文档内容
期中重难点特训之易错压轴专项训练（18 易错+8 压轴）
易错题型一、判断生活中的旋转现象 易错题型十四、找旋转中心、旋转角、对应点
易错题型二、中心对称图形的识别 易错题型十五、待定系数法求二次函数解析式
易错题型三、一元二次方程的定义 易错题型十六、二次函数与方程、不等式关系
易错题型四、二次函数的识别 易错题型十七、求关于原点对称的点的坐标
易错题型五、解一元二次方程——直接开平方法 易错题型十八、求绕原点旋转一定角度的点的坐
易错题型六、解一元二次方程——配方法 标
易错题型七、公式法解一元二次方程 压轴题型一、韦达定理
易错题型八、换元法解一元二次方程 压轴题型二、二次函数图象与各项系数关系
易错题型九、根据一元二次方程根的情况求参数 压轴题型三、二次函数的图象和性质综合应用
易错题型十、一元二次方程的根与系数的关系 压轴题型四、一元二次方程的实际综合应用
易错题型十一、二次函数的图象和性质 压轴题型五、二次函数中存在性问题
易错题型十二、一次函数、二次函数图象综合判 压轴题型六、实际问题与二次函数综合应用
断 压轴题型七、旋转的综合应用
易错题型十三、二次函数图象与各项系数符号 压轴题型八、坐标系中的动点问题（不含函数）
易错题型一、判断生活中的旋转现象
1．（24-25九年级上·广东清远·期中）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是
（ ）A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的 .
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋
转角．
易错题型二、中心对称图形的识别
4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了
平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是 ，进行了轴对称变换
的是 ．（填序号）
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列各图案中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？哪些既
是中心对称图形，又是轴对称图形？哪些既不是轴对称图形，也不是中心对称图形？易错题型三、一元二次方程的定义
7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列关于 方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·广东广州·期中）若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是
．
9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于 的一元二次方程 有实数根，求 的取
值范围．
易错题型四、二次函数的识别
10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数一定是二次函数的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤y=(x-3)2-x2
12．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．易错题型五、解一元二次方程——直接开平方法
13．（24-25九年级上·山西大同·期中）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个
是 ，则另一个是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）方程 的解为 ．
15．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段练习）按照指定方法解下列方程：
(1) （用直接开平方法）
(2) ．（用配方法）
易错题型六、解一元二次方程——配方法
16．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）用配方法解方程 ，配方后所得方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若关于x的一元二次方程 配方后得到方程
，则c的值为 ．
18．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）下面是小聪同学用配方法解方程 的过程，请仔
细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得 ，①
二次项系数化为1，得 ，②
配方，得 ，即 ，③
由此可得 ，④， ．⑤
整个解答过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________________；请给出正确的解题过程．
易错题型七、公式法解一元二次方程
19．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若 是某个一元二次方程的根，则这个
方程是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2025·安徽淮北·模拟预测）关于x的方程 有两个根，记作 ， ，则
．
21．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
易错题型八、换元法解一元二次方程
22．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的解是 ， ，
则关于y的一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
23．（24-25九年级上·广东佛山·期中）若 ，设 ，原式可化为，即 ，解得 ， ，故 的值为3或 .仿照上面的方法，
计算当 时， 的值为 .
24．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知 ，求 的值；
解：设 ，则原方程可变形为 ．即
∴ 得 ，
∴ 或
已知 ，求 的值．
易错题型九、根据一元二次方程根的情况求参数
25．（2025·宁夏中卫·模拟预测）若抛物线 与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
26．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）一元二次方程 无实数根，则 的取值范围是
．
27．（24-25九年级上·吉林·期中）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)当k取最大整数时，求方程的实数根．
易错题型十、一元二次方程的根与系数的关系
28．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，则
（ ）A．2 B． C． D．
29．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设a，b是方程 的两个根，则
．
30．（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，求 的值．
易错题型十一、二次函数的图象和性质
31．（25-26九年级上·广东·期中）对于 的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．当 时， 随 的增大而增大 B．顶点坐标
C．当 时， 随 的增大而减小 D．对称轴为
32．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图
所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数 ， ， 的图象，则 ， ， ，
的大小关系是 ．（用“ ”连接）
33．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知二次函数 （ 是常数）
(1)若 ，
①该函数的顶点坐标为___________；
②当 时，该函数的最大值___________；③当 时，该函数的最大值为___________；
(2)当 时，该函数的最大值为4，则常数 的值为___________．
易错题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断
34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
35．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图是二次函数 图象的一部分，则一次函数y＝
acx+b的图象不经过第 象限．
36．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，正比例函数y=x与二次函数y=x2-bx的图象相交于O（0，
1 2
0），A（4，4）两点．(1)求 b 的值；
(2)当 y y 时，直接写出 x 的取值范围．
1 2
易错题型十三、二次函数图象与各项系数符号
37．（24-25九年级上·云南昭通·期中）已知，二次函数 的图象如图所示，则点 所在
的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
38．（24-25九年级上·吉林白城·期中）已知二次函数 的图像如图所示，则点 在第
象限．
39．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴
交于点 ， ，与 轴交于点 ．(1)求顶点 的坐标．
(2)点 是抛物线上第三象限内的一点，连接 交 于点 ，连接 ．当 的面积比 的面
积少 时，求点 的坐标．
易错题型十四、找旋转中心、旋转角、对应点
40．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 顺时针旋转到 的位置，则旋转中心及旋转角
分别是（ ）
A．点 ， B．点O，
C．点 ， D．点O，
41．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到
，则旋转中心的坐标是 ．42．（24-25九年级上·湖南永州·开学考试）如图，在 中， ， ， ，
逆时针旋转一定角度后与 重合，且点C恰好成为 的中点．
(1)旋转中心为点 ，并求出旋转角= 度；
(2)求出 的度数和 的长．
易错题型十五、待定系数法求二次函数解析式
43．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若抛物线 经过点 ，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
44．（2025·广东肇庆·模拟预测）抛物线 如图所示，则它的解析式是 ．45．（24-25九年级上·四川泸州·期中） 如图，已知二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且 的面积为6，求点P的坐标．
易错题型十六、二次函数与方程、不等式关系
46．（24-25九年级上·广东广州·期中）一次函数 与二次函数 的图
象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
47．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线 与y轴的交点坐标为48．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系 中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象；
x … …
y … …
(2)若点 和点 都在此函数的图象上，且 ，结合函数图象，直接写出t的取值范围为
______．
… …
… …
易错题型十七、求关于原点对称的点的坐标
49．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知点 的坐标为 ，则点 关于原点的对称点的坐标为
( )
A． B． C． D．
50．（2025·山西运城·模拟预测）扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图
案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点 与点 关于原点对称，则点B的坐标为
．51．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知 ．
(1)将 以原点为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)连接 ，则四边形 的面积为______．
易错题型十八、求绕原点旋转一定角度的点的坐标
52．（2025·山东青岛·模拟预测）如图， 在直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为 ，若
将 绕点O旋转，点C的对应点为点D，则旋转后点A的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．
53．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将等腰直角 按如图所示放置，然后绕O点逆时针
旋转 至 的位置，点B的横坐标为 ，则点 的坐标为 ．
54．（24-25九年级上·河南周口·期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1）， 的顶点
均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出 绕点A逆时针旋转 的 ；
(2)再作出 关于原点O成中心对称的 ；
(3) 的坐标为 ， 的坐标为 ，点 的坐标为 ．压轴题型一、韦达定理
1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）知识回顾：
（1）对于一元二次方程 （ ），当 时，它的求根公式为 ，求根公式不
仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为 ， ，则满足：
① ；② ．（这也称作韦达定理，是由 世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一
元二次方程的求根公式证明韦达定理；
知识应用：
（2）已知一元二次方程 的两根分为 ， ，求 的值．
2．（2025·北京·模拟预测）关于 的方程 ，有 个实数根．某数学小组对根
与系数的关系进行探究．
当 时，这一性质也称作韦达定理
设：该方程的两个实数根为 和
有 ，展开得①______
又由题知
故 ②______
(1)请你补全证明过程；
(2)当 ，求 （用系数表示）；
(3)直接写出 的值（用系数表示）．
3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）设一元二次方程 的两根为 ， ，由求根公式可推出 ， ，我们把这个命题叫做韦达定理．设 ， 是方程
的两根，请解决下列问题：
（1）理解：填空： ， ；
（2）应用：求 的值；
（3）拓展：对于任意实数 、 ，定义 ．若方程 的两根记为 、 ，求
的值．
4．（24-25九年级上·山东济南·期中）请阅读以下材料：
①若 是关于x的一元二次方程 的两个根，则方程的两个根 和系数a、b、c
有如下关系： ， ，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）．
②定义：已知 关于x的一元二次方程 的两个实数根，若 ，且 ，
则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 的两根为 ，因为
， ，所以一元二次方程 为“限根方程”．
请解决下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且方程的两根 满足
，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，
不写过程）5．（2025·湖北黄石·模拟预测）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做
换元法．
材料2
已知实数m，n满足 ， ，且 ，显然m，n是方程 的两个不相等的
实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足： ， 且 ，求 的值；
(3)拓展应用：
已知实数m，n满足： ， 且 ，求 的值．
压轴题型二、二次函数图象与各项系数关系
1．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）已知关于 的二次函数 ，经过点
．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式；
(2)若 时， 时，求 的值；
(3)若 ，当 ，且 时，求证： ．2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知抛物线 （m为常数）与y轴的交点为C点．
(1)若抛物线经过原点，求m的值；
(2)若点 和点 在抛物线上，求C点的坐标；
(3)当 ，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．
3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线 的图象如图所示．
(1)判断 、 、 及 的符号；
(2)求 的值；
(3)给出下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的有 ．（填序号）
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点D坐标为（2，﹣
1），且过点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连结OD、CD、CB，CD交x轴于点E，求S CEB：S ODE．
△ △5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设 都是实数，且 ．我们规定：满足不等式 的
实数 的所有值的全体叫做闭区间、表示为 ．对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当
时，有 ，我们就称此函数是闭区间 上的“闭函数”．
（1）反比例函数 是闭区间 上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求此一次函数的解析式；
（3）若实数 满足 .且 ，当二次函数 是闭区间 上的“闭函数”时，求 的
值．
压轴题型三、二次函数的图象和性质综合应用
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线 ．(1)过点 作 轴的平行线交抛物线于 两点，求 的长；
(2)当 时，直接写出 的取值范围：___________．
2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）若二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为
，我们称 为此函数的特征数，如函数 的特征数是 ．
(1)若一个函数的特征数为 ，求此函数图象的顶点坐标；
(2)探究下列问题：
①若一个函数的特征数为 ，将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
求得到的图象对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为 ，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征
数为 ？
3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于 ，
两点，与y轴相交于点 ，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐
标为m，过点P作 轴于点H，与 交于点M．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)将线段 绕点C顺时针旋转 ，点A的对应点为 ．直接写出点 的坐标，判断点 是否落在抛物线上，并说明理由；
(3)求 的最大值；
4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)该抛物线的对称轴是直线，如表中， ， ；并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象：
… …
x 0 1
… …
… …
y 5 2 n 2 m
… …
(2)若 ， 是此抛物线上的两点，且 ，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围 ．
(3)怎样平移抛物线 可使所得抛物线恰好过点 ，直接写出平移方法．（一种即可）
5．（25-26九年级上·新疆昌吉·阶段练习）二次函数 的图像与直线 交于点 ．(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像；
(3)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(4)若该抛物线上两点 的横坐标满足 ，则 （比较大小）．
．
压轴题型四、一元二次方程的实际综合应用
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每
天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种
快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每
提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变．
(1)设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份；
(2)若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？
2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点 从点
开始沿边 向终点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度
移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．(1)运动开始后，当 为何值时， 的长度等于 ？
(2)连接 ，当 为何值时， 的面积等于 ？
3．（24-25九年级上·重庆合川·期中）2025年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树
枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680
元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种
树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实
际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
4．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知：p为实数.
p k q
… … …
3
4
5
6
7
… … …根据上表中的规律，回答下列问题：
(1)当p为何值时， ?
(2)当p为何值时，k与q的值相等？
5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）综合与实践：
项目主题：花园规划设计
在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园
规划设计的过程．
活动任务一：
爷爷要求小明构思一种规划方案，确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，小明结合九年级所学知识，设
计了甲、乙、丙、丁四种方案（其中阴影部分为花园），
（ ）爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造．
①若甲方案中花园周围小路的宽为 ，则花园的长可以表示为_____ ，宽可以表示为_____ （用含有
的代数式表示）：
②若乙方案中花园由横纵两条等宽的矩形花带组成．若花园的宽为 ，则花园区域的面积可以表示为
_____ （用含有 的代数式表示）
活动任务二：
在综合考虑了花园的美观性和实用性之后，爷爷决定选择“活动任务一”中的甲方案进行花园的建造．
（ ）请计算花园周围小路的宽度是多少？
活动任务三：
为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植
区域的长为 ，另外三边用篱笆围起来．
（ ）若篱笆的总长度为 米，为方便打理花园，需要在花园平行于观赏竹区域的篱笆墙上装一个 米宽
的门，如图所示．如何设计，才能使篱笆围成的面积为 ？（注：要有解答过程）．压轴题型五、二次函数中存在性问题
1．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线 的顶点纵坐标与抛物线 的顶点纵坐标之
和为4．
(1)求 的值；
(2)已知 为抛物线 上一点， 为抛物线 上一点．
（i）若仅存在一个正数 ，使得 ，求 的最大值；
（ii）若 ，且当 时，总有 ，求 的取值范围．
2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，已知抛物线 ，顶点为点P，与 轴交于点B、
A，与y轴交于点 ．
(1)则点A坐标为 ；B坐标为 ；
(2)求 的面积；
(3)点 是直线 上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得 和 面积相等？若
存在，直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由？3．（2025·西藏拉萨·模拟预测）如图，关于 的二次函数 的图象与 轴相交于点 和点
，与 轴相交于点 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求线段 的长．
(3)在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形？直接写出点 的坐标．
4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线
的顶点为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线对应的函数解析式．
(2)若点 在该抛物线上，求 的值．
(3)若点 在抛物线上，求 ．
(4)在对称轴上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，抛物线 经过点 且与x轴交于A、B，与y
轴交于点 ，直线 与抛物线交于点B与点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P是第一象限抛物线上一个动点，连接 、 ，设P点横坐标为m， 的面积为S．是否存
在点P使S有最大值？若存在，请求出S的最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)记抛物线 与x轴的交点横坐标为n，求代数式 的值．
压轴题型六、实际问题与二次函数综合应用
1．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为
20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：
每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大
利润是多少元？
2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与轴交于点 和 ，与 轴交于点 ．
(1)求 和 的值．
(2)若点 在该二次函数图像上，且 ，求点 的坐标．
3．（2025·河北·模拟预测）如图，以储水池的坝顶平台 所在直线为x轴，点O为原点建立平面直角坐
标系．水池蓄水部分为抛物线 ，平行于x轴的水面 到x轴的距离为2米，储水池最
低点处水深为3米．背水坡向上有一条抛物线形坡道 ．
(1)求抛物线L的解析式；
(2)现对水池蓄水部分进行修建，将抛物线L调整为虚线部分的抛物线 ，最低点位置不变，求抛物线
上水平宽的最大值．
4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图 ，抛物线 交x轴于点 和点B，交y轴于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 在抛物线对称轴上，是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存
在说明理由．
(3)如图 ，设点 是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值．
5．（2025·陕西安康·模拟预测）“河畅水清、岸绿景美”，被誉为陕西人民的“母亲河”−−渭河正逐渐被
打造成一条秀美景观带．为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护
人员安排了移动喷灌装置，移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．喷灌架为一坡地草坪喷水的
平面示意图，如图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 ，当喷射出的水流与喷灌架的水平
距离为 时，水流达到最大高度 ．现将喷灌架置于坡地底部点 处，草坡上距离 的水平距离为
的 处到水平地面的距离为 ．
(1)求该抛物线形水流的解析式和水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
(2)若到喷水头水平距离为 的 处及其右侧种植有银杏树，由于刚在树干部分涂抹过防虫药物不能灌溉，
则应将移动喷灌装置向左至少移动多少米，才能避开对银杏树的灌溉？
压轴题型七、旋转的综合应用1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，分别以正方形 的边 和 为直径画两个半圆交于点
，若正方形的边长为 ，求阴影部分的面积．
2．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四边形 中， ，连接AC，将
绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到 ，若 ，
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求线段 的长度．
3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的两条直角边 、 分别
在 轴、 轴的负半轴上，且 ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转90°，再把所得的图
形沿 轴正方向平移2个单位，得 ．
(1)写出点A、C的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．
4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图①，在 中， ，D为 边上一点
（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，则：
(1)线段 之间的数置关系是__________．
(2)如图②，在 中， ，D为 边上一点（不与点B，C重合），将线段 绕
点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，请判断线段 之间的数童关系，并说明理由；
(3)如图②， 与 交于点F，在（2）条件下，若 ，直接写出 的最小值．
5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图1，在 的方格纸中，给出如下三种变换： 变换， 变换，
变换．将图形 沿 轴向右平移1格得图形 ，称为作1次 变换；将图形 沿 轴翻折得图形 ，称
为作1次 变换；将图形 绕坐标原点顺时针旋转 得图形 ，称为作1次 变换．规定： 变换表示
先作1次 变换，再作1次 变换； 变换表示先作1次 变换，再作1次 变换； 变换表示作 次
变换．解答下列问题：(1)作 变换相当于至少作______次 变换；
(2)请在图2中画出图形 作 变换后得到的图形 ；
(3) 变换与 变换是否是相同的变换？请在图3中画出 变换后得到的图形 ，在图4中画出 变
换后得到的图形 ．
压轴题型八、坐标系中的动点问题（不含函数）
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标
为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，以
每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 的边 在
x轴上，A、B、C三点的坐标分别为 、 、 ，点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线 匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)连接 ，直接用含t的代数式表示 的面积；
(2)当P在线段 上运动时，是否存在一点P，使 是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P
点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴交于 ，
点 是直线 上且不与A、B两点重合的动点．
(1)求三角形 的面积；
(2)如图1，点D、点E分别是线段 、x轴负半轴上的动点，过E作 ，连接 ．若 ，
请探究 与 之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由）
(3)若三角形 的面积不小于三角形 的面积的2倍，求m的取值范围．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图1，已知 ， ， ，点D是第二象限内一动点，
满足 ．(1)证明： ；
(2)证明： 是 的平分线；
(3)如图2，连接 ，作 ， ，Q是 与 的交点，若 ，求 ．
5．（24-25九年级上·重庆南川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 和点 ，
直线 经过点 ， 与 轴交于点 ， ，点 在直线 上．
(1)如图1，若 平分 ， 平分 ，试说明 ；
(2)如图2，连接 ， ，求 和 的面积；
(3)若动点 在坐标轴上，且满足 时，求点 的坐标．
