵篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，
1
∴设解析式为：y=- (x- h ) 2 +k ，
5 1 1
由题意可得，
图像过(- 0.5,2.75)，(1,3.6)，
代入得，¿，
解得：¿，
1 5 2 166
∴y=- (x- ) + ，
5 3 45
当x=4时，
1 5 2 166 117
y=- (4- ) + = <3.05，
5 3 45 45
∴篮球未入篮筐．7．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石
柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并
在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，
且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水
流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
【答案】(1)符合要求，花坛的半径至少为2m，理由见解析
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米
【分析】（1）设二次函数顶点式，利用待定系数法求出二次函数解析式，求出抛物线与x
轴的交点坐标，即可得到答案；
（2）令y=1.25，则-(x- 0.5) 2 +2.25=1.25，解得x=1.5或x=- 0.5(舍)，即可得到答案．
【详解】（1）解：符合要求，理由如下：
由题意可得，顶点为(0.5,2.25)，
∴设解析式为y=a(x- 0.5) 2 +2.25，
∵函数过点(0,2)，
∴代入解析式得，a(0- 0.5) 2 +2.25=2，
解得a=- 1，∴解析式为：y=-(x- 0.5) 2 +2.25，
令y=0，则-(x- 0.5) 2 +2.25=0，
解得x=2或x=- 1(舍去)，
∴花坛的半径至少为2m；
（2）令y=1.25，则-(x- 0.5) 2 +2.25=1.25，
解得x=1.5或x=- 0.5(舍)，
∴为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
8．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷
（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，A款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m，顶部高度h=1.8m．请在图2
中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子
摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度EC=1m，宽度CD=0.6m，若在帐篷内沿AB方向
摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高
宽分别为1m和0.6m的椅子．设其拋物线型支架的形状值为a(a<0)，请写出a的最小值．
4( 3)( 3) 2
【答案】[建立模型]y=- x+ x- ；[运用模型]3张；[分析计算] -
5 2 2 3
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
( 3 ) (3 )
[建立模型]以AB的中点为平面直角坐标系的原点，此时A - ，0 ，B ，0 ，且经
2 2
过(0，1.8)，代入抛物线函数关系式，即可作答．[运用模型]在[建立模型]的基础上，令y=1，解出x ，x 的值，根据宽度CD=0.6m建立不
1 2
等式，即可作答．
[分析计算]设抛物线函数关系式为y=ax2 +2.5，根据“且一排能容纳5张高宽分别为1m和
0.6m的椅子”，建立不等式，即可作答．
【详解】解：[建立模型] 以AB的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示：
∵A款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m，顶部高度h=1.8m
( 3 ) (3 )
∴ A - ，0 ，B ，0
2 2
( 3)( 3)
设抛物线函数关系式为y=b x+ x-
2 2
∵抛物线经过点(0，1.8)
( 3) ( 3)
∴
1.8=b× 0+ × 0-
2 2
4
解得b=-
5
4( 3)( 3)
即y=- x+ x- ；
5 2 2
4( 3)( 3)
[运用模型]∵y=- x+ x- ，且椅子高度EC=1m，宽度CD=0.6m
5 2 2
4( 3)( 3)
∴
1=- x+ x-
5 2 2
解得x =1，x =- 1
1 2
则x ，x 的距离为2；
1 220 1
2÷0.6= =3 <4
6 3
∵椅子数量为正整数
∴最多可摆放的椅子数量为3张；
[分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为y=ax2 +2.5，
∵且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m的椅子
∴即刚好经过点D点，
5×0.6 3
∴ y =1，x = =
D D 2 2
(3 )
∴y=ax2 +2.5经过点D ，1
2
(3) 2
即当y=1时，即1=a× +2.5
2
2
解得a=- ．
3
2
∴a的最小值为- ．
3
【题型02 ：拱桥问题】
9．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷
出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地
点D离池中心A处3m，则水管AB的长为 m．【答案】2.25
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，以池中心为原点，竖直安装的水管为
y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a(x- 1) 2 +3，将
(3，0)代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，代入x=0时得到的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐
标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，即抛物线的顶点坐标为(1，3)，
则设抛物线的解析式为：y=a(x- 1) 2 +3，
代入(3，0)得：a(3- 1) 2 +3=0，
3
∴ a=- ，
4
3
∴设抛物线的解析式为：y=- (x- 1) 2 +3(0≤x≤3)；
4
3
令x=0，则y=- +3=2.25．
4
故水管AB的长为2.25m，
故答案为：2.25．
10．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关7
于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=- x2 +14x(0≤x≤4)．水珠可以达
2
到的最大高度是 米．
【答案】14
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的顶点式即可求解．解决本题的关键
是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．
7 7
【详解】∵ y=- x2 +14x=- (x- 2) 2 +14(0≤x≤4)，
2 2
∴x=2时，y取最大值14，
∴水珠可以达到的最大高度是14米．
故答案为：14．
1
11．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为y=- x2 +8，为增
10
加照明度，在该抛物线上距地面AB高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水
平距离EF是 米．（可用含根号的式子表示）
【答案】4❑√5
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当y=6时，x的值即可得到答
案．
1
【详解】解：当y=6时，则6=- x2 +8，
10
解得x=±2❑√5，
∴EF=2❑√5- (- 2❑√5)=4❑√5米，
故答案为：4❑√5．
12．如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l时，拱顶（拱桥洞的最
高点）离水面2m，水面宽4m，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降0.5m时，水面
宽增加 m．【答案】(2❑√5- 4)/(- 4+2❑√5)
【分析】
此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函
数解析式，求出下降后与水面相交的两个交点的坐标，即可得到答案．
【详解】
解：设抛物线为y=ax2，
由题意可得，点(2,- 2)在抛物线上，
则- 2=a×22，
1
解得a=- ，
2
1
∴抛物线为y=- x2 ，
2
1
当y=- 2.5时，- 2.5=- x2 ，
2
解得x =❑√5,x =- ❑√5，
1 2
∴当水面下降0.5m时，水面宽增加[❑√5- (- ❑√5)]- 4=(2❑√5- 4)m，
故答案为：(2❑√5- 4)．
13．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为
6米，宽OP为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）
(2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物
线上，点B，C在OP上，求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．
1 1
【答案】(1)这条抛物线的函数解析式为y=- (x- 6) 2 +6=- x2 +2x
6 6
(2)三根“光带”长度之和的最大值为15米
【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解
题的关键．
1
（1）根据题意可设y=a(x- 6) 2 +6，抛物线过O(0,0)，可求得到a=- ，即可求出抛物线
6
的解析式；
（2）设点A的坐标为 ( m, 1 m2 +2m ) ，设三根“光带”长度之和为L米，列出L的解析式，
6
根据二次函数的性质求出答案即可．
【详解】（1）解：由题意可设这条抛物线的函数解析式为y=a(x- 6) 2 +6，
∵抛物线过O(0,0)，
∴36a+6=0，
1
解得a=- ，
6
1 1
∴这条抛物线的函数解析式为y=- (x- 6) 2 +6=- x2 +2x；
6 6
（2）设点A的坐标为 ( m,- 1 m2 +2m ) ，
6
1
则OB=m,AB=DC=- m2 +2m，
6根据抛物线的轴对称，可得：OB=m=CP，BC=12- 2m，AD=12- 2m，
设三根“光带”长度之和为L米，
令L=AB+AD+DC
1 1
=- m2 +2m- m2 +2m+12- 2m
6 6
1
=- m2 +2m+12
3
1
=- (m- 3) 2 +15，
3
1
∵- <0，开口向下，
3
∴当m=3时，最大值为15，
∴当OB=3米时，三根“光带”长度之和的最大值为15米．
14．2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规
划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽
AB为16cm，入口最高处OC为12.8米．
(1)求抛物线解析式；
(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平
移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？
【答案】(1)抛物线解析式为y=- 0.2x2 +12.8
(2)抛物线解析式为y=- 0.2x2 +0.8x+9
(3)不符合要求，理由见解析
【分析】（1）根据图形和题意设出抛物线解析式，再把A点坐标代入解析式即可；
（2）根据平移的性质求抛物线解析式即可；
（3）令（2）中解析式的y=0，解方程即可．
【详解】（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C(0,12.8)，A(- 8,0)，故设抛物线解析式为y=ax2 +12.8，
把A点坐标代入解析式得：64a+12.8=0，
解得a=- 0.2，
∴抛物线解析式为y=- 0.2x2 +12.8；
（2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8m，
∴抛物线解析式为y=- 0.2(x+2) 2 +9.8=- 0.2x2 +0.8x+9；
（3）（2）中的建议不符合要求，理由：
令y=- 0.2x2 +0.8x+9中的y=0，
则- 0.2x2 +0.8x+9=0，
整理得x2 - 4x- 45=0，
解得x =- 5，x =9，
1 2
∴x - x =9+5=14，
2 1
∵14<15，
∴（2）中的建议不符合要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
15．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行
一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意
图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的
竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系
y=- 0.01(x- 30) 2 +9，据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟
最高处到桥拱的竖直距离至少3m．
(1)水面的宽度OA=_______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的
数量．
【答案】(1)60(2)4条．
【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当y=5时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为
9m即可得到答案．
【详解】（1）解：令y=0，则- 0.01(x- 30) 2 +9=0，
∴(x- 30) 2 =900，
解得x=0或x=60，
∴A(60，0)，
∴OA=60m，
故答案为：60；
（2）解：令y=5，得- 0.01(x- 30) 2 +9=5，
∴(x- 30) 2 =400
解得x =10，x =50．
1 2
∴可设计赛道的宽度为50- 10=40m，
∵每条龙舟赛道宽度为9m，
∴最多可设计赛道4条．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
【题型03：面积问题】
16．如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园
的一面靠墙MN (39m)（篱笆的宽度忽略不计）
(1)菜园面积可能为252m 2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，请说明理由；
(2)因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
【答案】(1)可能，14m(2)288平方米
【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一
元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可．
（1）设AB=x m，则矩形的长(60- 3x)m，依题意，得：x(60- 3x)=252，解方程计算
即可．
（2）设AB=x m，则BC=(60- 3x)m，依题意列出关于x的面积S=- 3(x- 10) 2 +300，
根据函数性质计算即可．
【详解】（1）设AB=x m，则矩形的长(60- 3x)m，依题意，得：x(60- 3x)=252，
即x2 - 20x+84=0，
解得：x =6，x =14，
1 2
当x =6时，(60- 3x)=42m＞39m，舍去，
1
当x =14时，(60- 3x)=18m＜39m成立，
2
答：花园面积可能是252m 2，此时边AB的长为14米．
（2）∵AB=x m，则BC=(60- 3x)m，依题意，得：
S=x(60- 3x)=- 3x2 +60x=- 3(x- 10) 2 +300，
∵a=- 3＜0，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵x≤8，
∴当x=8时，y最大，最大为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
17．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围
成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm．
(1)求场地的面积y( m 2 )与x(m)之间的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)y=- 2x2 +32x
(2)2≤x<16【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据矩形的面积列出关系式；
（2）根据边长大于0，宽大于门宽，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）由题意得y=x(32- 2x)=- 2x2 +32x；
（2）∵32- 2x>0，
∴x<16，
又∵门宽是2m，
∴x≥2，
∴2≤x<16．
18．某农场要建一个矩形养殖场：养殖场的一边靠墙（AB长10米），另外三边用围栏围
成，围栏总长20米，设养殖场的边CD的长为xm，矩形面积为ym 2．
(1)当矩形养殖场面积为48m 2时，求边CD的长；
(2)能否围成面积为52m 2矩形养殖场？请说明理由；
(3)求矩形养殖场面积的最大值．
【答案】(1)CD边的长为6m
(2)无法围成面积为52m 2矩形养殖场，理由见解析
(3)矩形养殖场的最大面积为50m 2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据矩形面积公式列出方程是解题
关键．
（1）根据题意得x(20- 2x)=48，解方程，舍去不合题意的方程的解即可求解；
（2）根据题意得- 2x2 +20x=52， 解方程，得到方程没有实数根，即可得到无法围成面
积为52m 2矩形养殖场．
（3）根据题意得到y=x(20- 2x)=- 2x2 +20x，求得5≤x<10，二次函数化为顶点式，
根据二次函数的性质即可得到答案．此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和二次函数是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得x(20- 2x)=48，
解得x =4，x =6，
1 2
当CD=6米时，AB=20- 2×6=8（米），符合题意；
当CD=4米时，AB=20- 2×4=12（米），
∵墙AB长度为10米，
∴CD=4米不符合题意；
∴CD边的长为6米；
答：CD边的长为6m.
（2）解：不能围成面积为52m 2矩形养殖场，理由如下：
根据题意得x(20- 2x)=52，
则2x2 - 20x+52=0，
即x2 - 10x+26=0，
∵Δ=100- 4×1×26=- 4<0，
∴方程没有实数根，
答：无法围成面积为52m 2矩形养殖场.
（3）由题意可得，y=x(20- 2x)=- 2x2 +20x，
由¿得到5≤x<10，
∵y=- 2x2 +20x=- 2(x- 5) 2 +50，且- 2<0，
∴当x=5时，y有最大值为50.
答：矩形养殖场的最大面积为50m 2 .
19．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将
四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
(1)若长方体底面面积为12dm2，裁掉的正方形边长多少？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面积的最小值？
(3)在（2）的条件下，由于实际需要，将容器内侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分
米的需要的费用为0.5元，底面每平方分米需要的费用为2元，当裁掉的正方形边长多少时，
总费用最低，最低为多少？
【答案】(1)裁掉的正方形的边长为2dm
(2)S =5；
最小
(3)当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，为25元．
【分析】（1）设裁掉的正方形边长为xdm，再根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）底面长不大于底面宽的五倍求出范围0<x≤2.5，再根据二次函数的增减性即可求解；
（3）设总费用为w元，列出关于总费用的表达式w=4(x- 6) 2 - 24，再根据二次函数的增
减性即可求解；
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数
的形式是解题的关键．
【详解】（1）设裁掉的正方形边长为xdm，
由题意可得(10- 2x)(6- 2x)=12， 即x2 - 8x+12=0，
解得：x =2，x =6（舍去），
1 2
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；
（2）由题意得：10- 2x≤5(6- 2x)，解得：0<x≤2.5，
设长方体容器的底面面积为S，
∴S=(10- 2x)(6- 2x)=4x2 - 32x+60=4(x- 4) 2 - 4，
∴当x=2.5时长方体容器的底面面积有最小，S =4×(2.5- 4) 2 - 4=5；
最小
（3）设总费用为w元，
由题意可知 w=0.5×2x(16- 4x)+2(10- 2x)(6- 2x)=4x2 - 48x+120=4(x- 6) 2 - 24，
∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0<x≤2.5时，w随x增大而减小，
∴当x=2.5时，w最小为25元，
∴当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，为25元．【题型04：每每问题】
20．某超市销售一种商品，进价为40元/千克，经市场调查，当售价为50元/千克时，每天
可销售220千克；如果该商品每千克上涨1元，则每天可少卖10千克，规定每千克售价不
能高于65元，且不能低于50元．设每千克商品的售价上涨x元，每天的销售利润为w元．
(1)设每天的销售量为y千克，请写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？并
求出此时的最大利润；
(3)若该超市销售该商品所获利润不低于2310元，请直接写出x的取值范围．
【答案】(1)y=- 10x+220；0<x≤15；
(2)当售价为56元时，该超市每天的利润最大，并求出此时的最大利润最大利润为2560元；
(3)1≤x≤11．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式，同时考
查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意，销售数量可表示为220- 10x，并根据题意自变量取值0<x≤15；
（2）利用总利润等于每千克的利润x+10乘以销售数量，列出函数关系式，再根据二次函
数的性质即可求解最大值即可；
（3）令w≥2310，根据二次函数解析式建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，售价在50元/千克的基础上涨价x元，销售量220- 10x，
故y与x之间的函数关系式为：y=- 10x+220，
x的取值范围为：0<x≤15；
（2）解：每件销售利润为：x+10，有：
w=(x+10)(- 10x+220)=- 10x2 +120x+2200
化为顶点式为：w==- 10(x- 6) 2 +2560，
故当涨价6元时，利润最大，为2560元，
答：当销售单价为56元时，该超市的每天利润最大，最大利润为2560元．
（3）解：由题意可得：
w=- 10x2 +120x+2200≥2310
(x- 1)(x- 11)≤0，
解得：1≤x≤11答；利润不低于2310元， x的取值范围为：1≤x≤11．
21．某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销
售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
(1)平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为______；
(2)求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
(3)物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大
利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=- 3x+240
(2)W =- 3x2 +360x- 9600
(3)每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常用函数
的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二
b
次函数的最值不一定在x=- 时取得．
2a
（1）平均每天销售量y=原来的销售量90- 3×相对于50元的单价提高的价格；
（2）销售利润W =单价的利润×平均每天的销售量，代入即可得出W与x的函数关系式；
（3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值．
【详解】（1）解：由题意得：y=90- 3(x- 50)=- 3x+240，
故答案为：y=- 3x+240；
（2）解：由题意得：W =(x- 40)(- 3x+240)=- 3x2 +360x- 9600；
（3）解：y=- 3x2 +360x- 9600=- 3(x- 60) 2 +1200，
∵- 3<0，
∴抛物线开口向下，故当x=60时，y取最大值1200，
∵x=60是二次函数的对称轴，且开口向下，
∴当x<60时，y随x的增大而增大，
∵规定每件售价不得高于55元，
∴当x=55时，W取得最大值为1125元，即每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元
的最大利润．
22．某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降
价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（
x≥8），每天售出水果的总重量为y千克．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与x(x≥8)的函数关系式，并求出当x为何
值时，利润W最大，最大利润是多少？
【答案】(1)y=- 4x+108(x≥8)
35
(2)当x= 时,利润最大,最大利润为361元
2
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图像与性质，正确理
解题中的数量关系是解题的关键．
（1）根据“以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2
千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．”即可列出函数关系
式；
（2）根据题意，可得w=(x- 8)(- 4x+108)，再根据二次函数的性质，即得答案．
x- 12
【详解】（1）y=60- ×2，
0.5
即y=- 4x+108(x≥8)；
（2）w=(x- 8)(- 4x+108)
=- 4x2 +140x- 864
35 2
=- 4(x- ) +361，
2
35
∴当x= 时，利润最大，最大利润为361元．
2
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售，
增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每
降价10元，商场平均每天可多售出20件．
(1)若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
(2)怎样定价能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)每件衬衫应降价30元；
(2)每件衬衫降价20元时，所获利润最大，最大利润为1800元．【分析】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，理解题意抓准相等关系列出方程
或函数解析式是解题的关键．
（1）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可；
（2）根据（1）中相等关系列出函数解析式，配方成顶点式即可得．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元．
( x )
根据题意，得(50- x) 20+ ⋅20 =1600
10
解得x =10,x =30．
1 2
∵扩大销售量，减少库存，
∴应取x =30．
2
答：每件衬衫应降价30元；
（2）解：设获得利润为W，
则W =(50- x) ( 20+ x ⋅20 ) =- 2x2 +80x+1000=- 2(x- 20) 2 +1800，
10
∵- 2<0，
当x=20时，W取得最大值，最大值为1800，
答：每件衬衫降价20元时，所获利润最大，最大利润为1800元．
24．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需
对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)求房价是多少元时，宾馆的利润为6890元；
(2)求房价定为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)房价为550元时，利润为6890元
(2)定价为350元时，利润最大为10890元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；
（1）等量关系式：每间宾馆获得利润×游客居住的间数=6890元，据此列方程，即可求解；
（2）等量关系式：每间宾馆获得利润×游客居住的间数=宾馆的利润，据此列出二次函数，
化成顶点式，即可求解；找出等量关系，会利用二次函数的性质求出最值是解题的关键．
【详解】（1）解：设每间房每增加10x元时，定价为（180+10x）元，由题意得
(180+10x- 20)(50- x)=6890，
整理得：(x- 17) 2 =400，
解得：x =37，x =- 3，
1 2
∴每增加10×37=370元，
房价为180+10×37=550元，
答：房价是550元时，利润为6890元．
（2）解：设宾馆的利润为y元，由题意得
y=(180+10x- 20)(50- x)，
即y=- 10(x- 17) 2 +10890，
又∵a=- 10<0，且x<50
∴当x=17时，
y有最大值为10890元，
∴定价为180+10x=180+10×17=350元，
答：房价定为350元时，宾馆的利润最大，最大利润是10890元．
【题型05：利润问题】
25．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售
板栗．已知板栗的成本价为6元/ kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/ kg）满足一
次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/
kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/ kg
7 8 9
）
y（kg） 4300 4200 4100
(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值
范围）
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
【答案】(1)y=- 100x+5000(2)当销售单价定为28元时，日获利w最大，最大利润为48400元
(3)20≤x≤30
【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式y=kx+b，将(7，4300)，
(8，4200)，代入得，¿，计算求解，进而可得结果；
（2）依题意得，w=(x- 6)⋅(- 100x+5000)=- 100(x- 28) 2 +48400，由- 100<0，
6≤x≤30，可知当x=28时，日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）令w=42000，则- 100(x- 28) 2 +48400=42000，可求x=20或x=36，由- 100<0，
可得20≤x≤36，由6≤x≤30，可得20≤x≤30．
【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式y=kx+b，
将(7，4300)，(8，4200)，代入得，¿，
解得，¿，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式y=- 100x+5000；
（2）解：依题意得，
w=(x- 6)⋅(- 100x+5000)=- 100x2 +5600x- 30000=- 100(x- 28) 2 +48400，
∵- 100<0，6≤x≤30，
∴当x=28时，日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）解：令w=42000，则- 100(x- 28) 2 +48400=42000，
解得，x=20或x=36，
∵- 100<0，
∴20≤x≤36，
又∵6≤x≤30，
∴20≤x≤30．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函
数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数
的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
26．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销
售单价x（元）满足函数y=- 2x+100，设销售这种饰品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数表达式；
(2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？
(3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城
应将销售单价定为多少？
【答案】(1)W =- 2x2 +120x- 1000
(2)销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元
(3)单价定为25元
【分析】
本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可；
（2）根据二次函数的性质，求出最值即可；
（3）令W =750，求出x的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：W =(x- 10)(- 2x+100)=- 2x2 +120x- 1000；
（2）∵W =- 2x2 +120x- 1000=- 2(x- 30) 2 +800，
∴当x=30时，W有最大值800，
∴销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元；
（3）当W =750时，- 2x2 +120x- 1000=750，
解得：x=25或x=35，
∵确保顾客得到优惠，
∴x=25，
∴单价应定为25元．
27．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y
（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x≥8且x为整数）．当每件消毒
用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为12元时，每天的销售
量为90件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天想获得425元的利润，为让消费者获得更多实惠，则每
件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=- 5x+150
(2)每件消毒用品的售价为13元
(3)每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及待定系
数法求函数关系式、一次函数的性质、二次函数的性质，理解题意，正确求得函数关系式
和方程是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）根据利润=单件利润×销售量列方程求解即可；
（3）根据利润=单件利润×销售量列函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得¿，解得¿，
∴y与x之间的函数关系式为y=- 5x+150；
（2）解：根据题意，得(x- 8)(- 5x+150)=425，即x2 - 38x+325=0，
解得x =13，x =25，
1 2
∵让消费者获得更多实惠，
∴x=13，
答：每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意，得w=(x- 8)(- 5x+150)=- 5x2 +190x- 1200 =- 5(x- 19) 2 +605，
∵- 5<0，x≥8，
∴当x=19时，w有最小值，最小值为605，
答：每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元．
28．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过
程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为
m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元；
(3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润
=销售收入-总支出）
1
【答案】(1)y=- x+20
4
(2)30吨
(3)原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用：
（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入=销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润=销售收入-原料成本-加工费列出函数关系式，然
后根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将(20,15)，(30,12.5)代入，得：
¿，
解得：¿，
1
∴y与x之间的函数关系式为y=- x+20；
4
（2）解：依题意得：6.2x≤248，
解得x≤40，
设销售收入为P（万元），
∴P=(1- 20%)xy= 4( - 1 x+20 ) x=- 1 x2 +16x，
5 4 51
令- x2 +16x=300，
5
解得x =30，x =50（舍去），
1 2
∴原料的质量为30吨时，销售收入为300万元．
（3）解：设销售总利润为W（万元），
∴W =P- 6.2x- m
1
=- x2 +16x- 6.2x- (50+0.2x)
5
1 48
=- x2 + x- 50
5 5
1
=- (x- 24) 2 +65.2，
5
1
∵- <0，
5
∴当x=24时，W有最大值为65.2，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．
29．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）
是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：
售价x（元/件） 55 65
销售量y
90 70
（件/天）
(1)求出y关于售价x的函数关系式；
(2)设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当
销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
【答案】(1)y=- 2x+200
(2)W =- 2x2 +300x- 10000，当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的
利润最大
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）设y=kx+b，待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求
最值即可．
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)，由题意，得：¿，解得：¿，
∴y=- 2x+200；
（2）由题意，得：W =(x- 50)(- 2x+200)=- 2x2 +300x- 10000=- 2(x- 75) 2 +1250，
∴当x=75时，W有最大值为1250，
∴当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．
30．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网
络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000
元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销
售单价x（元/kg）满足关系式：y=- 100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价
且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．
(1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)w=- 100x2 +5600x- 32000
(2)当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为46400元
【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质：
（1）根据获利=（销售单价-成本）×日销售量，即可求解；
（2）由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解；
求出函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意可得w=(x- 6)(- 100x+5000)- 2000，
化简得：w=- 100x2 +5600x- 32000，
答：日获利w与销售单价x之间的函数关系式为w=- 100x2 +5600x- 32000；
（2）解：w=- 100x2 +5600x- 32000=- 100(x- 28) 2 +46400，
∵a=- 100<0，对称轴为x=28，
∴当x=28时，w由最大值为46400元，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为46400元．
【题型06：分配问题】
31．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系
y=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品
获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)y=- 0.1x2 +1.5x
(2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为
6.6万元
【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键．
（1）将(1,1.4),(3,3.6)代入y=ax2 +bx，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式．
（2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用
二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为y=ax2 +bx，
将(1,1.4),(3,3.6)代入y=ax2 +bx，得
¿，解得¿
∴二次函数解析式为y=- 0.1x2 +1.5x．
（2）设购进A产品m吨，购进B产品(10- m)吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为
W万元．则
w=- 0.1m2 +1.5m+0.3(10- m)=- 0.1m2 +1.2m+3=- 0.1(m- 6) 2 +6.6
∵- 0.1<0，
∴当m=6时，W有最大值6.6．
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润
是6.6万元．32．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进
价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购
买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天
可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，
求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该
店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降
价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件
(2)y=10x+60（0≤x≤10）
(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，
(1)根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132- x)元，进一步
得到关于x的一元一次方程求解即可；
(2)根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不
低于进价得到x得取值范围；
(3)结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B
类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132- x)元．
根据题意得3x+5(132- x)=540．
解得x=60．
则每件B类特产的售价132- 60=72（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意得y=10x+60
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴0≤x≤10．
答：y=10x+60（0≤x≤10）．
（3）w=(60- 50- x)(10x+60)+100×(72- 60)=- 10x2 +40x+1800=- 10(x- 2) 2 +1840．
∵- 10<0,
∴当x=2时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
33．空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5
台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净
化器的销售总价为17500元．
（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价；
（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量
不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售
总价为y元．
①求y关于m的函数关系式；
②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？
（3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的
进价z（元）满足z=-10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多
少元？
【答案】（1）每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为
1500元；（2）① y=-500m+150000，②当m=34时销售总价最大，最大值为133000元；
（3）销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）①根据购进A型空气净化器的台数，找出购进B型空气净化器的台数，根据A、B间
的关系可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再由销售利润
=A型的利润+B型的利润，即可得出y关于m的函数关系式；
②结合一次函数的性质以及x的取值范围即可解决最值问题；
（3）根据“A型空气净化器的利润+B型空气净化器的利润”得出w关于m的二次函数，
利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元
据题意得：
¿，
解得：¿，答：每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元；
（2）①设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100- m）台，
由已知得：100- m≤2m，
100
解得：m≥ ，
3
∴m≥34，
∴y=100m+150(100- m)=- 50m+15000（m≥34，且m为正整数）．
②∵y=- 50m+15000中，k=- 50<0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m=34时，y取最大值，此时100- m=66，
故购进34台A型空气净化器和66台B型空气净化器的销售利润最大；
（3）设销售完这批空气净化器能获取的利润是w元，
w=(1000- 800)m+(1500+10m- 700)
=- 10m2 +400m+80000
=- 10(m- 20) 2 +84000
∵a=- 10，
∴当m大于20时，w随m的增大而减小
100
∵m≥ ，
3
∴当m=34时，w有最大值为82040元
答：销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本
题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质、二次函数的性质
解答．
34．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500
元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元．
(1)求该厂每天生产A产品和B产品各多少件；
(2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生
产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的
数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w．
①当x为何值时，每天生产A，B产品获得的总利润恰好为16240元？②若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值．
【答案】(1)每天生产A产品30件，B产品20件
(2)①x=4或6；②16160
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）设每天生产A产品x件，则每天生产B产品(50- x)件，由题意列出方程可得答案；
（2）根据题意列出函数解析式，由二次函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设每天生产A产品x件，则每天生产B产品(50- x)件，
由题意得：500(50- x)- 200x=4000，
解得：x=30，
每天生产B产品为50- 30=20件；
答：每天生产A产品30件，B产品20件
（2）解：①由题意得：
w=200(30- x)+(500- 10x)(20+x) =- 10x2 +100x+16000
令w=16240，则16240=- 10x2 +100x+16000，
解得x=4或6
②由题意得：w=200(30- x)+(500- 10x)(20+x)
=- 10x2 +100x+16000 =- 10(x- 5) 2 +16250
实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，
∴20+x≥1.2(30- x)，
80
解得：x≥
11
80
∵- 10<0，且5<
11
80
当x≥ 时，w随x的增大而减小，
11
∵x取正整数，
∴当x=8时，w有最大值，即w=- 10x(8- 5) 2 +16250=16160．
35．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克．
(1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售
出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？
(2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．
经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，
可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最
大为多少元？
【答案】(1)黄瓜4元/千克，蒜苔5元/千克
(2)利润最大为3450元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正
确列出二元一次方程组和函数解析式成为解题的关键．
（1）设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，再根据题意列出方程组求解即
可；
（2）设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，从而利润的函数关系式，最后利用二次
函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，
则¿，解得：¿．
答：黄瓜的售价为4元/千克，蒜台的售价为5元/千克．
（2）解：设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，
( x ) ( x )
∴利润w=(4- x- 2) 500+10× +(5+x- 2) 800- 10×
0.1 0.1
=- 200x2 +200x+3400=- 200 ( x- 1) 2 +3450．
2
又∵- 200<0，
1
∴当x= 时，利润有最大值，最大值为3450元．
2
【题型07：分段函数】
36．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选
择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克
共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．(1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
(2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克
的生产成本y 元（不含运费），销售价y 元与生产量x千克之间的函数关系式为：y =¿，
1 2 1
y =- 6x+120(0<x<13)．
2
①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量
为多少千克？
②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？
【答案】(1)甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元；
(2)①能达到，日生产5千克；②每天生产量为7千克，最大利润为196元．
【分析】考查了二元一次方程组的实验应用，一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，
解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
（1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据题意列方程组即可得到结
论；
（2）设生产量x千克时，获得的利润为w元，①根据生产量小于8千克，巴特尔当日的利
润能180元，列出方程求解即可，②当0<x<8时，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，
则¿，
解得¿，
即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元．
（2）解：①由题意得：x[(- 6x+120)-(- 2x+58)]- 6x=180，
解得x =5,x =9，
1 2
∵ x<8，
∴ x=5，即当日生产5千克时，盈利为180元．
②当0<x<8时，利润
w=x[(- 6x+120)-(- 2x+58)]- 6x=- 4x2 +56x=- 4(x- 7) 2 +196，
即当x=7时，利润最大，最大利润为196元，
当8≤x<13时，利润w=x(- 6x+120- 42)- 6x=- 6(x- 6) 2 +216，∴ w随x的增大而减小，
即x=8时，w =- 6×(8- 6) 2 +216=192（元），
最大
∵196>192，
∴每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
37．雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看
“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是
呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量
y（单位：张）与门票的售价x（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50
元，不高于300元．
(1)求y与x的函数解析式（也称关系式）；
(2)求这一天该景区销售门票获得的总收入W的最大值．
【答案】(1)y=¿
(2)1210000元
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是根据题意求
出函数解析式，注意分类讨论．
（1）分两种情况：求出y与x的函数解析式即可；
（2）分两种情况：当50≤x≤200时，当200<x≤300时，求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：当50≤x≤200时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，由图可得：
¿，
解得：¿，
∴y与x的函数解析式为：y=¿．
（2）解：由题意得：
①当50≤x≤200时，W =(- 100x+22000)x=- 100x2 +22000x．22000
当x=- =110时，
2×(- 100)
W有最大值为：(- 100×110+22000)×110=11000×110=1210000；
②当200<x≤300时，W =2000x，
∵2000>0，
∴当200<x≤300时，W随x的增大而增大，
∴当x=300时，W有最大值为：2000×300=600000．
∵1210000>600000，
∴当x=110时，W有最大值为1210000，
∴这一天该景区销售门票获得的总收入W的最大值是1210000元．
38．某公司共有20个生产车间，分别生产A与B两种不同的产品，其中x个生产车间生产A
产品（其中x为正整数，且1≤x≤19），剩余的生产车间生产B产品．今年每个生产A产品
的生产车间的平均收入y（单位：万元）与车间数量x（个）之间的关系如图所示．
(1)求当1≤x≤19时，y关于x的函数解析式；
(2)若已知今年公司B产品的年总收入W' （单位：万元）与车间数量x（个）的关系为：
W' =2x+16（x为正整数且1≤x≤19），设公司年总收入为W（单位：万元），求W关于
x的函数解析式．（注：公司年总收入=A产品的年总收入+ B产品的年总收入）
(3)请问公司今年的总收入能超过90万元吗？说明理由．
【答案】(1)y=¿
(2)W =¿
(3)公司一年的总收入不能超过90万元
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，分类讨论是解答本题的关键．
（1）分当1≤x≤6 时和当6<x≤19时两种情况求解即可；
（2）设W 为A产品的年收入，先表示出W ，再根据W =W +W'求解即可；
1 1 1
（3）根据一次函数和二次函数的性质，结合（2）的结论求解即可．【详解】（1）由图可知，当1≤x≤6 时，函数y=7；
当6<x≤19时，令一次函数y=kx+b，过点(6,7)、(16，2)，
∴ ¿，
解得¿，
1
故当6<x≤19时，函数解析式为y=- x+10，
2
∴函数y=¿；
（2）设W 为A产品的年收入，
1
∴W =yx=¿，
1
∵W' =2x+16，
∴W =W +W' =¿；
1
（3）不能．
理由：当1≤x≤6时，W =9x+16 ，
∵9>0，
∴当x=6时，W =70 ，
最大
1 1
当6<x≤19时，W =- x2 +12x+16=- (x- 12) 2 +88 ，
2 2
∵6<12≤19，且图象开口向下，
∴当x=12时，W =88．
最大
综上所述：公司一年的总收入不能超过90万元．
39．某商家出售的一种商品成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y
（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数y=- 2x+100．设这种商品每天的销售利润为
w元．
(1)求w关于x的函数解析式；
(2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？
【答案】(1)w=- 2x2 +140x- 2000
(2)该商品售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是450元
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，
（1）根据利润等于每千克的利润乘以销售量，即可求解；
（2）根据第（1）问中w与x的函数关系式即可求得利润最大值.【详解】（1）解：由题意，得w=(x- 20)(- 2x+100)=- 2x2 +140x- 2000.
所以w关于x的函数解析式是w=- 2x2 +140x- 2000.
（2）解：w=- 2x2 +140x- 2000=- 2(x- 35) 2 +450.
因为- 2<0，所以w有最大值.
当x=35时，w的值最大，为450.
答：该商品售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是450元.
40．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近2000年的柑橘种植历史，所产
“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年10月底至第二年4月，总会吸引大批游客前来品尝．当
地某商家为回馈顾客，将标价为20元/千克的某品牌柑橘降价销售7天后，第二次降价到
16.2元/千克又销售了7天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为x（天）（x为正整
数），日销量为y(kg)，日储存及损耗费为z（元），y与x满足函数关系y=¿；z与x满足
函数关系z=¿．（注：利润=销售毛利润-储存及损耗费）
(1)求此品牌柑橘每次降价的百分率；
(2)已知此品牌柑橘进价为8.2元/kg，设销售该柑橘的日利润为w（元），求w与
x(1≤x≤14)之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)在（2）的条件下，求这14天中有多少天的利润不低于948元？
【答案】(1)10%；
(2)当x=10时，即第10天利润最大，最大利润为960元；
(3)6天．
【分析】（1）依据题意，设每次降价的百分率为a，从而可得20(1- a) 2 =16.2，解方程即
可判断得解；
（2）依据题意，第一次降价后的价格为20×(1- 10%)=18元，从而可得当1≤x≤7时，
w=- 32.4x+989，当8≤x≤14时，w=- 3(x- 10) 2 +960，进而分类讨论分析即可得解；
（3）依据题意，由①当1≤x≤7时②当8≤x≤14时两种情形分别进行计算分析进而可以
判断得解．
【详解】（1）解：设由题意，设每次降价的百分率为a，据题意可得20(1- a) 2 =16.2
∴
a =0.1=10%，a =1.9=190%（不符合题意，舍去）；
1 2
答：此品牌柑橘每次降价的百分率为10%；
（2）由题意，第一次降价后的价格为20×(1- 10%)=18元，
当1≤x≤7时，w=(18- 8.2)(105- 3x)- (40+3x)=- 32.4x+989
当8≤x≤14时，w=(16.2- 8.2)(120- x)- (3x2 - 68x+300)
=- 3x2 +60x+660=- 3(x- 10) 2 +960
①当1≤x≤7时，w=- 32.4x+989，
∵k=- 32.4<0，w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w =- 32.4×1+989=956.6（元），
最大
②当8≤x≤14时，w=- 3(x- 10) 2 +960，
∵a=- 3<0，
∴当x=10时，w最大值为960（元）
综上可知：956.6<960，
∴当x=10时，即第10天利润最大，最大利润为960元；
（3）由题意，①当1≤x≤7时，y=- 32.4x+989≥948，
205
∴解得：x≤ ，
162
205
∴ 1≤x≤ ，
162
又x为正整数，
∴x=1，故此时为1天利润不低于948元，
②当8≤x≤14时，w=- 3(x- 10) 2 +960=948，
∴解得：x =8，x =12
1 2
∴当8≤x≤12时，有w≥948，此时x=8，9，10，11，12，
故此时有5天利润不低于948元．
又1+5=6（天），
综上可知，共有6天利润不低于948元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解
题的关键．
41．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x(1≤x≤48)天的售
价与日销售量的相关信息如表：
时间x（天） 1≤x<30 30≤x≤48
售价 x+30 60
日销售量（kg
- 2x+120
）
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
【答案】(1)y=¿
(2)第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函
数图象的性质是解题的关键．
（1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解；
（2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：当1≤x<30时，售价为(x+30)元，商品的进价为20元/kg，日销售量
为(- 2x+120)kg，
∴利润为：y=[(x+30)- 20]×(- 2x+120)，
整理得，y=- 2x2 +100x+1200(1≤x<30)；
当30≤x≤48时，售价为60元，商品的进价为20元/kg，日销售量为(- 2x+120)kg，
∴利润为：y=(60- 20)×(- 2x+120)，
整理得，y=- 80x+4800(30≤x≤48)；
综上所述，y=¿．
（2）解：由（1）可知，当1≤x<30时，y=- 2x2 +100x+1200=- 2(x- 25) 2 +2450，
∴当x=25时，利润为2450元；当30≤x≤48时，y=- 80x+4800，
∵- 80<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=30时，y=- 80×30+4800=2400，
∴当x=30时，利润为2400元；
∵2450>2400，
∴第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元．
