文档内容
专题 02 二次函数重难点题型汇编
【题型01 ：二次函数的概念】
【题型02 ：二次函数的条件】
【题型03：列处二次函数关系式】
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
【题型09：二次函数的平移变换】
【题型10：二次函数的交点个数问题】
【题型01 ：二次函数的概念】
1．下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x−1 B．y=❑√x2−1 C．y=x2−1 D．y=
2x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形
如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐
个判断即可．
【详解】解：A、函数y=2x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、函数y=❑√x2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、函数y=x2−1是二次函数，故本选项符合题意；
1
D、函数y= 分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．
2x故选：C．
2．下列四个函数中是二次函数的是（ ）
2
A．y=3x−2 B．y= +2
x2
5
C．y=x2−1 D．y=
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，
叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意；
B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意；
D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
3．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
2
A．y=3x−7 B．y=
x
C．y=3x2−7x+3 D．y=ax2−6x−2
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c
是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、y=3x−7是一次函数，故本选项不符合题意；
2
B、y= 是反比例函数，故本选项不符合题意；
x
C、y=3x2−7x+3符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、y=ax2−6x−2，当a=0时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【题型02 ：二次函数的条件】
4．若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则m的值为(
)A．−2 B．1 C．−2或1 D．2或1
【答案】C
【分析】根据y=ax2+bx+c (a是不为0的常数)是二次函数，可得答案．
【详解】解：若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则m2+m=2且m+1≠0．，
解得：m=−2或m=1．
故选：C．
5．若y=(m−2)xm2−2是二次函数，则m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．−2 D．±❑√3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c
（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a
是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
也叫做二次函数的一般形式．建立关于m的方程，求解即可．
【详解】解：∵y=(m−2)xm2−2是关于x的二次函数，
∴m2−2=2，且m−2≠0，
∴m=±2，且m≠2，
∴m=−2．
故选：C．
6．函数y=(1+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．−1或3 C．3 D．m不存在
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得m2−2m−1=2且1+m≠0
即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如
y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
{m2−2m−1=2)
【详解】解：由题意得 ，解得：m=3，
1+m≠0
故选：C．7．如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值为（ ）
A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=4
【答案】A
【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为
常数，且a≠0）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．
二次函数中，自变量最高此项的次数k2−3k+2的值是2．二次函数中，自变量最高此项的
系数(k−3)不为0．
【详解】解：根据二次函数的定义，得k2−3k+2=2，
解得k=0或k=3．
∵k−3≠0，
∴k≠3，
∴当k=0时，这个函数是二次函数．
故选：A．
【题型03：列出二次函数关系式】
8．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x(0−1 B．x<−1 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题可知，函数图象开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；在对
称轴左侧，y随x的增大而增大，据此即可得到答案．
【详解】解：由二次函数的解析式得，抛物线开口向下，对称轴为x=1，
当x>1时， y 随 x 的增大而减小．
故选： C ．
16．抛物线y=−2(x+1) 2 +2的顶点的坐标是 ．
【答案】(−1, 2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，
即可求解．
【详解】解：抛物线y=−2(x+1) 2 +2的顶点坐标是(−1, 2)，
故答案为：(−1, 2)．
17．点A(−3,y )，B(2,y )均在二次函数y=−x2+2的图象上，则y y ．（填
1 2 1 2
“>”或“<”）
【答案】<
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据开口向下的二次函数，离对称轴越
远函数值越小进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−x2+2，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵0−(−3)=3>2−0=2，
∴y 0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，
b<0，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项
不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，
而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴
位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；
故选：D．
24．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x … −4 −2 0 3 5 …
y … −24 −8 0 −3 −15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法
求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
{4a−2b+c=−8
)
{a=−1
)
【详解】解：由题意得 c=0 ，解得 c=0 ，
9a+3b+c=−3 b=2
∴二次函数的解析式为y=−x2+2x=−(x−1) 2 +1，
∵a=−1<0，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线x=1，故选项D符合题意；
当01时，y的值随x的值增大而减小，故选项
B不符合题意；
∵顶点坐标为(1,1)且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
25．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴
的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长
度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM,QN，交AD于点M，N，得四边形PMNQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】分别作出两条抛物线的对称轴PM,QN，交AD于点M，N，
∴四边形PMNQ是矩形，
∴MN=PQ，
∵AB=10，BC=5，CD=6，
1 1 15 1 1 11
∴MA=MC= AC= (AB+BC)= ，BN=ND= BD= (CD+BC)= ，
2 2 2 2 2 2
11 15
∴MN=AD−AM−ND=(AB+BC+CD)−AM−ND，=21− − =8，
2 2
∴PQ=8，
故选B．
26．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2−bx+a=0的
根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，
首先根据二次函数的图象得到a<0，b>0，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．
【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，
b
∴a<0，− >0
2a
∴b>0∴方程x2−bx+a=0的判别式Δ=b2−4ac=(−b) 2−4×1×a=b2−4a>0
∴关于x的一元二次方程x2−bx+a=0的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选：C．
27．抛物线y=x2+14x+54的顶点坐标是（ ）
A．(7,5) B．(7,−5) C．(−7,5) D．(−7,−5)
【答案】C
【分析】依据题意，由抛物线为y=x2+14x+54=(x+7) 2+5，从而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．
【详解】解：由题意，∵抛物线为y=x2+14x+54=(x+7) 2+5，
∴顶点为(−7,5)．
故选：C．
28．用配方法将二次函数y=−x2−2x−3化为y=a(x−ℎ) 2 +k的形式为（ ）
A．y=−(x−1) 2 +3 B．y=(x+1) 2−4
C．y=−(x+1) 2−2 D．y=(x−1) 2 +2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为
顶点式是解题的关键．
运用配方法即可将其化为顶点式．
【详解】解：y=−x2−2x−3
=−(x2+2x+1)−2
=−(x+1) 2−2
故选：C．
29．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，
若点P的坐标为(−1,0)，则点Q的坐标为（ ）A．(0,−1) B．(2,0) C．(4,0) D．(3,0)
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求
解．
【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，
∴点Q的坐标为(3,0)，
故选：D．
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
30．已知抛物线y=−x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的
最小值为−7，求此时t的值为（ ）
A．1或−2 B．2或−2 C．3或−1 D．−1或−2
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求
解即可．
【详解】解：∵y=−x2+2x+1=−(x−1) 2 +2，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为−7，分两种情况：
①当|t−1)≤|t+2−1)时，即：t≥0时，
当x=t+2时，y=−(t+2) 2 +2(t+2)+1=−7，解得：t=−4（舍去）或t=2；
②当|t−1)>|t+2−1)时，即：t<0时，
当x=t时，y=−t2+2t+1=−7，解得：t=4（舍去）或t=−2；
综上：t的值为2或−2；
故选B．31．已知二次函数y=x2−2x(−1≤x≤t−1)，当x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，
函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．05时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小，
∴(5−m) 2−1=3，
解得：m =3（舍去），m =7．
1 2
∴m的值为0或7．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．
34．已知二次函数y=mx2−2mx+2(m≠0)在−2≤x≤2时有最小值−2，则m=(
)
1 1 1 1
A．−4或− B．4或− C．−4或 D．4或
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线x=1，进而分m>0和
m<0两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2−2mx+2(m≠0)，
−2m
∴二次函数对称轴为直线x= =1，
−2m
当m>0时，
∵在−2≤x≤2时有最小值−2，
∴当x=1时，y=m−2m+2=−2，
∴m=4；
当m<0时，
∵在−2≤x≤2时有最小值−2，
∴当x=−2时，y=4m+4m+2=−2，
1
∴m=− ；
2
1
综上所述，m=4或m=− ，
2
故选：B．
35．已知二次函数y=−x2−2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值
范围是( )
A．m≥−1 B．m≤2 C．−3≤m≤−1 D．0≤m≤2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=−x2−2x+2=−(x+1) 2 +3，可
得当x=−1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故
m≤−1≤m+2，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，∵ y=−x2−2x+2=−(x+1) 2 +3，∴当x=−1时，y取最大值是3．
又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，
∴m≤−1≤m+2．
∴−3≤m≤−1．
故选：C．
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
3
36．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x= ，且经过点
2
(−1,0)，下列结论：①ab<0；②8b−3c=0；③若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性
3
质是解题的关键．由对称轴为x= 即可判断①，由抛物线经过点(−1,0)，得出a−b+c=0，
2
b 3 1
对称轴x=− = ，得出a=− b，代入即可判断②；根据二次函数的性质以及抛物线的
2a 2 3
对称性即可判断③．
b 3
【详解】解：∵对称轴x=− = ，
2a 2
∴b=−3a，
∴ab=−3a2<0，①正确；
∵经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，b 3
∵对称轴x=− = ，
2a 2
1
∴a=− b，
3
1
∴− b−b+c=0，
3
∴3c=4b，
∴4b−3c=0，故②错误；
3
∵对称轴x= ，
2
∴点(0,c)的对称点为(3,c)，
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故③正确；
综上所述，正确的有2个．
故选：C．
37．二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．y有最小值 B．当−10 D．当x<−1时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线的图像及其性质，根据性质，结合图像判断解答即可.
【详解】解：A、由图像可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线可知当−10；
②3a+c>0；
③(a+c) 2−b2<0；
④a+b≤m(am+b)（m为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据
抛物线开口方向，对称轴位置，以及与y轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得
到b=−2a，再结合当x=−1时，y=0，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③
结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，
∴a>0，a、b异号，c<0，
∴b<0，
∴abc>0，①结论正确；
∵抛物线对称轴是直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
由图象可知，当x=−1时，y=0，
∴a−b+c=a−(−2a)+c=3a+c=0，②结论错误；
由图象可知，当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
又∵a−b+c=0，
∴(a+c) 2−b2=(a+c+b)(a+c−b)=0，③结论错误；∵当x=1时，y=a+b+c为最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤m(am+b)，④结论正确，
故选：A．
39．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc>0
B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−2，x =3
1 2
C．a+b=c−b
D．a+4b=3c
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关
键．根据二次函数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，
再进一步逐一分析即可．
【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
b
∵对称轴为x=− =1，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故A不符合题意；
∵抛物线与x轴交于(3,0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−1，x =3；故B不符合题意；
1 2
∵抛物线与x轴交于(3,0)，(−1,0)，对称轴为直线x=1，
{ b=−2a )
∴ a−b+c=0 ，
9a+3b+c=0{b=−2a)
解得： ，
c=−3a
∴∵a+b=a−2a=−a，c−b=−3a−(−2a)=−a
∴a+b=c−b，故C符合题意；
∴a+4b=a+(−8a)=−7a≠−9a；
∴a+4b=3c错误，故D不符合题意；
故选：C．
40．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，
对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若
8 4
−20；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线
x=1，
b
∴− =1，
2a
∵b=−2a，
∴x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
∴3a+c=0，
∴3a+2c<0，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，a>0，
∴y=a+b+c最小值，
ax2+bx+c≥a+b+c，
∴ax2+bx≥a+b，
故③正确；
④∵−22)
的图象与一次函数y
2
=x+b的图象有三个交点，
x则b的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．− ≤b≤2 B．b>− C．− ≤b<2 D．− 2)
的图象与一次函数y
2
=x+b的图象有
x
三个交点．
故选：D．
44．如图，二次函数y=−x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象
沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图
象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
1 25
A．
