文档内容
期中重难点检测卷（提高卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：21~ 23章（一元二次方程+二次函数+旋转全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25九年级上·山东·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕
某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进
行判断即可．
【详解】解： 不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则该选项不符合题意；
B是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则该选项不符合题意；
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则该选项不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则该选项符合题意；
故选D．
2．（24-25九年级上·全国·期中）若m是方程 的根，则 的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】B【分析】根据题意，m是方程 的根，得 ，化简代入计算即可．
本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键．
【详解】解：∵m是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如果 ， 是一元二次方程 的两个实数根，那么
的值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是
，两根之积是 ．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解．
【详解】解： 、 是一元二次方程 的两个根，
，
故选：C．
4．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得
到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据平移规律，即可得平移后的函数表达式．
【详解】解：将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，可得
，
∴平移后的抛物线的函数表达式为 ．
故选：A．
5．（24-25九年级上·四川泸州·期中）学校的劳动实践基地是一块长 、宽 的矩形土地．为便于学
生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到 ，若设小道
的宽为 ，则根据题意，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为 ，宽为 的
矩形，再结合种植面积为 ，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解： 学校的劳动实践基地是一块长 、宽 的矩形土地，且小道的宽为 ，
除小路的其余部分可合成长为 ，宽为 的矩形．
根据题意得： ，
故选：D．
6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将 先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转 ，得到，则点A的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称
点的性质直接得出答案．
【详解】解：如图，将 先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转 ，得到 ，
由图中可知，点 ，将 先向右平移3个单位，得坐标为： ，再绕原点O逆时针旋转 ，
得到 ，则点A的对应点 的坐标是 ．
故选：D．
7．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）二次函数 （ 是常数，且 ）的图象经过
点 ，一次函数 的图象经过点 ，当 时，有四个命题：①当 时，
；②当 时， ；③当 时， ；④当 时， ．其中正确的命题个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对
称轴为直线 ，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得．
【详解】解：二次函数 的对称轴为直线 ，
联立 ，解得 或 ，
即二次函数 与一次函数 的两个交点坐标为 和 ，
当 时，画出两个函数的大致图象如下：
则由函数图象可知，当 时， ，命题①正确；
当 时， ，命题②正确；
当 时， ，命题③正确；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；命题④错误；
综上，正确的命题个数为3个，
故选：C．
8．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，已知四边形纸片 ，E，F，G，H是四条边上的中点，
连结 ，分别过点H，F作 于点I， 于点J，沿 ， ， 将四边形纸片 剪
成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边
形纸片 (①沿 方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转 )．若 ， ，
，则四边形 的周长是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转和平移的性质以及矩形的性质等内容，由题可知 ，
， ，设 ，则 ，据此求解即可．
【详解】解：如图，
由题可知 ， ， ，
设 ，则 ，
，
矩形周长为 ．
故选：B．
9．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 ，过点 且平行于
轴的直线与抛物线 交于 两点，与抛物线 交于点 ，抛物线 与 轴交于点 ，
连接 ， ．若 ，则梯形 的面积为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，根据题意可得抛物线 的
对称轴为直线 ，当 时， ，则 ， ．结合 ，得 ．由题
意可知， 两点关于对称轴直线 对称，则 ，将 代入 ，结合
抛物线 的对称轴是直线 ，求出 ，令 ，求出 ，则
，根据 求解即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时， ，
， ．
，
．
由题意可知， 两点关于对称轴直线 对称，
，将 代入 ，得 ．
抛物线 的对称轴是直线 ，
，，
，
令 ，
，
，
，
，
．
故选： B．
10．（24-25九年级上·四川成都·期中）抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点
和 之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（ ）
A．
B．
C．当 时， 的值随 值的增大而减小
D．若方程 没有实数根，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数 的图象与性质，根据二次函数的图象与判断式子的符号，抛
物线与 轴的交点问题，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等．解题的关键在于二次函数知识的熟练掌握与灵活运用．
根据抛物线的对称轴为 ，且抛物线的开口向下，据此即可判断C选项；根据抛物线与 轴的交点，
结合抛物线的对称性可得抛物线与 轴的另一个交点在点 和 之间，得出当 时，
，据此即可判断B选项；根据抛物线的顶点坐标，结合抛物线的开口方向，得出抛物线的
最大值是 ，根据一元二次方程 的根，可以看作是二次函数 于直线
的交点横坐标，据此即可判断D选项；根据抛物线的对称轴得出 ，推得 ，据此即可判断A
选项错误．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为 ，且抛物线的开口向下，
∴当 时， 的值随 值的增大而减小，
∴选项C说法正确；
∵抛物线与 轴的一个交点 在点 和 之间，且抛物线的对称轴为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点在点 和 之间，
∴当 时， ，
∴选项B说法正确；
∵抛物线 的顶点为 ，且抛物线的开口向下，
故 的最大值是 ，
当 时，抛物线 与直线 没有交点，
即方程 没有实数根，
∴选项D说法正确，
∵抛物线的对称轴 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，∴选项A说法错误．
故选：A．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）一元二次方程 的根为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
先将等号右边代数式移项至等号左边，再用因式分解法解方程即可．
【详解】解： ，
，
，
或 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
12．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）顶点坐标是 ，且开口方向和形状与抛物线 相同
的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向和形状与a值有关，利用顶点式
解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标 ，开口方向和形状与抛物线 相同，
∴这个二次函数的解析式为 ．
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， 绕点 按逆时针方向旋转 得 ，则 的度数为 度．
【答案】40
【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质等知识，求得 ，并推导出
是解题的关键．由 ， ，求得 ，由旋转得 ，则
，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点 按逆时针方向旋转 得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40
14．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中， ， 轴，垂足为C，将
绕点O按逆时针方向旋转 得到 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，由题意可得 ， ， ，再结合旋转的
性质即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系 中， ， 轴，垂足为C，
∴ ， ， ，
∵将 绕点O按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ， ，∴点 的坐标是 ，
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发
现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣
专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整；
小明：设每件皮衣降价x元，
由题意，可列方程为________________．
小红：设每件皮衣定价为y元，
由题意，可列方程为________________．
(2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元．
【答案】(1) ；
(2)1050或950
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的
关键．
（1）根据利润 单件利润 件数列出一元二次方程即可；
（2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解．
【详解】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为 件，
依题意，得 ；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为 件，
依题意，得 ．
（2）解：选择小明的设法，则 ，
整理，得 ，解得 ， ，
则定价为 元或 元，
答：每件皮衣定价为1050元或950元；
选择小红的设法，则 ，
整理，得 ，
解得 ， ．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
16．（2025九年级上·安徽宿州·模拟预测）如图，分别过点 （ ， ， ）作 轴的垂线，
交二次函数 于点 ，交直线 于点 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，规律探索，找出题中的规律是解本
题的关键．先求出 ，再将各项分别表示出来，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： ，
，．
故答案为： ．
三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题
每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）选用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公
式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）方程可以变形为 ，利用直接开平方法解方程即可得；
（2）方程可以变形为 ，利用直接开平方法解方程即可得；
（3）方程利用平方差公式变形为 ，利用因式分解法解方程即可得；（4）方程利用完全平方公式变形为 ，利用直接开平方法解方程即可得．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
所以方程的解为 ， ．
（2）解： ，
，
或 ，
或 ，
所以方程的解为 ， ．
（3）解： ，
，
，
，
或 ，
或 ，
所以方程的解为 ， ．
（4）解： ，
，，
所以方程的解为 ．
18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知二次函数 ，过点 ．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)直接写出当 取何值时， ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题．
（1）把两个已知点的坐标代入 中得到关于a的方程，然后解方程求出a即可；
（2）求出二次函数图象与x轴的交点，结合开口方向可得结果．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
所以二次函数的表达式为 ；
（2）解：令 ，
解得： 或 ，
∴二次函数的图象与x轴交于 和 ，
∵ ，
∴二次函数的图象开口向上，
∴当 时，x的取值范围是 ．
19．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知：如图 绕点 逆时针旋转到 ，此时恰好
， ， ，求 是多少度？【答案】
【分析】由平行线的性质可得 ，由三角形内角和得 ，则
，即求出 的度数．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解： ， ， ，
， ．
绕点 逆时针旋转到 ，
，
．
20．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）小强同学用配方法推导一元二次方程
的求根公式时的部分过程如下．
移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得 ，
……
(1)请你帮小强同学完成剩余的推导过程．
(2)用公式法解一元二次方程 ．
【答案】(1)详见解析
(2) ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程，
（1）根据配方法的步骤求解即可；（2）根据公式法解方程即可．
【详解】（1）解：移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得 ，
整理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
21．（24-25九年级上·全国·单元测试）按下列要求画出图形：
(1)如图，画出三角形 绕点 按逆时针旋转 后的三角形 ；
(2)如图，将已知四边形分别在格点图中补成以已知直线 ， 为对称轴的轴对称图形．【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】本题主要考查了利用旋转和轴对称作图．
分别画出线段 、 绕点 逆时针旋转 得到的对应线段 、 ，再连接线段 得到
即为所求；
图 中分别作点 、 、 关于直线 的对称点 、 、 ，顺次连接点 、 、 、 得到四边
形 即为所求；图 中分别画出点 、 、 、 关于直线 的对称点 、 、 、 ，顺次连
接点 、 、 、 ，得到四边形 即为所求．
【详解】（1）解：如下图所示，分别画出线段 、 绕点 逆时针旋转 得到的对应线段 、 ，
再连接线段 得到 ，
则 即为所求；
（2）解：如图 所示，分别作点 、 、 关于直线 的对称点 、 、 ，
顺次连接点 、 、 、 得到四边形 ，四边形 即为所求；
如图 所示，分别画出点 、 、 、 关于直线 的对称点 、 、 、 ，
顺次连接点 、 、 、 ，得到四边形 ，
四边形 即为所求．
22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读材料，解答问题：
已知实数 满足 ，且 ，显然 是方程 的两个不相等的
实数根，由根与系数的关系可知
(1)已知实数 满足 ，求 的值．
(2)已知实数 满足 且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，弄懂所给的例子，灵活应用一元二次方程根与系数的关
系是解题的关键．（1）由题意可知 、 是方程 的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得 ，
，将所求式子变形为 ，代入求解计算即可；
（2）由题意可知 是方程 的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解： ∵ ，
， 是方程 的两个不相等的实数根，
， ，
，
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 ，且 ，
∴ 是方程 的两个不相等的实数根，
，
．
23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，正方形网格中，三角形 的顶点均在格点上，请在
所给直角坐标系中按要求解答下列问题：(1)画出 ，使它与三角形 关于坐标原点O成中心对称，则 的坐标为 ．
(2)将三角形 绕某点旋转后，其对应点分别为 则旋转中心的坐标为
．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、中心对称图形的画法以及旋转的性质（旋转中心的确
定方法），解题的关键是：对于关于原点对称的点，掌握其横、纵坐标互为相反数的规律；对于旋转中心
的确定，利用 “旋转中心到任意一组对应点的距离相等”，即通过作两组对应点连线的垂直平分线，其
交点即为旋转中心．
（1）根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答；
（2）画出 ，连接 ，分别作垂直平分线交于 ，即可解答．
【详解】（1）解：如图， 即为所作，根据图得，点 ，
∵ 与 关于坐标原点O成中心对称，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图所示，连接 ，分别作垂直平分线交于 ，
即旋转中心的坐标为 ，
故答案为： ．
24．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐
标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点 的特征线有： ，
， ， ．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 ，点 在第一象限， ， 分别在 轴和 轴上，
抛物线 经过 ， 两点，顶点 在正方形内部．(1)直接写出点 所有的特征线 用含有 ， 的式子表示 ；
(2)若点 有一条特征线是 ，求此抛物线的解析式；
(3)点 是 边上除点 外的任意一点，连接 ，将 沿着 折叠，点 落在点 的位置，当点
在平行于坐标轴的点 的特征线上时，将满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 上？
【答案】(1) ， ， ，
(2)
(3)抛物线向下平移 或 的距离，其顶点落在 上
【分析】（1）依据“特征线”定义，从平行于坐标轴、平行于坐标轴夹角平分线角度，直接推导点
的特征线．
（2）先由特征线 得出 与 关系，再结合正方形性质及抛物线过 、 点，代入求解抛物线解析
式．
（3）分点 在平行于 轴和 轴的 特征线两种情况，利用折叠性质、勾股定理等，结合抛物线顶点坐标，
计算向下平移距离．
【详解】（1）解： 点 ，
点 的特征线是 ， ， ， ；
（2）解：点 有一条特征线是 ，
，
，
抛物线解析式为 ，，
四边形 是正方形，且点 在 的垂直平分线上， ，
，
，
将 代入得到 ， ；
，
抛物线解析式为 ；
（3）解： 当点 在平行于 轴的点 的特征线上时，特征线交 轴于 ，交 于 ，
根据题意可得， ，
， ，
， ，
，
抛物线需要向下平移的距离 ；
当点 在平行于 轴的点 的特征线上时，特征线交 轴于 ，交 于 ，设 ，则
， ， ，
，
设 ，在 中， ，
，
，直线 解析式为 ，
，
抛物线需要向下平移的距离 ，
综上所述，抛物线向下平移 或 的距离，其顶点落在 上.
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中“特征线”概念、抛物线解析式求解、图形折叠性质及抛物线平
移，熟练掌握坐标变换、三角形及抛物线性质，灵活运用折叠性质和分类讨论思想是解题的关键．
25．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式．
(2)若点E是直线 下方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点 的坐标．
(3)在（ ）的条件下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上一动
点，在抛物线上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线 的表达式为 ；
(2)当 的面积最大时，点 的坐标为 ；
(3) 或 或 ．【分析】（ ）求出抛物线 与两坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求得直线 表达
式；
（ ）过点 作 轴，交直线 于点 ，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为
， ，由 ，利用二次函数的性质
即可求得点 的坐标；
（ ）设点 的坐标，分三种情况考虑： 为平行四边形的对角线； 为平行四边形的对角线； 为
平行四边形的对角线；利用平行四边形性质即可求解．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，则 ，
解得 ， ，
∵点 在点 的右侧，
∴ ， ，
令 ，得 ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入，得：
，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：如图，过点 作 轴，交直线 于点 ，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ，
由（ ）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的值最大，
当 时， ，
∴当 的面积最大时，点 的坐标为 ；
（3）解：点 的坐标为 或 或 ，理由如下：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴点 的横坐标为 ，
由（ ）知 ，由（ ）知点 的横坐标为 ，设点 的坐标为 ，
分三种情况：
当 为平行四边形的对角线时，如图，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
当 为平行四边形的对角线时，如图，
∵ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
当 为平行四边形的对角线时，如图，∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的性质，中点坐标
公式，待定系数法求函数解析式，割补法求图形的面积等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
