专题 03 二次函数实际应用分类汇编
【题型01 ：投球问题】
【题型02 ：喷泉问题】
【题型03 ：拱桥问题】
【题型04：面积问题】
【题型05：每每问题】
【题型06：利润问题】
【题型07：分段函数】
【题型08：其他问题】
【题型01 ：投球问题】
1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离
1 2 5
x(m)之间的函数关系是y=− x2 + x+ ，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
12 3 3
m．
A．12 B．10 C．8 D．2
【答案】B
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令
y=0，求x的正数值．本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用
是解题的关键．1 2 5
【详解】解：把y=0代入y=− x2 + x+ 得：
12 3 3
1 2 5
0=− x2 + x+ ，
12 3 3
解之得：x =10，x =−2．
1 2
又x>0，解得x=10．
故选：B．
2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间t
（单位：s）具有ℎ=20t−5t2的函数关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用4s
B．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
C．小球的飞行高度可以达到25m
D．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出ℎ=0的两根，
两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；
然后根据方程20t−5t2 =15的意义为ℎ=15时所用的时间，据此解答．
【详解】解：20t−5t2 =15的两根t =1与t =3，即ℎ=15时所用的时间，
1 2
∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故B不符合题意；
ℎ=20t−5t2 =−5(2−t) 2 +20，
∴对称轴直线为：t=2，最大值为20，故C不符合题意；
∴t=3时，ℎ=15，此时小球继续下降，故D不符合题意；
∵当ℎ=0时，t =0，t =4，
1 2
∴t −t =4，
2 1
∴小球从飞出到落地要用4s，故A符合题意．
故选：A．3．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的
A处射门，已知球门高OB为2.32m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，
当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，
建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了n(n>0)米射门，若运动员射门路线的
形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方2.25m处进球，求n的值．
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2 +3
12
(2)球不能射进球门
(3)1
【分析】本题考查的是二次函数的应用，
（1）用待定系数法求出表达式即可；
（2）计算当x=0时，y的值与2.32m比较即可得出答案；
1
（3）由题意得出移动后的抛物线为y=− (x−2−n) 2 +3，把点(0,2.25)代入求出结
12
论即可．
【详解】（1）解：∵8−6=2，
∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线表示的二次函数的表达式为y=a(x−2) 2 +3，
把点A(8,0)代入，得36a+3=0，
1
解得a=− ，
12
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−2) 2 +3；
12
1 8
（2）当x=0时，y=− ×4+3= >2.32，
12 3∴球不能射进球门；
1
（3）由题意，移动后的抛物线为y=− (x−2−n) 2 +3，
12
1
把点(0,2.25)代入，得2.25=− ×(0−2−n) 2 +3，
12
解得n =−5（舍去），n =1，
1 2
∴n的值为1．
4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名
男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之
间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进
至最高点3.6m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点
的水平距离大于等于9.6m时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得
满分，请说明理由．
【答案】(1)y=−0.1x2 +0.8x+2；
(2)该男生在此项考试中能得满分．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的实际应用等知识点，求出二
次函数表达式是解题的关键．
（1）已知顶点坐标为(4,3.6)，设成顶点式y=a(x−4) 2 +3.6，将(0,2)代入求出a的值，
即可求出函数表达式；
（2）根据（1）中的表达式，求出y=0时x的值，即D点的坐标，则可知OD的长，
再与9.6m作比较即可判断是否得满分．
【详解】（1）解：设y=a(x−4) 2 +3.6，
将(0,2)代入得：16a+3.6=2，解得：a=−0.1，∴y=−0.1(x−4) 2 +3.6=−0.1x2 +0.8x+2，
∴y=−0.1x2 +0.8x+2；
（2）解：当y=0时，−0.1x2 +0.8x+2=0，即x2−8x−20=0，
∴
x =10，x =−2<0（舍去），
1 2
∴D点的坐标为(10,0)，即OD的长为10，
∵10>9.6，
∴该男生在此项考试中能得满分．
5．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨
迹ABC可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，
当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原
点建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)求该男生把铅球推出去多远？
11
(3)有一个横截面为矩形DEFG的竹筐，长DE=1米，高DG= 米（不考虑竹筐的宽
12
度），若铅球可落入筐内，请求竹筐的边DG到O点的水平距离m的取值范围．
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2 +5；
12
(2)(6+2❑√15)米
(3)12≤m≤13
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据题意，得到B(6,5)为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即
可；
（2）求出y=0时的x的值，即可得出结果；
11
（3）求出y= 时的函数值，结合DE=1，即可得出结果．
12
【详解】（1）解：根据题意可知A(0,2)，B(6,5)，且B(6,5)为顶点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2 +5，
1
将(0,2)代入，得36a+5=2，解得a=− ，
12
1
∴抛物线的解析式为y=− (x−6) 2 +5；
12
1
（2）解：令y=0，得− (x−6) 2 +5=0，
12
解得x =6+2❑√15，x =6−2❑√15（舍去）．
1 2
答：该男生把铅球推出去(6+2❑√15)米远；
11 1 11
（3）解：令y= ，得− (x−6) 2 +5= ．
12 12 12
解得x =13，x =−1（舍去）．
1 2
∵DE=1，
∴12≤m≤13．
6．（24-25九年级上·河北保定·期末）发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射
出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将
发石车放置在山坡底部O处，山坡上有一点A，距离点O的水平距离为30米，垂直高
度3米，AB是高度为4米的防御墙．
(1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)计算说明石块能否飞越防御墙AB．
1
【答案】(1)y=− x2 +x（0≤x≤40）
40
(2)石块能飞越防御墙AB．理由见解析
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．（1）设石块运动轨迹的函数解析式为y=a(x−20) 2 +10，把点(0,0)代入解析式，待
定系数法求解析式，即可求解；
1
（2）把x=30代入y=− x2 +x，求得y的值，即可求解．
40
【详解】（1）解：设石块运动轨迹的函数解析式为y=a(x−20) 2 +10．
1
把点(0,0)代入解析式，得400a+10=0，解得a=− ，
40
1
∴石块运动轨迹的函数解析式为y=− (x−20) 2 +10，
40
1
即y=− x2 +x（0≤x≤40）．
40
（2）石块能飞越防御墙AB．
1
理由：把x=30代入y=− x2 +x，
40
1
得y=− ×900+30=7.5．
40
∵7.5>7，
∴石块能飞越防御墙AB．
7．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原
地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，甲
投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，已知篮筐的竖直高度
为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不
计）
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能
否碰到篮球？并说明理由．(3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距
原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），
此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙
的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入筐？请说明理由．
【答案】(1)y=−0.2(x−2.5) 2 +3.5
(2)能，理由见解析
(3)没有，理由见解析
【分析】（1）将抛物线解析式设为顶点式，用待定系数法求解即可；
（2）把x=1代入（1）中解析式求出y的值，然后与3.2比较即可得出结论；
（3）根据题意，设后仰跳投时的抛物线解析式为y=−0.2x2 +bx+c，再把
(−0.5,2.75)和(1,3.6)代入解析式求出b，c的值，即可求得后仰跳投时的抛物线解析
式，然后把x=4代入解析式求出y的值，与3.05比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=a(x−2.5) 2 +3.5，
把(4,3.05)代入解析式，得：
a(4−2.5) 2 +3.5=3.05，
解得：a=−0.2，
∴此抛物线的解析式为y=−0.2(x−2.5) 2 +3.5；
（2）解：乙能碰到篮球，理由如下：
当x=1时，y=−0.2(1−2.5) 2 +3.5=3.05，
∵3.2>3.05，
∴乙能碰到篮球，
答：乙能碰到篮球；
（3）解：篮球没有入筐，理由如下：
设后仰跳投时的抛物线解析式为y=−0.2x2 +bx+c，
把(−0.5,2.75)和(1,3.6)代入解析式，得：
{−0.2×(−0.5) 2 +b×(−0.5)+c=2.75)
，
−0.2×12 +b×1+c=3.62
{ b= )
3
解得： ，
47
c=
15
2 47
∴后仰跳投时的抛物线解析式为y=−0.2x2 + x+ ，
3 15
2 47
当x=4时，y=−0.2×42 + ×4+ =2.6，
3 15
∵2.6<3.05，
∴篮球没有入筐，
答：篮球没有入筐．
【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数
解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，求函数值，有理数大小比较的实际应
用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
8．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶
段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在
着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，
落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台
的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为ℎ m(ℎ为定值）．
设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为：
y=ax2 +bx+c(a≠0)．
(1)求c的值；
1 9
(2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝− ，b＝ ，求基准点K的高度h；
50 10
(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能
否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66(2)基准点K的高度h为21m
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题
转化为数学问题．
（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c=66；
1 9 1 9
（2）由a=− ，b= ，得到y=− x2 + x+66，根据基准点K到起跳台的水
50 10 50 10
平距离为75m，即得基准点K的高度ℎ为21m；
（3）由题意设抛物线解析式为y=a(x−25) 2 +76，可得抛物线解析式为
2
y=− (x−25) 2 +76，当x=75时，y=36，从而可知他的落地点能超过K点．
125
【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A(0,66)，
把A(0,66)代入y=ax2 +bx+c得：66=c，即c=66，
所以c的值为66；
1 9
（2）解：∵ a=− ，b= ，
50 10
1 9
∴y=− x2 + x+66，
50 10
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
1 9
∴ℎ=− ×752 + ×75+66=21，
50 10
答：基准点K的高度ℎ为21m；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为(25,76)，
设抛物线解析式为y=a(x−25) 2 +76，
把(0,66)代入得：66=a(0−25) 2 +76，
2
解得a=− ，
1252
∴抛物线解析式为y=− (x−25) 2 +76，
125
2
当x=75时，y=− ×(75−25) 2 +76=36>21，
125
∴他的落地点能超过K点．
答：他的落地点能超过K点．
9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）足球比赛中引入VAR技术后，使足球比赛更加公平．
如图分别为足球比赛中某一时刻的VAR系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图
2），进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点
B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水
平距离x（m）与离地高度y（m）的VAR数据如下表：
x/m … 9 12 15 18 21 …
y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y= m；足球落地时，x= m；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视
为防守成功．若守门员位于足球正下方时，x=24m，请问这次守门员能否防守成功？
试通过计算说明．
【答案】(1)5，30
1 2
(2)y=− x2 + x
45 3
(3)守门员不能成功防守，说明见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）利用对称性进行求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=24代入二次函数解析式求出ℎ，再与最大防守高度比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知，x=9时和x=21时，y相等，x=12时，x=18时，y相等，
∴抛物线关于直线x=15对称，
∵抛物线的开口向下：
∴当x=15时，y最大，为5，
∵当x=0时，y=0，
∴x=30时，y=0；
故答案为：5，30；
（2）抛物线关于x=15对称，设y=a(x−15) 2 +5，
把(12,4.8)代入上述解析式，
1
∴a(12−15) 2 +5=4.8，解得a=− ，
45
1 1 2
∴y=− (x−15) 2 +5=− x2 + x．
45 45 3
（3）解：守门员不能成功防守，理由如下：
1 1
当x=24m时，y=− (x−15) 2 +5=− ×92 +5=−1.8+5=3.2>2.6，
45 45
∴守门员不能成功防守．
【题型02 ：喷泉问题】
1．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成
的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈
抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个
喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷
出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建
立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)
1 1
与水平距离x(m)之间的关系式分别是y=− x2 +bx+c和y=− x2 +bx+c′ ．
3 3(1)求A喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点D处，OD=4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否
会落在该游人所站的点D处？
4
【答案】(1) m
3
(2)不会
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键．
（1）根据A喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y的最大值即可；
（2）根据B喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x=4，通过计算y的值
即可判断．
【详解】（1）解：∵OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水
1
流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式分别是y=− x2 +bx+c和
3
1
y=− x2 +bx+c′ ．
3
∴A(0,1),B(0,2)，C(3,0)
令x=0，易得c=1,c′ =2，
1
令x=3，得y=− x2 +bx+c=−3+3b+1，
3
2
可求得b= ，
3
因此A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分
1 2 1 2
别是y=− x2 + x+1和y=− x2 + x+2；
3 3 3 3
2
1 2 3
函数y=− x2 + x+1的对称轴为直线 x=− =1 ，
3 3 ( 1)
2× −
31 2 1 2 4
把x=1代入y=− x2 + x+1，得y=− + +1=
3 3 3 3 3
4
因此A喷头喷出的水流的最大高度是 m；
3
1 2
（2）解：依题意，函数y=− x2 + x+2，
3 3
1 2 2
令x=4，得y=− ×42 + ×4+2=− <0，
3 3 3
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
2．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷
水口H离地竖直高度OH为1.2m，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下
边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平
距离为2m，高出喷水口0.4m．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，绿化带的水平宽
度DE=3m， 竖直高度EF=0.6m．洒水车到绿化带的距离OD为d（单位：m），建
立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否
会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程．
【答案】(1)y=−0.1(x−2) 2 +1.6
(2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的
应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。
（1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数；
（2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断
是否会被淋到。
【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，
所以顶点A的坐标为(2,1.2+0.4)=(2,1.6)，
那么上边缘抛物线设为y=a(x−2) 2 +1.6。
又因为点H(0,1.2)在该抛物线上，将x=0，y=1.2代入y=a(x−2) 2 +1.6可得：
解得：a=−0.1
所以上边缘抛物线的函数解析式为y=−0.1(x−2) 2 +1.6。
（2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5，
将其代入上边缘抛物线的函数解析式y=−0.1(x−2) 2 +1.6中，
可得：y=−0.1×(5.5−2) 2 +1.6=0.375
因为0.375>0，说明在行人所在位置，水的高度大于0，
所以该行人会被洒水车淋到水。
3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，
在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处
达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多少米．
9
【答案】 m
4
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法
是解题的关键．设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ) 2 +k，用待定系数法求得抛物线的解
析式，再令x=0，求得y的值，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系xoy：设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ) 2 +k，
由题意可知抛物线的顶点坐标为(1,3)，与x轴的一个交点为(3,0)，
∴0=a(3−1) 2 +3，
3
解得：a=− ，
4
3
∴抛物线的解析式为：y=− (x−1) 2 +3，
4
3 9
当x=0时，y=− (0−1) 2 +3= ．
4 4
9
∴水管的长度OA是 m．
4
4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）项目式学习：《洒水车浇灌绿化带》
洒水车是城市绿化的主力军，如图1，一辆洒水车平行于绿化带行驶，给绿化带浇
水，如何把控行驶中的洒水车与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整
个绿化带？
项
目
背
景
可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为
查 两条抛物线的一部分（如图2），分别记为
阅 y ，y ．其中y 的最高点A离喷水口H的
1 2 1
资
水平距离为2m，高出喷水口0.4m,y 可以
料 2
看作由y 向左平移4m得到．
1
由实际测量可知（如图2），喷水口H离地
数
面的高度OH=1.2m．洒水车与绿化带之间
据
的水平距离用OD的长来表示，把绿化带横
收
截面抽象为矩形DEFG，测得其水平宽度
集
DE=1.8m，竖直高度EF=1.1m．分别以OD和OH所在的直线为x轴，y轴建立如图3所示的平面直角坐标系．
建
立
模 y
1
型
（1）求抛物线 的函数解析式；
问
（2）若OD=2.2m，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理
题 由；
解 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出OD的取值范
决 围．
【答案】（1）y =−0.1(x−2) 2 +1.6；（2）能，理由见解析；（3）
1
2≤OD≤❑√5+0.2
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与x轴的交点，二次
函数的平移等知识，解题的关键是：
（1）设上边缘抛物线为y =a(x−ℎ) 2 +k，根据题意求出该抛物线即可；
1
（2）计算当x=4时，y 的值，与EF比较；根据平移的规律求出y ，计算y =0时，x
1 2 2
的值，与OD比较，即可得出结论；
（3）计算y =1.1时，x的值，即可求出OD的最大值；计算y =0时，x的值，即可求
1 2
出OD的最小值，即可求解．
【详解】解：（1）设上边缘抛物线为y =a(x−ℎ) 2 +k，
1
根据题意，得ℎ=2，k=1.2+0.4=1.6，
∴y =a(x−2) 2 +1.6，
1
把(0,1.2)代入，得1.2=−4a+1.6，
解得a=−0.1，
∴y =−0.1(x−2) 2 +1.6；
1
（2）∵OD=2.2m，DE=1.8m，
∴OE=4m，
当x=4时，y =−0.1×(4−2) 2 +1.6=1.2>1.1，
1∵ y 可以看作由y 向左平移4m得到，
2 1
∴y =−0.1(x−2+4) 2 +1.6=−0.1(x+2) 2 +1.6，
2
当y =0时，−0.1(x+2) 2 +1.6=0，
2
解得x =2<2.2，x =−6（舍去），
1 2
∴能浇灌到整个绿化带；
（3）先看上边缘抛物线，
当y =1.1时，−0.1(x−2) 2 +1.6=1.1，
1
解得x=2±❑√5，
又x>0，
∴x=2+❑√5，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则OD的最大值为
2+❑√5−1.8=❑√5+0.2，
再看下边缘抛物线，
由（2）知：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则OD的最小值为2，
综上，OD的取值范围为2≤OD≤❑√5+0.2．
5．（24-25九年级上·河南商丘·期中）水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，
是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青
少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火
箭距离地面的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）呈抛物线模型，已知
当水平距离为15米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米．
(1)请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10 m时，距离地面的竖直高度．
1
【答案】(1)y=− (x−15) 2 +9
25(2)当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10m时，距离地面的竖直高度为8 m．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是
解题的关键．
（1）依据题意可得，抛物线的顶点为(15,9)，从而可设抛物线为y=a(x−15) 2 +9，
又抛物线过(0,0)，求出a即可得解；
1
（2）依据题意，结合(1) y=− (x−15) 2 +9， 令x=10，代入计算即可得解．
25
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为(15,9)，
∴可设抛物线为y=a(x−15) 2 +9．
又抛物线过(0,0)，
∴(0−15) 2a+9=0．
1
∴
a=−
25
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−15) 2 +9．
25
1
（2）解：由题意结合（1）y=− (x−15) 2 +9，
25
1
∴令x=10，则y=− ×(10−15) 2 +9=8．
25
答：当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10m时，距离地面的竖直高度为8 m．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似
的看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水
头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达
到最大高度6米，现将喷架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有
一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．(1)求抛物线的解析式．
(2)记水流的高度为y ，斜坡的高度为y ，求y −y 的最大值．
1 2 1 2
(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平
移 米．
1
【答案】(1)y=− (x−10) 2 +6
20
21
(2)
5
(3)1
【分析】（1）由题可知抛物线的顶点坐标为(10,6)，进而利用待定系数法解答即可求
解；
（2）先求出斜坡的高度y 的解析式，列出y −y ，再根据函数的性质解答即可求解；
2 1 2
（3）设喷射架向后平移了m米，设出平移后的函数解析式，代入点B的坐标即可求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为(10,6)，
设水流形成的抛物线的表达式为y=a(x−10) 2 +6，将点(0,1)代入得，
1=a(0−10) 2 +6，
1
解得a=− ，
20
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−10) 2 +6；
20
（2）解：由题可知A点坐标为(15,3)，
设直线OA的函数解析式为y=kx，把A(15,3)代入得，
3=15k，
1
∴ k= ，
5
1
∴直线OA的解析式为y= x，
5
1 1 1 4 1 21
∴ y −y =− (x−10) 2 +6− x=− x2 + x+1=− (x−8) 2 + ，
1 2 20 5 20 5 20 5
1
∵
− <0，
2021
∴当x=8时，y −y 取最大值，最大值为 ；
1 2 5
（3）解：设喷射架向后平移了m米， 则平移后的抛物线可表示为
1
y=− (x−10+m) 2 +6，
20
1
将点B(15,4.2)代入得，4.2=− (15−10+m) 2 +6，
20
解得m=1或m=−11(不合，舍去)，
∴喷射架应向后移动1米，
故答案为：1．
7．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形
状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.4m，水柱在距喷水头P水平距离4m处
达到最高，最高点距地面2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式
为y=a(x−ℎ) 2 +k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面
的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横
坐标x的取值范围．
1 4 2
【答案】(1)y=− x2 + x+
10 5 5
(2)2<x<6
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）由抛物线顶点(4,2)，设抛物线的表达式为y=a(x−4) 2 +2，用待定系数法可得
抛物线的表达式；
1 4 2
（2）当y=1.6时，− x2 + x+ =1.6，解得x=2或x=6，进而可得结论．
10 5 5【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为(4,2)，
设抛物线的表达式为y=a(x−4) 2 +2，
将(0,0.4)代入得：0.4=16a+2，
1
解得a=− ，
10
1 1 4 2
∴ y=− (x−4) 2 +2=− x2 + x+ ，
10 10 5 5
1 4 2
∴抛物线的表达式为y=− x2 + x+ ；
10 5 5
1 4 2
（2）解：当y=1.6时，− x2 + x+ =1.6，
10 5 5
解得x=2或x=6，
结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范
围为2<x<6．
8.（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置
（其高度忽略不计）为坡地AB进行浇灌，OA=10m，点A处的自动浇灌装置喷出的
水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口A的水平距离为6m时，达到距离地面OB的竖
直高度的最大值为13m，设喷出的水柱距出水口的水平距离为x(m)，距地面的竖直高
度为y(m)，以坡底B所在的水平方向为x轴，A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角
坐标系，原点为O，如图所示．经过测量，可知斜坡AB的函数表达式近似为
1
y=− x+10．
2
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1m，求此时喷到C处的水柱距出水口
的水平距离；
(3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时，安装的支架的高度为多少米？
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2 +13
12
(2)18米
10
(3) 米
3
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练
掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
（1）设抛物线解析式为y=a(x−6) 2 +13，将(0,10)代入并求解，即可获得答案；
1
（2）对于抛物线y=− (x−6) 2 +13，令y=1，求解即可获得答案；
12
1
（3）设浇灌装置还要升高m米，则抛物线解析式为y=− (x−6) 2 +13+m，再确定
12
1
点B坐标，将点B坐标代入y=− (x−6) 2 +13+m，求解即可获得答案．
12
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为(6,13)，设抛物线解析式为
y=a(x−6) 2 +13，
将(0,10)代入，可得10=a(0−6) 2 +13，
1
解得 a=− ，
12
1
∴水柱所在抛物线的函数表达式为y=− (x−6) 2 +13；
12
1
（2）对于抛物线y=− (x−6) 2 +13，
12
1
令y=1，可得− (x−6) 2 +13=1，
12
整理可得(x−6) 2 =144，
解得x =18，x =−6（舍去），
1 2
∴该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1m，此时喷到C处的水柱距出水口的水
平距离为18米；1
（3）设浇灌装置还要升高m米，则抛物线解析式为y=− (x−6) 2 +13+m，
12
1
对于直线：y=− x+10，
2
1
令y=0，可得0=− x+10，
2
解得x=20，即B(20,0)，
1
将点B(20,0)代入y=− (x−6) 2 +13+m，
12
1
可得0=− ×(20−6) 2 +13+m，
12
10
解得m= ，
3
10
∴浇灌装置还要升高 米．
3
【题型03 ：拱桥问题】
1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛
物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标
为(−15,−100)，点B(a,−144)是图1中沙丘两个端点，则a的值为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数
解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为y=mx2，将点A坐标代入求出m的值即可
得出其解析式，再求出y=−144时x的值即可得出答案．
【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为y=mx2，
将点A(−15,−100)代入得：−100=m⋅(−15) 2，
4
解得：m=− ，
94
则抛物线解析式为y=− x2 ，
9
4
当y=−144时，− x2 =−144，
9
解得：x=±18，
点B在第四象限，
∴∵ a=18．
故选：B．
2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面
宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度是多少？（ ）
A．1m B．1.5m C．2m D．3m
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是
解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属
于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把
y=1.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C
点，
则：O为原点，C(0,2)，A(−2,0),B(2,0)，设函数解析式为y=ax2 +2，把A点坐标(−2,0)代入得a=−0.5，
∴抛物线解析式为y=−0.5x2 +2，
当水面上升1.5m，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把y=1.5代入抛物线解析式得出：1.5=−0.5x2 +2，
解得：x=±1，
∴此时的水面宽度为1+1=2(m)，
故选：C．
3.（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，
是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水
面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．则水面上升2米后水面宽度
为 米．
【答案】2❑√3
【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设
1
抛物线解析式为y=ax2，利用待定系数法可得抛物线解析式为y=− x2 ，把y=−1代
3
入可得x=±❑√3，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，将点(3,−3)代入得，−3=a×32，1
解得a=− ，
3
1
∴抛物线解析式为y=− x2 ，
3
1
当y=−1时，−1=− x2 ，
3
解得x=±❑√3，
∴当水面上升2米后水面宽度为❑√3−(−❑√3)=2❑√3米，
故答案为：2❑√3．
4．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，
水面宽度AB为12m，水位上升5m，就达到警戒水位，这时水面宽度CD为8m．
(1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每天0.6m的速度上升，求水过警戒水位CD后几天淹到桥的
拱顶；
(3)在正常水位的基础上，当水位上升l(m)时，桥下水面的宽度为n(m)，求出用n表示
为l的函数解析式．
1
【答案】(1)y=− x2 +9
4
20
(2)水过警戒水位CD后 天淹到桥的拱顶；
3
1
(3)l=− n2 +9
16
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．
（1）以AB所在直线为x轴，AB中点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令CD与y
轴的交点为M，顶点为N，根据题意可得A(−6,0)，B(6,0)，C(−4,5)，D(4,5)，设
该抛物线的解析式为y=ax2 +c，利用待定系数法求解即可；
（2）先得到顶点坐标N(0,9)，从而得出MN=4m，再除以水位上涨速度求解即可；(n )
（3）由题意可知，点 ,l 在抛物线上，代入求解即可．
2
【详解】（1）解：如图，以AB所在直线为x轴，AB中点所在直线为y轴建立平面直
角坐标系，令CD与y轴的交点为M，顶点为N，
由题意可知，AB=12m，OM=5m，CD=8m，
∴A(−6,0)，B(6,0)，C(−4,5)，D(4,5)，
设该抛物线的解析式为y=ax2 +c，
{36a+c=0) { a=− 1 )
则 ，解得： 4 ，
16a+c=5
c=9
1
∴该抛物线的解析式为y=− x2 +9；
4
1
（2）解：∵y=− x2 +9，
4
∴N(0,9)，
∴ON=9m，
∴MN=9−5=4m，
∵水位以每天0.6m的速度上升，
20
∴4÷0.6= ，
3
20
即水过警戒水位CD后 天淹到桥的拱顶；
3
(n )
（3）解：由题意可知，点 ,l 在抛物线上，
2
则l=−
1
×
(n) 2
+9=−
1
n2 +9．
4 2 165．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速
公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点P离地面OM的距离为8米，宽度OM为
16米．
(1)以O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为1米的隔离带），其中的一条
行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的车辆？请通过计算说明．
1
【答案】(1)该抛物线的表达式为y=− (x−8) 2 +8，自变量x的取值范围是0≤x≤16；
8
(2)其中的一条行车道能行驶宽3.5米、高5.8米的车辆．
【分析】（1）根据题意得出O(0,0)，M(16,0)，P(8,8)，设该抛物线的表达式为
y=a(x−8) 2 +8，再用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线解析式求出，当y=5.8时，自变量x的值，即可得出x在什么范围内
能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解．
【详解】（1）解：依题得：O(0,0)，M(16,0)，P(8,8)，
设该抛物线的表达式为y=a(x−8) 2 +8，
1
将O(0,0)代入得a=− ，
8
1
∴该抛物线的表达式为y=− (x−8) 2 +8，其中自变量x的取值范围是0≤x≤16；
8
1
（2）解：由（1）得，抛物线的表达式为y=− (x−8) 2 +8，
8
1
则当y=5.8时，− (x−8) 2 +8=5.8，
8
2❑√110
解得x=± +8，
5
2❑√110 2❑√110
其中− +8≈3.8， +8≈12.2，
5 5
即在3.8≤x≤12.2范围内，可通过高5.8米的车辆，要使双向行车道（正中间有一条宽为1米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽3.5米、
高5.8米的车辆，
则能通过高5.8米的车辆的宽度至少需为3.5+3.5+1=8m，
∵12.2−3.8=8.4m>8m，
∴其中的一条行车道能行驶宽3.5米、高5.8米的车辆．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，
解题关键是熟练掌握二次函数的实际应用．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的
最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于4m时，船只过桥洞
会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度．
1
【答案】(1)y=− (x−20) 2 +16；
25
(2)此时水面的宽度为20m．
【分析】本题主要考查二次函数的应用．
（1）利用顶点式y=a(x−ℎ) 2 +k计算即可．
（2）根据题意将y=4代入求得x=20±10❑√3，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：由图可知顶点为：(20,16)，且经过原点，
设函数关系式为：y=a(x−20) 2 +16，
代入原点得：0=a(0−20) 2 +16，
1
解得：a=− ；
25
1
∴该抛物线的函数表达式为：y=− (x−20) 2 +16；
251
（2）解：将y=16−4=12代入得12=− (x−20) 2 +16，
25
解得x=30，x=10，
∴30−10=20
答：此时水面的宽度为20m．
7．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段AB
表示水平的路面，O为AB的中点．以O为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以过
点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽
度AB=12m．该抛物线的顶点P到AB的距离为9m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M,N处分别安
装照明灯．已知照明灯M,N的水平距离为10m，求照明灯距地面的高度；
(3)如图，隧道上方还需安装一块高度为1m，宽度为3m的LED电子显示屏CDEF．为
确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6m，并且距左右墙壁需各留至少1m的安
全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）．
1
【答案】(1)y=− x2 +9
4
11
(2) m
4
(3)能
【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的
图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，设抛物线的解析式为y=ax2 +9，再结合抛物线底面宽度AB=12m米，
且O为的中点，得出点A,B的坐标分别为(−6,0),(6,0)，代入求解即可作答．
（2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为−5，点N的横坐标为5，代入1
y=− x2 +9，进行计算即可作答．
4
3 5
（3）先作图，延长DC交抛物线于一点H，CH=1，则x= +1= ，将其代入
2 2
1
y=− x2 +9求出y，在得出点F到地面距离与6m比较即可得出结论．
4
【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为y=ax2 +9，
∵AB=12m，O为AB的中点，∴AO=BO=6m，
∴点A，B的坐标分别为(−6,0),(6,0)，
把x=6,y=0代入y=ax2 +9，
1
得0=36a+9，解得a=− ，
4
1
∴抛物线的解析式为y=− x2 +9；
4
（2）∵照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度，
∴点M的横坐标为−5，点N的横坐标为5，
1 11
当x=5时，y=− ×52 +9= ，
4 4
11
∴照明灯距地面的高度为 m；
4
（3）能满足安装设计要求，理由如下：
依题意，LED电子显示屏CDEF是矩形，
∴DC=EF=3（米），CF=ED=1 （米），
如图：延长DC交抛物线于一点H，设H(x ,y )，
H H
∵LED电子显示屏CDEF，为确保行车安全，
距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，
∴令CH=1，3 5
则x = +1= ，
H 2 2
5 1
把x= 代入y=− x2 +9中，
2 4
1 (5) 2
y =− × +9=7.4375，
H 4 2
∴点F到地面距离为7.4375−1=6.4375 (米)，
∵6.4375>6，
∴满足安装设计要求．
8．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，
其最高点P距离地面高度为4米．宽度OM为8米．现以点O为原点，OM所在直线为
x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同
时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD．使点A，D在抛物线上，
点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆
AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
1
【答案】(1)y=− （x−4） 2 +4
4
(2)能同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆，见解析
(3)10米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．读懂题意并掌握二次函数的性质是解题的
关键．
（1）根据题意，可得点M及抛物线顶点P的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
51
（2）由题知，当x=1.2时，y= >1.5，即可得出结论；
251
（3）设OB=m，则BC=8−2m，根据矩形的性质得 AB=CD=− (m−4) 2 +4设
4
w=AB+AD+DC，进而表示出的l长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）∵ OM为8米，最高点P距离地面高度为4米，
(8 )
∴点M(8,0)，顶点P ,4 即(4,4)，
2
设抛物线的解析式为y=a(x−4) 2 +4．
把M(8,0)代入，得0=42a+4，
1
解得： a=−
4
1
∴这条抛物线的函数解析式为y=− (x−4) 2 +4
4
（2）能；
当x=4−1−1.8=1.2时，
1 51
y=− (1.2−4) 2 +4= >1.5
4 25
∴能同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆．
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC，
1
设OB=m，则BC=8−2m， AB=CD=− (m−4) 2 +4
4
设w=AB+AD+DC，
则w=2 [ − 1 (m−4) 2 +4 ) +8−2m
4
1
=− m2 +2m+8
2
1
∵
− <0,
2
2
m=− =2
∴当 ( 1) 时，
2× −
2
1
w有最大值，为− ×22 +2×2+8=10米
2答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是10米．
【题型04：面积问题】
1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空
地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是25m，现有长为100m的篱笆，计划靠着
院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃．
(1)若要围成总面积为400m 2的花圃，边AB的长应是多少？
(2)当AB为多少米时，花圃的面积最大？
【答案】(1)边AB的长应是20米
3
(2)当AB长为18 m，花圃有最大面积．
4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，得到长方
形花圃的长的代数式以及面积的代数式是解题的关键．
（1）设AB的长为x米，则长为(100−4x)米且100−4x≤25，根据其面积列出方程
求解即可；
（2）把（1）中用代数式表示的面积并运用配方法整理为a(x−ℎ) 2 +b，然后再根据
二次函数的性质以及x的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：设AB的长为x米，则长为(100−4x)米且100−4x≤25，即
75 3
x≥ =18 ，
4 4
根据题意得：x(100−4x)=400，
解得：x=20或5（不合题意舍弃）.
答：边AB的长应是20米．
（2）解：花圃的面积为x(100−4x)=−4x2 +100x=−4(x−12.5) 2 +625，
∴当x>12.5时，y随x的增大而减小，
3
∵ x≥18 ，
43 3
∴当x=18 时，花圃有最大面积，即当AB长为18 m，花圃有最大面积．
4 4
2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成
一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩
形试验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），面积为S（单位：m 2）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当x= m时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 m 2．
【答案】(1)S=−2x2 +80x；(19≤x<40)
(2)20；800
【分析】（1）根据题意，得矩形的长为(80−2x)，根据面积公式列出方程即可．
（2）构造二次函数，求最值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次
函数最值是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为(80−2x)，
故S=(80−2x)·x=−2x2 +80x，
根据题意，得80−2x>0，且80−2x≤42，
解得19≤x<40，
故S=−2x2 +80x，且19≤x<40．
（2）解：∵S=−2x2 +80x，
∴S=−2(x2−40x)=−2(x−20) 2 +800，
由19≤x<40，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为800m 2．
故答案为：20,800．
3．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所
设计的拱门的跨度与拱高之积为48m 2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设
计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，
PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′ =8m，拱高P′E′ =6m其中，点N′在x轴上，
P′E′ ⊥O′N′ ，O′E′ =E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案
一中，矩形框架ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二
1
中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S ，点A′ ，D′在抛物线上，边B′C′在ON′上，现
2
知，小华已正确求出方案二中，当A′B′ =3m时，S =12❑√2m 2 ，请你根据以上提供的
2
相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
1 4
【答案】(1)y=− x2 + x
9 3
(2)S =18m 2 ，S >S
1 1 2
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的
函数表达式；
（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S =AB⋅BC=18m 2；再比较S ，S 的
1 1 2
大小即可．
1 1
【详解】（1）解：由题意知，PE=4m，OE= ON= ×12=6m，
2 2
∴方案一中抛物线的顶点P(6,4)，设抛物线的函数表达式为y=a(x−6) 2 +4，
把O(0,0)代入得，0=a(0−6) 2 +4，
1
解得：a=− ，
9
1 1 4
∴y=− (x−6) 2 +4=− x2 + x，
9 9 3
1 4
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=− x2 + x；
9 3
1 4
（2）解：在y=− x2 + x中，
9 3
1 4
令y=3得：3=− x2 + x；
9 3
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6m，
∴S =AB·BC=3×6=18m 2 ，
1
∵18>12❑√2，
∴S >S ．
1 2
4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可
用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃
的宽AB为xm，面积为Sm 2．
(1)求S与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
(2)若4<x<7，则S的最大值是多少？请说明理由．
26
【答案】(1)S与x之间的函数关系式为S=−3x2 +26x，x的取值范围为5≤x<
3
(2)S的最大值为55，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数
的图象与性质是解题关键．（1）先求出BC的长，再利用矩形的面积公式即可得S与x之间的函数关系式，再根据
0<BC≤11求出x的取值范围即可得；
（2）先求出x的取值范围，再利用二次函数的性质求出最值即可得．
【详解】（1）解：∵花圃的宽AB为xm，
∴BC=24−3x+2×1=26−3x(m)，
∴S=AB⋅BC=x(26−3x)=−3x2 +26x，
∵0<26−3x≤11，
26
∴ 5≤x< ，
3
26
答：S与x之间的函数关系式为S=−3x2 +26x，x的取值范围为5≤x< ．
3
{ 5≤x< 26 )
（2）解：∵ 3 ，
4<x<7
∴5≤x<7，
∵二次函数S=−3x2 +26x=−3 ( x− 13) 2 + 169 的对称轴为直线x= 13 ，且−3<0，
3 3 3
∴当5≤x<7时，S随x的增大而减小，
∴当x=5时，S取得最大值，最大值为−3×52 +26×5=55．
【题型05：每每问题】
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出．每月能
售出600个．按商场管理规定，售价在40元至60元范围内．调查发现，在该范围内，
这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
(1)为了实现每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为x元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．
(用含x的代数式表示，并完成解答)
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
【答案】(1)(1000−10x)， (x−30)；这种台灯的售价应定为50元，即每个台灯应
涨价10元；
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为60元，理由见解析．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式．
（1）依据题意，由这种台灯的售价应定为x元，那么就少卖出10(x−40)个，根据利
润=售价−进价，可列方程求解；
（2）依据题意，设每月销售利润为W，该商场决定把售价上涨m元，根据总利润=单
件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为x元，
∴每月台灯的销售量为：600−10(x−40)=1000−10x．
又∵每个台灯的利润为：x−30，
∴[600−10(x−40)](x−30)=10000，
∴ x2−130x+4000=0，
∴ x =50，x =80 (舍去)．
1 2
答：这种台灯的售价应定为50元，即每个台灯应涨价10元．
故答案为：(1000−10x)；(x−30)．
（2）要使每月的销售利润最大，售价应定为60元．理由如下：
由题意，设每月销售利润为W，该商场决定把售价上涨m元，
W =(40+m−30)(600−10m)
=−10m2 +500m+6000
=−10(m−25) 2 +12250，
∵−10<0，
∴当m<25时，W随m的增大而增大，
∵0≤m≤20，
∴当m=20时，售价为40+m=60(元)，W取最大值，此时W =12000，
答：要使每月的销售利润最大，售价应定为60元．
2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工
品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这
种加工品的销售利润率不高于60%，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天
售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y
（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销
售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润）
【答案】(1)y=−10x+340(10≤x≤16)
(2)W =−10x2 +440x−3400，每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利
润是1080元
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量
减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答；
（2）根据每天的销售利润等于单件的利润×每天的销售量，列出二次函数，再由
10≤x≤16确定W的最大值，即可解答．
x−12
【详解】（1）解：y=220− ×20=−10x+340，
2
{ x≥10 )
由 ，
x≤10×(1+60%)
解得10≤x≤16．
（2）W =(x−10)y=(x−10)(−10x+340)=−10x2 +440x−3400，
440
由a=−10<0，开口向下，对称轴为x=− =22，
2×(−10)
∴当10≤x≤16时，W随x的增大而增大，
∴当x=16时，W取得最大值为−10×162 +440×16−3400=1080（元）．
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题
是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一款便携式轮椅，计划在该月销
售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，
每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低
于180元．每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y
元，根据题意建立二次函数，通过分析开口方向及自变量取值范围确定最大值．
【详解】解：设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．( x )
由题意，得y=(200−x) 60+4×
10
2
=− x2 +20x+12000
5
2
=− (x−25) 2 +12250．
5
∵200−x≥180，
∴x≤20，
2
∴当x=20时，y =− ×(20−25) 2 +12250=12240（元）．
最大 5
答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元．
4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某社区利用一块长方形空地建了一个小型电动汽车停
车场，并且可以免费充电，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，
阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道，已知铺花砖的面积为
108平方米．
(1)求通道的宽是多少米．
(2)该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租
出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上
涨多少元时，停车场的月租金收入为3960元？
【答案】(1)4米
(2)20元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解
答此题的关键．
（1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
a
（2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为(20− )个，再根据“月
10
租金=每个车位的月租金×租出的车位数”列方程并求解，根据实际取值即可．
【详解】（1）解：设通道的宽为x米，根据题意，得(26−2x)(14−2x)=108，
∴x2−20x+64=0，
∴(x−16)(x−4)=0，
∴x=4或x=16（不符合实际，舍去），
答：通道的宽是4米；
（2）解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，
a
根据题意，得(200+a)(20− )=3960，
10
整理，得a2 =400，
解得，a=20或a=−20（不合题意，舍去），
答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为3960元．
5．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部
门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销
售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月
能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为
x元，平均月销售量为y件．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=−2x+200(30≤x≤60)
(2)当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数关系式，根据题意列出函数关系和
方程是解题的关键．
（1）进而设销售单价为x元，平均月销售量为y件，根据题意先求得x的取值范围，
根据题意列出y与x的函数关系式；
（2）设销售这种童装每月获得的利润为w，根据利润=（售价-进价）×数量-其他费用，
得到w关于x的二次函数，进而求得答案，注意x的取值范围．
【详解】（1）解：∵单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每
件30元，不高于每件60元，
设销售单价为x元，
∴30≤x≤60，
60−x
∵平均月销售量为y件，则y= ×20+80=−2x+200，
10∴y=−2x+200(30≤x≤60)；
（2）解：设每月获得的利润为w元，由题意得：
w=(x−30)(−2x+200)−450
=−2(x−65) 2 +2000
∵−2<0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x=60时，w =−2(60﹣65) 2 +2000=1950
最大
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元
6．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天
时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房
间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x
为的正整数），设一天订住的房间数为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式：________，自变量x的取值范围是________．
(2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？
(3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=40−x；0≤x≤9
(2)240元
(3)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元
【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意、
熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量x的范围是易错
点．
（1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出y与x的函数
关系式；
（2）根据题意，宾馆一天的利润=每个房间的利润×订住的房间数，列出方程，解方
程即可；
（3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利
润的最大值，特别注意自变量的取值的范围．
10x
【详解】（1）解：依题，得y=40− =40−x，
10∵每个房间每天的房价不得高于300元，
∴210≤210+10x≤300
∴0≤x≤9；
（2）解：根据题意得：(210+10x−30)(40−x)=7770
整理，得x2−22x+57=0，
解得：x =3，x =19（舍去），
1 2
210+30=240（元），
答：房价应该为240元；
（3）解：设宾馆一天的利润为w元，
∴w=(210+10x−30)(40−x)
=−10x2 +220x+7200
=−10(x−11) 2 +8410，
∵ −10<0，0≤x≤9，
∴当x=9时，w取得最大值，此时w=−10×(9−11) 2 +8410=8370（元），
房价为210+90=300（元），
答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元．
【题型06：利润问题】
1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28
日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运
会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售
“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售
量y（件）是每件的售价x（元）（30<x<45且x为正整数）的一次函数，其部分对
应数据如表所示：
每件的售价x（元） … 36 37 38 …
每天的销售量y（件） … 78 76 74 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式．
(3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大．【答案】(1)y=−2x+150
(2)w=−2x2 +200x−3750
(3)能实现
【分析】本题考查了二次函数的应用，求一次函数的解析式，二次函数的图象性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答．
（2）根据总利润等于单个利润乘上销售量进行列式，即可作答．
（3）先化为顶点式，再结合二次函数的图象性质进行作答．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
{36k+b=78)
把(36,78)和(37,76)代入y=kx+b得 ，
37k+b=76
{k=−2)
解得 ，
b=150
∴y与x之间的函数关系式为y=−2x+150．
（2）解：根据题意得w=(x−25)(−2x+150)，
即每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式为w=−2x2 +200x−3750．
（3）解：由（2）知w=−2x2 +200x−3750=−2(x−50) 2 +1250，
∵−2<0，
∴w有最大值，
∵30<x<45，
∴当x=44时，该商店销售这种毛绒玩具获利最大为w=−2×(44−50) 2 +1250=1178
元，此时销售量y最小，即投入总成本最少．
答：能实现投入总成本最少且获利最大．
2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东
莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已
知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需
540元．
(1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？
(2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，
每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系
式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件
(2)y=10x+60(0≤x≤10)；
(3)w=−10x2 +40x+600，A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大
利润为640元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，
（1）根据题意设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为(132−x)元，
进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；
（2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件
售价不低于进价得到x得取值范围；
（3）结合（2）中A类腊肠降价x元与每天的销售量y件，得到A类腊肠的利润，整
理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为(132−x)
元．
根据题意得3x+5(132−x)=540．
解得x=60．
则每件B类腊肠的售价132−60=72（元）．
答：A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件；
（2）解：由题意得y=10x+60
∵A类腊肠进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴0≤x≤10．
答：y=10x+60(0≤x≤10)；
（3）解：w=(60−50−x)(10x+60)
=−10x2 +40x+600=−10(x−2) 2 +640．
∵−10<0
∴当x=2时，w有最大值640．
答：A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元．
3．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多
少元？
(3)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售
价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)y=−x+180(100≤x≤180)
(2)每件商品的销售价应定为130元或150元
(3)销售价定为140元，最大利润为1600元
【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理
解题意正确列出函数关系式和方程是解题的关键．
（1）由图象可知，y与x之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解；
（2）设每件商品的销售价应定为x元，根据题意列出方程，求出x的值即可解答；
（3）根据题意列出W =(x−100)(−x+180)=−(x−140) 2 +1600，再根据二次函数
的性质即可解答．
【详解】（1）解：由图象可知，y与x之间满足一次函数关系，
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
{80k+b=100)
代入(80,100)和(130,50)，得 ，
130k+b=50
{k=−1)
解得： ，
b=180
∴y与x之间的函数关系式y=−x+180(100≤x≤180)；
（2）解：设每件商品的销售价应定为x元，
由题意得，(x−100)(−x+180)=1500，
整理得：x2−280x+19500=0，
解得：x =130，x =150，
1 2
答：每件商品的销售价应定为130元或150元；（3）解：由题意得，W =(x−100)(−x+180)
=−x2 +280x−18000
=−(x−140) 2 +1600，
∵−1<0，
∴当x=140时，W有最大值，最大值为1600，
答：将销售价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
【题型07：分段函数】
1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销
售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与
时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与
时间t（第t天）之间满足一次函数关系y=150−t．
(1)求x与t之间的函数关系式；
(2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内
哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
【答案】(1) x=
{t+40,0≤t<80且t为整数)
120,80≤t≤120且t为整数
{−(t−70) 2 +6400,0≤t<80且t为整数)
(2) w= ，第70天的日利润最大，最大日利
−90t+13500,80≤t≤120且t为整数
润是6400元
【分析】（1）分两种情况：当0≤t<80时，当80≤t≤120时，分别列出函数关系式，
即可；
（2）分两种情况：当0≤t<80时，当80≤t≤120时，分别列出函数关系式，结合二次
函数以及一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意可得，①当0≤t<80时，设x与t之间的函数关系式为x=kt+b．
由图象可得，函数图象经过(0,40),(80,120)，
{ b=40 )
所以 ，
80k+b=120
{k=1 )
解得 ，
b=40
所以x=t+40．
②当80≤t≤120时，x=120．
综上所述，x与t之间的函数关系式为x=
{t+40,0≤t<80且t为整数)
；
120,80≤t≤120且t为整数
（2）解：由题意可得，
①当0≤t<80时，
w=(x−30)y=(t+10)(150−t)=−t2 +140t+1500=−(t−70) 2 +6400．
∵−1<0，
∴当t=70时，w最大，w =6400；
最大
②当80≤t≤120时，w=(x−30)y=(120−30)(150−t)=−90t+13500．
∵−90<0，
∴w随t的增大而减小，
∴当t=80时，w最大，w =−90×80+13500=6300．
最大
{−(t−70) 2 +6400,0≤t<80且t为整数,)
综上所述，w与t之间的函数关系式为w=
−90t+13500,80≤t≤120且t为整数.
因为6400>6300，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元．
【题型08：其他问题】
1．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是
s=15t−6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 ．
5
【答案】
4
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，
故将s=15t−6t2写成顶点式，据此求解即可．【详解】解：∵s=15t−6t2 =−6 ( t− 5) 2 + 75 ，
4 8
5
∴当t= 秒时，s取得最大值，即汽车停下来，
4
5
故答案为： ．
4
2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）若汽车刹车后行驶的距离S(m)关于行驶的时间t(s)的
函数表达式为S=8t−2t2，则汽车刹车后行驶的距离是 m．
【答案】8
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，由
S=8t−2t2 =−2(t−2) 2 +8，当t=2时，求出最大，即汽车刹车后行驶的距离，熟练掌
握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由S=8t−2t2 =−2(t−2) 2 +8，
∴汽车刹车后行驶的距离为，当t=2时，S=8，
故答案为：8．
3（22-23九年级上·广东广州·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t
（单位：s）的函数解析式是s=12t−2t2，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最
后2秒前行了 米．
【答案】8
【分析】首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时
间为3s，前行的距离为18米，再求出当t=1时，汽车前行的距离，据此即可求得．
【详解】解：s=12t−2t2 =−2(t−3) 2 +18，
∵a=−2＜0，
∴当t=3时，前行的距离最大，最大距离为18米，
当t=1时，s=12×1−2×12 =10，
∴汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离为：18−10=8(米)，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段
时间的最后2秒前行的距离是解决本题的关键．4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，
于是他们走进汽车研发中心考察．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离
才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速
度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二
次函数关系，函数图象如图所示．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若在汽车前60m处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测
速仪12m；
(3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变
道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】(1)y=−3t2 +30t
(2)汽车刹车4s后，汽车与测速仪相距12m；
(3)不会，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析
式的方法和步骤是解题的关键．
（1）设y=at2 +bt+c，将(0,0)，(1,27)，(2,48)代入，求出a、b、c的值，即可得出
函数解析式；
（2）求出当y=60+12时的t的值，即可解答；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可．
【详解】（1）解：设y=at2 +bt+c，
将(0,0)，(1,27)，(2,48)代入，得：
{ c=0 ) {a=−3 )
27=a+b+c ，解得： b=30 ，
48=4a+2b+c c=0∴y关于t的函数解析式为y=−3t2 +30t；
（2）解：根据题意得：−3t2 +30t=60+12
解得t=4或t=6（不符题意，舍去），
答：汽车刹车4s后，汽车超过测速仪12m；
（3）解：不会．理由如下：
∵y=−3t2 +30t=−3(t−5) 2 +75，
∴当t=5时，汽车停下，行驶了75m，
∵75<80，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥
运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着
陆坡BC上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角
坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单
1
位：m）满足函数关系：y=− x2 +bx+30(b>0)．着陆坡BC的解析式为
8
1
y=− x+20，在着陆坡BC上设置点P作为达标点，点P与OC水平距离为24m．若
2
着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标．
(1)当b=2时，
①判断成绩是否达标，并说明理由；
②求运动员在飞行过程中离着陆坡BC的竖直距离h的最大值；
(2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡BC（含端点）上，求b的取值范围．
【答案】(1)①成绩不达标，理由见解析；②22.5m25 17
(2) ≤b≤
12 4
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，二次函数图象的
性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
1
（1）①首先得到y=− x2 +2x+30，求出P(24,8)，然后将x=24代入
8
1
y=− x2 +2x+30求解比较即可；
8
②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作EF∥y轴交BC于点F，设
E ( m,− 1 m2 +2m+30 ) ，F ( m,− 1 m+20 ) ，然后表示出
8 2
1
ℎ=EF=− (m−10) 2 +22.5，然后利用二次函数的性质求解即可；
8
（2）首先求出B(40,0)，然后根据题意得到运动员落在线段BP上，然后列出不等式
就即可．
1
【详解】（1）解：①当b=2时，y=− x2 +2x+30，
8
∵点P与OC水平距离为24m，
1 1
将x=24代入y=− x+20=− ×24+20=8，
2 2
∴P(24,8)，
1 1
将x=24代入y=− x2 +2x+30=− ×242 +2×24+30=6，
8 8
∵6<8，
∴成绩不达标；
②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作EF∥y轴交BC于点F，设E ( m,− 1 m2 +2m+30 ) ，则F ( m,− 1 m+20 ) ，
8 2
∴ ℎ=EF=− 1 m2 +2m+30− ( − 1 m+20 ) =− 1 m2 + 5 m+10=− 1 (m−10) 2 +22.5，
8 2 8 2 8
1
∵
− <0，
8
∴抛物线开口向下，
∴当m=10时，ℎ有最大值22.5，
∴运动员在飞行过程中离着陆坡BC的竖直距离h的最大值为22.5m；
1
（2）解：∵着陆坡BC的解析式为y=− x+20，
2
1
∴当y=0时，0=− x+20，
2
解得x=40，
∴B(40,0)，
∵运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡BC（含端点）上，
∴运动员落在线段BP上，
1 1
∴当x=24时，− ×242 +24b+30≥− ×24+20，
8 2
25
解得b≥ ；
12
1
∴当x=40时，− ×402 +40b+30≤0，
8
17
解得b≤ ；
4
25 17
综上所述， ≤b≤ ．
12 46.（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、
距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所
测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球
运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单
位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．任务一：数
据收集记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 10 9 8 7 6 5 …
v/(cm/s)
滑行距离 0 19 36 51 64 75 …
y/cm
任务二：观察分析
（1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二
次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出v，y与x满足的函数关系式；（不用写
出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离；
（3）当小球到达木板上点A的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以
4cm/s的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．
1 1
【答案】（1）v=− x+10；y=− x2 +10x；（2）当小球在水平木板上停下来时，
2 4
小球的滑行距离为100cm；（3）n>36．
△v 1
【分析】（1）根据v，y随x的变化规律，发现 =− ，可判定v是x的一次函数，
△t 2
设v=kx+b ，解答即可；根据题意，y是x的二次函数，且常数项为0，不妨设
1y=ax2 +bx，建立方程组解答即可．
1
（2）当小球在水平木板上停下来时，v=0，根据题意得− x+10=0，求得小球运动
2
的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离；
1
（3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得− x2 +10x<4x+n，解不等式即可．
4
△v 1
【详解】解：（1）根据v，y随x的变化规律，发现 =− ，可判定v是x的一次函
△t 2
数，设v=kx+b ，设v=kx+b ，将点(0,10)，(2,9)代入v=kx+b ，
1 1 1
得¿
∴¿，
1
∴v=− x+10.
2
设y=ax2 +bx，将点(2,19)，(4,36)代入，
得¿
解得¿
1
∴y=− x2 +10x.
4
1
（2）由（1）知v=− x+10.
2
1
∴当v=0时，得− x+10=0.
2
解得x=20.
1
将x=20代入y=− x2 +10x，
4
得y=100.
∴当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100cm.
（3）解：设小球的运动时间为x秒，
1
根据题意，得− x2 +10x<4x+n.
4
1
∴− (x−12) 2 +36<n.
4
1
∵− <0，函数有最大值36，
4
∴n>36.【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握
待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键.
7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和
盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为
6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如
图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 C ，锅盖纵断面的抛物线记为 C ．
1 2
(1)求C 和C 的解析式：
1 2
(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径（结果保留根号）；
(3)如果将一个底面直径为2dm，高度为3.6dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，
锅盖能否正常盖上？请说明理由．
1 1
【答案】(1)C :y= x2−3(−3≤x≤3)，C :y=− x2 +1(−3≤x≤3)
1 3 2 9
(2)此时水面的直径为2❑√3dm
(3)锅盖不能正常盖上，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数
的性质，
(1)根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高
度；
(3)将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可．
【详解】（1）解：抛物线过点A(−3,0),B(3,0)，
设C 和C 的解析式为：y=a (x−3)(x+3),y=a (x−3)(x+3)；
1 2 1 2
∵抛物线C
1
经过 ，1
∴−3=a (0−3)(0+3)，解得a = ，
1 1 3
1
则y= x2−3(−3≤x≤3)，
3
∵抛物线C 还经过C(0,1)，
2
1
∴1=a (0−3)(0+3)，解得a =− ，
2 2 9
1
则C :y=− x2 +1(−3≤x≤3)；
2 9
1
（2）解：当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y=−2，即 x2−3=−2，解得x=±❑√3，
3
则此时水面的直径为2❑√3dm；
（3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下，
1 8 1 8
当x=1时，抛物线C :y= ×12−3=− ，C :y=− ×12 +1= ，
1 3 3 2 9 9
8 8 8 24 32
则 −(− )= + = <3.6，
9 3 9 9 9
那么，锅盖不能正常盖上．
8．（24-25九年级上·广东中山·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物
线状（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm，此时面汤最大深度EG=8cm．
(1)当面汤的深度ET为4cm时，求此时汤面的直径PQ的长；
(2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，求此时碗
中液面宽度CH的长．
【答案】(1)6❑√2
15
(2) ❑√2
2
【分析】（1）设点E的坐标为(0,c)，则抛物线的表达式为y=ax2 +c则点C的坐标为：
(6, 8+c)，点Q(x, 4+c)再用待定系数法即可求解；9
（2）确定直线CH的表达式为y=x−6+8+c=x+2+c，求出x +x = ，x x =−9
1 2 2 1 2
进而求解；
本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的
直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，
如图：
设点E的坐标为：(0,c)，则抛物线的表达式为y=ax2 +c，
则点C的坐标为(6, 8+c)，点Q(x, 4+c)，
{8+c=36a+c)
将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得： ，
4+c=ax2 +c
{ a= 2 )
解得： 9 ，
x=3❑√2
2
即抛物线的表达式为：y= x2 +c①，
9
∴PQ=2x =6❑√2，
Q
故答案为：6❑√2；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK=45°时停止，
∴所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°，
设直线CH的解析式为y=x+b，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y=x−6+8+c=x+2+c②，
联立①②并整理得：2x2−9x−18=0，
9
则x +x = ，x x =−9，
1 2 2 1 2225
则(x −x ) 2 =(x +x ) 2−4x x = ，
1 2 1 2 1 2 4
15
则|x −x )= ，
1 2 2
15
由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，则CH=❑√2|x −x )= ❑√2，
1 2 2
15
故答案为： ❑√2．
2
【题型09：图形运动问题】
1．（2025·吉林松原·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AB=8．动
点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AB
与△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得QD=PD，以PQ、PA为边
作矩形PQMA．设矩形PQMA与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间
为t秒(t>0)．
(1)当PQ=AB时，求t的值；
1
(2)当PQ= AB时，求t的值；
2
(3)求S与t之间的函数关系式．
【答案】(1)t=4
(2)t=2或6
1 1
(3)当0<t≤4时，S= t2 ；当4<t≤6时，S=− t2 +8t−16；当6<t<8时，
2 2
9
S=− t2 +56t−160
2
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的
性质与判定，掌握知识点是解题的关键．
1
（1）过点C作CE⊥AB于点E，有AP=t，求出PD=DQ= PQ=4，可得
2PD=CE=4，即此时P运动到点E，即可解答．
（2）分类讨论：当0<t<4与当4≤t<8时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答；
1 1
（3）分类讨论：当0<t≤4时，S= t2 ；当4<t≤6时，S=− t2 +8t−16；当
2 2
9
6<t<8时，S=− t2 +56t−160，作出正确的图形，逐项分析，即可解答．
2
【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图，
AP=t
，
∵∠C=90∘，AC=BC，AB=8，
1
∴ CE= AB=4， ∠CAB=∠ABC=45°，
2
∴AC=BC=AB⋅sin45°=4❑√2，
∵PQ=AB=8， PD=DQ
1
∴
PD=DQ= PQ=4，
2
∴PD=CE=4，
即此时P运动到点E，
∴AP=AE=4，
即t=4．
（2）①当0<t<4时，如图
由（1）可得
∠CAB=∠ABC=45°，
在矩形PQMA中，∠APQ=90°，
∴△ADP是等腰直角三角形，且AP=PD=t，∴PQ=2PD=2t，
1
∵
PQ= AB，AB=8
2
1
∴
2t= ×8，
2
解得t=2．
②当4≤t<8时，如图
∵∠DPB=90°,∠B=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形，且PB=PD=AB−AP=8−t，
∴PQ=2PD=2(8−t)=16−2t，
1
∵
PQ= AB，AB=8
2
1
∴
16−2t= ×8
2
解得t=6．
综上所述，t的值为2或6．
（3）①当0<t≤4时，矩形PQMA与△ABC重叠部分图形为△ADP，如图
1 1
S= AP⋅PD= t2
2 2
；
②当4<t≤6时，矩形PQMA与△ABC重叠部分图形为四边形ACDP，如图1 1 1 1 1
S=S −S = AC⋅BC− PD⋅PB= ×4❑√2×4❑√2− (8−t) 2 =− t2 +8t−16
△ABC △PBD 2 2 2 2 2
③当6<t<8时，矩形PQMA与△ABC重叠部分图形为五边形AFNDP，如图
有MQ∥AB，∠ACB=90°，
PQ=2PD=2(8−t)=16−2t,，
1 1 1
S = PD⋅PB= (8−t) 2 = t2−8t+32
△PBD 2 2 2
BD=❑√PD2 +BP2 =❑√2(8−t)=8❑√2−❑√2t
∠QDN=∠PDB,PD=PQ,∠Q=∠B=90°
∴∠CFN=∠CAB=45°，△PDB≌△QDN，
∴△CFN是等腰直角三角形，DN=DB=8❑√2−❑√2t，
∴BN=2DN=16❑√2−2❑√2t
∴CF=CN=BC−BN=4❑√2−16❑√2+2❑√2t=2❑√2t−12❑√2，
1 1
∴
S△CNF= CF⋅CN= (2❑√2t−12❑√2) 2 =4t2−48t+144，
2 2
∴
1 1
S=S −S −S = ×4❑√2×4❑√2−(4t2−48t+144)−( t2−8t+32)
△ABC △CNF △PBD 2 2
9
=− t2 +56t−160．
2
1 1
综上所述，当0<t≤4时，S= t2 ；当4<t≤6时，S=− t2 +8t−16；当6<t<8时，
2 2
9
S=− t2 +56t−160．
2
2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在BC
边上，且BE=6，点P从点B出发，沿B→A→D→C运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿B→E方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运
动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且0<x<8．在运动过程中，△BPQ
的面积为y．
(1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象；
(2)结合图象，写出函数y的一条性质；
(3)根据图象直接写出当y≥4时，自变量x的取值范围．（误差不超过0.2）
{ x2 (0<x≤2) )
【答案】(1) y= 2x(2<x≤6) ，函数图象见解析
−6x+48(6<x<8)
(2)当2<x≤6时y随x的增大而增大
(3)当y≥4时，自变量x的取值范围2≤x≤7.3
【分析】（1）当0<x≤2时，当2<x≤6时，当6<x<8时，根据三角形的面积公式即
可得到结论；
（2）根据函数图象即可得到结论；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【详解】（1）解：当0<x≤2时，
∵BQ=x,BP=2x,∠B=90°，
1 1
∴y= BQ⋅BP= ×2x×x=x2 ；
2 2
当2<x≤6时，BQ=x，
1 1
∴y= BQ⋅AB= ×4×x=2x；
2 2
当6<x<8时，BQ=BE=6,CP=16−2x，1 1
∴y= BQ⋅CP= ×6×(16−2x)=−6x+48，
2 2
{ x2 (0<x≤2) )
综上所述，y与x的函数解析式为 y= 2x(2<x≤6) ；
−6x+48(6<x<8)
函数图象如图所示；
（2）解：当2<x≤6时，y随x的增大而增大；
（3）解：由图象知，当y≥4时，自变量x的取值范围2≤x≤7.3．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应
用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键．
3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点
E、F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度相等，当
点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，
设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积
为y．
(1)当x=2时，y=_______；当x=8时，y=_______；
(2)求点E在整个运动过程中y的最大值．
【答案】(1)8；32(2)36
【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二
次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的
性质及二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）由题意先得出当正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边BC上时的AE
的长，然后分别求当x=2和x=8时，y的值即可；
（2）由（1）可分①当0<x≤4时，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积
为正方形EFGH的面积，②当4<x<12时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数
的性质可进行求解．
【详解】（1）解：当正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边BC上时，如图
所示：
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH=GH=FG，∠EHG=∠FGH=90°，
∴∠EHB=∠FGC=90°，
∵在等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠B=∠C=45°，AE=AF=x，
∴△AEF,△EHB,△FGC都是等腰直角三角形，
∴EF=❑√2x=EH=FG=HG，
∴BE=CF=❑√2EH=2x，
∴AE+BE=3x=AB=12，
∴x=4，
∴当x=4时，即AE=AF=4，正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边BC上；
当x=2时，则有AE=AF=2，
∴BE=CF=AB−AE=10，EF=EH=GH=FG=2❑√2，
此时正方形EFGH在等腰Rt△ABC内部，
∴y=S =EF2 =8；
正方形EFGH当x=8时，则有AE=AF=8，如图所示：
∴BE=AB−AE=4，
❑√2
∴EM= BE=2❑√2，
2
同理可得：EF=EH=GH=FG=8❑√2，
此时y=EM⋅EF=32；
故答案为：8；32；
（2）解：由（1）可分：①当0<x≤4时，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分
的面积为正方形EFGH的面积，即y=S =EF2 =2x2 ，
正方形EFGH
∴当0<x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为32；
②当4<x<12时，如图，
此时正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y=EM⋅EF，
∵AE=x，
∴BE=AB−AE=12−x，
❑√2 ❑√2
∴EM= BE= (12−x)，
2 2❑√2
∴y=EM⋅EF= (12−x)⋅❑√2x=−x2 +12x=−(x−6) 2 +36，
2
∴当x=6时，y有最大值，最大值为36；
综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36．
4．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC=4cm，CD是△ABC的中线．动点P从点C出发以❑√2cm/s的速度沿折线
CD−DA向终点A运动．过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边向右侧作正方形
PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积是ycm 2，点P的运动时间
为xs (x>0)．
(1)当点P在线段CD上运动时，△CPQ的形状是________，PQ=_______．（用含x
的代数式表示）．
(2)当点N落在边AB上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)等腰直角三角形，x
4
(2)x=
3
{ x2( 0<x≤ 4) )
3
(3) y= 7 x2 +12x−8 (4 <x≤2 )
2 3
1
x2(2<x≤4)
2
【分析】（1）根据直角三角的性质可得AD=CD=BD，∠ACD=BCD=45°，从
而得到∠CPQ=∠ACD=45°，再由∠PQC=90°，可得△CPQ是等腰直角三角
形，由勾股定理即可求得PQ=CQ=x；
（2）根据题意可得AP=PQ=PN=MN=x，再证得△BMN是等腰直角三角形形，可得BN=MN=x．从而得到x+x+x=4，即可求解；
4 4
（3）分三种情况讨论：当0<x≤ 时，当 <x≤2时，当2<x≤4时，即可求解．
3 3
【详解】（1）解：∵CD是Rt△ABC的中线，
∴AD=CD=BD，∠ACD=BCD=45°,
∵PQ⊥BC，
∴∠PQC=90°，∠CPQ=∠ACD=45°，
∴CQ=PQ，
∴△CPQ是等腰直角三角形，2PQ2 =PC2，
∵PC=❑√2x，
∴PQ=CQ=x，（负值已舍去）
故答案为∶ 等腰直角三角形，2x，
（2）解：如图2，当点N落在边BC上时，QC=PQ=QM=PN=MN=x，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4cm，
∴∠B=∠A=45°，
∵四边形PQMN是正方形，
∴∠BMN=∠QMN=90°，QC=PQ=QM=PN=MN=x，
∴∠B=∠MNB=45°，
∴MN=BM，
∴BM=MN=x．
∵CQ+QM+MB=BC，
∴x+x+x=4，
4
解得x= ，
34
即当点N落在边AB上时，x= ．
3
（3）解：∵∵∠ACB=90°，AC=BC=4cm，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =4❑√2，CD=2❑√2，
∴CD+AD=4❑√2，
∵动点P从点C出发以❑√2cm/s的速度沿折线CD−DA向终点A运动．
∴动点P到达D时间为2s，到底P到达A时间为4s
4
①当0<x≤ 时，如图3−1，点P在CD上，正方形PQMN在△ABC内部，
3
正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积是正方形PQMN，
由（1）得：QC=PQ=QM=PN=MN=x，
y=x2，
4
②当0<x≤ 时，如图3-2，点P在CD上，正方形PQMN的顶点N在△ABC外，重
3
叠部分是多边形PQMHG，
同理（2）可得△BMH是等腰直角三角形，
∴∠NHG=∠MHB=45°，
∵∠N=90°，
∴∠NGH=∠GHN=45°，
∴NG=NH∵QC=PQ=QM=PN=MN=x，AC=BC=4，
∴BM=MH=4−2x，
∴NH=NG=x−(4−2x)=3x−4，
∴正方形PQMN与△ABC重叠部分图形（即多边形PQMHG）的面积：
1 7
y=x2− (3x−4) 2 =− x2 +12x−8，
2 2
③当2<x≤4时，如图3-3，点P在AD上，正方形PQMN的顶点N在△ABC外，同
理可得△BPQ、△CQG、△DPG是等腰直角三角形，
正方形PQMN与△ABC重叠部分图形（即等腰直角△BPQ）的面积
∴PQ=BQ=QM，即点M与点B重合，
∴PD=DG=❑√2x−2❑√2，
∴CG=CD−DG=2❑√2−(❑√2x−2❑√2)=4❑√2−❑√2x，
❑√2 ❑√2
∴CQ= CG= ×(4❑√2−❑√2x)=4−x，
2 2
∴BQ=BC−CQ=4−(4−x)=x，
1 1 1
∴ y=S = PQ⋅QB= x2 = x2
△BPQ 2 2 2{ x2( 0<x≤ 4) )
3
综上所述，y关于x的函数解析式为y= 7 x2 +12x−8 (4 <x≤2 ) ．
2 3
1
x2(2<x≤4)
2
【点睛】本题考查了函数解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角
形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN
的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．
5.（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，
BC=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，
2cm/s的速度沿BC运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运
动的时间为t(s)．
(1)用含t的式子表示BP和BQ，BP= ；BQ= ；
(2)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm 2；
(3)当t为何值时，△PBQ的面积最大，并求出△PBQ的最大面积．
【答案】(1)(3−t)cm，2tcm
(2)t=1s或2s时，△PBQ的面积为2cm 2
3 9
(3)t= 时，S = (cm 2)
2 最大 4
【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的
应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键．
(1)利用两点运动的速度表示出BP,BQ的长；
(2)表示出△PBQ的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案；
(3)利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：PB=(3−t)cm，BQ=2tcm；
（2）解：∵PB=(3−t)cm，BQ=2tcm，1 1
∴S = BQ⋅PB= ×2t×(3−t)=−t2 +3t(0≤t≤2)，
△PBQ 2 2
∵S =−t2 +3t=2，
△PBQ
解得t=1或t=2，
∴当t=1s或2s时，△PBQ的面积为2cm2；
（3）解：S=−t2 +3t=− ( t− 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
故t= 时，S = (cm2)．
2 最大 4
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形
MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让
△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y
（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式．
【答案】y=2t2−40t+200
【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据△ABC是等腰
直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，HM∥BC，
∴∠B=∠MHA=45°，∠CAB=45°，
∴重叠部分△AMH也是等腰直角三角形，
又∵AN=2t，
∴AM=MN−AN=20−2t，
∴MH=AM=20−2t，
1
∴
y= (20−2t) 2 =2t2−40t+200．
2
