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专题 03 二次函数的定义、图象和性质
二次函数的识别
1.（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的
关键．
【详解】A． 是一次函数，故不符合题意；
B． 是反比例函数，故不符合题意；
C． 是二次函数，故符合题意；
D． 不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．2.（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如 、 、 是常
数， 的函数，叫做二次函数．
根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【详解】A、 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、 符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意；
C、 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、 不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
3.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如 、 、
为常数， 的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B． 是二次函数，故此选项符合题意；
C． 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；D． 不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
4.（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如
y=ax2+bx+c（ ，其中 、 为常数）的函数是二次函数”是解题的关键．
【详解】解：A、当 时，原函数化为： ，则不是二次函数，故不符合题意；
B、 ，是一次函数，故不符合题意；
C、 是二次函数，故符合题意；
D、 ， ，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意；
故选C．
5.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数 （ 是常数）是二次函数，那么 的取值
范围是 ．
【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】根据：“形如 ，这样的函数叫做二次函数”，得到 ，即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ．
利用二次函数的定义求参数
1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于 的函数 的图象是抛物线，则 的值是 ．【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如 的函数叫做二次函数，其图象为抛物线，
据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：
2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数 （m是常数）是二次函数，则m的值是
．
【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如 、 、 是常数， 的函数，
叫做二次函数．利用二次函数定义可得： ，且 ，再计算出 的值即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故答案为：
3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数 是二次函数，则m的值为 ．
【答案】2
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得： ，
∴ ；故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．
4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若 是关于x的二次函数．则m的值为 ．
【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数 ， 、 、
为常数）叫二次函数．
利用二次函数定义可得 ，且 ，再解即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故答案为： ．
5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数 的图象是抛物线，则 ．
【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如 是二次函数，注
意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
把y=ax²+bx+c化成顶点式
1.（23-24九年级上·甘肃白银·期末）用配方法将函数 写成 的形式是
．
【答案】【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题主要考查了配方法，将 化为顶点式即可．
【详解】解：
故答案为：
2.（23-24八年级下·云南昆明·期末）抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．必须牢记二次函数的三种
形式： 一般式： ； 顶点式： ；③两根式： ．
利用配方法将抛物线的解析式 转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标．
【详解】解： ，
抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
3.（23-24九年级上·四川广元·期末）若把二次函数 化为 的形式，其中 为常
数，则 ．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数的顶点式．先由二次函数转化为顶点式，即可得到 的值，即可求解．【详解】解：由题意得， ，
，
．
故答案为： ．
4.（23-24九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数 可以写成 ，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确
定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键．
【详解】解：
故答案为 ： ．
5.（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数 化为 的形式为
．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可．
【详解】解：
．故答案为： ．
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
1.（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线 的描述正确的是（ ）
A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的
C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性
质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴ ，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，
选项D正确，符合题意；
故选：D．
2.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数 的图像与性质的描述，正确的是( )
A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数 的图像平移得到
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可
得．
【详解】解： 二次函数 ，
抛物线开口向下，对称轴为 轴，
当 时， 随 的增大而减小，故选项B错误，选项C正确；
时， ，该函数图象经过点 ，故选项A错误；
该函数图象可由函数 的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误；
故选：C．
3.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线 的对称轴是直线 ，那么下列等式成
立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为 ，进行求解后，判断即可．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
4.（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点 在二次函数 的图像上，那么a
b填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当 时，当 时的函数值即可得到答案．
【详解】解：在 中，当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
5.（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线 开口向上，且经过点 和 ，如果点 与 在此抛物线上，那么 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 经过点 和 ，
∴对称轴为 ，
∵开口向上，
∴对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
故答案为： ．
二次函数图象的平移
1.（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．首先将
抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”进行求解作答即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
将该抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴得到的抛物线的解析式是 ．
故答案为： ．
2.（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，将函数 的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是直接根据“上加下减，左加右减”的原
则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线 的图象向右平移2个单位所得函数图象的关系式是： ；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线 的图象向下平移5个单位长度所得函数图象的关系式是： ．
故答案为： ．
3.（23-24九年级上·西藏·期末）将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长
度，则平移后抛物线解析式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，
熟练掌握平移的规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线 向左平移2个单位长度，
得到抛物线的解析式为： ，即 ，
再向下平移3个单位长度，
得到抛物线解析式为： ，即 ，
故答案为： ．
4.（23-24九年级上·山东潍坊·期末）二次函数 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3
个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数图象二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“左加
右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解： ，
平移后的解析式为： ，
故答案为： ．
5.（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线 及一点 ，
的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为 ，则此时 的坐标为
．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的
关键．
根据顶点坐标得到平移规律即可求解．
【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为 ，新抛物线的顶点坐标为 ，
∴新抛物线是由原抛物线向右移动了7个单位，向上移动了2个单位得到的．
的坐标 右移动了7个单位，向上移动了2个单位坐标为 ，即 ．
故答案为： ．待定系数法求二次函数解析式
1.（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数 的图象．
(1)求该二次函数的关系式及顶点坐标；
(2)当 时 的取值范围是___________．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）根据图象得出抛物线与坐标轴交点坐标，代入解析式求解即可；
（2）求出抛物线与x轴交点坐标，根据图象即可求出取值范围．
【详解】（1）解：由图象可知，抛物线经过 ， ，代入 得，
，
解得， ，
抛物线解析式为 ，
化成顶点式为 ，
抛物线顶点坐标为 ；（2）解：当 时， ，解得， ， ，
抛物线与x轴另一个交点坐标为 ，
∴当 时 的取值范围是 ；
故答案为： ．
2.（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数 自变量 与函数 的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点 为抛物线上一点，抛物线与 轴交于 、 两点，若 ，求出此时点 的坐标．
【答案】(1)二次函数解析式为 ，顶点坐标为
(2) 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、
y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据“当 和 时， ”，设二次函数 ，根据 时， ，代入
求出 ，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）根据 和 ，求出 ，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点 的纵坐标
为 或 ，当点 的纵坐标为 时， ，求解得出点 的坐标即可；根据二次函数解析式为
，顶点坐标为 ，是最低点，判断当点 的纵坐标为 时的情况不存在．
【详解】（1）解：∵当 和 时， ，
∴设二次函数 ，∵ 时， ，
∴代入 得： ，即 ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，即 ，
∴ ， ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线与 轴交于 、 两点，由表格得 和 ，
∴ ，
∵ ，
∴点 到 的距离 ，
∴点 的纵坐标为 或 ，
∵点 为抛物线 上一点，
∴当点 的纵坐标为 时， ，即 ，
解得： ，
∴点 的坐标为 或 ；
∵二次函数解析式为 ，顶点坐标为 ，
当点 的纵坐标为 时的情况不存在；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
3.（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，二次函数的图象经过点(1,0)，顶点坐标为 ．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点；
(3)当 时，y的取值范围为______．
【答案】(1) 或
(2)向上平移4个单位长度
(3)
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式， 二次函数的平移，二次
函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． 设二次函数的解析式为： ，将点(1,0)代入
即可得出a的值．
（2）根据二次函数的图像以及平移的性质求解即可．
（3）根据二次函数的图像和性质可得出当 时，y随x的增大而增大，分别求出当 时y的值，
当 时，y的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为： ，
将点(1,0)代入 ，
得出： ，
解得： ，
∴ 或（2）当二次函数的图象与x轴只有一个公共点时，只需将抛物线向上平移4个单位即可．
（3）根据函数图像可知：当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ．
4.（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数 图象上部分点的横纵坐标 的对应值如表：
x … 0 1 2 m …
y … n …
(1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______；
(2)表中的 _______， _______；
(3)若 是这个函数图象上的两点，且 ，则 _______ （填“>”或“=”或
“<”）；
(4)写出这个函数的一条性质___________．
【答案】(1) ，对称轴
(2)
(3)
(4) 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式；
（2）根据（1）求出的解析式代数求值；
（3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据递减性得出答案；
（4）根据函数图象的开口方向和对称轴的位置来确定性质．
【详解】（1）解：将 代入 ，，解得 ，
，
故对称轴 ；
（2）解：根据函数解析式： ，
当 时， ，
当 时， ，
解得 或 （舍去），
，
故答案为： ；
（3）解：根据 ， ，
开口向下，
对称轴 ，
当 时， 随 的增大而增大，
故 ，则 ，
故答案为： ；
（4）解：根据二次函数的图象可得，
时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大．根据二次函数增减性求某区域的最值问题
1.（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当 时，函数的最大值为1，
则a的值为 ．
【答案】 或 / 或
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．先求出二次函数
的对称轴为直线 ，然后根据二次函数的增减性并结合 ，分类讨论解答即可．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
①当 ，即 时，此时二次函数在 上y随x的增大而减小，在 取最大值，即
，解得 ，与 不符；
②当 即 时，此时 离二次函数对称轴更远，
∴二次函数在 取最大值，即 ，解得 ；
③当 即 时，此时 离二次函数对称轴更远，
∴二次函数在 取最大值，即 ，解得 ；
④当 即 时，此时二次函数在 上y随x的增大而增大，在 取最大值，
，解得 与 不符．
综上， 的值为 或 ．故答案： 或 ．
2.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数 ，当 时，该函数 的最小值是 ．
【答案】 4
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了把二次函数化为顶点式、二次函数的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，再根据
二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，
当 时，该函数 的最小值是 ；
故答案为：4， ．
3.（23-24八年级下·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数 的最小4，则常数m的值
为 ．
【答案】6
【知识点】y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
由 ， ，可知当 时，二次函数 的值最小，为4，
则 ，计算求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴当 时，二次函数 的值最小，为4，
∴ ，
解得， ，
故答案为：6．
4.（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数 （其中 ），当 时， 的最大
值是4，则 的值为 ．4
【答案】
3
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴，利用二次函数的图象和性质求解即可，
熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴a>0时，抛物线开口向上，对称轴x=2两侧离对称轴越远，数值越大，
∴当 时y有最大值 ，即 ，解得： ；
4
故答案为： ．
3
5.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 ，则此函数的顶点坐标是
；若 ，当 时，函数有最小值 ，则 ．
2
【答案】 −
3
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，把解析式配方解答即可求得顶点坐标；根据题意，
当 时，函数有最小值，得到关于 的方程，解方程求得 的值．
【详解】解： ，
此函数的顶点坐标是 ，
若 ，当 时，函数有最小值 ，
时， ，
，
2
故答案为： ，− ．
3
二次函数与一次函数或反比例函数共存问题1.（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题
的关键．分别确定各选项中一次函数的 的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误
即可．
【详解】解：A中 的 ，此时 的图象应该开口向下，此时矛盾，故
不符合要求；
B中 的 ，此时 的图象应该开口向上，对称轴 ，故符
合要求；
C中 的 ，此时 的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求；
D中 的 ，此时 的图象应该开口向下，对称轴 ，此时
矛盾，故不符合要求；
故选：B．
2.（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象大致是( )A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的
关键．
直接利用二次函数图形得出a、b的符号，进而得出答案．
【详解】解：由二次函数图象，得出 ， ，
A、一次函数图象，得 ， ，故A错误；
B、一次函数图象，得 ， ，故B错误；
C、一次函数图象，得 ， ，故C正确；
D、一次函数图象，得 ， ，故D错误；
故选：C．
3.（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象，反比例函数图形的性质是解
题的关键．根据图形所在象限判定 的符号，即可求解．
【详解】解：A、根据反比例函数图形可得， ，则 ，
∴二次函数图象开口向下，与 轴的交点在 轴上方，原选项不符合题意；
B、根据反比例函数图形可得， ，则 ，
∴二次函数图象开口向下，与 轴的交点在 轴上方，原选项不符合题意；C、根据反比例函数图形可得， ，则 ，
∴二次函数图象开口向下，与 轴交点在 轴上方，原选项符合题意；
D、根据反比例函数图形可得， ，则 ，
∴二次函数图象开口向上，与 轴的交点在 轴下方，原选项不符合题意；
故选：C．
4.（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若 ，则函数 、 在同一坐标系中的图象可能是
（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查反比例函数的图象和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．根据二次函数的性质和反比例函数的性质，可知当 和 ，两个函数图象所在的象限，从
而可以解答本题．
【详解】解：当 时，函数 的图象开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴；函数 的图象位
于第一、三象限，故①符合题意，②不符合题意；
当 时，函数 的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴；函数 的图象位于第二、四象
限，故③不符合题意，④符合题意；
故选：B．
画二次函数y=ax²+bx+c的图象
1.（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数 的图象，根据图象，解决下列问题：（1）当 时，x的取值范围是 ．
（2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ．
【答案】函数图象见解析；（1） ；（2）
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象等知识．
根据函数解析式求得与 轴的交点坐标，与 轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函
数图象，
（1）根据函数图象直接求解；
（2）根据函数图象直接求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ，
∴抛物线与 轴的交点为(1,0)， ，
令 ，解得： ，
∴抛物线与 轴的交点为(0,3)，
∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线
(0,3)关于对称轴对称的点为 ，函数 的图象，如图所示，
（1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是 ．
故答案为： ．
（2）当 时， ，
当 时， ，
又∵抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ，
故答案为：
2.（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）根据要求画出二次函数 的图象并解决相关问题．
(1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；(2)请根据图像直接写出：当 时，自变量 的取值范围 ．
【答案】(1)填表见解析，图象见解析；
(2) ．
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集
【分析】（ ）取适当的 的值根据函数解析式求出 即可填写表格，再根据表格的数值描点、连线即可画
出函数图象；
（ ）根据函数图象即可求解；
本题考查了二次函数图象的画法，二次函数与不等式，掌握二次函数图象的画法是解题的关键．
【详解】（1）解：填表如下：
描点、连线画出函数图象如图：
（2）解：由图象可知，当 时，自变量 的取值范围为 ，
故答案为： ．3.（23-24九年级上·河南南阳·期末）【操作与探究】已知点P(x,y)在抛物线 上移动．
(1)在下图的平面直角坐标系 中画出函数 的图象；
(2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
函数 时， 的取值范围是______；
方程 的根是______；
若 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是______；
若当 时，函数 的最小值是 ，最大值是 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)画图见解析；
(2) ； ， ； ； ．
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】（ ）利用画函数图象的步骤即可求解；
（ ）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点，连线，如图，（2） 根据图象可知， 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ；
由 得， ，通过图象可知 ， ，
故答案为： ， ；
根据图象可知，当 时， 随 的增大而减小，
若 时， 随 的增大而减小，
则 的取值范围是 ，
故答案为： ；
根据图象可知，
则 的取值范围是 ．
4.（22-23八年级下·福建福州·期末）已知二次函数 ．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点 在该函数图象上
①当 时，则x的取值范围为___________；②当 （t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
【答案】(1)见解析
(2)① ，②
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象；
（2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，
得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
… …
x 0 1
… …
… …
y 0 3 4 3 0
… …
二次函数 如图所示：
（2）解：①由图可知：当 时，x的取值范围为 ，
故答案为： ；
②由图可知，该二次函数对称轴为直线 ，
∵y随x的增大而减小，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质．
5.（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数 ．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为 的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当 时，则y的取值范围是____________．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；
（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用二次函数的图象求解．
【详解】（1）解： ，
∴抛物线顶点坐标为 ；
（2）解：列表：
x 0 1 2 3 5
y 5 2 1 2 5
根据描点法画二次函数图象如下：；
（3）解：由图象可知：当 时， ．
故答案是： ．
利用二次函数的图象和性质求解综合问题
1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线 ，其中a为常数．
(1)求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示）
(2)将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象的平移以及配方的应用，解决本题的关键
是综合利用二次函数的图象和性质．
（1）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）求出平移后的抛物线的顶点的纵坐标，再配方，求出最大值即可
【详解】（1）解： ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；（2）解：将抛物线 向上平移2个单位长度后，所得抛物线解析式为
∴抛物线的顶点坐标为 ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即：平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值为 ．
2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知某二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线
(1)求此抛物线的顶点坐标；
(2)观察图象，直接写出当 时自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查二次函数与 轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二
次函数图象与系数的关系．
（1）由对称轴为直线 可设抛物线解析式为 ，再通过待定系数法求出二次函数解析式，化为顶点式求解；
（2）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
把 代入 ，得，
，
解得， ，
∴ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线经过 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线经过 ，
∴当 时，
3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 一条抛物线经过点 和原点O，连接
，线段 交y轴于点C．已知实数m， 分别是方程 的两个根．
(1)求m，n的值；
(2)求这条抛物线对应的函数解析式；
(3)若P为线段 上的一个动点（不与点O，B重合），当 为等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】(1) ，
(2)
(3)点 的坐标为
【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，
同时考查了分类思想的应用．
（1）运用因式分解法解方程即可得出m，n的值；
（2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（3）首先求出 的直线解析式以及 解析式，再利用等腰三角形的性质得出当 时，当
时，点P在线段 的中垂线上，当 时分别求出x的值即可
【详解】（1）解： ，
，
解得， ， ，
∵ ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入解析式得，
，
解得， ，∴抛物线的解析式为 ；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
把 代入解析式得，
，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
∵直线 过点 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ 或 或 ，
设 ，
①当 时， ，
解得， ， （舍去），
∴ ；
②当 时，点 在线段 的垂直平分线上，
∴ ；
③当 时，可得 ，解得， （舍去），
∴ ；
综上，点 的坐标为
4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
，对称轴是 ，点 在对称轴上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在一点 ，使得 为直角？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将线段 绕着点 逆时针方向旋转 后得到线段 ，当点 与 恰有一点落在抛物线上时，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)存在， 或
(3) ， ， ，
【知识点】角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、待定系数法求
二次函数解析式
【分析】（1）由题意得出 ，C(0,6)．结合轴对称的性质得出 ，再利用待定系数法求解即
可；
（2）由勾股定理得出 ．设 中点为 ，则D(1,3)，连接 ．设点 ，则．当 时，点 ， ， 三点在以 为圆心， 为直径的圆上，由圆周角
定理得出此时 为直角，由直角三角形的性质得出 ，即 ，解方程
即可得解；
（3）设点 ．则点 逆时针方向旋转 后的坐标为 ，点 逆时针方向旋转 后的坐
标为 ，再分两种情况：当 在抛物线上时，当 在抛物线上时，分别
求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，C(0,6)．
∵对称轴 ，
∴ ．
设抛物线解析式为
由题意得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：存在，
∵ ，C(0,6)，
∴ ．
设 中点为 ，则D(1,3)，连接 ．设点 ，则 ．
当 时，点 ， ， 三点在以 为圆心， 为直径的圆上，
此时， 为直角， ，则 ，
∴ ，
化简得 ，
解得 ， ．
∴ 的坐标为 或 时， 为直角．
（3）解：设点 ．
则点 逆时针方向旋转 后的坐标为 ，点 逆时针方向旋转 后的坐标为 ，
当 在抛物线上时， ，
化简得 ，解得 ， ．
∴ 时， ， 时， ．
经检验，此时点 不在抛物线上．
当 在抛物线上时， ，
化简得 ，
解得 ， ．
∴当 时， ，当 时， ．
经检验，此时点 不在抛物线上．
综上，满足题意的点 的坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转
变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线 ．
(1)求抛物线 的顶点坐标；
(2)将二次函数 的图像向右平移2个单位长度，与二次函数 的图像
组成一个新的函数图像，记为 ，设 上的一点 的坐标为 ．
①当 满足_______时， 随 的增大而增大；②直接写出 的函数表达式；
③当 时，过点 作 轴的垂线，分别交 ， 于点 ， ，若点 是线段 的三等分点，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2) ； ； 或
① ② ③
【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）①画出二次函数平移后的草图即可得出结论；②对于二次函数的平移，需要在顶点式的基础上进行，
左右平移只针对 ，依据左加右减即可得出结论；③根据草图可知 的对称轴为直线 ， 两点关
于直线 对称， ，又因点 是线段 的三等分点，所以可分为两种情况， 和
，将线段长度代入即可求得点 的坐标．
【详解】（1）解： ，
抛物线 的顶点坐标为 ．
（2）① 由题意可知， 的图像开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而增大，
；
② 的表达式为 ，
当 时， 的图像向右平移2个单位长度，函数解析式为：
，
当 时， ，的表达式为 ；
③ 如图，由题意可知， 的对称轴为直线 ， 两点关于直线 对称， 两点关于直线
对称，
，
，
由平移得， ，
当 时，即 ，
解得 ，
此时点 的坐标为 ，
当 时，即 ，
解得 ，
此时点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质（增减性、对称性）、二次函数草图的画法、求解二次函
数的顶点式、平移对二次函数图像及解析式的影响，根据题意画出相对应二次函数的草图是解题的关键．
6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 经过 、C(0,−3)两点，
与x轴的另一个交点为A，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），
①当点E在直线 的下方运动时，求 的面积的最大值；
②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的
四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①最大值为 ；②存在，点P有 或 或 ．
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得；
（2）①过点E作 轴的平行线交 于点 ，将点B、 的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点
，则点 ，得出 ，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果；
②分三种情况进行讨论分析：当 、 和 为对角线时，利用中点坐标公式列式计算求解即可．
【详解】（1）解：将B、C两点分别代入解析式可得： ，
解得：
∴函数的表达式为： ；
（2）解：①过点E作 轴的平行线交 于点 ，设直线 的解析式为 ，
将点B、 的坐标代入一次函数表达式得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∴
∵ ，且 ，
∴当 时， 面积有最大值，最大值为 ，
此时点E的坐标为 ；
②如图： 、 ，
，对称轴为直线 ，
设 ， ，a．当 为对角线时，
则 ，
即 ，
，所以 ；
b．当 为对角线时，
则 ，
即 ，
，所以 ；
c．当 为对角线时，
则 ，
即
，所以
所以，符合题意的点P有 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，
平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思
想．
