文档内容
专题 03 直线和圆的位置关系
目录
A题型建模・专项突破
题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值.......................................................................................1
题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直.......................................................................................5
题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径.....................................................................................11
题型四、切线的性质和判定的综合应用.....................................................................................................17
题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系.............................................................................24
题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系.............................................................................28
B综合攻坚・能力跃升
题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值
1．已知 中， ， ，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段 只有一个交点，
则r的取值范围为 ．
2．在 中， ， ，以C为圆心，r为半径作 ．若 与边 只有一个交
点，则r的取值范围是
3．如图，在梯形 中， ， ， ， ， ，点 是边 上一点，以
为圆心， 为半径的 ，与边 只有一个公共点时，则 的取值范围是 ．
4．如图， ，点O在 上，且 ，以点O为圆心，r为半径画圆，若 的边 与
有两个公共点，则r的取值范围为 ．题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，
证垂直”.
5.如图所示，已知 是圆O的直径，圆O过 的中点D，且 ．
(1)求证： 是圆O的切线；
(2)若 ， ，求圆O的半径．
6.如图， 内接于 ， 是 的直径，点 在 上，点 是 的中点， ，垂足为点
D， 的延长线交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求线段 的长．
7.如图，以点O为圆心， 长为直径作圆，在 上取一点C，延长 至点D，连接 ，
，过点A作 交 的延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
8.如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ，交 的延长线于点 ，延长 交 的延
长线于点 ，连接 ， 平分 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若点 为 的中点， 的半径为 ，求 的长．
题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的
半径，简称“作垂直，证半径”.
9.如图， 是等腰直角三角形， ，O为 的中点，连接 交 于点E， 与 相
切于点D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
10.如图，在 中， ， ，点O为边 中点，以点O为圆心的圆与 相切于点
D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明．
11.如图， 为正方形 对角线上一点， 与以 为圆心， 长为半径的 相切于点 ．(1)求证： 与 相切；
(2)若正方形 的边长为1，求 的半径．
12.如图 ， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ，与
相交于点 ．
(1)求证： 与 相切．
(2)若正方形 的边长为 ，点 是半径 上的一个动点，过点 作 交 于点 ．
当 时，求 的长
题型四、切线的性质和判定的综合应用
13．如图， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证： 与 相切；；
(2)若正方形 的边长为 ，则 的半径 _______．
14．如图， 是 的直径， 与 相切于点 ， 交 的延长线于点 ， 交 的延长
线于点 ，(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的半径．
15．如图， 内接于 ， 是直径， 的切线 交 的延长线于点 ， 交 于点
，交 于点 ，连接 ；
(1)判断 与 的位置关系并说明理由．
(2)若 的半径为 ， ，求 的长．
16．如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且 过点 作 的垂线，交 的延长线
于点 ，交 的延长线于点 ， 为 下方的半圆弧的中点， 交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)已知 ， ，求 的长．
题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
17．如图，在 中， ，其内切圆分别与 、 、 相切于点 、 、 ，若 ，
，则 内切圆的半径长度为 ．18．如图， 是 的内切圆， ，则 的大小是 ； 的半径
是 ．
19．如图， 经过 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足
，则 的半径为 ．
20．如图，在 中， ， 是 的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接
．
(1)若 ， ，则 ；
(2)若 的周长为 ，面积为 ，则 ， ， 之间有什么数量关系，并说明理由．题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
21．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且 ， ，
．
如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，
(1)求 的长．
(2)已知 ，求 的长．
22．如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，点 分别为 上的点，且 为
的切线．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的周长．
一、单选题
1．已知点O到直线l的距离为 ，以点O为圆心的 与直线l有两个交点，则 的半径可能为
（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ， 是 的切线， ， 为切点，点 为 上一点，若 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
3．如图，点 在 上，点 在 外，以下条件不能判定 是 切线的是（ ）
A． B．
C． D． 与 的交点是 中点
4．如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， ，垂足为 ，连接 ．若 ，
且 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，在一张三角形 纸片中， ， ， ， 是它的内切圆，小明用剪刀
沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长是（ ）
A．17 B．19 C．20 D．22
由切线长定理可知 ，∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是 的内切圆，
二、填空题
6．如图， 、 、 是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若 ， ，则 的长是
．
7．如图，⊙ 是 的内切圆， ，则 ．
8．如图， 、 分别切 于A、B，并与 的切线分别相交于C、D，已知 ，则 的
周长等于 ．
9．如图，正方形 的边长为 ，若经过 ， 两点的 与直线 相切，则 的半径为
．
10．如图，把 置于平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点P是
内切圆的圆心，将 沿 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 轴重合，第一次滚动后圆心为 ，第二次滚动后圆心为 ，依此规律，则 的坐标是 ；第2024次滚动后，
内切圆的圆心 的坐标是 ．
三、解答题
11．如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ， ，求 的长．
12．如图， 为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与 的延长线交于点E， 于点
D， 平分 ．
(1)求证： 是半圆O的切线；
(2)若 ，B为 的中点， ，垂足为点F，求 的长．
13．如图， 是 的直径， ， 分别切 于点 、 ， 分别交 ， 于点 、 ，
平分 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， 求 的半径．
14．如图，在 中， ，过 中点 作 与 相切于点 ，交 于点E，F，交 于
点M，N．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
15．如图， 是 的直径，C，D 是 上两点，连接 ， ， 平分 ， 交 延
长线于点 E．
(1)写出图中与 相等的一个角： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 的半径为5， ，求 的长．
16．如图，已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连接 ，以 为邻边作 ，连
接 与 交于点 ， ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的半径；
(3)求 的长．
17．如图， 是 的直径， 是 的两条弦，且 与 交于点 ，连接
．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求弦 的长；
(3)在（2）的条件下，延长 至点 ，使 ，连接 ．求证： 是 的切线．
18．如图，在平面直角坐标系中， 与 轴交于点 ，一次函数 的图象分别交
轴于点 ．
(1)如图1，当 时，求证：直线 与 相切；
(2)如图2，直线 与 相交，交点分别为 ， ，若 ，求 的值．
