文档内容
专题 02 二次函数的图象和性质重难点题型专训
（4个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）
题型一 y=ax2的图象与性质
题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质
题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质
题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小
题型五 二次函数图象与各系数符号
题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断
题型七 y=ax2+bx+c的最值
题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型九 根据二次函数的对称性求函数值
题型十 待定系数法求二次函数解析式
题型十一 二次函数图象的平移
拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径
拓展训练二 二次函数与一次函数的综合
拓展训练三 二次函数图象与性质的综合
知识点一： 二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随
向上 (0,0) 轴
的增大而减小； 时， 有最小值0．
时， 随 的增大而减小； 时， 随
向下 (0,0) 轴
的增大而增大； 时， 有最大值0．的性质： 上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 轴
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 轴
增大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 x=h
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增
向下 x=h
大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质：左加右减，上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
向上 x=h 增 大 而 减 小 ； 时 ， 有 最 小 值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 x=h
增大而增大； 时， 有最大值 ．
一般式：yax2 bxc（a，b，c为常数，a0）；
函数 二次函数y ax2 bxc（a、b、c为常数，a≠0）
a0 a0
图象
开口方向 向上 向下b b
对称轴 直线x 直线x
2a 2a
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
b b
在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 x 时，y
2a 2a
b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧，
增减性 增大而减小；在对称轴的右侧，即当x
b
2a 即当 x 时，y 随 x 的增大而减
时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a
小．简记：左增右减
b b
抛物线有最低点，当 x 时，y 有最小 抛物线有最高点，当x 时，y有
2a 2a
最大(小)值
4acb2 4acb2
值，y 最大值，y
最小值 4a 最大值 4a
【即时训练】
1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数 ，①二次项系数a决定
抛物线的开口方向和大小，当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下；②其对称轴为直
线 ；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于 ．根据解析式直接判断即可选择．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，∴ ，
∴抛物线开口向上，与y轴交点为 （位于x轴下方），对称轴为直线 （即为y轴），
∴只有A选项符合题意．
故选：A．
2．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）二次函数 中 与 的部分对应值如下表所示，
则该函数图像的对称轴是 ．
… 0 1 …
… …
【答案】直线
【分析】本题主要考查了根据二次函数的对称性求对称轴，二次函数图象上纵坐标相同的两个不同点关于
二次函数的对称轴对称，据此结合表格中的数据求解即可．
【详解】解：由表格可知，当 时和当 时的函数值都为 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
故答案为：直线 ．
知识点二：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同
学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二
次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可
以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋
c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数
代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我
们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为
我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是
字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），
取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标
轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出 与0的大小关系及含有 的代数式的值的大小关系.
(1) 决定开口方向:当 时抛物线开口向上;当 时抛物线开口向下.
(2) 共同决定抛物线的对称轴位置:当 同号时，对称轴在 轴左侧;当 异号时，对称轴在
轴右侧(可以简称为“左同右异”);当 时，对称轴为 轴.
(3) 决定与 轴交点的纵坐标:当 时，图象与 轴交于正半轴;当 时，图象过原点;当
时，图象与 轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与 轴交点的个数:当 时，抛物线与 轴有两个交点;当
时，抛物线与 轴有一个交点;当 时，抛物线与 轴没有交点.
(5) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 .
(6) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则
.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东汕头·期中）若一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，
n）、B（3，n）、C（2，y）、D（﹣1，y）和E（1，y），则下列关系正确的是（ ）
1 2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＜y＜y D．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【答案】B
【分析】由A，B两点的纵坐标相同，可得A，B两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线x＝1，则x＝1
时y 值最小，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
3
【详解】解：∵A（﹣1，n）、B（3，n），
∴对称轴为直线x＝1；
∵a＞0，
∴x＝1时，y 是最小值；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
3
∵C（2，y）关于对称轴的对称点为（0，y），且﹣1＜0＜1，
1 1
∴y＞y＞y ．
2 1 3
故选：B．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，利用了二次函数的对称性和增减性．2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知点 ， ， 都在函数 的
图象上，则 ， ， 的大关系是 ．（用“<”连接）
【答案】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得： 的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
知识点三：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线 ( )的图象是由抛物线 ( )的图象
平移得到的.在平移时， 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的 或 发生变化(图象的位置
发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿 轴平移，上、下沿 轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，
再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规
律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【即时训练】
1．（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）将抛物线 向右平移2个单位，得到的抛物线是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到
答案．
【详解】解：抛物线 向右平移2个单位，得到的抛物线为： ，
故选：A．
2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）将抛物线 的图象向上平移3个单位后的抛物线为
．
【答案】 /
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关
键，根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的拋物线解析式即可．
【详解】解：将抛物线 的图象向上平移3个单位后的抛物线为 ，故答案为： ．
知识点四：待定系数求解析式
用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:
(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式 ;
(2)已知顶点 (或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式 ;
(3)已知抛物线与 轴的两个交点坐标为 ，常设抛物线的解析式为交点式
.
二次函数解析式的形式
一般式： 顶点式：
交点式 顶点在原点：
过原点： 顶点在y轴：
求二次函数 （a≠0）的最值的方法
配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成 的形式
若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且
②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
公式法：因为抛物线的顶点坐标为（- ），则
若a＞0，当x= 时，函数有最小值，且
若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且y =
最大值
【即时训练】1．（24-25九年级上·广东广州·期末）若抛物线 经过点 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项 就是抛物线 与 轴
的交点 ，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解： 抛物线 经过点 ，
的值为 ，
故选：A．
2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应
值如下表，则 ．
－
… 0 1 2 3 …
1
… 10 5 2 1 2 …
【答案】
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的点求解是解题的关键．先确定出表格给出的
抛物线上点的坐标，然后求解即可．
【详解】解：根据表格可得出该二次函数经过点 、点 和点 ，
代入原式可得： ，
解得： ，∴ ．
故答案为： ．
【经典例题一 =ax2的图象与性质】
【例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数 的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
根据二次函数的性质，逐一将点的坐标代入验证即可．
【详解】解：A.当 时， ，该选项不符合题意；
B. 当 时， ，该选项不符合题意；
C. 当 时， ，该选项不符合题意；
D. 当 时， ，该选项符合题意；
故选：D．
1．（24-25九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标
为 ，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，依次进行下去，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找
出变化规律是解题的关键，根据二次函数性质可得出点 的坐标， 求得直线 为 ，联立
方程求得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的
变化找出变化规律，即可找出点 的坐标．
【详解】解：∵A点坐标为 ，
∴直线 为 ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴
…，
故选：B．
2．（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数 ，当 时， 随 增大而增大，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向上，即可得到 ，解得 ，问
题得解．
【详解】解：∵二次函数 ，当 时， 随 增大而增大，
∴抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B、C的
坐标分别为 、 、 ，若抛物线 的图象与正方形 有公共点，则a的取值范围是
．【答案】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过
两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】解：∵正方形 的顶点A、B、C的坐标分别为 、 、 ，
∴ ，
当抛物线经过点 时，则 ，
当抛物线经过 时， ，
观察图象可知 ，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）已知函数 是关于 的二次函数．
(1)求满足条件的 的值；
(2)m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
【答案】(1) 或
(2)当 时，抛物线有最高点，最高点坐标为 ，当 时， 随 的增大而减小；当 时，随
的增大而增大
【分析】本题考查了二次函数的二次函数的性质，以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
（1）根据二次函数的定义得到 且 ，进而可得到满足条件的m的值；（2）根据二次函数的性质得到当 时，抛物线开口向下，函数有最大值，则 ，然后根据二次
函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）根据题意得， 且 ，
解得 或
（2）当 时， ，抛物线开口向上，该抛物线有最低点，
当 时， 抛物线开口向下，该抛物线有最高点．
此时抛物线解析式为 ，则最高点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而减小；当 时，随 的增大而增大．
【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】
【例2】（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）对于抛物线 的图象，下列判断正确的是
（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴是直线
D．当 时， 随 增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
根据二次函数的图象性质逐一判断即可．
【详解】解：A：在 中， ，函数图象开口向下，故A错误；
B：抛物线的顶点坐标是 ，故B错误；
C：对称轴是直线 ，说法正确，故C正确；
D： ，函数图象开口向下，对称轴为直线 ，当 时， 随 增大即有增大部分也有减小
部分，故D错误；
故选：C．1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线 平移到抛物线 ，点
， 分别在抛物线 ， 上．下列结论：①无论 取何值，都有 ；②若点 平移后
的对应点为 ，则 ；③当 时，线段 的长随着 的增大而减小．其中正确的结论为
（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次
函数的性质，数形结合是解题的关键．
求得抛物线 的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线 向右平移3个单
位，向下平移3个单位得到抛物线 ，即可求得 平移后的对应点为 的最短路程为
，即可判断②对；由 可知当 时，
，根据一次函数的性质即可判断③对．
【详解】解： 抛物线 开口向下，顶点为 ，
无论 取何值，都有 ，故①对；
将抛物线 的顶点为 ，抛物线 开口向下，顶点为 ，将抛物线 向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线 ，
点 平移后的对应点为 的最短路程为 ，故②对；
，当 时， ， 随着 的增大而减小，
当 时，随着 的增大，线段 变短，故③对．
故选：A．
2．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，直线 与二次函数 的图象相交
于A、B两点，与 轴相交于点 ，若 ，则
（1）对称轴是直线 ；
（2） ．
【答案】 12
【分析】本题考查了二次函数关于对称轴对称，关键在于结合图形，找到线段的长度，属于基础题．
根据对称轴为直线 ，结合 即可求解．
【详解】解：设对称轴与 交于点 ．
，
，
∴对称轴为直线 ， ，
，，
，
故答案为： ，12．
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数 的图象上有三点 、
、 ，则 的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由二次函数为 ，从而
对称轴是直线 ，且抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近函数值越小，最后结合
，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵二次函数为 ，
∴对称轴是直线 ，且抛物线开口向上．
∴抛物线上点离对称轴越近函数值越小．
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数 ，若该函数图象的顶点坐标为 ．
(1)求b，c的值．
(2)当 时，求 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)当 时，
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）由题意可设二次函数式为 ，化简即可得出答案；（2）根据二次函数的性质计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵函数图象的顶点坐标为 ，
∴设该二次函数式为 ，化简得 ，
∴ ， ；
（2）解：由题意得，对称轴 ，
∵ ，
∴当 时， ， ； ， ，
即当 时， ．
【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】
【例3】（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）若 则二次函数 的图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据 得到二次函数的图象开口向上，二次函数
的对称轴为直线 ，即对称轴在y轴的右侧，根据 得到二次函数的图象与y
轴交点 不是原点，即可作出判断，得到答案．
【详解】解：∵
∴二次函数的图象开口向上，二次函数 的对称轴为直线 ，即对称轴在y轴的右
侧，
∵，∴二次函数的图象与y轴交点 不是原点，
故选D．
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）某同学将如图所示的三条水平直线 的其中一条记为
轴（向右为正方向），三条竖直直线 的其中一条记为 轴（向上为正方向），并在此坐标平
面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的 轴和 轴分别为直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，由已知求得顶点坐标为 ，再结合 ，即可确定坐标
轴的位置．
【详解】解：∵ ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴抛物线与 的交点为顶点，
∴ 为y轴，
∵二次函数 与y轴的交点为 ，且 ，
∴ 为x轴，故选：B．
2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，
若 和 是抛物线上的两点．若对于 ，都有 ，则a的取值范围
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．先确定对称轴，再分
、 两种情况，分别根据二次函数的性质列不等式求解即可．
【详解】解： 抛物线 的对称轴为直线
∴①若 ，则 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
对于 ， ，都有 ，
，
，
，
，
，
；
②当 时，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．
设抛物线上的点 关于直线 的对称点为
对于 ， ，都有 ，
，
．
综上， 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线 从左至右交抛物线 于点 ．且两条抛物线的顶点 都在直线 上， 均平行于 轴．已知 ，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键．
根据题意得出 ， ， ，再结合抛物线的对称性得到 ，计算即
可求出．
【详解】解：由图可知 ， ， ，
．
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 （ ， 是常数）经过点
， ，点 是这条抛物线上的一点，其横坐标为 ．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)当点 与此抛物线的顶点重合时，求 的值；
(3)若过点 作与 轴平行的直线交抛物线于点 ，交 轴于点 ，且点 是线段 的中点，求 的值；(4)当 时，抛物线在 ， 两点之间（包含 ， 两点）的图象的最低点到 轴的距离比最高点到
轴的距离大1，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或 或
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练利用分类讨论的思想，正
确画图是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出 ， 的值即可；
（2）将抛物线解析式化为顶点式即可求出m的值；
（3）设点 ，根据点 是 的中点可得点 的横坐标为 ，可得
，解方程可求出 的值；‘
（4）分类讨论，分析不同情况的最低点和最高点，根据题意即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线 （ ， 是常数）经过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵点 与此抛物线的顶点重合，且横坐标为 ，
∴ ；
（3）解：∵点 在抛物线上，且横坐标为 ，∴设 ，
∵ 轴，
∴点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，
∵点 是线段 的中点，
∴点 的横坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ， （舍去），
故 ．
（4）解：当 时，此时点P在点B左边，
此时点P为最高点，点B为最低点，
∵ 到x轴的距离为3，
∴点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为 ，
把 代入抛物线，可得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ；
当 时，此时点P在点B右边，此时点P为最低点，点B为最高点，
最低点到x轴的距离不可能比最高点到x轴的距离大1，故不成立；
当 时，此时点P在点B右边，此时二次函数顶点 为最低点，点 为最高点，
最低点到x轴的距离比最高点到x轴的距离大1，恒成立；
当 时，此时点P在点B右边，
此时二次函数顶点 为最低点，点P为最高点，
∴点P的纵坐标为3，
把 代入抛物线，可得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
综上所述， 或 或 ．
【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】
【例4】（24-25九年级上·山西晋城·期末）若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，
则 ， ， 的大小用“＜”连接的结果为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，学握二次函数与不等式
的关系．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点与对称轴的距离大小关系求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 （ 为常数）的图象上的两点．
、 ，若 ，且 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较 的大小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图像性质以及函数值的大小比较，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据二次函数的对称性及开口方向，结合已知条件判断两点纵坐标的大小关系．
【详解】解：∵ ，
∴该二次函数的图象的对称轴为 ，开口向上，
∵ ，
∴ ， ，
∵
，
，即 ．
故选：B．
2．（2025·山东临沂·模拟预测）对于一个二次函数 中存在一点 ，使得，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为
．
【答案】
【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的 、 的值，由 得 ，解
出 再代入 ，即可求解．
【详解】解： 抛物线 ， ， ，
， ，
，
解得： 或 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识
是解答本题的关键．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 经过点 ， ，试比较 和
的大小： ．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】>
【分析】比较三个点离直线 的远近即可得到 、 的大小关系．【详解】∵
∴抛物线对称轴为直线 ，开口向上，
∵
∴ 离对称轴较近，
∴ ．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，
但是一道比较容易出错的题目．
4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线 经过点 ．
(1)求 的值．
(2)若点 ， 都在该抛物线上，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出 是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据（1）所求得到抛物线开口向下，对称轴为直线 ，则离对称轴越远函数值越小，据此求解
即可．
【详解】（1）解：把 代入到抛物线解析式中得： ，
解得 ；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵ ，
∴ ．【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】
【例5】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析 、 的符号，再逐一判断选项是否符合．
【详解】解：∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图象中， ，
，即 ，
符号均一致，A项符合题意．
∴
∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图象中， ，
的符号矛盾，B项不符合题意．
∴
∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图象中，对称轴 ，
则 ．
的符号矛盾，C项不符合题意．
∴
∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图象中， ，对称轴
，则 ．
∴b的符号不一致，D项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的
关系是解题的关键．1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，则下列结
论正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，能根据图象确定系数正负是解此题的关键．
根据二次函数的图像确定系数的符号即可．
【详解】由图像开口向上，所以 ，
又对称轴 ，所以 ，
又图像与 轴相交于正半轴，
所以 时， ，
综上， ， ， ．
故选：A．
2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线 （ ， ， 是常数）开口向下，过
， 两点，且 ．下列四个结论：① ；②若 ，则 ；③若点
， 在抛物线上， ，且 ，则 ；④当 时，关于 的一元二次方
程 必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，
增减性，二次函数与 轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下，即 ，对称轴直线为 ，且 可判定①；根据二次
函数对称轴直线的计算方法，图象过点 的知识结合可判定②；根据题意可得点 到对称轴的距离
小于点 到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，
一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解．
【详解】解：抛物线 （ ， ， 是常数）开口向下，
∴ ，
∵二次函数图象过 ， 两点，
∴对称轴直线为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
若 ，则 ，
∵ ，
∴对称轴直线为 ，即 ，
∴ ，
把 代入抛物线得， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线 （ ， ， 是常数）开口向下，过 ， 两点，且 ，∴对称轴直线为 ，
∴ ，
已知点 ， 在抛物线上， ，且 ，
∴点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，图象开口向下，
∴ ，故③正确；
已知抛物线 （ ， ， 是常数）开口向下，过 ， 两点，
∴设抛物线解析式为： ，
令 ，整理得， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④ ．
3．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，
对称轴为 ．给出四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论数是 （填序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键；根据二次函数的图像和性质是解题的关键；
【详解】解：①由图象知和 轴有两个交点，
，
（正确）．
②由图象知；图象与 轴交点在 轴的上方，且二次函数图象对称轴为 ，
， ， ，
即
③图象过点 ，对称轴为 ，
故 时，则 ，
故当 时， ，
，
故 ；
故③④正确；
故答案为：①③④
4．（2025·江西上饶·模拟预测）已知抛物线 ： 与抛物线 ： 中，若满
足 ，则称抛物线 ， 为“比例”抛物线．
(1)已知 与 是“比例”抛物线．
①b的值为______；
②求出它们的交点坐标．
(2)设抛物线 ， ， 的顶点分别为D，E，F．
①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”）
②若EF＝4DE，求a的值．
【答案】(1)① ；②它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6）
(2)①它们是 “比例”抛物线；② 或【分析】（1）①利用题干所给“比例”抛物线的定义分析列比例式即可求得；
②联立 解方程组写出交点坐标即可；
（2）①利用题干所给“比例”抛物线的定义列比例式分析即可求得；
②题干告知 ，要求 的值，分别表示D，E，F三点的坐标，并利用距离坐标公式求知答案．
【详解】（1）解：（1）①∵ 与 是“比例”抛物线．
所以 即 ，
解得 ；
② ，
消去y得 ，
整理得 ，
解得： ，
∴ ，
∴它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6）；
（2）①∵ ， ， 根据所给“比例”抛物线的定义
，满足定义，
∴它们是 “比例”抛物线；
②∵ ，
∴ ，
，∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或
∴ 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图像，结合二次函数图像的性质和特征以及题干所给的“比例”抛物线的定义
综合分析思考是解题关键．
【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】
【例6】（24-25九年级上·全国·期末）二次函数 与正比例函数 在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，由二次函数 可知抛物线与 轴交于点
，可判断C，D 不符合题意，由A选项中的抛物线可知 ，由直线可知 ，可判断B不符合
题意，由B选项中的抛物线可知 ，由直线可知 ，可判断B符合题意，掌握相关知识是解题的关
键．
【详解】解：由二次函数 可知抛物线与 轴交于点 ，故C，D选项中的图象不符合题意；
由A选项中的抛物线可知 ，由直线可知 ，故选项中的图象 不符合题意；
由B选项中的抛物线可知 ，由直线可知 ，故B选项中的图象符合题意；
故选：B．
1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，函数 和 （ 是常数，且 ）
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当 时；当 时；结
合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解．
【详解】解：当 时，则 ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限；
二次函数 的图象开口向上，对称轴为 ，即对称轴在 轴的左边，当 时，，即与 轴交于点 ；
∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意；
B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意；
C、D选项均不符合该种情况；
当 时， ，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限；
二次函数图象开口向下，对称轴 ，即对称轴在 轴右边，与 轴交于点 ；
如图所示，
∴D选项的图符合题意，
故选：D ．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数
的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格：
2
以下五个结论：①点 在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直
线 对称；④点 ， ，若 ，则 ；⑤若直线 与函数 的图
象有 个公共点，则 ．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把 代入函数解析式求出 的值即可判断①；由绝对值
的性质可得即不管 取何值，始终有 ，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的
性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：当 时， ，
∴点 在函数的图象上，故①正确；
当 时， ，
当 时， ，
即不管 取何值，始终有 ，
∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确；
由表知，函数的图像关于直线 对称，即关于 轴对称，故③错误；
∵当 时， ， 随 的增大而减小，
∴点 ， ，若 ，则 ，故④正确；
由②可知， ，
画函数图象如下：
当 时， ，
由图象可知，当直线 与函数 的图象有 个公共点时， ，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，直线y＝kx＋h和抛物线 交于 、
两点，则关于x的不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】根据图象直线在抛物线上方的部分即可得出答案．
【详解】解：由 知，
即图象上直线在抛物线上方的部分，
由图象可知x的取值范围 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数与不等式的关系，关键是要会把数和形有机结合．
4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数 的图象与二次函数 的图象交于点
和 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的值：
(2)求 的面积；
(3)直接写出 时， 的取值范围．【答案】(1) ， ，
(2) 的面积为
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、三角形面积的计算以及根据函数图象比
较函数值大小，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，并结合数形结合思想解决函数值比较
问题．
（1）先将点 代入二次函数 求 ；再将点 代入二次函数求 ，得到点 完整坐标；最后将 、
代入一次函数 ，列方程组分别求 、 的值．
（2）先求一次函数与 轴交点 的坐标；将 分割为 和 ，以 为公共底，分别用点
、 的横坐标绝对值作高，再用三角形面积公式计算总和．
（3）根据两函数图象的交点横坐标，结合图象中一次函数图象在二次函数图象上方的区域，直接确定 的
取值范围．
【详解】（1）解： 点 在 上，
∵
，即 ，解得 ；
∴
点 在 上，
∵
，即 ；
∴
点 、 在 上，
∵
，
∴
用第一个方程减第二个方程： ，解得 ；
将 代入 ，得 ，解得 ；
故 ， ，
（2）解： ，令 ，则 ，
∵
点 ，即 ； ，
∴， ，
∵
．
∴
答： 的面积为 ．
（3）解：由两函数图象交点为 、 ，观察图象可知，当 时， 的取值范围是 ．
【经典例题七 y=ax2+bx+c的最值】
【例7】（2025·山东济南·模拟预测）秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九
章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为 ， ， ，记
，则其面积 ．若 ， ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．10
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出 ，把面积最大值问题转化为二次函数的
最大值问题．由已知可得 ， ，把 代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】∵ ， ，
∴
∴
由 ，得 ，
代入上式，得：设 ，
∵
∴当 时，y取得最大值4，
∴S的最大值为 ．
故选：A．
1．（24-25九年级上·山东日照·期中）二次函数 ，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当 时，y随x的增大而增大
C．当 时， D．二次函数的最小值是
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出
函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：将点 ， ， 代入到二次函数 中，得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ．
A、 ，抛物线开口向上，A不正确；B、 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、∵抛物线线与 轴交于点 ， ，且抛物线开口向上，
∴当 时， ，故C正确；
D、 ，二次函数的最小值是 ，D不正确；
故选：C．
2．（24-25九年级上·山西大同·期中）在二次函数 中，函数值y与自变量x的部分对应值如
下表：
x …… 1 …
y … 0 …
则当 时 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出二次函数的解
析式及对称轴方程是解答此题的关键．
由表中数据可得抛物线的对称轴为 ，运用待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象与性质可
得出结论．
【详解】解：由表格可知， 和 时均有 ，
∴对称轴为：
观察表格， 时 ，即顶点为 ，
设二次函数的顶点式为：
由表格中 ， ，代入顶点式得：
，即 ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ，
∴当 时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小，
，
当 时， 取得最小值，为 ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）规定：若 ， ，则 ．例如
， ，则 ．已知 ， ，则 的最小
值是 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义的运算，二次函数的性质．根据新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据
二次函数最值的求法解答即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
∴当 时， 有最小值，最小值是 ．
故答案为：
4．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)写出其图象的对称轴方程、及顶点坐标；
(2)当 满足_________时， 随 的增大而减小；
(3)当 ___________时， 有_________（填“最大”或“最小”）值为________．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ，最小， ；
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据对称轴公式和顶点公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：二次函数 ，
∴ ，
∴对称轴为 ，
∴对称轴方程为 ，
把 代入 中，得： ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：∵ ，
∴二次函数开口向上，
∵对称轴为 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴二次函数开口向上，有最小值，
∵顶点坐标为 ，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
故答案为： ，最小， ；
【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【例8】（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数 的部分对应值如下表：二次函数图象的
对称轴是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
A．直线 B．y轴C．直线 D．直线
【答案】D
【分析】本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键．
根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可．
【详解】解：根据题意，得 是对称点，
抛物线的对称轴为直线 ，
故选： ．
1．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象经过点
， ， ， ，其中 ， 为常数，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出 ， 两点关于抛物线的对称轴对称，
据此得出 ， 之间的关系，再将点 和点 代入二次函数解析式，进一步得出 ， 之间的关系，最后
用 表示出 和 即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 在二次函数 图象上，
∴ ， 两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 在二次函数 图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ 在二次函数 图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
2．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
（ ）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 ．当 ， 时， ，则
．
【答案】1
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当 ， 时， ，
所以将 ， 代入解析式得 ，化简求得 ，进而对称轴 可求，
题目可解．
【详解】解： 对于 ， ，有 ，
，
，
，
对称轴为 ，
．
故答案为：1．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的
对应值如表：
… 0 1 2 3 …… 5 0 0 …
那么该抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为 ，即可求解．
【详解】解：由表格可得，点 和点 对称，
∴对称轴为 ，
∴顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴 是解题的关键．
4．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，已知二次函数交 轴于 、 两点， 、 两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线
的对称轴 ．
(2)如图2，在抛物线对称轴 上作点 ，使 的值最小，写出 的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）本题考查二次函数对称性，根据对称的性质连接 与 得到交点 ，连接 与 得到
交点 ， 所在直线即为所求；
（2）本题考查轴对称最短距离和问题，根据 、 两点是抛物线上的对称点得到 ，即
最小时 最小，连接 交对称轴于一点即为所求，再根据抛物线性质求点即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，连接 与 得到交点 ，连接 得到交点 ， 所在直线即为对称轴如图所示，
（2）解：作点 关于抛物线对称轴的对称点 ，
∵ 、 两点是抛物线上的对称点，
∴ ，
∴ 最小时 最小，
∴连接 交对称轴于一点即为点 ，如图所示，
设直线 为 ，
由图可知， ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ 时， ，
∴ ．【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】
【例9】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知 ， ， 是抛物线
上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即
可．
【详解】∵抛物线 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，距离对称轴越远的点的函数值越小，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与
的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于
点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则 的值为（ ）
A．9 B． C．10 D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出
点B与C的横坐标，进而求出 的长．【详解】解：抛物线 与 的对称轴分别为直线 与直线 ，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为 ，
∴ ，
故选：C．
2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）对于二次函数 和 ，其自变量和函数值的两组对应
值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 ．
x m（ ）
c c
d
【答案】4
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
直接根据表格数据和二次函数的性质得 ，代入 ，将 用 表示即可求解．
【详解】解：由二次函数的性质可得 的对称轴为 轴，
由表可得 ，
，
又根据表格，对于函数 ，当 时， ，
即 ；
当 时， ，
即 。
故 。
，
，
故答案为：4．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①），可以发现数学的研究对象——抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在 轴上，
坐标原点 为伞骨 、 的交点．点 为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， 、 关于 轴对称．
分米，点A到 轴的距离是 分米，A、B两点之间的距离是4分米．分别延长 、 交抛物线
于点 ，则雨伞撑开时的最大直径 的长为 分米．
【答案】10
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
首先运用待定系数法求抛物线解析式，写出直线 的解析式，联立两个函数解析式，求出点F的坐标，
根据抛物线的对称性计算出点E的坐标，利用横坐标之差计算出 的长．
【详解】解：根据题意得：点 ， ， 在抛物线上，
设抛物线解析式为 ，将 代入解析式得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
设直线 的解析式为 ，将 代入解析式得：
抛物线的解析式为：
联立函数解析式 ，
解得： 或 （不符合题意舍去），
点F的坐标为 ，抛物线的对称轴是y轴，
点E的坐标为 ，
故答案为：10
4．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 ， ， 是抛物线上的三个点．若对于 ， ， ，都有
，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解；
（2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为 ．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若 ，
则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．②若 ，则当 时， 随
的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，抛物线 ．
∴ ．
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ．
对于 ， ， ；
①若 ，则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．∵ ， ，
∴ ， ．
设点 关于对称轴 的对称点为 ，
则 ， ．
∴ ．
∴ ．
（Ⅰ）当 时，有 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意．
（Ⅱ）当 时，有 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，符合题意；
（Ⅲ）当 时，令 ，则 ．
∴ ，不符合题意．
②若 ，则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．
∵ ， ，
∴ ．设点 关于对称轴 的对称点为 ，
则 ， ．
∴ ．
（Ⅰ）当 时，有 ， ．
令 ，则 ，即 ．
∴ ，不符合题意．
（Ⅱ）当 时，有 ，则 ．
若 ，有 ，则 ，符合题意；
若 ，
设点 关于对称轴 的对称点为 ，
则 ， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ，符合题意．
（Ⅲ）当 时，有 ．
∴ ，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是 或 ．【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】
【例10】（24-25九年级上·河北唐山·期末）老师在画二次函数 的图象时列表如下，四位同
学根据表格得到如下结论．
x … 0 1 2 …
y … 0 …
甲：该图象经过原点；乙：该图象开口向上；
丙：该图象的对称轴是y轴；丁：该图象经过点 ．
针对四人的说法，其中错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二
次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线经过点 ，则图象经过原点，故甲正确，不符合题意；
当 时的函数值小于 的函数值，则在对称轴左边，y随x增大而增大，所以图象开口向下，乙错
误，符合题意；
当 和 的函数值相同，对称轴为y轴，故丙正确，不符合题意；
设抛物线解析式为 ，
把 代入 中
得： ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
图象经过点 ，故丁正确，不符合题意，
故选：B．1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，二次函数 的部分图象与 轴的一个交点的
横坐标是 ，顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时， 随 的增大而增大
D．二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数的性质
成为解题的关键．
利用二次函数的性质、对称性、增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求
出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
【详解】解∶∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ，故选项B错误；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
设二次函数解析式为 ，把 代入，得 ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D错误．
故选C．
2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数 （ ， ）的图象是由函数
（ ， ）的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所
示，则下列结论正确的是 ．
① ；② ；③ ；④将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式，根据函数
图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为 ，进而可得 ，故①正确；由图象可得，当
时， ，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为 ，
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成可知 ，故
③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得： 与x轴的两个交点的横坐标为 和3，
∴对称轴为直线 ，即 ，∴整理得： ，故①正确；
由图象可得，当 时， ，故②正确；
∵ 与y轴的交点坐标为 ，函数 在
的部分是由原函数下方部分沿 轴向上翻折而成的，
∴ ，故③错误；
设抛物线 的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 在 的最大值为4，
∵将函数 向上平移1个单位后，函数 在 的
最大值为5，
∴将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）二次函数 为常数， 的自变量
与因变量 的部分对应值如表格，关于这个二次函数的图象下面说法：①抛物线的对称轴为 轴；②抛
物线的开口向下；③抛物线与 轴的交点坐标为 ；④当 时， ，其中正确的有 ．
0 2 3 4
1
7 3 1 3 7
3
【答案】 /
③④④③【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系
数法求出二次函数的性质，由此可判断抛物线的对称轴和开口方向，再将相应的 的值代入求出 的值，
由此即可得判断说法③和④．
【详解】解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则二次函数的解析式为 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，说法①错误；
∵ ，
∴抛物线的开口向上，说法②错误；
当 时， ，即抛物线与 轴的交点坐标为 ，说法③正确；
当 时， ，说法④正确；
综上，正确的有③④，
故答案为：③④．
4．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）在二次函数 中， 与 的几组对应值如表所示．
… 0 1 …
… 1 …(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最小值为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) ；图象见解析
(3)5或1
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；
（3）根据二次函数的性质以及当 时，图象对应的函数最小值为 ，可得 或 ，再分别把
和 代入函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，∴点 关于直线的对称点为 ，
画出函数图象，如图，
（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为 ，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线 ，函数的最小值为 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
∵当 时，图象对应的函数最小值为 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
若 ，当 时，图象对应的函数最小值为 ，
此时 ，
解得： 或3（舍去）；
若 ，当 时，图象对应的函数最小值为 ，
此时 ，
解得： 或3（舍去）；
综上所述，n的值为5或1．
【经典例题十一 二次函数图象的平移】
【例11】（2025·陕西·模拟预测）若点 在抛物线 （ ）上，则下列各点在抛物
线 上的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．观察抛物线
和抛物线 可以发现，它们通过平移得到，故点 通过相同的平移落在抛物线
上，从而得到结论．
【详解】∵抛物线 是抛物线 （ ）向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度
单位得到，
∴抛物线 上点 向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位，会落在抛物线
上，
∴点 在抛物线 上，
故选：D
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线 与 交于点 ，以
下结论：
①无论 取何值， 总是负数；
② 可由 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当 时，随着 的增大， 的值先增大后减小．
下列说法正确的是（ ）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确
【答案】C
【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析
即可得到本题答案．
【详解】解： ，
，
，
无论 取何值， 总是负数，故 正确；
①
抛物线 与 交于点 ，
当 时， ，即 ，解得： ，
，
可由 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故 正确；
②
，
随着 的增大， 的值减小；故 错误．
③
故选：C．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某二次函数一部分自变量 和函数值 的对应情况如表所示．如果将这个
二次函数的图像向右平移 个单位后，图像经过原点，那么 的值是 ．
x … …y … …
【答案】1
【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，利用待定系数法求
得函数的解析式，然后求出这个二次函数的图象向右平移 个单位后的函数解析式，再由函数图象过
原点即可得出 的值．
【详解】解：设该二次函数的表达式为 ，
由题意得： ．
解得 ，
该二次函数的表达式为 ，
，
二次函数 的图象向右平移 个单位后的解析式为 ，
经过原点，
，
解得 ， （负数舍去）．
故答案为：1．
3．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线 沿y轴向下平移一段距离后，得到一条
新的抛物线 ；若曲线段 平移至曲线段 ，曲线段 所扫过的为阴影部分，则阴影部分
的面积是 ．【答案】16
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形
是平行四边形，根据 求出线段 的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据
平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接 ，由平移的性质可知四边形 是平行四边形，
当 时， ，
解得 ，
∴ ．
∵ 的顶点坐标为 ， 的顶点坐标为 ，
∴抛物线向下平移了4个单位长度，
∴阴影部分的面积是 ．
故答案为：16．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，点 在抛物线C： 上，且在C的对称轴右侧．(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 ， ．平移该胶片，使
所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
【答案】(1)对称轴为直线 ， 的最大值为4，
(2)5
【分析】（1）由 的性质得开口方向，对称轴和最值，把 代入 中即可
得出a的值；
（2）由 ，得出抛物线 是由抛物线C： 向左平移3
个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点 移动的最短路程．
【详解】（1） ，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，有最大值，即 的最大值为4，
把 代入 中得：
，
解得： 或 ，
∵点 在C的对称轴右侧，
∴ ；
（2）∵ ，∴ 是由 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为 ，
∴ 移动的最短路程为5．
【点睛】本题考查二次函数 的图像与性质，掌握二次函数 的性质以及平移
的方法是解题的关键．
【拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径】
1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当 ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据OA＝2，OC＝6，求得 的坐标，进而待定系数法求解析式即可；（2）先由抛物线解析式求得对称轴，根据抛物线的对称性可得 关于对称轴对称，求得点 的坐标，设
与抛物线对称轴的交点为 ，根据 ACD的周长为 ，
则点 与 重合时， ACD的周长最小,根据 的坐标求直线 的解析式，进而根据 与抛物线对称
轴交点即可求得点 的坐标
【详解】（1）解：∵OA＝2，OC＝6，
∴ ，代入y＝x2+bx+c
解得
抛物线的解析式为
（2）由抛物线的解析式为 ，对称轴为
关于 对称，
设 与抛物线对称轴的交点为 ，
ACD的周长为 ，
则点 与 重合时， ACD的周长最小,
设直线 的解析式为 ,
则解得
为 与 的交点，
令 ，
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关
键．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
且 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）y=x2-2x-3，（1，-4）；（2）M（1，-2）
【分析】（1）把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；（2）直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．
【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-3上，
∴b=-2，
∴抛物线解析式y=x2-2x-3，
∵抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点D的坐标（1，-4）；
（2）对于y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，
∴B（3，0），
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周
长最小，
设直线BC的表达式为y=mx+n，则 ，
解得： ，
故直线BC的表达式为y=x-3，
当x=1时，y=-2，故点M（1，-2）．
【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线
的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．
3．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，直线 与y轴交于点A，直线 与y轴交于点B，抛物线 的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中 ）．
(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭
图形的边界上的“整点”的个数．
【答案】(1)P（−3，3 ）
(2)点C与l距离的最大值为1；
(3)m＝2022时“整点”的个数为4046个．
【分析】（1）由题意求出m＝6，得出抛物线L的解析式为y＝x2＋6x，当B、P、D三共线时， OBP周
长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案； △
（2）求出L的顶点C(− ，− )，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立两个解析式得出 ，解得x
1
＝−2022，x
2
＝1，求出线段和抛物线上各有2024个整数
点，则可得出答案．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝x＋m＝m，
∴B （0，m），
∵AB＝12，
∵A（0，−m），
∴m−（−m）＝12，
∴m＝6，
∴抛物线L的解析式为：y＝x2＋6x，
∴抛物线L的对称轴x＝−3，
又知O、D两点关于对称轴对称，则OP＝DP，
∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB，∴当B、P、D三共线时， OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，
当x＝−3时，y＝x＋6＝3，△
∴P（−3，3 ）
（2）解： =(x＋ )2− ，
∴L的顶点C(− ，− )，
∵点C在l上方，
∴C与l的距离＝− −(−m)＝− (m−2)2＋1≤1，
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）解：当m＝2021时，抛物线解析式L：y＝x2＋2022x，直线解析式a：y＝x＋2022，
联立上述两个解析式得方程组 ，
可得：x
1
＝−2022，x
2
＝1，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且−2022和1之间（包括−2022和1）共有2024个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2024个整数点，
∴总计4048个点，
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴整点”的个数：4048−2＝4046（个）；
故m＝2022时“整点”的个数为4046个．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的图象及性质，
灵活运用轴对称求最短距离解题是关键．
【拓展训练二 二次函数与一次函数的综合】
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 ，
(1)若此二次函数的图象经过 ，求a的值；
(2)若此二次函数的图象经过 、 ，且有 ，求a的取值范围；(3)若一次函数 ，对于 时 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，
（1）把已知点 代入解析式求出a的值；
（2）求出函数值m和n，然后根据题意列不等式求出a的取值范围即可；
（3）求出 的关系式 ，根据当 时， ，即可得到 ，根
据题意得到 ，求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵二次函数 的图象经过 、 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
（3）解： ，
，
，
当 时， ，
∵ ，，
即 ，
解得 ，
∵ 时 恒成立，
∴ ，
解得 ．
2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知二次函数 、 的图像如图所示，过点
作直线l与这两个函数图像交于A、B、C、D四点（点A、B、C、D依次从左往右）
(1)若直线 轴，则 __________ （填“ 或 ” ）
(2)设直线l的函数表达式为 ，A、B、C、D四点的横坐标分别为 ，记 ，
．
①若 ，请你判断s、t中哪一个是黄金分割数，并说明理由；
②若 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)① 是黄金分割数，理由见解析；② ．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，两点间的距离公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设直线为 ，求得 ， ， ， ，再求出 的值，即可得
出结论；（2）①先求出 ， ， ，
，当 时，则 ， ， ， ，求得 ，
，即可得出答案；
②当 时，即 ，得到 ，再求出 ， ，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 轴，
∴设直线为 ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ， ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解：联立得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
①当 时，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
∵黄金分割数为 ，
∴ 是黄金分割数；
②当 时，即 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
，
∴ ．
3．（2025·山东济南·模拟预测）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关
问题．
(1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1， 的图象与x轴、y轴交于点 、
，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得 ，所以点C坐标为______，由此可求得直线
BC的表达式．
承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线 上一点 ，沿y轴翻折得点
，则 ， ，即 ，代入 得翻折后所得直线的表达式为
______．
(2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数 的图象沿直线 翻折后所得图象的表
达式．
(3)下列说法中正确的有______ 填序号
①将一次函数 的图象沿直线 翻折得到直线的表达式为 ；②将反比例函数 的图象沿直线 翻折所得图象的表达式为 ；③将二次函数 的图象沿y轴翻折得到图象的表达
式为 ；④将函数 的图象沿直线 翻折得到图象的表达式为
(4)将抛物线 沿直线 翻折得到图象G，直线 与图象G有两个公共点 ，
，且 ，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)二次函数 的图象沿直线 翻折后所得图象的表达式为
(3)①③④
(4)b的取值范围为
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及一次函数，反比例函数，对称变换等知识，解题的关键是掌握
关于某直线对称的两点的坐标关系．
（1）由 ，即得 ，由 ，可得 ；
（2）任取二次函数 的图象上一点 ，沿直线 翻折得点 ，故
，即可得 ；
（3）设一次函数 的图象上一点为 ，点 沿直线 翻折得到点 ，可得
，从而 ，知 ，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确；
（4）任取二次函数 的图象上一点 ，沿直线 翻折得点 ，即可得图象G的表达式为 ，联立 ，可得 ，由直线 与图象G有两
个公共点 ，有 ，故 ，解得
，又 ，可得 ，即 ，得
，解得 ；即知b的取值范围为
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）解：任取二次函数 的图象上一点 ，沿直线 翻折得点 ，
，
，
；
二次函数 的图象沿直线 翻折后所得图象的表达式为 ；
（3）解：①设一次函数 的图象上一点为 ，
点 沿直线 翻折得到点 ，
，，
，故①正确；
②设反比例函数 的图象上一点为 ，
点 沿直线 翻折得到点 ，
，
，
，故②错误；
③设二次函数 的图象上一点为 ，
点 沿y轴翻折得到点 ，
，
，
∴ ，故③正确；
④设函数 的图象上一点为 ，
点 沿直线 翻折得到点 ，
∴ ， ，
，故④正确；
正确的有①③④，
故答案为：①③④；
（4）解：任取二次函数 的图象上一点 ，沿直线 翻折得点 ，
，
将 代入得 ，图象G的表达式为 ，
联立 ，
∴ ，
整理得
直线 与图象G有两个公共点 ，
，
∴ \，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
解得 ；
的取值范围为【拓展训练三 二次函数图象与性质的综合】
1．（24-25九年级上·广西河池·期末）一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离 （单位：m）与滑行时
间 （单位： ）之间的关系式，测得一组数据（如下表）．
滑行时间
0 1 2 3 4
滑行距离
0 5 14 27 44
(1)为观察 与 之间的关系，小明建立如图平面直角坐标系，以 为横坐标， 为纵坐标，描出表中数据对
应的 个点，并用平滑的曲线连接它们．结合学过的一次函数、二次函数图象，我们可以用 （填“一次函
数”或“二次函数”）近似地表示 与 之间的函数关系；
(2)求 与 之间的函数关系式．
【答案】(1)二次函数；
(2) ．
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式
是解题的关键．
（1）描点，连线，画出函数图象；
（2）由图象可得出 与 的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系
式即可．
【详解】（1）解：二次函数，描点如图所示，（2）解：设 关于 的函数关系式为 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ，
近似表示 关于 的函数关系式为 ．
2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 和一次函数 ．
(1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(2)若这两个函数的图象的交点为 ， （点 在点 左侧）．
结合图象，直接写出点 和点 的坐标；
求 的面积．
【答案】(1)见解析；(2) 点 ，点 ； ．
【分析】（ ）根据画函数图象的方法和步骤即可求解；
（ ） 根据函数图象即可求解；
先求出一次函数 与 轴交点 坐标，根据 即可求解；
本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，画一次函数和二次函数的图象，求与坐标轴围成的三角形的
面积，正确掌握一次函数和二次函数的知识是解题的关键．
【详解】（1） 列表：
描点；
连线；
∴如图所示，即为所求；
（2） 根据图象可知：点 ，点 ；
如图，当 时， ，即 ，
∴ ．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移1
个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 轴交于点 、 (点 在点 的左侧)，
，经过点 的一次函数 的图象与 轴正半轴交于点 ，且与抛物线的另一个交点为
， 的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当 面积的最大值时，求出此时点E的坐标；
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ；(2)
【分析】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质．
（1）先写出平移后的抛物线解析式，再把点 代入可求得 的值，由 的面积为5可求出点
的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由 、 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）作 轴交 于 ，利用三角形面积公式，由 构建关于E点横坐标的二次
函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛
物线解析式为 ，
∵ ，∴点 的坐标为 ，
代入抛物线的解析式得， ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ；
令 ，解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为5，
∴ ，
∴ ，
代入抛物线解析式得， ，
解得 ， ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：过点 作 轴交 于 ，如图，
设 ，则 ，
∴ ，
∴
，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，此时 点坐标为 ．1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位
长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握二次函数图象平移的“左加右减，上加
下减”法则．
根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则，对抛物线 进行向左平移和向上平移的操作，
从而确定平移后的抛物线解析式．
【详解】解：二次函数图象的平移，遵循“左加右减（针对 ），上加下减（针对常数项）”的法则．
抛物线 向左平移2个单位长度，根据“左加”， 变为 ，此时解析式变为 ．
再向上平移3个单位长度，根据“上加”，在解析式后面加上3，最终得到的抛物线解析式为
．
故选：A．
2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① ；②
；③ ；④ ．则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小；
【详解】解：直线 与四个二次函数的图象的交点分别为 ；
由图像可知： ；
故选：D
3．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数 图象得出字母系数的
正负，再由一次函数 的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次
函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键．
【详解】解： 、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，该选项正
确，符合题意；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，该选项错误，不合题意；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，该选项错误，不合题意；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，该选项错误，不合题意；
故选： ．4．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数 的 与 的部分对应值如表，则下
列判断中错误的是（ ）
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．当 时，
D．若 ， 是图象上两点，则
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛
物线的对称性可对B进行判断；把 代入函数解析式求出y值即可判断C；根据二次函数的图象和性质
可对D进行判断．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，开口向上，所以A选项不符合题意；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，所以B选项不符合题意；
把 代入 ，
解得： ，所以C选项不符合题意；
∵ ， 是函数 图象上两点，
且 ，
离对称轴越近越小，则 ，所以选项D符合题意，故选：D．
5．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 ，过点 且平行于
轴的直线与抛物线 交于 两点，与抛物线 交于点 ，抛物线 与 轴交于点 ，
连接 ， ．若 ，则梯形 的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，根据题意可得抛物线 的
对称轴为直线 ，当 时， ，则 ， ．结合 ，得 ．由题
意可知， 两点关于对称轴直线 对称，则 ，将 代入 ，结合
抛物线 的对称轴是直线 ，求出 ，令 ，求出 ，则
，根据 求解即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时， ，
， ．
，．
由题意可知， 两点关于对称轴直线 对称，
，将 代入 ，得 ．
抛物线 的对称轴是直线 ，
，
，
，
令 ，
，
，
，
，
．
故选： B．
6．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）若二次函数 的图像经过点 ， ，则
（填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数图象的对称性和增减性．先
求出二次函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性，即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴对称轴为直线 ，开口向上，
∴距离对称轴越远，函数值越大，∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数 的图
象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数 ，在 时， ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的对称性，观察表格中的数据，得到 和 的函数值相等，进而得到抛
物线的对称轴为直线 ，进而得到 和 的函数值相同，即可得出结果．
【详解】解：观察可知： 和 的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 和 的函数值相同，
由表格可知， 的函数值为 ，
∴在 时， ；
故答案为： ．
8．（2026九年级·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，平移抛物线 得到抛物线 ．
（1）平移方式可以是先向右平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
（2）若P是抛物线 上的一点，则点P移动的最短距离是 ．
【答案】 下
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题
的关键．
（1）根据函数图象平移的法则即可求解；
（2）点 移动的最短距离是两抛物线顶点间的距离，根据两点间的距离公式求解即可．【详解】解：（1）平移抛物线 得到抛物线 ，平移方式可以是先向右平移 个单位长
度，再向下平移 个单位长度；
故答案为：① ，②下，③ ；
（2）抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ，
两顶点之间的距离为 ，
故点 移动的最短距离是 ；
故答案为：④ ．
9．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）二次函数 的变量 与 的部分对应值如下表，那么
时，对应的函数值 ．
．．． 1 3 5 ．．．
．．． 7 0 7 ．．．
【答案】0
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．利用待定系数法求出函数解析式，再把 代入，即可求解．
【详解】解：把 代入 得：
∴ ，
解得： ，
∴该函数解析式为 ，
当 时， ．
故答案为：0．10．（24-25九年级上·黑龙江·开学考试）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．
有以下结论：① ； ② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的序号有
．
【答案】①②④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向得到 ，由抛物线的对称轴方程得
到 ，由抛物线与y轴的交点位置得到 ，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到
，则可对②进行判断；利用对称轴 可对③进行判断；利用 时函数值为正数可对
④进行判断；利用 结合 可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
所以③错误；
∵抛物线开口向下， 是对称轴，所以 对应的y值是最大值，
∴ ，所以④正确．当 时对应的函数图象在x轴下方，即 ，
∴ ，
而 ，
∴ ，故⑤正确；
所以，正确的结论是①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
11．（25-26九年级上·广东广州·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数 和 的图象，并
指出这两个函数图象的交点坐标．
【答案】画图见解析，
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数图象的画法是解题的关
键；利用描点法作出两种函数的图象后直接写出交点坐标即可．
【详解】解：列表得：
0 1 2
0 1 2
4 1 0 1 4
函数图象如图所示：由图象可知：交点坐标为 ．
12．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示．
(1)该抛物线与y轴的交点坐标是________；
(2)当x________时，y的值随x的值增大而减小；
(3)当 时，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）求出当 时，y的值，即可得到答案；
（2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可；
（3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可．
【详解】（1）解：∵当 时， ，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为 ，故答案为： ．
（2）解：∵二次函数 中的 ，
∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，y的值随x的值增大而减小，
故答案为： ．
（3）解：∵二次函数 中的 ，顶点坐标为 ，
∴二次函数的开口方向向下，最大值为5，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是 ．
13．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象；
(2)根据图象回答：
①当 时， 的取值范围是_____；②判断 在二次函数图象上方还是下方?（需要过程）
【答案】(1)作图见详解
(2)① ；② 在二次函数图象上方
【分析】本题考查二次函数图象与性质，利用描点法作出二次函数图象是解决问题的关键．
（1）先列表，再描点、最后连线即可作出二次函数图象；
（2）由（1）中二次函数图象，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数 ，列表：
0 1 2
5 0
作出函数图象：
；
（2）解：根据图象：
①当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ；
②在二次函数 中，当 时， ，
，
即点 在点 正上方，
在坐标系中描点 ，如图所示：在二次函数图象上方．
14．（24-25九年级上·金山南通·阶段练习）如图，二次函数图象的顶点坐标为 ，与 轴的交点坐标
为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当 时， 的取值范围是________；
(3)若点 在该函数图象上，且 ，则 的取值范围为________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，平移变换的性质，二次函数最值和增减
性应用等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式 ，再把 代入求出a得到抛物线的解析式为
；
（2）分别计算出 和 所对应的函数值，然后根据二次函数的性质得到y的取值范围；（3）根据二次函数的性质，通过分析两点到对称轴的距离来求解b的取值范围．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
而 时，y有最小值 ，
所以当 时，y的取值范围为 ．
故答案为： ；
（3）解：∵点 ， 在该函数图象上，且 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
又根据二次函数的性质，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∴ ，
即 ，
∴ ，
，
解得 ，
故答案为： ．
15．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数 的图象如图．(1)求它的对称轴与 轴交点D的坐标；
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 轴， 轴的交点分别为A、B、C三点，若
，求此时抛物线的解析式；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 化成顶点式 ，从而算出其对称轴，然后得到点 的坐标；
（2）不妨设此时抛物线的解析式为 ，设点 ，然后表示出点 ，然
后通过 ，得到 ， ，表示出 ，接着根据 ，
列出方程解出答案即可．
【详解】（1）解： ，
对称轴为 ，
；
（2）解：不妨设此时抛物线的解析式为 ，设点 ，
当 时， ，
，当 时， ，
， ，
，
， 是斜边上 的中点，
，
，
，
，
（舍去）或 ，
此时抛物线的解析式为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
