文档内容
专题 02 二次函数的图象和性质重难点题型专训
（4个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）
题型一 y=ax2的图象与性质
题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质
题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质
题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小
题型五 二次函数图象与各系数符号
题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断
题型七 y=ax2+bx+c的最值
题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型九 根据二次函数的对称性求函数值
题型十 待定系数法求二次函数解析式
题型十一 二次函数图象的平移
拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径
拓展训练二 二次函数与一次函数的综合
拓展训练三 二次函数图象与性质的综合
知识点一： 二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随
向上 (0,0) 轴
的增大而减小； 时， 有最小值0．
时， 随 的增大而减小； 时， 随
向下 (0,0) 轴
的增大而增大； 时， 有最大值0．的性质： 上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 轴
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 轴
增大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 x=h
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增
向下 x=h
大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质：左加右减，上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
向上 x=h 增 大 而 减 小 ； 时 ， 有 最 小 值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 x=h
增大而增大； 时， 有最大值 ．
一般式：yax2 bxc（a，b，c为常数，a0）；
函数 二次函数y ax2 bxc（a、b、c为常数，a≠0）
a0 a0
图象
开口方向 向上 向下b b
对称轴 直线x 直线x
2a 2a
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
b b
在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 x 时，y
2a 2a
b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧，
增减性 增大而减小；在对称轴的右侧，即当x
b
2a 即当 x 时，y 随 x 的增大而减
时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a
小．简记：左增右减
b b
抛物线有最低点，当 x 时，y 有最小 抛物线有最高点，当x 时，y有
2a 2a
最大(小)值
4acb2 4acb2
值，y 最大值，y
最小值 4a 最大值 4a
【即时训练】
1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）二次函数 中 与 的部分对应值如下表所示，
则该函数图像的对称轴是 ．
… 0 1 …
… …知识点二：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同
学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二
次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可
以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋
c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数
代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我
们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为
我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是
字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），
取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标
轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出 与0的大小关系及含有 的代数式的值的大小关系.
(1) 决定开口方向:当 时抛物线开口向上;当 时抛物线开口向下.
(2) 共同决定抛物线的对称轴位置:当 同号时，对称轴在 轴左侧;当 异号时，对称轴在
轴右侧(可以简称为“左同右异”);当 时，对称轴为 轴.
(3) 决定与 轴交点的纵坐标:当 时，图象与 轴交于正半轴;当 时，图象过原点;当
时，图象与 轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与 轴交点的个数:当 时，抛物线与 轴有两个交点;当
时，抛物线与 轴有一个交点;当 时，抛物线与 轴没有交点.
(5) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 .
(6) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则
.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东汕头·期中）若一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C（2，y）、D（﹣1，y）和E（1，y），则下列关系正确的是（ ）
1 2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＜y＜y D．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2
2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知点 ， ， 都在函数 的
图象上，则 ， ， 的大关系是 ．（用“<”连接）
知识点三：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线 ( )的图象是由抛物线 ( )的图象
平移得到的.在平移时， 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的 或 发生变化(图象的位置
发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿 轴平移，上、下沿 轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，
再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规
律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不
变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【即时训练】
1．（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）将抛物线 向右平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）将抛物线 的图象向上平移3个单位后的抛物线为
．
知识点四：待定系数求解析式
用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:
(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式 ;
(2)已知顶点 (或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式 ;
(3)已知抛物线与 轴的两个交点坐标为 ，常设抛物线的解析式为交点式
.
二次函数解析式的形式
一般式： 顶点式：
交点式 顶点在原点：
过原点： 顶点在y轴：
求二次函数 （a≠0）的最值的方法
配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成 的形式
若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且
②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
公式法：因为抛物线的顶点坐标为（- ），则若a＞0，当x= 时，函数有最小值，且
若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且y =
最大值
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东广州·期末）若抛物线 经过点 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应
值如下表，则 ．
－
… 0 1 2 3 …
1
… 10 5 2 1 2 …
【经典例题一 =ax2的图象与性质】
【例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数 的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标为 ，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作
轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，依次进行下去，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数 ，当 时， 随 增大而增大，则实数
的取值范围是 ．
3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B、C的
坐标分别为 、 、 ，若抛物线 的图象与正方形 有公共点，则a的取值范围是
．
4．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）已知函数 是关于 的二次函数．
(1)求满足条件的 的值；
(2)m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】
【例2】（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）对于抛物线 的图象，下列判断正确的是
（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴是直线
D．当 时， 随 增大而减小
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线 平移到抛物线 ，点
， 分别在抛物线 ， 上．下列结论：①无论 取何值，都有 ；②若点 平移后
的对应点为 ，则 ；③当 时，线段 的长随着 的增大而减小．其中正确的结论为
（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
2．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，直线 与二次函数 的图象相交
于A、B两点，与 轴相交于点 ，若 ，则（1）对称轴是直线 ；
（2） ．
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数 的图象上有三点 、
、 ，则 的大小关系为 ．
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数 ，若该函数图象的顶点坐标为 ．
(1)求b，c的值．
(2)当 时，求 的取值范围．
【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】
【例3】（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）若 则二次函数 的图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）某同学将如图所示的三条水平直线 的其中一条记为轴（向右为正方向），三条竖直直线 的其中一条记为 轴（向上为正方向），并在此坐标平
面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的 轴和 轴分别为直线（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，
若 和 是抛物线上的两点．若对于 ，都有 ，则a的取值范围
．
3．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线 从左至右交抛物线 于点 ．且两
条抛物线的顶点 都在直线 上， 均平行于 轴．已知 ，则
．
4．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 （ ， 是常数）经过点
， ，点 是这条抛物线上的一点，其横坐标为 ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)当点 与此抛物线的顶点重合时，求 的值；
(3)若过点 作与 轴平行的直线交抛物线于点 ，交 轴于点 ，且点 是线段 的中点，求 的值；
(4)当 时，抛物线在 ， 两点之间（包含 ， 两点）的图象的最低点到 轴的距离比最高点到
轴的距离大1，直接写出 的取值范围．
【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】
【例4】（24-25九年级上·山西晋城·期末）若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，
则 ， ， 的大小用“＜”连接的结果为（）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 （ 为常数）的图象上的两点．
、 ，若 ，且 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较 的大小
2．（2025·山东临沂·模拟预测）对于一个二次函数 中存在一点 ，使得，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为
．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 经过点 ， ，试比较 和
的大小： ．（填“>”，“<”或“=”）
4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线 经过点 ．
(1)求 的值．
(2)若点 ， 都在该抛物线上，试比较 与 的大小．
【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】
【例5】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，则下列结
论正确的是（ ）A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线 （ ， ， 是常数）开口向下，过
， 两点，且 ．下列四个结论：① ；②若 ，则 ；③若点
， 在抛物线上， ，且 ，则 ；④当 时，关于 的一元二次方
程 必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ．（填写序号）
3．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，
对称轴为 ．给出四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论数是 （填序号）
4．（2025·江西上饶·模拟预测）已知抛物线 ： 与抛物线 ： 中，若满
足 ，则称抛物线 ， 为“比例”抛物线．(1)已知 与 是“比例”抛物线．
①b的值为______；
②求出它们的交点坐标．
(2)设抛物线 ， ， 的顶点分别为D，E，F．
①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”）
②若EF＝4DE，求a的值．
【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】
【例6】（24-25九年级上·全国·期末）二次函数 与正比例函数 在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，函数 和 （ 是常数，且 ）
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数
的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格：
2
以下五个结论：①点 在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直
线 对称；④点 ， ，若 ，则 ；⑤若直线 与函数 的图
象有 个公共点，则 ．其中正确的结论是 ．（填写序号）
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，直线y＝kx＋h和抛物线 交于 、
两点，则关于x的不等式 的解集是 ．4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数 的图象与二次函数 的图象交于点
和 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的值：
(2)求 的面积；
(3)直接写出 时， 的取值范围．
【经典例题七 y=ax2+bx+c的最值】
【例7】（2025·山东济南·模拟预测）秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九
章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为 ， ， ，记
，则其面积 ．若 ， ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．101．（24-25九年级上·山东日照·期中）二次函数 ，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当 时，y随x的增大而增大
C．当 时， D．二次函数的最小值是
2．（24-25九年级上·山西大同·期中）在二次函数 中，函数值y与自变量x的部分对应值如
下表：
x …… 1 …
y … 0 …
则当 时 的最小值为 ．
3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）规定：若 ， ，则 ．例如
， ，则 ．已知 ， ，则 的最小
值是 ．
4．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)写出其图象的对称轴方程、及顶点坐标；
(2)当 满足_________时， 随 的增大而减小；
(3)当 ___________时， 有_________（填“最大”或“最小”）值为________．
【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【例8】（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数 的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
A．直线 B．y轴
C．直线 D．直线
1．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象经过点
， ， ， ，其中 ， 为常数，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
（ ）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 ．当 ， 时， ，则
．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的
对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 5 0 0 …
那么该抛物线的顶点坐标是 ．
4．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹）(1)如图1，已知二次函数交 轴于 、 两点， 、 两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线
的对称轴 ．
(2)如图2，在抛物线对称轴 上作点 ，使 的值最小，写出 的坐标．
【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】
【例9】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知 ， ， 是抛物线
上的点，则（ ）
A． B． C． D．
1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与
的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于
点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则 的值为（ ）
A．9 B． C．10 D．2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）对于二次函数 和 ，其自变量和函数值的两组对应
值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 ．
x m（ ）
c c
d
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞
（如图①），可以发现数学的研究对象——抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在 轴上，
坐标原点 为伞骨 、 的交点．点 为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， 、 关于 轴对称．
分米，点A到 轴的距离是 分米，A、B两点之间的距离是4分米．分别延长 、 交抛物线
于点 ，则雨伞撑开时的最大直径 的长为 分米．
4．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 ， ， 是抛物线上的三个点．若对于 ， ， ，都有
，求 的取值范围．
【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】
【例10】（24-25九年级上·河北唐山·期末）老师在画二次函数 的图象时列表如下，四位同学根据表格得到如下结论．
x … 0 1 2 …
y … 0 …
甲：该图象经过原点；乙：该图象开口向上；
丙：该图象的对称轴是y轴；丁：该图象经过点 ．
针对四人的说法，其中错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，二次函数 的部分图象与 轴的一个交点的
横坐标是 ，顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时， 随 的增大而增大
D．二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是
2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数 （ ， ）的图象是由函数
（ ， ）的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所
示，则下列结论正确的是 ．
① ；② ；③ ；④将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点．3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）二次函数 为常数， 的自变量
与因变量 的部分对应值如表格，关于这个二次函数的图象下面说法：①抛物线的对称轴为 轴；②抛
物线的开口向下；③抛物线与 轴的交点坐标为 ；④当 时， ，其中正确的有 ．
0 2 3 4
1
7 3 1 3 7
3
4．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）在二次函数 中， 与 的几组对应值如表所示．
… 0 1 …
… 1 …
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最小值为 ，求 的值．【经典例题十一 二次函数图象的平移】
【例11】（2025·陕西·模拟预测）若点 在抛物线 （ ）上，则下列各点在抛物
线 上的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线 与 交于点 ，以
下结论：
①无论 取何值， 总是负数；
② 可由 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当 时，随着 的增大， 的值先增大后减小．
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某二次函数一部分自变量 和函数值 的对应情况如表所示．如果将这个
二次函数的图像向右平移 个单位后，图像经过原点，那么 的值是 ．
x … …y … …
3．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线 沿y轴向下平移一段距离后，得到一条
新的抛物线 ；若曲线段 平移至曲线段 ，曲线段 所扫过的为阴影部分，则阴影部分
的面积是 ．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，点 在抛物线C： 上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 ， ．平移该胶片，使
所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．【拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径】
1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当 ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
且 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点M的坐标．3．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，直线 与y轴交于点A，直线 与y轴交于点B，
抛物线 的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中 ）．
(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭
图形的边界上的“整点”的个数．
【拓展训练二 二次函数与一次函数的综合】
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 ，
(1)若此二次函数的图象经过 ，求a的值；
(2)若此二次函数的图象经过 、 ，且有 ，求a的取值范围；
(3)若一次函数 ，对于 时 恒成立，求a的取值范围．
2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知二次函数 、 的图像如图所示，过点
作直线l与这两个函数图像交于A、B、C、D四点（点A、B、C、D依次从左往右）(1)若直线 轴，则 __________ （填“ 或 ” ）
(2)设直线l的函数表达式为 ，A、B、C、D四点的横坐标分别为 ，记 ，
．
①若 ，请你判断s、t中哪一个是黄金分割数，并说明理由；
②若 ，求 的值．
3．（2025·山东济南·模拟预测）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关
问题．
(1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1， 的图象与x轴、y轴交于点 、
，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得 ，所以点C坐标为______，由此可求得直线
BC的表达式．
承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线 上一点 ，沿y轴翻折得点
，则 ， ，即 ，代入 得翻折后所得直线的表达式为______．
(2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数 的图象沿直线 翻折后所得图象的表
达式．
(3)下列说法中正确的有______ 填序号
①将一次函数 的图象沿直线 翻折得到直线的表达式为 ；②将反比例函数 的图象沿直
线 翻折所得图象的表达式为 ；③将二次函数 的图象沿y轴翻折得到图象的表达
式为 ；④将函数 的图象沿直线 翻折得到图象的表达式为
(4)将抛物线 沿直线 翻折得到图象G，直线 与图象G有两个公共点 ，
，且 ，求b的取值范围．
【拓展训练三 二次函数图象与性质的综合】
1．（24-25九年级上·广西河池·期末）一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离 （单位：m）与滑行时
间 （单位： ）之间的关系式，测得一组数据（如下表）．
滑行时间
0 1 2 3 4
滑行距离
0 5 14 27 44
(1)为观察 与 之间的关系，小明建立如图平面直角坐标系，以 为横坐标， 为纵坐标，描出表中数据对
应的 个点，并用平滑的曲线连接它们．结合学过的一次函数、二次函数图象，我们可以用 （填“一次函
数”或“二次函数”）近似地表示 与 之间的函数关系；(2)求 与 之间的函数关系式．
2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 和一次函数 ．
(1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(2)若这两个函数的图象的交点为 ， （点 在点 左侧）．
结合图象，直接写出点 和点 的坐标；
求 的面积．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移1
个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 轴交于点 、 (点 在点 的左侧)，
，经过点 的一次函数 的图象与 轴正半轴交于点 ，且与抛物线的另一个交点为， 的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当 面积的最大值时，求出此时点E的坐标；
1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位
长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① ；②
；③ ；④ ．则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
3．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数 的 与 的部分对应值如表，则下
列判断中错误的是（ ）
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．当 时，
D．若 ， 是图象上两点，则
5．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 ，过点 且平行于
轴的直线与抛物线 交于 两点，与抛物线 交于点 ，抛物线 与 轴交于点 ，
连接 ， ．若 ，则梯形 的面积为（ ）A．4 B． C． D．
6．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）若二次函数 的图像经过点 ， ，则
（填“ ”，“ ”或“ ”）．
7．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数 的图
象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数 ，在 时， ．
8．（2026九年级·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，平移抛物线 得到抛物线 ．
（1）平移方式可以是先向右平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
（2）若P是抛物线 上的一点，则点P移动的最短距离是 ．
9．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）二次函数 的变量 与 的部分对应值如下表，那么
时，对应的函数值 ．
．．． 1 3 5 ．．．
．．． 7 0 7 ．．．
10．（24-25九年级上·黑龙江·开学考试）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．有以下结论：① ； ② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的序号有
．
11．（25-26九年级上·广东广州·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数 和 的图象，并
指出这两个函数图象的交点坐标．
12．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示．
(1)该抛物线与y轴的交点坐标是________；
(2)当x________时，y的值随x的值增大而减小；
(3)当 时，求y的取值范围．13．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象；
(2)根据图象回答：
①当 时， 的取值范围是_____；
②判断 在二次函数图象上方还是下方?（需要过程）
14．（24-25九年级上·金山南通·阶段练习）如图，二次函数图象的顶点坐标为 ，与 轴的交点坐标
为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当 时， 的取值范围是________；
(3)若点 在该函数图象上，且 ，则 的取值范围为________．15．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数 的图象如图．
(1)求它的对称轴与 轴交点D的坐标；
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 轴， 轴的交点分别为A、B、C三点，若
，求此时抛物线的解析式；
