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专题 02 二次函数重难点题型汇编
【题型01 ：二次函数的概念】
【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】
【题型03：列出二次函数关系式】
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
【题型09：二次函数的平移变换】
【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【题型11：二次函数的交点个数问题】
【题型11：抛物线与x轴的交点问题】
【题型12：抛物线与x轴的交点问题】
【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【题型14：根据交点确定不等式的解集】
【题型01 ：二次函数的概念】
1．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
2 1
A．y=2x+1 B．y= C．y= D．y=2x2−7
x x2
2．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（
）
1
A． y=5x−1 B．y=ax2+bx+c C． y=2x(x+1) D．y=3x2+
x
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）函数y=4x2−3x+1的二次项系数是（ ）A．4 B．−3 C．3 D．1
【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】
1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数 是关于x的二次函数，则
y=(m−1)x|m))+1+5
m=（ ）
A．−1 B．1 C．1或−1 D．2
2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知 是二次函数，则
y=(a+1)xa2+1+3x−6 a=
（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．1或−1
3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数 是二次函数，则 的
y=mx|m−2)−(m+1)x+2 m
值是 ．
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数 是二次函数．
y=(m−1)xm2+m−3x+5
(1)求m的值；
(2)当x=1时，求y的值．
【题型03：列出二次函数关系式】
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季
度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系
式是（ ）
A． B．
y=50(1+x) 2 y=50+50(1+x)
C． D．
y=50(1+x)+50(1+x) 2 y=50+50(1+x)+50(1+x) 2
2．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是24cm，其中一个正方形的
边长为 ．若以两个正方形面积之和 为函数，其中一个正方形的边长 为
xcm y(cm2) x(cm)
自变量，它们的关系式是（ ）
A． B．
y=x2+(24−x) 2 y=x2+(24−4x) 2C． D．
y=x2+(6−x) 2 y=x2+(6−4x) 2
3．（23-24九年级上·河南周口·期中）正方形的边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y
与x的关系式为（ ）
A．y=x2+6x B．y=x2+6x+9
C．y=x2−6x D．y=x2−6x−9
4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩
包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售
单价x（元/个）有如下关系：y=−x+60（30≤x≤60，且x为整数）．设这种双肩
包每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系式为w= ．
5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形
EFGH是△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的
函数关系式为 ．
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线y=x2的对称轴是（ ）
A．直线x=−1 B．直线x=1 C．x轴 D．y轴
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点 均在抛物线 上，
(−2,y ),(−3,y ) y=−x2
1 2
则y 、y 的大小关系为（ ）
1 2
A．y y C．y ≤ y D．y ≥ y
1 2 1 2 1 2 1 2
3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）抛物线y=2x2−1的顶点坐标是（ ）
A．(−1,0) B．(0,−1) C．(2,0) D．(0,2)
4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如果抛物线 在对称轴的左侧y
y=(a+2)x2−3
的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a>2 C．a<−2 D．a<25．（23-24九年级上·广西梧州·期末）关于函数 的图象与性质说法正确的
y=−(x−1) 2+2
是（ ）
A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于y轴对称
C．当x<1时，y随x的增大而增大 D．函数值的最小值为2
6．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线 的开口方向和顶点坐标是
y=3(x−1) 2+4
（ ）
A．开口向上，(−1,4) B．开口向下，(−1,−4)
C．开口向上，(1,4) D．开口向下，(1,−4)
7．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数 的图象的顶点坐标是
y=(x−2) 2+3
（ ）
A．(2,−3) B．(−2,3) C．(−2,−3) D．(2,3)
8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）若 ， ， 为二次函
A(−3,y ) B(−2,y ) C(2,y )
1 2 3
数 的图象上的三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
y=−(x+2) 2+k y y y
1 2 3
A．y 0 C．x>−2 D．x<0
10．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数y=3x2−1的图象说法中，
错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线x=0
B．它的图象有最低点
C．它的顶点坐标是(0,−1)
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
11．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）函数 与 在同一坐标上
y=a(x+a) y=ax2(a≠0)
的图象大致是（ ）A． B． C． D．
12．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）二次函数 ，当 时，y的
y=(x−1) 2+7 −20)个单位，则CD与AB之间的关系是（ ）A．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD<2AB D．无法判断
3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=x2上已
知A的坐标为(1,1)．过点A作A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交
1 1 1 1 2
抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ．过点A 作A A ∥OA交抛
2 2 2 3 3 3 3 4
物线于点A ，……依此规律进行下去，例点A 的坐标为 ．
4 2001
4．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，将二次函数y=x2−4位于x轴的下方的图象
沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增
大时，自变量x的最值范围是 ．
5．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的
顶点A、B、C的坐标分别为(2,2)，(2,5)，(5,5)．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围为 ．
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）关于抛物线y=x2−2x+1，下列说法错误的是
（ ）
A．开口向上 B．与x轴有一个交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x>1时，y随x的增大而减小
2．（24-25九年级上·全国·期末）二次函数y=x2+4x−3图象的对称轴方程为（ ）
A．2 B．−2 C． x=2 D． x=−2
3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线 如图所示，则关于
y=ax2+bx+c(a<0)
x的不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．−1y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
6．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数y=x²−2mx，当x<1时，
y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤17．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）二次函数 与一次函数
y=ax2+bx+1(a≠0)
y=ax+1(a≠0)在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应
值如下表：
x … −5 −4 −3 −2 −1 0 …
y … 4 0 −2 −2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x>−3时，y随x的增大而增大
C．当−40；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④若点
均在抛物线上，则 ；⑤ ．其中正确的个数有
(−0.5,y ),(−2,y₂) y >y 5a−2b<0
1 1 2
（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数 的图象如图所示．下
y=ax2+bx+c(a≠0)
列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③2a+b=0；④3a+c>0；⑤4a−2b+c>0．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，
观察得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤
4a+2b+c>0．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（24-25九年级上·广东茂名·期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结
论中，正确的个数是（ ）
①a+b+c>0；②a−b+c<0；③abc>0；④b=2a
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数 的图象如图所示，则下列
y=ax2+bx+c(a≠0)
说法正确的是（ ）①abc>0；②a−b+c=0；③2a+b=0；④若ax2+bx+c−k=0有两个实数根，则
k≤4；⑤am2+bm≤a+b．
A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤
6．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）二次函数 的部分图象如图
y=ax2+bx+c(a≠0)
所示，图象经过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，给出下列结论：①abc<0；②
4a+c>2b；③4a+2b≥m(am+b)（m为常数）；④3b−2c>0．其中正确的是（
）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【题型09：二次函数的平移变换】
1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=−2x2向右平移3个单位长度，再向上
平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A． B．
y=−2(x−5) 2+3 y=−2(x−3) 2+5
C． D．
y=−2(x−3) 2−5 y=−2(x+5) 2−3
2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线 可以由抛物线 平移
y=−7(x+3) 2+1 y=−7x2
得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向上平移2
个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
y=(x+4) 2+2 y=(x−4) 2+2
C． D．
y=(x+2) 2−4 y=(x−2) 2−4
4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将函数y=x2−4x−1的图象向左平移5个单位
后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．(−1,−4) B．(3,−5) C．(−3,−4) D．(−3,−5)
5.（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到
新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．y=2x2+1 B．y=2x2−1
C． D．
y=2x2−2x y=2(x+1) 2+4
6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）将抛物线y=x2+2x−3先向左平移1个单位，再向
上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
y=(x+2) 2−6 y=(x+2) 2−2
C． D．
y=(x−2) 2−6 y=(x−2) 2−2
【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】
1．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是
直线x=1，与x轴一个交点A(3,0)，则与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．( 1) B．( 1 ) C． D．
0,− − ,0 (0,−1) (−1,0)
2 2
2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线与x轴的交点分别为A(−3,0)，B(1,0)，则该抛物线的对称轴是（ ）
A．x=−2 B．x=−1 C．x=1 D．x=2
3．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线 的部分图象如图所示，已
y=ax❑ 2+bx+c(a≠0)
知此抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，则抛物线与x
轴的另一个交点坐标是（ ）
A．(−4,0) B．(−3,0) C．(−5,0) D．(−2,0)
4．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(−2,0)，
(4,0)，则该抛物线的对称轴为（ ）
A．直线x=−3 B．直线x=3 C．直线x=1 D．直线x=−1
【题型11：二次函数的交点个数问题】
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点
A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于
1 1 2 2
点B，D．若直线y=2x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
1 2
（ ）
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A．−30时，x的取值范围是 ．
3．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐
标分别为A(−3,6)，B(1,3)，则不等式ax2≥bx+c的解集是 ．4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数 与一次函数 的图
y =ax2+bx+c y =mx+c
1 2
象如图所示，则满足ax2+bx>mx的x的取值范围为 ．
5．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数
y =ax2+bx+c(a≠0)
1
与一次函数y =kx+b(k≠0)的图象相交于点A(−2,4)，B(8,2)，则
2
ax2+bx+c0时，x的取值范围是 ．
