文档内容
期中重难点特训之易错压轴专项训练（18 易错+8 压轴）
易错题型一、判断生活中的旋转现象 易错题型十四、找旋转中心、旋转角、对应点
易错题型二、中心对称图形的识别 易错题型十五、待定系数法求二次函数解析式
易错题型三、一元二次方程的定义 易错题型十六、二次函数与方程、不等式关系
易错题型四、二次函数的识别 易错题型十七、求关于原点对称的点的坐标
易错题型五、解一元二次方程——直接开平方法 易错题型十八、求绕原点旋转一定角度的点的坐
易错题型六、解一元二次方程——配方法 标
易错题型七、公式法解一元二次方程 压轴题型一、韦达定理
易错题型八、换元法解一元二次方程 压轴题型二、二次函数图象与各项系数关系
易错题型九、根据一元二次方程根的情况求参数 压轴题型三、二次函数的图象和性质综合应用
易错题型十、一元二次方程的根与系数的关系 压轴题型四、一元二次方程的实际综合应用
易错题型十一、二次函数的图象和性质 压轴题型五、二次函数中存在性问题
易错题型十二、一次函数、二次函数图象综合判 压轴题型六、实际问题与二次函数综合应用
断 压轴题型七、旋转的综合应用
易错题型十三、二次函数图象与各项系数符号 压轴题型八、坐标系中的动点问题（不含函数）
易错题型一、判断生活中的旋转现象
1．（24-25九年级上·广东清远·期中）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
【详解】如图所示：“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：
故选：C．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的 .
【答案】旋转
【详解】解：根据钟表的指针绕一点旋转变化得到时间的变化，因此我们可以看作是数学上的旋转．
故答案为旋转．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋
转角．
【答案】见解析
【分析】根据旋转的性质举例．
【详解】解：生活中的旋转现象有很多，比如：
汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角；钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角；
荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角．
【点睛】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键．
易错题型二、中心对称图形的识别
4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个
点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称
和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了
平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是 ，进行了轴对称变换
的是 ．（填序号）
【答案】 ② ③
【分析】根据中心对称和轴对称的定义即可解答．
【详解】如果一个图形绕着一个定点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
个点对称或中心对称，分析可得，进行中心对称变换的是②；
把一个图形沿一条直线对折，如果它能与另一个图形重合，称这两个图形为轴对称，分析可得，则进行轴
对称变换的是③；故答案为：②；③．
【点睛】本题考查了中心对称和轴对称的定义，熟练掌握中心对称和轴对称的定义是解题关键．
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列各图案中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？哪些既
是中心对称图形，又是轴对称图形？哪些既不是轴对称图形，也不是中心对称图形？
【答案】中心对称图形有（1）（3）（4）（6）；轴对称图形有：（1）（3）（5）（6）；既是轴对称图
形又是中心对称图形的有（1）（3）（6）；既不是轴对称图形也不是中心对称图形的有（2）
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：图（1）既是轴对称图形，也是中心对称图形；
图（2）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
图（3）既是轴对称图形，也是中心对称图形；
图（4）不是轴对称图形，是中心对称图形；
图（5）是轴对称图形，不是中心对称图形；
图（6）既是轴对称图形，也是中心对称图形；
∴中心对称图形有（1）（3）（4）（6）；轴对称图形有：（1）（3）（5）（6）；既是轴对称图形又是
中心对称图形的有（1）（3）（6）；既不是轴对称图形也不是中心对称图形的有（2）．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．
易错题型三、一元二次方程的定义
7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列关于 方程中，属于一元二次方程的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数
的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程 （ ），其中a
是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
根据一元二次方程的定义逐项分析即可．
【详解】A. ，未知数的最高次数不是2，不属于一元二次方程，不符合题意；
B. ，未知数的最高次数不是2，不属于一元二次方程，不符合题意；
C. ，含有两个未知数，不属于一元二次方程，不符合题意；
D. ，属于一元二次方程，符合题意；
故选：D．
8．（24-25九年级上·广东广州·期中）若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义， ，求解即可．
【详解】解：由题意可得：
解得 ，
故答案为： ．
9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于 的一元二次方程 有实数根，求 的取
值范围．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．当 且 ，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【详解】解：当 且 时，方程有实数根，
解得 且 ，
即 的取值范围为 且 ．
易错题型四、二次函数的识别
10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键．
直接根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、 不是二次函数，不合题意；
B、 是二次函数，符合题意；
C、 ，当 时，是二次函数，不合题意；
D、 是一次函数，符合题意．
故选：B．
11．（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数一定是二次函数的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据
此判断即可．
【详解】解：① ，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；
③ 是二次函数，故③是二次函数；
④ ， 时，该式不是二次函数；
⑤ ，该式不是二次函数；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．
12．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)
(2)二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是4．
【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案．
【详解】（1）解：
该二次函数的一般形式是 ；
（2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是4．
易错题型五、解一元二次方程——直接开平方法
13．（24-25九年级上·山西大同·期中）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个
是 ，则另一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得．
【详解】解： ，
或 ，
故选：D．14．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）方程 的解为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．利用直接开平方
法计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ．
故答案为： ， ．
15．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段练习）按照指定方法解下列方程：
(1) （用直接开平方法）
(2) ．（用配方法）
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）根据指定的直接开平方法解方程即可；
（2）根据指定的配方法解方程即可．
【详解】（1）解：开方，得
即 或
∴ ， ；
（2）解：移项，得
配方，得
即开方，得
∴ ， ．
易错题型六、解一元二次方程——配方法
16．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）用配方法解方程 ，配方后所得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可．
本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：原方程变形得： ，
配方得： ，
即 ，
故选：A．
17．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若关于x的一元二次方程 配方后得到方程
，则c的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程.先对 进行配方，再根据 计算即可.
【详解】解： ，
，
，
．
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为：1．
18．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）下面是小聪同学用配方法解方程 的过程，请仔
细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得 ，①
二次项系数化为1，得 ，②
配方，得 ，即 ，③
由此可得 ，④
， ．⑤
整个解答过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________________；请给出正确的解题过程．
【答案】③，右边没有加上1，正确解答过程见解析
【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
由解题过程即可判断错误的步骤，再根据配方法解一元二次方程即可解答．
【详解】解：整个解答过程从第③步开始出现错误，错误原因是右边没有加上1，
解：移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得 ，即 ，
由此可得 ，
， ．
故答案为：③，右边没有加上1．
易错题型七、公式法解一元二次方程19．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若 是某个一元二次方程的根，则这个
方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
根据一元二次方程求根公式 ，对照 得出一元二次方程
的字母系数即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程 的根为 ，
∵ 是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴ ， ，
∴满足要求的方程为： ．
故选：C．
20．（2025·安徽淮北·模拟预测）关于x的方程 有两个根，记作 ， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算 ，再利用公式法解方程，
再进一步计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
21．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，涉及直接开平方法、公式法．直接开平方法体现“降次”思想，
需将方程化为 形式；公式法是通用解法，关键是确定a、b、c并计算判别式 ．易错点
为直接开平方法漏解正负情况，公式法易在b的取值或计算时出错．
（1）对于 ，因左边是完全平方式，用直接开平方法．先移项得 ，再由平方根定
义得 ，分别求解得 ， ．
（2）对于 ，用公式法．确定 ， ， ，计算 ，代入求根公
式 ，得，即可求得 ， ．
【详解】（1）或 ，
， ．
（2）
， ， ，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
，
， ．
易错题型八、换元法解一元二次方程
22．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的解是 ， ，
则关于y的一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】设t=y+1，则原方程可化为 ，根据关于x的一元二次方程 的解为 ，
，得到 ， ，于是得到结论．
【详解】解：设t=y+1，
则原方程可化为 ，∵关于x的一元二次方程 的解为 ， ，
∴ ， ，
∴y+1=2或y+1= 4，
解得 ， ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
23．（24-25九年级上·广东佛山·期中）若 ，设 ，原式可化为
，即 ，解得 ， ，故 的值为3或 .仿照上面的方法，
计算当 时， 的值为 .
【答案】5
【分析】本题考查解一元二次方程．设 ，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．注意：
．
【详解】解：设 ，
则原方程可变形为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
又∵
∴ ．
故答案为：5．
24．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知 ，求 的值；
解：设 ，则原方程可变形为 ．即∴ 得 ，
∴ 或
已知 ，求 的值．
【答案】6
【分析】设 ，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设 ，则原方程可变形为 ，即
∴ ，
解得： ；
又∵
∴ ．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：
．
易错题型九、根据一元二次方程根的情况求参数
25．（2025·宁夏中卫·模拟预测）若抛物线 与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与 轴交点问题，解题的关键是根据抛物线定义结合一元二次方程判别式求解．
先根据抛物线定义确定 ，再由抛物线与 轴有交点，即对应的一元二次方程有实数根，利用判别式
求解 的取值范围，最后取两者交集．
【详解】解：因为 是抛物线，根据抛物线定义，二次项系数不能为0，
所以 ．抛物线与 轴有交点
所以 ，也就是 ．
解得 ．
结合前面 和 ，所以 的取值范围是 且 ．
故选：B．
26．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）一元二次方程 无实数根，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及其与根的关系，具体涉及判别式的计算公式 和
无实数根的条件 ．解题的关键在于准确应用判别式公式，建立并解不等式 ，最终得出
的取值范围．根据一元二次方程无实数根的条件，需满足判别式小于零，从而建立不等式求解m的
取值范围．
【详解】解： 一元二次方程 无实数根，
，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
27．（24-25九年级上·吉林·期中）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)当k取最大整数时，求方程的实数根．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程 的根
与 有如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没有实数根．
（1）根据题意得出 ，进行计算即可得到答案；
（2）根据（1）中的 的范围得出 可取的最大整数值为 ，再运用因式分解法来解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由（1）知 ，
∴ 可取的最大整数值为 ，
∴此时原方程为 ，
解得 ， ．
易错题型十、一元二次方程的根与系数的关系
28．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，则
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据一元二
次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴由根与系数的关系得， ．
故选：C．
29．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设a，b是方程 的两个根，则
．【答案】2028
【分析】根据a是方程的根，将 用a表示出来，将 进行化简，根据a，b是方程
的两个根求出 ，从而可得答案．
【详解】解：∵a是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵a，b是方程 的两个根，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2028．
30．（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解
题的关键：
（1）求出判别式的符号进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
；
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）由题意，得： ，∴ ．
易错题型十一、二次函数的图象和性质
31．（25-26九年级上·广东·期中）对于 的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．当 时， 随 的增大而增大 B．顶点坐标
C．当 时， 随 的增大而减小 D．对称轴为
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据 ，得二次函数的开口向上，顶点坐标 ，
对称轴是直线 ，再结合各个选项进行分析，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数的开口向上，顶点坐标 ，对称轴是直线 ，
A、当 时， 随 的增大而增大，此选项符合题意；
B、顶点坐标 ，此选项不符合题意；
C、当 时， 随 的增大而增大，此选项不符合题意；
D、对称轴是直线 ，此选项不符合题意；
故选：A．
32．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图
所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数 ， ， 的图象，则 ， ， ，
的大小关系是 ．（用“ ”连接）【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．在 中， 的值越大，函数图像越靠近y轴，开口越小，
时，开口向上， 时，开口向下，据此判断即可得答案．
【详解】解：∵ ， ， 的图象开口向上， 的图象开口向下，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ， 的图像开口依次增大，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
33．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知二次函数 （ 是常数）
(1)若 ，
①该函数的顶点坐标为___________；
②当 时，该函数的最大值___________；
③当 时，该函数的最大值为___________；
(2)当 时，该函数的最大值为4，则常数 的值为___________．
【答案】(1)① ；②2；③
(2)2或 ．
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键．
（1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解；
（2）分析抛物线对称轴 的不同位置判断最值并求解即可；
【详解】（1）解：当 时，则二次函数
①二次函数图像的顶点坐标为： ；
②该抛物线的对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，当 时，函数取得最大值为
2；∴当 时，该二次函数的最大值为2；
③当 时，该二次函数的最大值为 ．
故答案为：① ；②2；③
（2）二次函数 的对称轴为： ，开口向下，
当 时， ，解得： （舍去）；
当 时， ，解得： （舍去）；
当 时， ，解得： ；
综上，常数m的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
易错题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断
34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由二次函数 图象得到字母系数的正负，再与一次函数 的图象相比较看是
否一致．
【详解】解∶A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项符
合题意；
B、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项不合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项不合题意．
故选∶A．
35．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图是二次函数 图象的一部分，则一次函数y＝
acx+b的图象不经过第 象限．
【答案】一
【分析】据一次函数的性质，即可得到一次函数y＝acx+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：由图象得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴 ，
∴a＞0，c＜0，
∴b＜0，
∴ac＜0，
∴一次函数y＝acx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据抛物线图象确定a、b、c的
正负情况．
36．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，正比例函数y=x与二次函数y=x2-bx的图象相交于O（0，
1 2
0），A（4，4）两点．(1)求 b 的值；
(2)当 y y 时，直接写出 x 的取值范围．
1 2
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）将点A（4，4）代入 进行解答即可得；
（2）由图像即可得．
【详解】（1）解：将点A（4，4）代入 得，
解得 ．
（2）解：由图像可知，当 或 时， ．
【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．
易错题型十三、二次函数图象与各项系数符号
37．（24-25九年级上·云南昭通·期中）已知，二次函数 的图象如图所示，则点 所在
的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断系数的大小，平面直角坐标内的点所在的象限，
根据抛物线的开口方向可得 ，与y轴交点在负半轴可得 ，再判断点 所在的象限．
【详解】解：根据图象可知 ， ，
∴点 在第四象限．
故选：D．
38．（24-25九年级上·吉林白城·期中）已知二次函数 的图像如图所示，则点 在第
象限．
【答案】二
【分析】本题考查的是二次函数图像及性质，系数符号的确定是解题关键．根据对称轴的位置、开口方向、
函数与y轴的交点的位置判断出 的符号即可求解．
【详解】解: 抛物线开口向下,
又 对称轴在 轴右侧,
二次函数与y轴的交点在y轴正半轴，
在第二象限，
故答案为：二
39．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴
交于点 ， ，与 轴交于点 ．(1)求顶点 的坐标．
(2)点 是抛物线上第三象限内的一点，连接 交 于点 ，连接 ．当 的面积比 的面
积少 时，求点 的坐标．
【答案】(1)顶点 的坐标为
(2)点 的坐标为
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴 ，将 代入抛物线表达式，即可求得答案．
（2）设点 的纵坐标为 ，因为 ， ， 的面积比 的
面积少 ，可得 ，可求得 的值，进而求得 的值．
【详解】（1）在抛物线 中， ， ， ，则抛物线的对称轴为 ．
将 代入抛物线 ，得
．
所以，顶点 的坐标为 ．
（2）如图所示．解 ，可得
， ．
根据抛物线的图象可知， ， 分别为点 ，点 的横坐标，
所以，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
将 代入抛物线 ，得
．
所以，点 的坐标为 ．
设点 的纵坐标为 ．
因为 ， ， 的面积比 的面积少 ，
可得 ，
又 ，
所以， ，求解可得
．
将 代入 ，得
．
解得(舍去)， ．
所以，点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一元二次方程，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
易错题型十四、找旋转中心、旋转角、对应点
40．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 顺时针旋转到 的位置，则旋转中心及旋转角
分别是（ ）
A．点 ， B．点O，
C．点 ， D．点O，
【答案】B
【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋
转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案．
【详解】由题给图形得： 绕着点O顺时针旋转到 的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O
和 ．
故选：B．
41．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到
，则旋转中心的坐标是 ．【答案】
【分析】根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋
转中心．
【详解】如图，连接 ， ，分别作线段 ， 的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点
，点 即为旋转中心．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为
旋转中心）是解题的关键．
42．（24-25九年级上·湖南永州·开学考试）如图，在 中， ， ， ，逆时针旋转一定角度后与 重合，且点C恰好成为 的中点．
(1)旋转中心为点 ，并求出旋转角= 度；
(2)求出 的度数和 的长．
【答案】(1)A；130
(2) ，
【分析】（1）由“ 逆时针旋转一定角度后与 重合”可得旋转中心点，求出 即可得旋
转角；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解： ，
即 ，
逆时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为130 ；
故答案为：A；130
（2）解： 逆时针旋转一定角度后与 重合，
， ， ，
，
∵点C恰好成为AD的中点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
易错题型十五、待定系数法求二次函数解析式
43．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若抛物线 经过点 ，则k的值为（ ）A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式，把点 代入抛物线 ，即可解得
k．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ,
解得 ．
故选：A．
44．（2025·广东肇庆·模拟预测）抛物线 如图所示，则它的解析式是 ．
【答案】
【分析】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据图象确定抛物线过点 ，将其代入解析
式求出b，c的值即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线过点 ，
则 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．45．（24-25九年级上·四川泸州·期中） 如图，已知二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且 的面积为6，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析
式．
（1）把 ， 代入 ，解方程组求出b，c的值；
（2）由（1）得出抛物线解析式为 ，设点P坐标为 ，根据三角形的面积列出
关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得 ；
二次函数解析式为 ；
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为 ，设点P坐标为 ，
的面积为6， ，
∴ ，
∴ ，
即 或 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ．
易错题型十六、二次函数与方程、不等式关系
46．（24-25九年级上·广东广州·期中）一次函数 与二次函数 的图
象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当 时，二次函数图象位于一次
函数图象的上方，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当 时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，
∴不等式 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ．
故选：C．47．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线 与y轴的交点坐标为
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标．
令 ，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：令 ，
则 ，
抛物线 与y轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．
48．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系 中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象；
x … …
y … …
(2)若点 和点 都在此函数的图象上，且 ，结合函数图象，直接写出t的取值范围为
______．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题
的关键．
（1）先列表，然后描点，最后连线即可；
（2）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）列表如下：
… …
… …
函数图像如下所示：
（2）由函数图像可知，当 时， ．
易错题型十七、求关于原点对称的点的坐标
49．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知点 的坐标为 ，则点 关于原点的对称点的坐标为
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解： 的坐标为 ，则点 关于原点的对称点的坐标为
故选：A．
50．（2025·山西运城·模拟预测）扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图
案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点 与点 关于原点对称，则点B的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，解题关键是熟练掌握关于原点对
称的点的坐标特征．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
51．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知 ．(1)将 以原点为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)连接 ，则四边形 的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，坐标与图形，正确画出 是解题的关键．
（1） 以原点为旋转中心旋转 得到 ，则 和 关于原点对称，再由关于原点
对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点 的坐标，描出 ，并顺次连接
即可；
（2）根据 列式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）解：由题意得， ．
易错题型十八、求绕原点旋转一定角度的点的坐标
52．（2025·山东青岛·模拟预测）如图， 在直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为 ，若
将 绕点O旋转，点C的对应点为点D，则旋转后点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】先根据点C的对应点为点D，得到旋转的方向与角度，再根据点A绕着点O顺时针旋转90°后的
位置，得出旋转后点A的对应点的坐标．
【详解】如图所示，连接CO，DO，则∠COD = 90°，
∴点C绕着点O顺时针旋转90°与点D重合，
∴点A绕着点O顺时针旋转90°后落在点E处，
∴E(2，-1)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，解题时注意：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特
殊性质来求出旋转后的点的坐标．
53．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将等腰直角 按如图所示放置，然后绕O点逆时针
旋转 至 的位置，点B的横坐标为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】（− ， ）．
【分析】如图，作A′H⊥y轴，根据旋转的性质得OB′＝OB＝ ， 为等腰直角三角形，然后根据等
腰直角三角形的性质得到A′H＝OH＝ OB′＝ ，于是可得A′（− ， ）．
【详解】解：如图，过点A′作A′H⊥y轴于点H，∵点B的横坐标为 ，
∴OB＝ ，
∵等腰直角 绕点O逆时针旋转90°得到 ，
∴OB′＝OB＝ ， 为等腰直角三角形，
∴A′H＝OH＝ OB′＝ ，
∴点A′的坐标为（− ， ），
故答案为：（− ， ）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求
出旋转后的点的坐标．
54．（24-25九年级上·河南周口·期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1）， 的顶点
均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出 绕点A逆时针旋转 的 ；(2)再作出 关于原点O成中心对称的 ；
(3) 的坐标为 ， 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ， ， ．
【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据中心对称图形的性质即可得到结论；
（3）根据图形写出各点的坐标即可．
【详解】（1）如图所示 即为所求；
（2）如图所示 即为所求．
（3）由图可知：
， ， ．
故答案为： ， ，
【点睛】本题考查作图——旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．压轴题型一、韦达定理
1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）知识回顾：
（1）对于一元二次方程 （ ），当 时，它的求根公式为 ，求根公式不
仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为 ， ，则满足：
① ；② ．（这也称作韦达定理，是由 世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一
元二次方程的求根公式证明韦达定理；
知识应用：
（2）已知一元二次方程 的两根分为 ， ，求 的值．
【答案】（1） ， ， ；（2）
【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，数量掌握求根公式是求解的关键．
（1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解；
（2）先利用根与系数的关系得 ， ，再把 变形为 ，然后利用整体代
入的方法计算．
【详解】解：（1）对于一元二次方程 （ ），当 时，它的求根公式为
，
若方程的两个根为x，x，则满足① ；② ．
1 2
证明如下：一元二次方程 （ ），
当 时， ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ， ， ；
（2）根据根与系数的关系得 ， ，
∴ ．
2．（2025·北京·模拟预测）关于 的方程 ，有 个实数根．某数学小组对根
与系数的关系进行探究．
当 时，这一性质也称作韦达定理
设：该方程的两个实数根为 和
有 ，展开得①______
又由题知
故 ②______
(1)请你补全证明过程；
(2)当 ，求 （用系数表示）；
(3)直接写出 的值（用系数表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)【分析】本题考查了多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系，整式的规律探究等知识．熟练掌
握多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
（1）按照步骤求解作答即可；
（2）当 ， ，设该方程的三个实数根为 ， 和 ，则
，展开得， ，即
，计算求解即可；
（3）由（1）可知， ，由（2）可知， ，进而可推导一般性规律为
，然后作答即可．
【详解】（1）解： ，
展开得 ，
又由题知 ，
故 ；
（2）解：当 ， ，
设该方程的三个实数根为 ， 和 ，
∴ ，
展开得， ，
∴ ，
解得， ；（3）解：由（1）可知， ，
由（2）可知， ，
∴可推导一般性规律为 ，
∴ 的值为 ．
3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）设一元二次方程 的两根为 ， ，由求根公式
可推出 ， ，我们把这个命题叫做韦达定理．设 ， 是方程
的两根，请解决下列问题：
（1）理解：填空： ， ；
（2）应用：求 的值；
（3）拓展：对于任意实数 、 ，定义 ．若方程 的两根记为 、 ，求
的值．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据韦达定理得出 + ＝5， ＝3．
α β αβ
（2）将 变形为 ，再代入数值计算即可；
（3）先根据定义a◆b＝a2+2ab+b2，得出方程（x◆2）﹣5＝0即为x2+4x﹣1＝0，利用韦达定理得出m+n
＝﹣4，mn＝﹣1，再将m2+n2变形为（m+n）2﹣2mn，再代入数值计算即可．
【详解】解：（1）∵ ， 是方程x2﹣5x+3＝0的两根，
∴ + ＝5， ＝3． α β
故α答案β 为：5α；β3；（2） ＝ ＝ ；
（3）∵（x◆2）﹣5＝x2+4x+4﹣5＝x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x﹣1＝0，
∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣4）2﹣2×（﹣1）
＝16+2
＝18．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题
方法．也考查了一元二次方程的解的定义．
4．（24-25九年级上·山东济南·期中）请阅读以下材料：
①若 是关于x的一元二次方程 的两个根，则方程的两个根 和系数a、b、c
有如下关系： ， ，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）．
②定义：已知 关于x的一元二次方程 的两个实数根，若 ，且 ，
则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 的两根为 ，因为
， ，所以一元二次方程 为“限根方程”．
请解决下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且方程的两根 满足
，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程）
【答案】(1)是，理由见解析
(2)2
(3) 或
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，
理解“限根方程”的定义是解题关键．
（1）解该一元二次方程，得出 ，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，代入 ，即可求
出 ， ．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出 或 ．再根据此方程为“限根方程”，即得出
此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出 ， 且 ，可求出m
的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
∴ 或 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：∵方程 的两个根分比为 ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ，
解得： ， ．
分类讨论：①当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 是“限根方程”，
∴ 符合题意；
②当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 不是“限根方程”，
∴ 不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3）解： ，
，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴ ， 且 ，
∴ ，即 ，
∴ 且 ．
分类讨论：①当 时，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
②当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，m的取值范围为 或 ．
5．（2025·湖北黄石·模拟预测）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做
换元法．
材料2
已知实数m，n满足 ， ，且 ，显然m，n是方程 的两个不相等的
实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为_______________________；
(2)间接应用：已知实数a，b满足： ， 且 ，求 的值；
(3)拓展应用：
已知实数m，n满足： ， 且 ，求 的值．
【答案】(1) ， ， ，
(2) 或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令 =a，-n=b，则 +a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y= ，则有 -5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴ =2， =3，
∴ =2或3，
∴ ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：∵ ，
∴ 或
①当 时，令 ， ，
∴ 则 ， ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，∴ ，
此时 ；
②当 时， ，
此时 ；
综上： 或
（3）解：令 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
故 ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关
键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
压轴题型二、二次函数图象与各项系数关系
1．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）已知关于 的二次函数 ，经过点
．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式；(2)若 时， 时，求 的值；
(3)若 ，当 ，且 时，求证： ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)见解析．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，
熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）直接将点 代入求解即可；
（2）根据题意知 关于对称轴对称，利用对称轴和 求解即可；
（3）由 ，再根据 ， 即可判断 ．
【详解】（1）解：把 带入解析式得： ，
解得： ，
．
（2）解：由题意得： ，即 ，
∴ 对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ 与 关于 对称，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．（3）解：由题意得：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知抛物线 （m为常数）与y轴的交点为C点．
(1)若抛物线经过原点，求m的值；
(2)若点 和点 在抛物线上，求C点的坐标；
(3)当 ，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．
【答案】(1)m=0
(2)C点坐标为（0，16）
(3) 或
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线y=x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值；
（2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐标；
（3）分三种情况：①当2m＞-m时，即m＞0，②当2m＜-m＜2m+3时，即-1＜m＜0，③当2m+3＜-m时，
即m＜-1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论．【详解】（1）解∶当抛物线经过点（0，0）时，有 ，
解之得m=0；
（2）解∶ 和点 在抛物线上，
∴对称轴为 ，∴即 ， ，
，∴C点坐标为（0，16）；
（3）解∶ 抛物线 的开口向上，对称轴为x=-m的抛物线，
①若 ，即m>0时，在自变量x的值满足 的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而增大，
∴当x=2m时， 为最小值，
，
或 （舍）
二次函数的解析式为 ．
②若 即 ，
当 时，代入 ，得y最小值为 ，
（舍）或 （舍）
③若 ，即 ，在自变量x的值满足 的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而减小，
∴当 时，代入二次函数的解析式为 中，
得y最小值为 ，
，
（舍）或 ，∴二次函数的解析式为 ．
综上所述，二次函数的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分
类讨论思想的运用是解题的关键．
3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线 的图象如图所示．
(1)判断 、 、 及 的符号；
(2)求 的值；
(3)给出下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的有 ．（填序号）
【答案】(1) ， ， ， ；
(2) ；
(3)①③
【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案；
（2）由函数的图象可知，当 时， ，代入即可得到答案；
（3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案．
【详解】（1）解： 抛物线开口向上，
，
对称轴在y轴右侧，
、 异号，
，
抛物线与y轴负半轴相交，
，当 时， ，
；
（2）解：由函数的图象可知，当 时， ，
；
（3）解：由（1）可知， ，
，
，①结论正确；
，
，
，
，
，
，②结论错误；
当 时， ，
当 时， ，
，
，
，③结论正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系
是解题关键．
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点D坐标为（2，﹣
1），且过点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连结OD、CD、CB，CD交x轴于点E，求S CEB：S ODE．
△ △【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，点C（0，3）；（2）3：1．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，将点B的坐标代入上式并解得：a＝1，即可求解；
（2）直线CD的表达式为：y＝﹣2x+3，则点E（ ，0），S CEB＝ ×EB×OC＝ ，S ODE＝
△ △
×OE×|yD|＝ ，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，
将点B的坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
则点C（0，3）；
（2）将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣2x+3，
则点E（ ，0），
S CEB＝ ×EB×OC＝ ，
△
S ODE＝ ×OE×|y |＝ ，
D
△
故S CEB：S ODE＝3：1．
△ △
【点睛】此题考查二次函数图象及其性质，解题关键在在于利用待定系数法求二次函数.
5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设 都是实数，且 ．我们规定：满足不等式 的
实数 的所有值的全体叫做闭区间、表示为 ．对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当
时，有 ，我们就称此函数是闭区间 上的“闭函数”．（1）反比例函数 是闭区间 上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求此一次函数的解析式；
（3）若实数 满足 .且 ，当二次函数 是闭区间 上的“闭函数”时，求 的
值．
【答案】（1）是；理由见解析；（2） 或 ；（3） ， ．
【分析】（1）根据反比例函数 的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；
（3）y= x2-2x= （x2-4x+4）-2= （x-2）2-2，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当
x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分两种情况进
行讨论：①c＜2＜d；②c≥2．
【详解】解：（1）是，由函数 的图象可知，
当1≤x≤2020时，函数值y随着自变量x的增大而减小．
而当x=1时，y=2020；
x=2020，y=1，
故也有1≤y≤2020，
所以，函数 是闭区间上[1，2020]的“闭函数”
（2）因为一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
所以根据一次函数的图象与性质，
必有：①当k＞0时，
解得k=1，b=0，
∴一次函数的解析式为y=x．
②当k＜0时， ，
解得k=-1，b=m+n
∴一次函数的解析式为y=-x+m+n故一次函数的解析式为y=x或y=-x+m+n（3）由于函数y= x2-2x的图象开口向上，且对称轴为x=2，顶点为（2，-2）
由题意根据图象，分以下两种情况讨论：
①当2≤c＜d时，必有x=c，时，y=c且x=d时，y=d即方程y= x2-2x=x必有两个不等的实数根，解得
x=0，x=6，而0，6分布在2的两边，这与2≤c＜d矛盾，舍去；
1 2
②当c＜2＜d时，必有函数值y的最小值为-2，由于此二次函数是闭区间[c，d]上的“闭函数”，故必有
c=-2，从而有[c，d]=[-2，d]．
而当x=-2时，y=6即得点（-2，6），又点（-2，6）关于对称轴x=2的对称点为（6，6），由“闭函数”
的定义可知必有x=d时，y=d，即 d2-2d=d，解得d=0，d=6，故可得c=-2，d=6符合题意，
1 2
综上所述，c=-2，d=6为所求的实数．
【点睛】此题考查二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解
题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．
压轴题型三、二次函数的图象和性质综合应用
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线 ．
(1)过点 作 轴的平行线交抛物线于 两点，求 的长；
(2)当 时，直接写出 的取值范围：___________．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数的性质以及直线与抛物线的交点，关键是 的长．（1）把 代入解析式 ，解方程求出x的值，再求即可；
（2）由（1）和图象可以得出自变量的取值范围．
【详解】（1）解：把点 的纵坐标 ，代入得 ：
，
解得： 或 ，
则 长为 ；
（2）解：由（1）和图象知：当 时，x的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）若二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为
，我们称 为此函数的特征数，如函数 的特征数是 ．
(1)若一个函数的特征数为 ，求此函数图象的顶点坐标；
(2)探究下列问题：
①若一个函数的特征数为 ，将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
求得到的图象对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为 ，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征
数为 ？
【答案】(1)
(2)①得到的图象对应的函数的特征数为 ；②原来函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移
9个单位长度
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，理解特征函数的定义是解此题的关键．
（1）根据特征函数的定义，先确定二次函数的表达式，再将其化为顶点式，即可得解；（2）①根据特征函数的定义，先确定二次函数的表达式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解；②
根据特征函数的定义，先确定两个二次函数的表达式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
∴此函数图象的顶点坐标为 ．
（2）解：①根据题意，得 ，
∴将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得 ．
∴得到的图象对应的函数的特征数为 ．
②∵一个函数的特征数为 ，
∴函数的表达式为 ．
∵一个函数的特征数为 ，
∴函数的表达式为 ．
∴原来函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度．
3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于 ，
两点，与y轴相交于点 ，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐
标为m，过点P作 轴于点H，与 交于点M．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)将线段 绕点C顺时针旋转 ，点A的对应点为 ．直接写出点 的坐标，判断点 是否落在抛
物线上，并说明理由；
(3)求 的最大值；
【答案】(1)(2) ， 不在抛物线上；理由见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，解题
的关键是认真分析，弄清解题的思路和方法．
（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出 的坐标，进行判断即可；
（3）设P点坐标为 ，则M点坐标为 ，H点坐标为 ，将 转化为二
次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于 ， 两点，与y轴相交于点 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 不在抛物线上；理由如下：
过点 作 轴， ，
∵ 是由 旋转得到，
∴ ，
∴ 与 互余， 与 互余，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
对于 ，当 时， ，
∴ 不在抛物线上；
（3）解：∵ ， ，
∴设直线 ，将 代入，得： ，
∴ ；
设P 点坐标为 ，则M点坐标为 ，H点坐标为 ．
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 轴， ，
∴ ，
∴ ．
当 时， 取最大值，最大值为 ．
4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)该抛物线的对称轴是直线，如表中， ， ；并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象：
… …
x 0 1
… …
… …
y 5 2 n 2 m
… …(2)若 ， 是此抛物线上的两点，且 ，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围 ．
(3)怎样平移抛物线 可使所得抛物线恰好过点 ，直接写出平移方法．（一种即可）
【答案】(1) ， ，图见解析
(2) 或
(3)该抛物线向右平移 个单位长度可使所得抛物线恰好过点 （答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
（1）将 ， 代入计算即可得出 、 的值，再画出函数图象即可；
（2）结合函数图象即可得解；
（3）根据二次函数的平移法则计算即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴当 时， ，
当 时， ，（2）解：∵ ， 是此抛物线上的两点，且 ，
∴由函数图象可得 或 ；
（3）解：∵ ，
∴设该抛物线向右平移 个单位长度得到 ，此时过点 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴该抛物线向右平移 个单位长度可使所得抛物线恰好过点 （答案不唯一）．
5．（25-26九年级上·新疆昌吉·阶段练习）二次函数 的图像与直线 交于点 ．
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像；
(3)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；(4)若该抛物线上两点 的横坐标满足 ，则 （比较大小）．
．
【答案】(1) ，
(2)图见解析
(3)0，
(4)
【分析】本题考查二次函数的相关知识，包括函数图像上点的坐标特征、二次函数的解析式、图像、对称
轴、顶点坐标以及函数的单调性，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质并能灵活运用．
（1）利用点在直线上的性质求出 的值，再将点代入二次函数求出 的值；
（2）根据求出的 值确定二次函数解析式，然后通过列表、描点、连线画出图像；
（3）根据二次函数的性质直接得出对称轴和顶点坐标；
（4）根据二次函数的单调性比较 和 的大小．
【详解】（1）解：因为点 在直线 上，
将 代入直线解析式可得： ，
又因为点 在二次函数 上，
将 代入可得： ，即 ，解得 ．
答： ， ；
（2）解：如图所示
；
（3）解：对称轴公式为 ，代入可得对称轴为 ，
当 时， ，所以顶点坐标是 ，故答案为：0， ；
（4）解：二次函数 的图像开口向下，对称轴是 轴，在对称轴右侧（ 时）， 随 的增大
而减小，
因为 ，所以 ．
故答案为： ．
压轴题型四、一元二次方程的实际综合应用
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每
天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种
快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每
提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变．
(1)设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份；
(2)若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？
【答案】(1)
(2)每份 种快餐利润应降5元或7元
【分析】本题主要考查二次函数的应用和列代数式，正确找到量之间的关系是解题关键．
（1）设每份A种快餐利润降x元，根据每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高
1元就少卖2份可列代数式；
（2）根据该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1
元就少卖2份，
∴每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖 份，B种快餐可少卖 份；
故答案为： ， ；
（2）解：据题意知： ，
整理得： ；
解得： ．
答：则每份 种快餐利润应降5元或7元．
2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点 从点开始沿边 向终点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度
移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．
(1)运动开始后，当 为何值时， 的长度等于 ？
(2)连接 ，当 为何值时， 的面积等于 ？
【答案】(1)2
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识．
（1）根据题意得到 ，根据勾股定理列方程 ，解方程，舍去不
合题意解即可求解；
（2）由题意得 ，列方程 ，解方程，舍去不合题意解即可求解．
【详解】（1）解：由题意得 ，
在 中，根据勾股定理得 ，
解得 （舍去）， ．
答：当 为2时， 的长度等于 ；
（2）解：由题意得 ，
∵ 的面积等于 ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）．答：当 为1时， 的面积等于 ．
3．（24-25九年级上·重庆合川·期中）2025年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树
枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680
元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种
树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实
际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵，根据题意列出方程
即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为 元每棵， 元每棵，
再列出实际购买棵树的表达式，得到 方程式求
出满足条件 的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵，
根据题意，可得 ，
解得， ．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得 ，
整理得， ，
解得： ， ，
∵ ，∴ ，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列
出正确的方程解决本题的关键．
4．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知：p为实数.
p k q
… … …
3
4
5
6
7
… … …
根据上表中的规律，回答下列问题：
(1)当p为何值时， ?
(2)当p为何值时，k与q的值相等？
【答案】(1) ；
(2)当 或 时，
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化类问题，解题的关键是通过观察题目中的表格总结
出各个未知数之间的关系．
（1）首先根据表格总结出k、p之间的关系，然后将38代入求得p值即可；
（2）根据表格中有关数字的规律找到q与p之间的关系，与上题中的关系式联立组成有关p的一元二次方
程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得
当 时， ，
则 ．
答：当 时， ．（2）根据题意，得 ．
当 时，则有 ．
整理，得： ．
解方程，得： ．
答：当 或 时， ．
5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）综合与实践：
项目主题：花园规划设计
在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园
规划设计的过程．
活动任务一：
爷爷要求小明构思一种规划方案，确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，小明结合九年级所学知识，设
计了甲、乙、丙、丁四种方案（其中阴影部分为花园），
（ ）爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造．
①若甲方案中花园周围小路的宽为 ，则花园的长可以表示为_____ ，宽可以表示为_____ （用含有
的代数式表示）：
②若乙方案中花园由横纵两条等宽的矩形花带组成．若花园的宽为 ，则花园区域的面积可以表示为
_____ （用含有 的代数式表示）
活动任务二：
在综合考虑了花园的美观性和实用性之后，爷爷决定选择“活动任务一”中的甲方案进行花园的建造．
（ ）请计算花园周围小路的宽度是多少？
活动任务三：
为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植
区域的长为 ，另外三边用篱笆围起来．
（ ）若篱笆的总长度为 米，为方便打理花园，需要在花园平行于观赏竹区域的篱笆墙上装一个 米宽的门，如图所示．如何设计，才能使篱笆围成的面积为 ？（注：要有解答过程）．
【答案】（ ）① ， ；② ；（ ） ；（ ）垂直于观赏竹区域的篱笆长为 ，
平行于观赏竹区域的篱笆长为 ，可使篱笆围成的面积为
【分析】（ ）①根据题意列出代数式即可；②根据题意列出代数式即可；
（ ）根据题意列出方程，解方程即可求解；
（ ）设垂直于观赏竹区域的篱笆长为 ，则平行于观赏竹区域的矩形长为 ，根据题意列出方
程求出 的值即可求解；
本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】解：（ ）①∵甲方案中花园周围小路的宽为 ，
∴花园的长可以表示为 ，宽可以表示为 ，
故答案为： ， ；
②由题意得，花园区域的面积可以为 ，
故答案为： ；
（ ）由题意得， ，
整理得， ，
解得 或 （不合，舍去），
∴花园周围小路的宽度是 ；
（ ）设垂直于观赏竹区域的篱笆长为 ，则平行于观赏竹区域的矩形长为 ，
由题意得， ，
解得 ， ，
当 时， ，不合题意；当 时， ，符合题意，
此时行于观赏竹区域的篱笆长为 ；
∴垂直于观赏竹区域的篱笆长为 ，平行于观赏竹区域的篱笆长为 ，可使篱笆围成的面积为 ．
压轴题型五、二次函数中存在性问题
1．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线 的顶点纵坐标与抛物线 的顶点纵坐标之
和为4．
(1)求 的值；
(2)已知 为抛物线 上一点， 为抛物线 上一点．
（i）若仅存在一个正数 ，使得 ，求 的最大值；
（ii）若 ，且当 时，总有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）分别求出抛物线 与抛物线 的顶点坐标，建立关于n的方程求解即
可；
（2）（i）由（1）得 ，根据题意得到 ，即 ，由仅存在一
个正数 ，使得 ，则关于 的一元二次方程 ，有两个相等的正数根，求出
， ，得到 ，即可解答；（ii）根据题意求出
，
，由 ，得到 ，求出 ，
即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴抛物线 顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ，
∵抛物线 的顶点纵坐标与抛物线 的顶点纵坐标之和为4，
∴ ，即 ；
（2）解：（i）由（1）知 ，
∴抛物线 ，
∵ 为抛物线 上一点，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵仅存在一个正数 ，使得 ，
∴关于 的一元二次方程 ，有两个相等的正数根，
∴ ，即 ，
解得： ，
当 时， ，解得： （舍去，不符合题意）；
当 时， ，解得： （符合题意）；
∴ ，
∴ ，
∵ 为抛物线 上一点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ；（ii）∵ ， ，且 为抛物线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，已知抛物线 ，顶点为点P，与 轴交于点B、
A，与y轴交于点 ．
(1)则点A坐标为 ；B坐标为 ；
(2)求 的面积；
(3)点 是直线 上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得 和 面积相等？若
存在，直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由？
【答案】(1) ；
(2)3
(3)存在点 ，使得 和 面积相等，坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键．
（1）把 代入 求解即可；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得 ，运用待定系数法求出直线 的解析式，如图
所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，可得 ，根据
，即可求解；
（3）根据题意，点 是直线 上方抛物线上的点且不同于顶点 ，过点 作 轴于点 ，交
于点 ，设 ，计算方法如（2），由此即可求解．
【详解】（1）解∶ 把 代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴ ； ，
故答案为： ； ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，∴点 的横坐标为 ，
把 代入直线 得， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为3；
（3）解：如图所示，
∵点 是直线 上方抛物线上的点且不同于顶点 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
∴设 ，
∴点 的横坐标为 ，
∴ ，即
∴ ，
根据（2）的计算方法得， ，
∴ ，
∴ ，解得， （不符合题意，舍去）， ，
当 时， ，
∴ ，
∴存在点 ，使得 和 面积相等，坐标为 ．
3．（2025·西藏拉萨·模拟预测）如图，关于 的二次函数 的图象与 轴相交于点 和点
，与 轴相交于点 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求线段 的长．
(3)在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形？直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或 或 或
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对
称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
（1）代入 和 ，解方程组即可；
（2）令 ，求出点B的坐标，利用两点间距离公式求解即可；（3）当 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：① ；② ；③ ．
【详解】（1）解：解：把 和 代入 ，
解得： ， ，
二次函数的表达式为： ；
（2）解：令抛物线 ，则 ，
解得 或 ，
根据题意： ，
，
；
（3）解： ，
点 在 轴上，当 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，
①当 时， ，又∵ ，
， ；
②当 时， ，
；
③当 时，
此时 与 重合，
；
综上所述，点 的坐标为： 或 或 或 ．
4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线
的顶点为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线对应的函数解析式．
(2)若点 在该抛物线上，求 的值．
(3)若点 在抛物线上，求 ．
(4)在对称轴上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)1或(3)4
(4) 或
【分析】（1）利用 轴上的点纵坐标为 ， 轴上的点横坐标为 代入直线的表达式求出 点的坐标，
再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）把 时， 代入抛物线的表达式求出 ；
（3）先求出点 ，然后根据三角形面积公式进行计算即可；
（4）根据抛物线 的对称轴为直线 ，设点Q的坐标为 ，根据以 ， ， ，
为顶点的四边形为平行四边形时， ， ，得出 ，求出t的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， ；当 时， ，
，
抛物线的顶点为 ，
，
又 抛物线经过点 ，
，
解得： ，
抛物线对应的函数解析式为 ．
（2）解： 点 在抛物线 上，
，
解得 ，的值为1或 ．
（3）解：∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（4）解：存在；
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴设点Q的坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴当以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形时， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，
善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解．
5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，抛物线 经过点 且与x轴交于A、B，与y
轴交于点 ，直线 与抛物线交于点B与点C．(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P是第一象限抛物线上一个动点，连接 、 ，设P点横坐标为m， 的面积为S．是否存
在点P使S有最大值？若存在，请求出S的最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)记抛物线 与x轴的交点横坐标为n，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)存在， ，
(3)
【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，分式的值等等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
（1）将点 和点C坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果；
（2）作 轴于D，交 于E，先根据求出点B横坐标，表示出 的长，进而表示出 面积的
表达式，配方求得最值，进一步得出结果；
（3）由题意得 ，进而变形 ，进一步得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴ ，
∴ ；（2）解：如图，
作 轴于D，交 于E，
由 ，
解得 ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ ；
（3）解：由题意得， ，
∴ ，
∴
，∴t= ．
压轴题型六、实际问题与二次函数综合应用
1．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为
20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：
每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大
利润是多少元？
【答案】(1)
(2)售价为28元时，每天获利最大为2210元
【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数应用，解题的关键是正确利用二次函数增减性．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案
【详解】（1）设 与 的函数关系式为： ，
∵当 时， ； 时， ，
，
解得： ，
与 的函数关系式为： ；
（2）解：设每天获利 元，
，
，开口向下，
对称轴为 ，
在 时， 随 的增大而增大，
时， （元），
答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．
2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与
轴交于点 和 ，与 轴交于点 ．
(1)求 和 的值．
(2)若点 在该二次函数图像上，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) 或
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）由（ ）可求出二次函数解析式，得到点 坐标，即可得 的面积，得出 的面积，进而
求出点 的纵坐标，再求出点 的横坐标即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关
键．
【详解】（1）解：把点 和 代入 得，
，解得 ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴二次函数 ，
∴ ，
∵点 和 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 或 ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ 或 ；
当 时， ，方程无解；
综上，点 的坐标为 或 ．
3．（2025·河北·模拟预测）如图，以储水池的坝顶平台 所在直线为x轴，点O为原点建立平面直角坐
标系．水池蓄水部分为抛物线 ，平行于x轴的水面 到x轴的距离为2米，储水池最
低点处水深为3米．背水坡向上有一条抛物线形坡道 ．(1)求抛物线L的解析式；
(2)现对水池蓄水部分进行修建，将抛物线L调整为虚线部分的抛物线 ，最低点位置不变，求抛物线
上水平宽的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练求得二次函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线 的顶点纵坐标为 ，可设抛物线 的解析式为 ，把 代
入即可解答；
（2）把 代入 ，求得点 的坐标，即可求得点 关于直线 的对称点为 ，
即可解答．
【详解】（1）解： 平行于x轴的水面 到x轴的距离为2米，储水池最低点处水深为3米，
抛物线 的顶点纵坐标为 ，
设抛物线 的解析式为 ，
把 代入 ，
可得 ，
解得 （负值舍去），
抛物线 的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得 ， （舍去），，
点 关于直线 的对称点为 ，
抛物线 上水平宽的最大值为 ．
4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图 ，抛物线 交x轴于点 和点B，交
y轴于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 在抛物线对称轴上，是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存
在说明理由．
(3)如图 ，设点 是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2)存在， 的周长最小值为
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题；
（1）把点 、 的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质， ，则当 在 上时， 的周长最小，求得直线 的解析式，代
入 ，即可求解；
（3）先求出直线 的解析式为 ，再设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，然后用含 的代数式表示 ，根据二次函数的性质即可求出线段 长度的最大值．
【详解】（1）把 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
故该抛物线的解析式为： ；
（2）存在，理由如下，
∵ ，对称轴为直线 ，
∵点 在抛物线对称轴上， 关于 对称，
∴ ，
∴
当 在直线 上时， 的周长最小
∵设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得： ，
解得： ，
即直线 的解析式为 ．
∴当 时，
∴
当 时，
解得：
∴
∴ 的周长最小值为：
（3）∵直线 的解析式为 ．设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，
，
∴当 时， 有最大值 ．
5．（2025·陕西安康·模拟预测）“河畅水清、岸绿景美”，被誉为陕西人民的“母亲河”−−渭河正逐渐被
打造成一条秀美景观带．为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护
人员安排了移动喷灌装置，移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．喷灌架为一坡地草坪喷水的
平面示意图，如图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 ，当喷射出的水流与喷灌架的水平
距离为 时，水流达到最大高度 ．现将喷灌架置于坡地底部点 处，草坡上距离 的水平距离为
的 处到水平地面的距离为 ．
(1)求该抛物线形水流的解析式和水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
(2)若到喷水头水平距离为 的 处及其右侧种植有银杏树，由于刚在树干部分涂抹过防虫药物不能灌溉，
则应将移动喷灌装置向左至少移动多少米，才能避开对银杏树的灌溉？
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由题可知抛物线的顶点坐标为 ，进而利用待定系数法即可求出解析式；先求出斜坡的解析式，
用二次函数表示出水流的高度与斜坡铅垂高度差，再根据函数的性质求解；
（2）设移动喷灌装置向左移动m米，平移后的函数解析式为 ，将 代入，
求出m的值即可．
【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为 ，
设水流形成的抛物线的表达式为 ，将点 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
由题可知点A坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴直线 的函数解析式为 ，
∴水流的高度与斜坡铅垂高度差为： ，
∵ ，
∴当 时，水流的高度与斜坡铅垂高度差取最大值，最大值为 ；
（2）解：设移动喷灌装置向左移动m米，
平移后的函数解析式为 ，
∵距离 的水平距离为 的 处到水平地面的距离为 ，
∴
将 代入 ，得： ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
∴喷灌装置至少向左移动 ．
压轴题型七、旋转的综合应用1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，分别以正方形 的边 和 为直径画两个半圆交于点
，若正方形的边长为 ，求阴影部分的面积．
【答案】
【分析】连接 交于点O，将①顺时针旋转 恰与③重合，将②逆时针旋转 恰与④重合，化零
为整求解即可；
【详解】解：如图，连接 交于点O，
将①顺时针旋转 恰与③重合，将②逆时针旋转 恰与④重合，
∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半，即 ；
【点睛】本题主要考查图形的旋转，应用图形旋转的性质求面积是解题的关键．
2．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四边形 中， ，连接AC，将
绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到 ，若 ，
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求线段 的长度．
【答案】(1)证明见解析(2)线段AC的长度是
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转的性质证
明 ．
（1）由旋转的性质得 ， ， ，根据等边三角形的判定定理即可求证．
（2）由等边三角形的性质可证 ，利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1） 是由 旋转得到的，
，
， ， ，
是等边三角形
（2） 是等边三角形，
，
，
，
在 中， ，
3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的两条直角边 、 分别
在 轴、 轴的负半轴上，且 ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转90°，再把所得的图
形沿 轴正方向平移2个单位，得 ．
(1)写出点A、C的坐标；
(2)求点A和点C之间的距离．
【答案】(1)A（-4，0）；C（2，4）
(2)【分析】（1）根据旋转平移后两个图形全等进行解答即可；
（2）如图，连接AC，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵点A在x轴上，且OA=4
∴A点坐标为：（-4，0）
∵ 是由 旋转，再平移得到的
∴
∴OD=OB=2,CD=OA=4
∴C点坐标为：（2，4）
（2）解：如图，连接AC，在 中，
AD=OA+OD=6，CD=4
∴
【点睛】本题考查坐标系下的旋转和平移及勾股定理．理解旋转平移后的图形全等是解题的关键．
4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图①，在 中， ，D为 边上一点
（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，则：
(1)线段 之间的数置关系是__________．
(2)如图②，在 中， ，D为 边上一点（不与点B，C重合），将线段 绕
点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，请判断线段 之间的数童关系，并说明理由；
(3)如图②， 与 交于点F，在（2）条件下，若 ，直接写出 的最小值．【答案】(1)
(2) ，见详解
(3)4
【分析】（1）先证明 ，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）先证明 ，然后再根据全等三角形的性质即及勾股定理证得 即可求解；
（3）先判断出点A，D，C，E四点共圆，再由AF最小判断出四边形ADCE是矩形，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
由旋转知，AD=AE，∠DAE=60°=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ ACE（SAS），
，
，
即
（2）解： ．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
由旋转知，AD=AE，∠DAE=90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ ACE（SAS），
，
，
在 中， ，
，（3）解：由（2）知，△ABD≌△ ACE，
∴∠ACE=∠ABD，
在 ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠△ABD=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BCE+∠DAE=180°，
∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，
∵AC与DE交于点F，
∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，
即：当AF⊥DE时，AF最小，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°-∠ACB=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AF最小= ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三
角形的性质，四点共圆，矩形的判定，判断出BD=CE是解本题的关键．
5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图1，在 的方格纸中，给出如下三种变换： 变换， 变换，
变换．将图形 沿 轴向右平移1格得图形 ，称为作1次 变换；将图形 沿 轴翻折得图形 ，称
为作1次 变换；将图形 绕坐标原点顺时针旋转 得图形 ，称为作1次 变换．规定： 变换表示
先作1次 变换，再作1次 变换； 变换表示先作1次 变换，再作1次 变换； 变换表示作 次
变换．解答下列问题：(1)作 变换相当于至少作______次 变换；
(2)请在图2中画出图形 作 变换后得到的图形 ；
(3) 变换与 变换是否是相同的变换？请在图3中画出 变换后得到的图形 ，在图4中画出 变
换后得到的图形 ．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了几何变换综合题．解题的关键是作各个关键点的对应点．
（1）作 变换相当于将图形 绕原点旋转 度，对应图形与原图重合，所以至少应将 沿 轴翻折两
次；
（2） ，图形 作 变换相等于绕原点顺时针旋转 度，即逆时针旋转 度；
（3）因为 变换表示先作1次 变换，再作1次 变换 变换表示先作1次 变换，再依1次 变换，
所以可按此作出图形，再作判断．
【详解】（1）解：作 变换相当于将图形 绕原点旋转 度，对应图形与原图重合，所以至少应将
沿 轴翻折两次，
∴作 变换相当于至少作两次 变换；
故答案为：2；
（2）解： ，图形 作 变换相当于绕原点顺时针旋转 度，即逆时针旋转 度；
如图所示，图形 作 变换后得到的图形 ；
（3）解：变换 与变换 不是相同的变换． 如图3，4所示．压轴题型八、坐标系中的动点问题（不含函数）
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标
为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，以
每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】(1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
(2)点P的坐标是
(3)点P移动的时间是 秒或 秒．
【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答问题．
（1）利用非负数的性质可以求得 的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
（2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动，可以
得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
【详解】（1）解：∵a、b满足 ，∴ ，
解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
（2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动，
∴点P的路程： ，
∵
∴当点P移动4秒时，在线段 上，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是 ．
（3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在 上时．
点P移动的时间是： （秒），
第二种情况，当点P在 上时，
点P移动的时间是： （秒），
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是 秒或 秒．
2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 的边 在
x轴上，A、B、C三点的坐标分别为 、 、 ，点P从点B出发，以每秒2个单位的速
度沿射线 匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)连接 ，直接用含t的代数式表示 的面积；
(2)当P在线段 上运动时，是否存在一点P，使 是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P
点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当 时， 的面积 ；当 时， 的面积(2) 或 或
【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想．解题的关键是根据点 的不同位置进行
分类讨论．
（1）分点 在原点左侧和原点右侧两种情况讨论求解；
（2）分 三种情况，分别求得 的长以及 的长，即可得出所有 点的坐标
和 的值．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ 的面积 ；
当 时， ，
∴ 的面积 ；
综上，当 时， 的面积 ；当 时， 的面积 ；
（2）解：如图，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
设 ，则 ，∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
综上， 或 或 ．
3．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴交于 ，
点 是直线 上且不与A、B两点重合的动点．
(1)求三角形 的面积；
(2)如图1，点D、点E分别是线段 、x轴负半轴上的动点，过E作 ，连接 ．若 ，
请探究 与 之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由）
(3)若三角形 的面积不小于三角形 的面积的2倍，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 且
【分析】（1）根据 ，得 ， ，根据 求解即可；
（2）过点D作 ，则 ，推出得 ，据此可
得 ；（3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点 在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到
的长，然后利用 列出不等式求解，即可得到结果．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：如图1所示，过点D作 ，
则 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：分三种情况：
①当点C在第一象限时，作 轴于点 ，则 ，如下图所示：
∴ ，
∴ ，
若 ，
则 ，解这个不等式得 ，
又∵点 在第一象限且不与 、 重合，则 ，
∴ ；
②当点 在第二象限时，如下图所示，则 ，
∴ ，
∴ ，
若 ，
则 ，
解这个不等式得 ，
又∵点 在第二象限且不与 、 重合，则 ，
∴不存在点 ，使得 ；
③ 当点C在第四象限时，则 ，
∴ ，
∴
若 ，
则 ，
解这个不等式得 ，又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则 ，
∴ ；
综上所述，若 ， 的取值范围是 且 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，学会利用特殊点解决问题．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图1，已知 ， ， ，点D是第二象限内一动点，
满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明： 是 的平分线；
(3)如图2，连接 ，作 ， ，Q是 与 的交点，若 ，求 ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平线性质的逆定理，中线的定义和性质，熟练掌握全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意得到 ，证明 即可得到结论；
（2）过点C分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，N，点E为 与 的交点，证明
，得到 ， ，角平分线的逆定理证明结论；
（3）根据题意证明 和 ，再根据中线的性质定理进行计算即可．【详解】（1）证明： ， ，
，
在 与 中，
，
；
（2）证明：如图，过点C分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，N，点E为 与 的交点，
，
，
， ，
．
在 与 中，
，
．
， ，
是 的平分线．
（3）解： ，
， ， ．
，．
在 与 中，
，
．
在 与 中，
，
．
为 的中线，
．
，
．
是 的中线，
，
．
5．（24-25九年级上·重庆南川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 和点 ，
直线 经过点 ， 与 轴交于点 ， ，点 在直线 上．(1)如图1，若 平分 ， 平分 ，试说明 ；
(2)如图2，连接 ， ，求 和 的面积；
(3)若动点 在坐标轴上，且满足 时，求点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3) ， ， ，
【分析】此题考查了坐标和图形，数形结合是关键．
（1）证明 ，即可证明结论成立；
（2）求出 ，根据 即可求出答案；
（3）依次求出 ， ， ， ， ， ， 即可．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
∴
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∴∵ ，
∴
∴
∴
∴
（2）∵ ， ， ，
∴
∴
∴
∴
（3）设动点 在 轴上时：
∵ ，
∴
∴ ，
∵
∴∴ ，
设动点 在 轴上时：
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
则
