文档内容
专题 04 二次函数与几何综合重难点题型汇编
【题型01 ：二次函数与角相等】...............................................1
【题型02 ：二次函数与线段最值】.............................................3
【题型03：二次函数与面积综合】...............................................6
【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】...................................8
【 题 型 05 ： 二 次 函 数 与 菱 形 存 在 性 问
题】.........................................10
【 题 型 06 ： 二 次 函 数 与 矩 形 存 在 性 问
题】.........................................14
【 题 型 07 ： 二 次 函 数 与 等 腰 三 角 形 存 在 性 问
题】...................................16
【 题 型 08 ： 二 次 函 数 与 直 角 三 角 形 存 在 性 问
题】...................................19
【 题 型 09 ： 二 次 函 数 与 等 腰 直 角 三 角 形 存 在 性 问
题】................................24
【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】..................................26
【题型01 ：二次函数与角相等】
1．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于C(0,−3)，顶点为D，
点M是抛物线上任意一点．(1)求抛物线解析式；
(2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使∠AMC=∠MCD？若存在，求出
点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出
所有相应的点N的坐标．
2．如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点
C，其顶点为D．
(1)点E为x轴上的动点，当△CDE周长最小时，求点E的坐标；
(2)若E为BD中点，P为抛物线上一点，当∠PAB=∠EAB时，求点P的坐标．
(3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足S =S ，求点Q的横坐标．
△ACQ 四边形ABDC
3．抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C．
y=ax2−2ax−3a(a<0)(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)如图（1），当a=−1时，连接AC，点P在第四象限内抛物线上，若
∠PAB=2∠ACO，求点P的坐标；
(3)如图（2），若顶点为H，在第一象限的抛物线上取点D，连接HD并延长交x轴于
点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到
抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上，试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，
与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为(−2,0)，点C的坐标为(−1,−4)．
(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．
(2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD,BD，抛物线上是否存在点M，使
∠MAB=∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型02 ：二次函数与线段最值】
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与正比例函数 的图象都
y=ax2+bx(a<0) y=kx经过点A(3,3)，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，
交OA于点C，交x轴于点D．若点A为该二次函数的顶点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)求线段PC长度的最大值．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B(0,−6)，抛
物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，
求线段PD的最大值．
2
7．如图所示，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标
3
为(−1,0)，点B坐标为(3,0)．(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点
P作y轴的垂线，垂足为E，请探究2PD+PE是否有最大值?若有最大值，求出最大值
及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B两点，交y
5
轴于点C，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，
❑√5
作PE⊥BC于点E，求PD+ PE的最大值及此时点P的坐标．
2
9．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A(−3,0)和点B，交y轴于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
【题型03：二次函数与面积综合】
10．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知B(2,0)，
C(0,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第二象限内的点P在该抛物线上，求△APC面积的最大值．
11．如图，对称轴为 的抛物线 与 轴相交于 、 两点，其中
x=−1 y=ax2+bx+c(a≠0) x A B
点A的坐标为(−3,0)．(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S =4S ，求点P的坐标．
△POC △BOC
②设点Q是线段AC上的一动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，试问△ADC是否存
在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时D点的坐标和△ADC面积的最
大值．
12．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(2,0)，
C(0,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直
接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交
于点C(0,16)，且过点D(−6,c)．
(1)求抛物线表达式；
(2)如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作PF∥y轴，交直线AC于点
，交 轴于点 ，连接 ， ， ，若S 4时，求点 的坐标．
E x F PC BE BC △PEC = P
S 5
△BEC
【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】
2
14．如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于 A(−1,0)， B 两点（点 A 在点 B 的左
3
侧）， 与y轴交于点C(0,2)，直线 CD:y=−x+2与x轴交于点 D，动点M在抛物
线上运动，过点 M 作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点 N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．
15．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(−5,0)，点C的坐标为(0,5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐
标及△PAC面积的最大值；
(3)如图2，若点M是抛物线上一动点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，
使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，
若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A，C两点，交y
y=ax2+bx−5(a≠0)
轴于点B，5OA=OB=OC．(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM周长最小，请求出点M的坐标；
(3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四
边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
17．如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线
交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长
度的最大值；
(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶
点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，
请说明理由．
1
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与直线AC交于点A(4,0)，
2
C(0,−4)．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与y轴交于点F，原抛物
线上有一点 P(2,−4)，点M为平移后点P的对应点，N为平移后的抛物线的对称轴
上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形
是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标．
【题型05：二次函数与菱形存在性问题】
9．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点
B(3,0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C
为菱形，请求出此时点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标
20．如图，已知抛物线 与 轴相交于点 ，对称轴为直线 ．
C :y=−x2+bx+c y C(0,1) x=2
1
坐标原点为O点，抛物线C 的对称轴交x轴于A点．
1(1)抛物线的关系表达式；
(2)将抛物线C 向左平移2个单位长度得到抛物线C ，C 与C 相交于点E，点F为抛物
1 2 2 1
线C 对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为
1
顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线 y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C，对
称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P
点的坐标；(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G
为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，
连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此
时点E的坐标；
(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点
的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(2,0)和点C(−1,0)．D为
第一象限的抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；(2)求△ADB面积的最大值；
(3)若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD是菱形，直接写出D的坐
标．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴
交于点C(0,−8)，P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接PO,PC，并将△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使
得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形ABPC的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边
形ABPC的最大面积．
【题型06：二次函数与矩形存在性问题】
25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与 轴交于
y=ax2+bx+c(a≠0) x
A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为(1,4)，连接BC，
拋物线的对称轴与BC交于点H．
(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得
S =3S ，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
△BGH △DGH
(3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，M为直线x=1上
一个动点，在平面内是否存在一个点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以
BE为对角线的矩形，若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，抛物线 的图象经过 ， 两点，与 轴交于点
y=ax2+bx+c(a≠0) A(1,0) B(3,0) y
C(0,6)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存
在一点P，使以A，P，Q，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并
说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．
27．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点A、B的
坐标分别是(−1,0)、(3,0)，与y轴交于点C，点C的坐标是(0,3)，点D和点C关于抛物
线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG
的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，
Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点P和Q的坐标．
28．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点（点A在点B的左
边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线AD和抛物线的表达式；
(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG
的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以
A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴分别相交于A，B两点，
与y轴交于点C，直线y=−x+3经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、
N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】
30．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x
1
轴于点D．已知线段AB=5， 直线y=− x+m经过B，C两点．
2
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接写
出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
31．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点C．已知点
y=ax2+bx+3(a≠0) x A,B y A
的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点P，使△BCP的面积最大，求点P的坐标和
△BCP面积的最大值；
(3)对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点M，使△MNC是以CN为腰的等腰三角形，求点M的坐标．
32．如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线
y=−x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求3m+n的值；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？
若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A，B(1,0)（A在B的左侧），与y轴
交于点C(0,3)，顶点为D．
(1)求出抛物线的表达式；
(2)若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标；
(3)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，C(0,4)两点，且与x轴的另一个交
点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当△MBC的周长最小时，求M点的坐标．
(3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的
最大值及此时D点的坐标；
(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰
三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】
35．如图，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，
交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC=2OA．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC
为直角边的直角三角形，求点P的坐标．36．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△≝¿为直角三角形，请直接写
出E点坐标．
37．将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线
y=ax2 (a≠0)
．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知 ，
H:y=a(x−ℎ) 2+k A(−3,0)
点P是抛物线H上的一个动点．
(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若
不存在，说明理由．
3
38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x+1分别与x轴，y轴交于点A、B(0,1)，
4
1 3
抛物线y=− x2+bx+c经过点B，且与直线y= x+1的另一个交点为C(−4,n)．
2 4
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP为直角三角形？若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
39．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，
1 1
抛物线L ：y=− x2− x+2交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．
1 4 2
抛物线L 与L 是“共根抛物线”，其顶点为P．
2 1
(1)若抛物线L 经过点(1,−5)，求抛物线L 对应的函数关系式；
2 2
(2)当△BPC的周长最小时，求抛物线L 对应的函数关系式；
2
(3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
2
40．如图，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，
交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC=2OA．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC
为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
41．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△≝¿为直角三角形，请直接写
出E点坐标．42．将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线
y=ax2 (a≠0)
．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知 ，
H:y=a(x−ℎ) 2+k A(−3,0)
点P是抛物线H上的一个动点．
(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，
M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若
不存在，说明理由．
3
43．如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x+1分别与x轴，y轴交于点A、B(0,1)，
4
1 3
抛物线y=− x2+bx+c经过点B，且与直线y= x+1的另一个交点为C(−4,n)．
2 4
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP为直角三角形？若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．44．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，
1 1
抛物线L ：y=− x2− x+2交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．
1 4 2
抛物线L 与L 是“共根抛物线”，其顶点为P．
2 1
(1)若抛物线L 经过点(1,−5)，求抛物线L 对应的函数关系式；
2 2
(2)当△BPC的周长最小时，求抛物线L 对应的函数关系式；
2
(3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，
求出抛物线L 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
2
【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】
45．二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(−1,0),B(4,0)两点，交y轴于点C，动点
M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交
直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；
(2)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．
46．如图，将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为A，
与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C
的坐标；若不存在，请说明理由．
47．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3，0)、B(−1，0)，与y轴交于点
C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为(0，−3)，过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线
段PD长度的最大值；(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存
在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
48．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，点
D在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
49．如图，二次函数y=ax2+bx+4与x轴交于点A(4,0),B(−1,0)，与y轴交于点C．
(1)求函数表达式及顶点坐标；
(2)连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC
于点H，当PH=2HQ时，求点P的坐标；
(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边
的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】50．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−4,0),B(1,0)两点，
与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在直线AC上方，当四边形PABC面积最大时，求点P的坐标；
(3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当△PDQ与
△AOC全等时，求点P，Q的坐标．
51．如图所示，抛物线经过点A(−3,0)，B(1,0)，C(0,−3)，它的对称轴为直线l．
(1)求△ABC的面积；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是该抛物线上的一个动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点D，点E是直线l上
的点，若以点P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的
坐标．
52．如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(−1,−4)，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E
是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P和
点E的坐标．
53．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=−x−3与x轴交于点A，与y轴交于点
C，过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0)，抛物线对称轴为
直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使得以P、
D、E为顶点的三角形与△BOC全等，请求出点P、点E的坐标；54．如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ，
y=ax2+bx+4(a≠0) B(−2,0) A(4,0) y C
抛物线的对称轴与x轴交于点M．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC上的一个动点（不点A,C重合），DE⊥x轴交抛物线于点E，连
接CE，AE，求△ACE面积最大时点E坐标；
(3)点C关于点M的对称点为P，在该抛物线上是否存在点R，使得△ABR与△ABP
全等？若存在，请求出所有满足条件的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
