专题 02 二次函数重难点题型汇编
【题型01 ：二次函数的概念】
【题型02 ：二次函数的条件】
【题型03：列处二次函数关系式】
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
【题型09：二次函数的平移变换】
【题型10：二次函数的交点个数问题】
【题型01 ：二次函数的概念】
1．下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x−1 B．y=❑√x2−1 C．y=x2−1 D．y=
2x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形
如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐
个判断即可．
【详解】解：A、函数y=2x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、函数y=❑√x2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、函数y=x2−1是二次函数，故本选项符合题意；
1
D、函数y= 分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．
2x故选：C．
2．下列四个函数中是二次函数的是（ ）
2
A．y=3x−2 B．y= +2
x2
5
C．y=x2−1 D．y=
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，
叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意；
B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意；
D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
3．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
2
A．y=3x−7 B．y=
x
C．y=3x2−7x+3 D．y=ax2−6x−2
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c
是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、y=3x−7是一次函数，故本选项不符合题意；
2
B、y= 是反比例函数，故本选项不符合题意；
x
C、y=3x2−7x+3符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、y=ax2−6x−2，当a=0时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【题型02 ：二次函数的条件】
4．若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则m的值为(
)A．−2 B．1 C．−2或1 D．2或1
【答案】C
【分析】根据y=ax2+bx+c (a是不为0的常数)是二次函数，可得答案．
【详解】解：若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则m2+m=2且m+1≠0．，
解得：m=−2或m=1．
故选：C．
5．若y=(m−2)xm2−2是二次函数，则m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．−2 D．±❑√3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c
（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a
是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
也叫做二次函数的一般形式．建立关于m的方程，求解即可．
【详解】解：∵y=(m−2)xm2−2是关于x的二次函数，
∴m2−2=2，且m−2≠0，
∴m=±2，且m≠2，
∴m=−2．
故选：C．
6．函数y=(1+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．−1或3 C．3 D．m不存在
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得m2−2m−1=2且1+m≠0
即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如
y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
{m2−2m−1=2)
【详解】解：由题意得 ，解得：m=3，
1+m≠0
故选：C．7．如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值为（ ）
A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=4
【答案】A
【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为
常数，且a≠0）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．
二次函数中，自变量最高此项的次数k2−3k+2的值是2．二次函数中，自变量最高此项的
系数(k−3)不为0．
【详解】解：根据二次函数的定义，得k2−3k+2=2，
解得k=0或k=3．
∵k−3≠0，
∴k≠3，
∴当k=0时，这个函数是二次函数．
故选：A．
【题型03：列出二次函数关系式】
8．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x(0<x<5)的小正方形，如果设剩余部分的
面积为y，那么y关于x的函数解析式是（ ）
A．y=x2 B．y=25−x2 C．y=x2−25 D．y=25−2x
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形
的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：y=25−x2(0<x<5)，
故选：B．
9．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若
我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关
于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.6(1+2x) B．y=2.6(1−x) 2
C．y=2.6(1+x) 2 D．y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x) 2【答案】C
【分析】第二季度GDP总值为2.6(1+x)，第三季度为2.6(1+x) 2，得解；
【详解】解：第三季度GDP总值为y=2.6(1+x)(1+x)=2.6(1+x) 2；
故选：C
【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题
的关键．
10．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千
克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80．设这种产品每天的销售利润为w
（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w=(x−30)(−2x+80) B．w=x(−2x+80)
C．w=30(−2x+80) D．w=x(−2x+50)
【答案】A
【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得
出w与x之间的函数表达式．
【详解】解：根据题意得，w=(x−30)y，
即w=(x−30)(−2x+80)，
故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x
之间的函数表达式是解题的关键．
11．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月
共投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x
的函数表达式为 ．
【答案】y=2000+2000(1+x)+2000(1+x) 2
【分析】根据第一个月投放2000辆单车，第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为
x，得到第二个月投放单车的数量为2000(1+x)，第三个月投放单车的数量为2000(1+x) 2，
根据计划三个月共投放单车y辆，得出函数关系式即可．
【详解】解：由题意，得：y=2000+2000(1+x)+2000(1+x) 2；故答案为：y=2000+2000(1+x)+2000(1+x) 2．
【点睛】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确的列出函
数关系式．
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
( 3 )
12．已知函数y=−(x−2) 2的图象上有A − ,y ，B(3,y )，C(4,y )三点，则y ，y ，
2 1 2 3 1 2
y 的大小关系是（ ）
3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开
口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：∵函数y=−(x−2) 2，
∴图象开口向下，对称轴为直线x=2，
∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，
| 3 ) 7
2−(− ) = ，|3−2)=1，|4−2)=2，
2 2
7
∵1<2< ，
2
∴y <y <y ，
1 3 2
故选：C．
13．对于二次函数y=2(x−1) 2 +3，下列说法正确的是 （ ）
A．开口方向向下 B．顶点坐标（1，−3）
C．对称轴是y轴 D．当x=1时，y有最小值
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质：根据抛物线的性质，由a=2得到图象开口向上，根
据顶点式得到顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x=1，当x=1时，y有最小值3，再进行判断即可．
【详解】解：二次函数y=2(x−1) 2+3的图象开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直
线x=1，当x=1时，y有最小值3．
故选项D正确，
故选：D
1
14．下列抛物线中，对称轴为直线x= 的是（ ）
2
A．y= ( x− 1) 2 B．y= 1 x2
2 2
C．y=x2+ 1 D．y= ( x+ 1) 2 −3
2 2
【答案】A
b
【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式：x=− ．
2a
利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴，然后即可确定选项．
( 1) 2 1
【详解】解：A、y= x− 的对称轴为直线x= ，故选项符合题意．
2 2
1
B、y= x2 的对称轴为直线x=0，故选项不符合题意．
2
1
C、y=x2+ 的对称轴为直线x=0，故选项不符合题意．
2
( 1) 2 1
D、y= x+ −3的对称轴为直线x=− ，故选项不符合题意．
2 2
故选：A．
15．在二次函数 y=−(x−1) 2 +3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是
( )
A．x>−1 B．x<−1 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题可知，函数图象开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；在对
称轴左侧，y随x的增大而增大，据此即可得到答案．
【详解】解：由二次函数的解析式得，抛物线开口向下，对称轴为x=1，
当x>1时， y 随 x 的增大而减小．
故选： C ．
16．抛物线y=−2(x+1) 2 +2的顶点的坐标是 ．
【答案】(−1, 2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，
即可求解．
【详解】解：抛物线y=−2(x+1) 2 +2的顶点坐标是(−1, 2)，
故答案为：(−1, 2)．
17．点A(−3,y )，B(2,y )均在二次函数y=−x2+2的图象上，则y y ．（填
1 2 1 2
“>”或“<”）
【答案】<
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据开口向下的二次函数，离对称轴越
远函数值越小进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−x2+2，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵0−(−3)=3>2−0=2，
∴y <y ，
1 2
故答案为：<．
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
1 1
18．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y= x2 的图象，C 是函数y=− x2 的图象，则阴
1 2 2 2
影部分的面积是（ ）A．4π B．2π C．π D．无法确定
【答案】B
1 1
【分析】据函数y= x2 与函数y=− x2 的图象关于x轴对称，得出阴影部分面积即是半圆
2 2
面积求出即可．
1 1
【详解】解：∵C 是函数y=− x2 的图象，C 是函数y=− x2 的图象，且当x相等时，
1 2 2 2
两个函数的函数值互为相反数，
1 1
∴函数y= x2 的图象与函数y=− x2 的图象关于x轴对称，
2 2
∴阴影部分面积即是半圆面积，
1
∴面积为：
π×22=2π．
2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解
题关键．
19．如图，已知点A ,A ,...,A 在函数y=2x2位于第二象限的图像上，点
1 2 2024
B ,B ,...,B 在函数y=2x2位于第一象限的图像上，点C ,C ,...,C 在y轴的正半轴
1 2 2024 1 2 2024
上，若四边形O A C B ,C A C B ,...,C A C B 都是正方形，则正方形
1 1 1 1 1 2 2 2 2023 2024 2024 2024
C A C B 的边长为( )
2023 2024 2024 20242023 2023
A．1012 B．1012❑√2 C． D． ❑√2
2 2
【答案】B
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 与y轴的夹角为45°，然后表示出OB
1 1
的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B 的坐标，然后求出OB 的长，再根据正方形的
1 1
性质求出OC ，表示出C B 的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，
1 1 2 2 1 2
再求出C C 的长，然后表示出C B 的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出
1 2 2 3 3
C B 的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
2 3
【详解】解：∵OA C B 是正方形，
1 1 1
∴OB 与y轴的夹角为45°，
1
∴OB 的解析式为y=x，
1
{ y=x )
联立方程组得： ，
y=2x2
1
{ x = )
{x =0) 2 2
解得 1 ， ．
y =0 1
1 y =
2 2
1 1
∴B点的坐标是：( ， )，
2 2
√ 1 2 1 2 ❑√2 ❑√2
∴OB =❑( ) +( ) = =1× ；
1 2 2 2 2
❑√2
同理可得：正方形C A C B 的边长C B =2× ；
1 2 2 2 1 2 2
…
❑√2
依此类推，正方形C A C B 的边长是为2024× =1012❑√2．
2023 2024 2024 2024 2
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的
解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
1
20．如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线y= x2 上，点O是原点，顶点B在y轴上
4
则顶点A的坐标是（ ）A．(2,2) B．(❑√2,❑√2) C．(4,4) D．(2❑√2,2❑√2)
【答案】C
【分析】连接AC交y轴于点D，设点B坐标为(0,m)，根据正方形的性质可得
OD= 1 m,AD= 1 m，从而得到A (1 m, 1 m ) ，再代入y= 1 x2 ，即可求解．
2 2 2 2 4
【详解】解：如图，连接AC交y轴于点D，
设点B坐标为(0,m)，
∵四边形OABC是正方形，
1
∴OD= OB,CD=AD,AC⊥y轴，
2
1 1
∴OD= m,AD= m，
2 2
(1 1 )
∴A m, m ，
2 2
1
∵A在抛物线y= x2 上，
4
1 1 (1 ) 2
∴ m= × m ，
2 4 2
解得m=0（舍去）或8，∴点A的坐标为(4,4)．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题
的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(1,1)、
(1,4)、(4,4)．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是
．
1
【答案】 ≤α≤4
16
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4)．
∴D(4，1)，
当抛物线经过点B(1,4)时，则a=4，
1
当抛物线经过D(4,1)时，a= ，
16
观察图象可知，抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是
1
≤α≤4，
16
1
故答案为： ≤α≤4．
16
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
22．将抛物线y=x2−4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为（ ）
A．y=x2+4x−3 B．y=−x2+4x+3
C．y=−x2−4x−3 D．y=−x2+4x−3【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的旋转变换，熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题
的关键．
设P(x,y)为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P′(−x,−y)，
则P′是在旋转后的抛物线上，然后代入化简即可解答．
【详解】解：设P(x,y)为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点
P′(−x,−y)，
由题意可知：P′(−x,−y)是在抛物线y=x2−4x+3上，即：−y=x2+4x+3，化简得：
y=−x2−4x−3．
故选C．
23．直线y=ax+b 与抛物线 y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，
可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断
哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，
b<0，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项
不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，
而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴
位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；
故选：D．
24．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x … −4 −2 0 3 5 …
y … −24 −8 0 −3 −15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法
求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
{4a−2b+c=−8
)
{a=−1
)
【详解】解：由题意得 c=0 ，解得 c=0 ，
9a+3b+c=−3 b=2
∴二次函数的解析式为y=−x2+2x=−(x−1) 2 +1，
∵a=−1<0，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线x=1，故选项D符合题意；
当0<x<1时，y的值随x的值增大而增大，当x>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项
B不符合题意；
∵顶点坐标为(1,1)且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
25．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴
的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长
度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM,QN，交AD于点M，N，得四边形PMNQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】分别作出两条抛物线的对称轴PM,QN，交AD于点M，N，
∴四边形PMNQ是矩形，
∴MN=PQ，
∵AB=10，BC=5，CD=6，
1 1 15 1 1 11
∴MA=MC= AC= (AB+BC)= ，BN=ND= BD= (CD+BC)= ，
2 2 2 2 2 2
11 15
∴MN=AD−AM−ND=(AB+BC+CD)−AM−ND，=21− − =8，
2 2
∴PQ=8，
故选B．
26．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2−bx+a=0的
根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，
首先根据二次函数的图象得到a<0，b>0，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．
【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，
b
∴a<0，− >0
2a
∴b>0∴方程x2−bx+a=0的判别式Δ=b2−4ac=(−b) 2−4×1×a=b2−4a>0
∴关于x的一元二次方程x2−bx+a=0的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选：C．
27．抛物线y=x2+14x+54的顶点坐标是（ ）
A．(7,5) B．(7,−5) C．(−7,5) D．(−7,−5)
【答案】C
【分析】依据题意，由抛物线为y=x2+14x+54=(x+7) 2+5，从而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．
【详解】解：由题意，∵抛物线为y=x2+14x+54=(x+7) 2+5，
∴顶点为(−7,5)．
故选：C．
28．用配方法将二次函数y=−x2−2x−3化为y=a(x−ℎ) 2 +k的形式为（ ）
A．y=−(x−1) 2 +3 B．y=(x+1) 2−4
C．y=−(x+1) 2−2 D．y=(x−1) 2 +2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为
顶点式是解题的关键．
运用配方法即可将其化为顶点式．
【详解】解：y=−x2−2x−3
=−(x2+2x+1)−2
=−(x+1) 2−2
故选：C．
29．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，
若点P的坐标为(−1,0)，则点Q的坐标为（ ）A．(0,−1) B．(2,0) C．(4,0) D．(3,0)
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求
解．
【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，
∴点Q的坐标为(3,0)，
故选：D．
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
30．已知抛物线y=−x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的
最小值为−7，求此时t的值为（ ）
A．1或−2 B．2或−2 C．3或−1 D．−1或−2
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求
解即可．
【详解】解：∵y=−x2+2x+1=−(x−1) 2 +2，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为−7，分两种情况：
①当|t−1)≤|t+2−1)时，即：t≥0时，
当x=t+2时，y=−(t+2) 2 +2(t+2)+1=−7，解得：t=−4（舍去）或t=2；
②当|t−1)>|t+2−1)时，即：t<0时，
当x=t时，y=−t2+2t+1=−7，解得：t=4（舍去）或t=−2；
综上：t的值为2或−2；
故选B．31．已知二次函数y=x2−2x(−1≤x≤t−1)，当x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，
函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数
的图象与性质是解题的关键．
由y=x2−2x=(x−1) 2−1，可知图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为
(1，−1)，当x=−1时，y=3，即(−1，3)关于对称轴对称的点坐标为(3，3)，由当
x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，可得1≤t−1≤3，计算求解，
然后作答即可．
【详解】解：∵y=x2−2x=(x−1) 2−1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，−1)，
当x=−1时，y=3，
∴(−1，3)关于对称轴对称的点坐标为(3，3)，
∵当x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，
∴1≤t−1≤3，
解得，2≤t≤4，
故选：C．
32．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为
（ ）
1 1 1 1 1
A．− B．− C．− 或− D．﹣1或−
2 3 2 3 3
【答案】D
【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵y=x2+(2a−1)x−3，
2a−1
∴图象开口向上，对称轴为直线x=− ，
2
∵﹣1≤x≤3，2a−1 1
∴当− ⩽1时，即a⩾− ，x=3时有最大值1，
2 2
∴9+(2a−1)×3−3=1，
1
∴a=− ，
3
2a−1 1
当− ⩾1时，即a⩽− ，x=−1时有最大值1，
2 2
∴1+(2a−1)×(−1)−3=1，
∴a=−1，
1
∴a=−1或− ，
3
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
33．已知二次函数y=(x−m) 2−1（m为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对
应的函数值y的最小值为3，则m的值为（ ）
A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．
【详解】解：∵y=(x−m) 2−1，
∴当x=m时，y的最小值为−1．
当m<2时，在2≤x≤5中，y随x的增大而增大，
∴(2−m) 2−1=3，
解得：m =0，m =4（舍去）；
1 2
当2≤m≤5时，y的最小值为−1，舍去；
当m>5时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小，
∴(5−m) 2−1=3，
解得：m =3（舍去），m =7．
1 2
∴m的值为0或7．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．
34．已知二次函数y=mx2−2mx+2(m≠0)在−2≤x≤2时有最小值−2，则m=(
)
1 1 1 1
A．−4或− B．4或− C．−4或 D．4或
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线x=1，进而分m>0和
m<0两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2−2mx+2(m≠0)，
−2m
∴二次函数对称轴为直线x= =1，
−2m
当m>0时，
∵在−2≤x≤2时有最小值−2，
∴当x=1时，y=m−2m+2=−2，
∴m=4；
当m<0时，
∵在−2≤x≤2时有最小值−2，
∴当x=−2时，y=4m+4m+2=−2，
1
∴m=− ；
2
1
综上所述，m=4或m=− ，
2
故选：B．
35．已知二次函数y=−x2−2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值
范围是( )
A．m≥−1 B．m≤2 C．−3≤m≤−1 D．0≤m≤2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=−x2−2x+2=−(x+1) 2 +3，可
得当x=−1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故
m≤−1≤m+2，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，∵ y=−x2−2x+2=−(x+1) 2 +3，∴当x=−1时，y取最大值是3．
又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，
∴m≤−1≤m+2．
∴−3≤m≤−1．
故选：C．
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
3
36．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x= ，且经过点
2
(−1,0)，下列结论：①ab<0；②8b−3c=0；③若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性
3
质是解题的关键．由对称轴为x= 即可判断①，由抛物线经过点(−1,0)，得出a−b+c=0，
2
b 3 1
对称轴x=− = ，得出a=− b，代入即可判断②；根据二次函数的性质以及抛物线的
2a 2 3
对称性即可判断③．
b 3
【详解】解：∵对称轴x=− = ，
2a 2
∴b=−3a，
∴ab=−3a2<0，①正确；
∵经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，b 3
∵对称轴x=− = ，
2a 2
1
∴a=− b，
3
1
∴− b−b+c=0，
3
∴3c=4b，
∴4b−3c=0，故②错误；
3
∵对称轴x= ，
2
∴点(0,c)的对称点为(3,c)，
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故③正确；
综上所述，正确的有2个．
故选：C．
37．二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．y有最小值 B．当−1<x<2时，y<0
C． a+b+c>0 D．当x<−1时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线的图像及其性质，根据性质，结合图像判断解答即可.
【详解】解：A、由图像可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线可知当−1<x<2时，y<0，故正确；
C、当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故错误；
D、由图像可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确.
故选：C.
38．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为(−1,0)，对称轴是直线
x=1．下列结论：①abc>0；
②3a+c>0；
③(a+c) 2−b2<0；
④a+b≤m(am+b)（m为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据
抛物线开口方向，对称轴位置，以及与y轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得
到b=−2a，再结合当x=−1时，y=0，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③
结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，
∴a>0，a、b异号，c<0，
∴b<0，
∴abc>0，①结论正确；
∵抛物线对称轴是直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
由图象可知，当x=−1时，y=0，
∴a−b+c=a−(−2a)+c=3a+c=0，②结论错误；
由图象可知，当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
又∵a−b+c=0，
∴(a+c) 2−b2=(a+c+b)(a+c−b)=0，③结论错误；∵当x=1时，y=a+b+c为最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤m(am+b)，④结论正确，
故选：A．
39．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc>0
B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−2，x =3
1 2
C．a+b=c−b
D．a+4b=3c
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关
键．根据二次函数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，
再进一步逐一分析即可．
【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
b
∵对称轴为x=− =1，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故A不符合题意；
∵抛物线与x轴交于(3,0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−1，x =3；故B不符合题意；
1 2
∵抛物线与x轴交于(3,0)，(−1,0)，对称轴为直线x=1，
{ b=−2a )
∴ a−b+c=0 ，
9a+3b+c=0{b=−2a)
解得： ，
c=−3a
∴∵a+b=a−2a=−a，c−b=−3a−(−2a)=−a
∴a+b=c−b，故C符合题意；
∴a+4b=a+(−8a)=−7a≠−9a；
∴a+4b=3c错误，故D不符合题意；
故选：C．
40．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，
对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若
8 4
−2<c<−1，则− <a+b+c<− ，其中正确结论的个数为（ ）
3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对
称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值
1 2
即可判断③，求出c=−3a，进一步得到 <a< ，又根据b=−2a得到
3 3
a+b+c=a−2a−3a=−4a，即可判断④.
【详解】解：①∵函数图象开口方向向上，
∴a>0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线
x=1，
b
∴− =1，
2a
∵b=−2a，
∴x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
∴3a+c=0，
∴3a+2c<0，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，a>0，
∴y=a+b+c最小值，
ax2+bx+c≥a+b+c，
∴ax2+bx≥a+b，
故③正确；
④∵−2<c<−1，
c
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x x =(−1)×3=−3= ，
1 2 a
∴c=−3a，
∴−2<−3a<−1，
1 2
∴ <a< ，
3 3
∵b=−2a，
∴a+b+c=a−2a−3a=−4a，
8 4
∴− <a+b+c<− ，
3 3
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
【题型09：二次函数的平移变换】
41．将抛物线y=2(x+1) 2−3向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析
式为（ ）A．y=2(x+3) 2−4 B．y=2(x+3) 2−2
C．y=2(x−1) 2−2 D．y=2(x−1)
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题
的关键．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=2(x+1) 2−3向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物
线解析式是：y=2(x+1−2) 2−3+1，即y=2(x−1) 2−2．
故选：C．
42．将抛物线y=−3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(
)
A．y=−3(x−1) 2−3 B．y=−3(x−1) 2−1
C．y=−3(x+1) 2−3 D．y=−3(x+1) 2−1
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行
解答即可．
【详解】解：将抛物线y=−3x2+2向左平移1个单位所得直线解析式为：
y=−3(x+1) 2+2；
再向下平移3个单位为：y=−3(x+1) 2+2−3，即y=−3(x+1) 2−1．
故选：D．
【题型10：二次函数交点的个数问题】
{x2(x≤2))
43．如图所示，已知函数y
1
= 8
(x>2)
的图象与一次函数y
2
=x+b的图象有三个交点，
x则b的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．− ≤b≤2 B．b>− C．− ≤b<2 D．− <b<2
4 4 4 4
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，
首先根据题意画出图象，然后求出A(2,4)，代入y =x+b求出b=2；然后得到当一次函数
2
1
y =x+b的图象与y=x2相切时，得到x2−x−b=0的Δ=b2−4ac=0，进而求出b=− ，
2 4
然后根据图象求解即可．
【详解】解：如图所示，
当x=2时，函数y=x2=22=4，
∴A(2,4)，
当一次函数y =x+b的图象经过点A时，
2
∴4=2+b，解得b=2；
当一次函数y =x+b的图象与y=x2相切时，
2
∴x2=x+b，即x2−x−b=0，
∴Δ=b2−4ac=0，∴(−1) 2−4×1×(−b)=0，
1
解得b=− ，
4
{x2(x≤2))
1
∴由图象可得，当−
4
<b<2时，函数y
1
= 8
(x>2)
的图象与一次函数y
2
=x+b的图象有
x
三个交点．
故选：D．
44．如图，二次函数y=−x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象
沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图
象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
1 25
A． <m<−3 B． <m≤1 C．−2<m<1 D．−3<m<−2
4 4
【答案】D
【分析】如图所示，过点B作直线y=x+m，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次
函数y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解
【详解】解：在y=−x2+x+2中，
当y=0，0=−x2+x+2，
解得x =−1，x =2，
1 2
A(−1,0)，B(2,0)，
当x=0时，y=2，
∴原抛物线与y轴交点坐标为(0,2)，
∴翻折后与y轴的交点坐标为(0,−2)，
如图，当直线y=x+m经过点B时，直线y=x+m与新图有3个交点，把B(2,0)代入y=x+m中，得m=−2，
∵抛物线y=−x2+x+2翻折到x轴下方的部分的解析式为：−y=−x2+x+2，
∴翻折后的部分解析式为：y=x2−x−2(−1<x<2)，
当直线y=x+m与抛物线y=x2−x−2(−1<x<2)只有一个交点C时，
直线y=x+m与图象有3个交点，
把y=x+m代入y=x2−x−2(−1<x<2)中，
得到方程x+m=x2−x−2有两个相等的实数根，
整理得x2−2x−2−m=0，
∴Δ=(−2) 2−4×1×(−2−m)=0，
解得m=−3，
∴当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是−3<m<−2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关
键．
5
45．抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴的一个交点为A(m,0)，若−2≤m≤1，则实数k的
4
取值范围是( )
21 21
A．− ≤k≤1 B．k≤ − 或k≥1
4 4
9 9
C．−5≤k≤ D．k≤−5或k≥
8 8
【答案】B
5
【分析】根据抛物线有交点，则−x2+kx+k− =0有实数根，得出k≤−5或k≥1，分类
4讨论，分别求得当x=−2和x=1时k的范围，即可求解．
5
【详解】解：∵抛物线y=−x2+kx+k−
与x轴有交点，
4
5
∴−x2+kx+k− =0有实数根，
4
∴Δ=b2−4ac≥0
即k2+4 ( k− 5) =k2+4k−5=(k+2) 2−9≥0
4
解得：k≤−5或k≥1，
当k≤−5时，如图所示，
5
依题意，当x=−2时，−4−2k+k− ≥0，
4
21
解得：k≤− ，
4
5 9
当x=1时，−1+k+k− ≤0，解得k≤ ，
4 8
21
即k≤− ，
4
当k≥1时，
5
当x=−2时，−4−2k+k− ≤0，
4
21
解得：k≥−
4
∴k≥121
综上所述，k≤ − 或k≥1，
4
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
46．将抛物线y=(x+1) 2的图象位于直线y=4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直
线y=x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（ ）
3 3 5 5
A．−1<m< B． <m<3 C．1<m< D． <m<4
4 4 4 4
【答案】B
【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过点A(即左边的对折点)，可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足
这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那
么该方程的判别式Δ=0，根据这一条件可确定m的取值．
【详解】解：令y=4，则4=(x+1) 2，
解得x=−3或1，
∴A(1,4)，
平移直线y=x+m知：直线位于l 和l 时，它与新图象有三个不同的公共点．
1 2
①当直线位于l 时，此时l 过点A(1,4)，
1 1
∴4=1+m，即m=3；
②当直线位于l 时，此时l 与函数y=(x+1) 2 的图象有一个公共点，
2 2
∴方程x+m=x2+2x+1，
即x2+x+1−m=0有两个相等实根，
∴Δ=1−4(1−m)=0，
3
即m= ；
4
3
由①②知若直线y=x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为 <m<3，故B正确．
4
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及
根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．
