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专题 03 旋转
思维导图
【类型覆盖】
类型一、根据旋转的性质求解
【解惑】将 绕点 旋转一定的角度后使点 落在点 处，点 在落在点 处，且 、 、 在同一
直线上， 、BD交于点 ，CD、 交于点 ， 、BD交于点 ，连接AB、 则下列结论错误
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得到 ， ， ，则可对 、 选项进行判断；再利用三角
形内角和定理证明 ，则可对 选项进行判断；由于 ， ，只有当
时， 与 全等，即 时， ，从而可对 选项进行判断．
【详解】解： 绕点 旋转一定的角度后得到 ，
， ， ，所以 、 选项不符合题意；
，
，
，
，所以 选项不符合题意；
在 和 中，
， ，
当 时， 与 全等，此时 ，但是已知中无此条件，所以 选项符合题
意．
故选： ．
【融会贯通】
1．如图，在等边三角形 中， ，D是 的中点，将 绕点A逆时针旋转一定角度得到
，则线段 的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的
性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出 ，利用勾股定理求出 ．再根
据旋转的性质得出 ， ，那么 是等边三角形，从而得到DE的长．【详解】解：∵在等边 中， ，D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∵将 绕点A旋转后得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选：A．
2．在活动课上，“凌志组”用含 角的直角三角尺设计风车．如图， ， ， ，
将直角三角尺绕点 逆时针旋转得到 ，使点 落在AB边上，此时 与 两点间的距离为
．
【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形 角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，熟练地掌握相关内容
是解题的关键．根据直角三角形 角所对的边等于斜边的一半，易知 ，结合旋转的性质可知
，根据直角三角形 角所对的边等于斜边的一半可求出 的长．
【详解】解：如图，连接 ，
， ， ，， ，
由旋转的性质得， ，
为等边三角形，
．
故答案为：4．
3．已知：如图，在 中， ， ， ．将 绕顶点O，按顺时针方向
旋转到 处，此时线段 与 的交点D恰好为 的中点，则线段 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．
先在直角 中利用勾股定理求出 ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出
，然后根据旋转的性质得到 cm,那么 ；
【详解】∵在 中， ， ， ．
∴ ，
∵点D为 的中点，
∴ ．
∵将 绕顶点O，按顺时针方向旋转到 处，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
类型二、求绕原点旋转角度的点的坐标
【解惑】在平面直角坐标系中，将点 绕原点顺时针旋转 后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与旋转：根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可．
【详解】解：∵点 在 轴，
∴ 绕原点O顺时针旋转 后，落在 轴的正半轴上，对应点的坐标为 ，
故选：B．
【融会贯通】
1．如图，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，将 向右平移3个单位，
得到 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， ，再将 绕点 顺时针旋转90°，得
，点 ， ， 的对应点分别为 、 、 则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，
旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
【详解】解：如图， ．故选：B．
2．以原点为中心，把点 逆时针旋转 ，得到点B，则点B的坐标为 ；
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点B由点A绕坐标原点逆时针旋转 得到，可知A，B两
点关于坐标原点成中心对称，据此可解决问题．
【详解】解：因为点B由点A绕坐标原点逆时针旋转 得到，
所以A，B两点关于坐标原点成中心对称．
又因为点A坐标为 ，
所以点B的坐标为 ，
故答案为： ．
3．如图，矩形 的顶点 为坐标原点，点 在 轴上，点 的坐标为(2,1)，若将矩形绕点 旋转 ，
旋转后的图形为矩形 ，则点 的坐标为 ．
【答案】【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特点，根据题意可得点B与点 关于原点对称，再根
据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点B与点 关于原点对称，
∵点B的坐标为(2,1)
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
类型三、根据中心对称的性质求解
【解惑】如图， 与 关于 成中心对称，下列不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质：①中心对称的两个图形是全等图形；②
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；③中心对称的两个图形，
对应线段平行（或在同一条直线上）且相等．据此逐项判断即可．
【详解】解：∵ 与 关于 成中心对称，
∴ ， ， ，
∴选项A，B，D正确，不符合题意．
∵ 和 不是对应边，
∴ 和 不一定相等，故选项C错误，符合题意．
故选：C．【融会贯通】
1．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质： 的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及中心对称图形
的性质．
在直角 中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得 ，而 ，据此即可求解．
【详解】解：∵在直角 中， 1，
故选：B．
2．如图是一个中心对称图形， 为对称中心，若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、中心对称图形的概念、勾股定理．根据直角三角形的性质得到
，根据勾股定理列式求出 ，根据中心对称图形的性质计算．
【详解】解：在 中， ，
，
由勾股定理得， ，即 ，解得， ，
图形是一个中心对称图形， 为对称中心，
，
故答案为： ．
3．如图，菱形 的对角线 交于点 ，若 与 关于点 成中心对称， ，
，则菱形 的边长是 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据菱形的性质、旋转的性质，得到 ，
，根据 ，利用勾股定理计算 ，再次利用勾股定理计算 即可．
【详解】解：连接 ，如图：
∵四边形 是菱形， 与 关于点 成中心对称， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即菱形A 的边长是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用
勾股定理是解决本题的关键．
类型四、旋转中的规律
【解惑】如图，等腰 的顶点 在 轴上，顶点 在 轴上，已知 ，将
绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，若旋转后点 的对应点 的坐标为 ，则旋转的次数
可能是（ ）
A．71 B．72 C．73 D．74
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二
次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为
4进行规律旋转，除以4看余数即可．
【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第
四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可，
∵ 在第四象限，
∴除以4后的余数为2，
∵ ，
故选D．．
【融会贯通】
1．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电
机有三个底端重合、两两成 角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标
系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为 ，在一段时间内，叶片每秒绕原点
O顺时针转动 ，则第 秒时，点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、 时，点 的对应点 、 、 、 的坐标，找到规律，
进而得出第 时，点的对应点 的坐标．
【详解】解：如图．，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点 顺时针转动 ，
， ， ， ，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第 时，点的对应点 的坐标与 相同，为 ．
故选： ．
2．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将
一个正方形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边
形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为
2，则所得正八边形的面积为 ．
【答案】 30°/ 度 /
【分析】根据题意，可以发现正n边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；
旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为x，
则正八边形的边长为 ；然后根据 求得x；最后用正方形的面积减去这4个等腰直角三角
形的面积即可．【详解】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正 边形；则
将一个正六边形绕其中心最少旋转 所得图形与原图的重叠部分是正多边形；
由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为
∴ ，
解得
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：
∴正八边形的面积为： ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了旋转变换、图形规律以及勾股定理等知识，根据题意找到旋转规律是解答本题的关键．
3．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答．
(1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均
可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________．
①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转 ；③将菱形B绕点O旋转 ．
（在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．）
(2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分．(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 、 ．
①若将 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 ，请画出 ，并写
出点 的坐标为________；
②若将 绕点O按顺时针方向旋转 后得到 ，直接写出点 的坐标为________；
③若将 绕点P按顺时针方向旋转90°后得到 ，则点P的坐标是________．
【答案】(1)将菱形B绕点O旋转
(2)见解析
(3)①图见解打， ② ③
【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图 平移和旋转，点的坐标，关键是掌握平移与旋转的性质．
（1）根据图形直接得出结论；
（2）从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转 ，每个阴影部分也随之旋转 ．（3）①首先确定 、 、 三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点 的坐标即可；
②根据关于原点对称的点的坐标特点可得 的坐标；
③根据旋转的性质确定点 的位置．
【详解】（1）解：观察分析①②的不同，变化前后， 的位置不变，
而 的位置由 的下方变为 的上方，进而可得两者对应点的连线交于点 ，
即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形 绕点 旋转 ，
故答案为：菱形 绕点 旋转 ．
（2）解：如图：
（3）解：①如图所示， 即为所求， 的坐标为 ，
②将 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，点 的坐标为 ，
故答案为： ；
③将 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，则点 的坐标是 ，
故答案为： ．
类型五、坐标与旋转中的规律
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为 ， ，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第
次旋转结束时，点 D 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查规律探索求点坐标．根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转 次为一个
循环，得到经过第 次旋转后，点D的坐标与第 次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．
【详解】解：在正方形中，点 的坐标为 ，
∴点 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
由题意，可得风车第 次旋转结束时，点D的坐标为 ；
第 次旋转结束时，点D的坐标为 ；
第 次旋转结束时，点D的坐标为 ；第 次旋转结束时，点D的坐标为 ．
∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转 次为一个循环．
∵ ，
∴经过第 次旋转后，点D的坐标与第 次旋转结束时点D的坐标相同，为 ；
故选：C．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、C分别在x、y轴上，且 ．将正方形
绕原点O顺时针旋转 ，并放大为原来的2倍，使 ，得到正方形 ，再将正方形
绕原点O顺时针旋转 ，并放大为原来的2倍，使 ，得到正方形 ……以此规律，得到
正方形 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变
化规律，进而得出点 所在的象限，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形 是正方形， ，
∴ ，∴ ，
将正方形 绕原点O顺时针旋转 ，且 ，得到正方形 ，
再将正方 绕原点O顺时针旋转 ，且 ，得到正方形 …以此规律，
∴每4次循环一周， ，
∵ ，
∴点 与 同在一个象限内，
∴点 ，
故选：A．
2．如图，在直角坐标系中，已知点 ， ，对 连续作旋转变换，依次得到
则 的直角顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理列式求出 的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三
角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2020除以3，根据商为673余数
为1，可知第20，20个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．本题主要考查了
点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难
点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【详解】解： 点 、 ，
，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为： ，，
∴ 的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
，
∴ 的直角顶点的坐标为 ．
故答案为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，其中点A与点P，点B与点
Q，点C与点R是对应的点，在这种变换下：
(1)直接写出下列各点的坐标
①A(____，_____)与P(_____，_____)；B(_____，_____)与Q(______，_____)；C(_____，______)与
R(______，______)
②它们之间的关系是：______(用文字语言直接写出)
(2)在这个坐标系中，三角形ABC内有一点M，点M经过这种变换后得到点N，点N在三角形PQR内，其
中M、N的坐标M( ，6(a+b)﹣10)，N(1﹣ ，4(b﹣2a)﹣6)，求关于x的不等式 ﹣
＞b﹣1的解集．
【答案】(1)①4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；②两个三角形各顶点横、纵坐标互
为相反数；(2)x＜﹣1．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标，再根据坐标的特征写出规律即可；
（2）利用（1）中规律，构建方程组，求出a、b的值，解不等式即可；
【详解】解：(1)由图可得，①A(4，3)与P(﹣4，﹣3)； B(3，1)与Q(﹣3，﹣1)； C(1，2)与R(﹣1，﹣2)．
②由①可得：两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数．故答案为4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；
(2)∵M、N关于原点对称，
∴M、N两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴ +1﹣ ＝0，6(a+b)﹣10+4(b﹣2a)﹣6＝0，
解得a＝2，b＝2，
∴ ﹣ ＞2﹣1
∴6x+4﹣7x+3＞8
∴x＜﹣1．
【点睛】本题考查几何变换﹣中心对称，不等式，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
类型六、中心对称图形的规律
【解惑】在平面直角坐标系中，点 ， 的对称中心是点A，另取两点 ， ．有
一电子青蛙从点 处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点 关于点A的对称点
处，接着跳到点 关于点B的对称点 处，第三次再跳到点 关于点C的对称点 处，第四次再跳到点
关于点A的对称点 处，…，则点 的坐标为（ ）．A．(−1,1) B． C．(2,0) D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化 对称，利用中心对称找出坐标规律是解
题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标， → → → → →
→ → …由此得到 的坐标和 的坐标相同， 的坐标和 的坐标相同，即坐标以6
为周期循环，利用这个规律即可求出点 的坐标．
【详解】解：∵点 关于点 的对称点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得点 ， ， ， ， ，…
∴点P每6次一循环，
∵
∴点 与点 坐标相同，即 ．
故选：D．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ．一个电动玩具从原点
出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第二次跳跃到点 ，使得点 与点
关于点 成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点 的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后 、 、 、 、
、 、 的坐标，可得出规律，继而可求点 的坐标．
【详解】解：由题意得：点 、 、 、 、 、 、 ，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵ ，
∴点 的坐标是 ．
故选：B．
2．如果将点P绕定点M旋转 后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，
此时，M是线段 的中点．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A，B，O的坐标分别为(1,0)，
(0,1)， ，点 ， ， ，…中的相邻两点都关于 的一个顶点对称，点 与点 关于点A对称，
点 与点 关于点B对称，点 与点 关于点O对称，点 与点 关于点A对称，点 与点 关于点B
对称，点 与点 关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点 的坐标是 ，则点 的坐标
为 ．【答案】
【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标
每6个一循环是解题关键．
根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点 关于点A的对称点坐标，以及点 关于点B
的对称点坐标，点 关于点O的对称点 ，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答．
【详解】解：由题意可得：点 ， ， ， ， ， ……
∴可知6个点一个循环， ，
∴点 的坐标与点 的坐标相同，为 ．
故答案为： ．
3．二次函数 的图像交 轴于原点 及点 ．
感知特例：（1）当 时，如图1，抛物线 上的点 ， ， ， ， 分别关于点 中心对称的点为
， ， ， ， ，如下表：
①补全表格： （___，___）
②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为 ．
形成概念：
我们发现形如（1）中的图像 上的点和抛物线 上的点关于点 中心对称，则称 是 的“孔像抛物
线”．例如，当 时，图2中的抛物线 是抛物线 的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当 时，若抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减小，则 的取值范
围为_______；
②若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点，求 的值．
【答案】（1）① ； ；②作图见解析；（2）① ；②m= 1
【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出点 的对称点；②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑
的曲线依次连接各点即可；
（2）①利用配方法求出抛物线 的顶点与对称轴，利用点 的坐标和对称性求出“孔像抛物线” 的顶
点与对称轴，进而得出“孔像抛物线” 解析式，利用二次函数的性质即可得出结论；
②利用二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点，可得直线 必经
过这两条抛物线中的一条的顶点，利用分类讨论的思想方法，令 分别经过 和 的顶点，从而得到
关于 的方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）∵点 与点 关于点 中心对称，
∴点 的坐标为( ，即 ，
故答案为： ； ；
②描点，连线，得到的图像如图所示：（2）①当 时，抛物线 为 ，对称轴为 ，
当 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴原点关于 对称的点的坐标为 ，
∴它的“孔像抛物线” 的解析式为 ，对称轴为 ，
画出草图如图所示：
∵抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着x的增大而减小，
∴x的取值范围为： ，
故答案为： ；②∵ ： ，设顶点为 ，过点 作 轴于点 ，“孔像抛物线”
的顶点为 ，过点 作 轴于点 ，
∴ ， ，
由“孔像抛物线”的定义可知：点 为 的中点，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 及“孔像抛物线” 与直线 有且只有三个交点，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
当 时， 与 只有一个交点，不合题意，舍去，
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图像与性质，中心对称的性质，全等三角形的判定和性质，理解“孔像抛物线”的定义及运用数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关
键．
类型七、根据旋转的性质证明线段和角相等
【解惑】如图，在 中， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到
，连接 ， 交于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转角求出 ，然后利用
“边角边”证明 和 全等．
【详解】证明： 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，
，
，
又 ，
，
在 与 中，
，
∴ ．
【融会贯通】
1．四边形 是正方形， 旋转一定角度后得到 ，如图所示，如果 ， ，
．求：(1)指出旋转中心和旋转角度；
(2)求 的长度和 的度数．
【答案】(1)旋转中心为点A；旋转角为
(2) ；
【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，数形结合．
（1）由于 旋转一定角度后得到 ，根据旋转的性质得到旋转中心为点A， 等于旋转角，
于是得到旋转角为 ；
（2）根据旋转的性质得到 ， ，则 ，再求出 的度
数即可；根据 ， 求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ 旋转一定角度后得到 ，
∴旋转中心为点A， 等于旋转角，
∴旋转角为 ；
（2）解：∵ 以点A为旋转中心，顺时针旋转 后得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
2．在等边三角形 的内部有一点 ，连接 ， ，以点 为中心，把 逆时针旋转 得到 ，
连接 ， ．以点 为中心，把 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ．(1)判断 和 的大小关系，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得 ， ，则可判断 为等边三角形，再利用
为等边三角形得到 ，则可得到 ；
（2）通过证明 得到 ；
（3）根据旋转的性质得 ， ，则可判断 为等边三角形，于是得到 ，
再与（2）的证明方法一样证明 得到 ，于是 ，加上 ，
从而可判断四边形 是平行四边形．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
以点 为中心，把 逆时针旋转 得到 ，
， ，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
；
（2）证明：在 和 中，，
，
；
（3）证明： 以点 为中心，把 顺时针旋转 得到 ，
， ，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知： ，
又 ，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形
的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3．【探究与证明】
在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．【问题情境】
如图①，在矩形 中， ，将边 绕点 A逆时针旋转（ ）得到线段 ，
过点E作， 交直线 于点F．
【猜想证明】从特殊到一般．
(1)当 时，四边形 的形状为_______；（直接写出答案）
(2)如图②，当 时，连接 ，求此时 的面积；
(3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时 的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)正方形
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）当 时， 落在边 上，易得四边形 为正方形；
（2）过E作 于G，由旋转的性质及勾股定理 的长，从而求得 的面积；
（3）分两种情况：当点E在线段 上；当点E在线段 反向延长线上；利用旋转的性质及勾股定理即
可求解．
【详解】（1）解：如图，当 时， 落在边 上，
由旋转得： ，
，
，
四边形 为正方形；
故答案为：正方形；（2）解：如图，过E作 于G，
由旋转得： ， ；
由四边形 是矩形，得 ，
；
，
，
；
由勾股定理得 ，
；
（3）解：存在
设 ，连接 ；
当点E在线段 上时，如图；
，
，
，
；
，
由勾股定理得： ，
；
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ；当点E在线段 反向延长线上时，如图；
同理， ，
；
由勾股定理得： ，
；
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ；
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定
理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键．
类型八、利用图形的运动设计图案
【解惑】如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你
所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶
点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案
相同的视为一种设计．
【答案】见解析
【分析】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案的知识．根据轴对称图形及中心对称图形的概念，设计图案即可．
【详解】解：所画图形如图所示．
．
【融会贯通】
1．如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，
请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小
题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的定义去添加；
（2）根据中心对称图形的定义添加．
【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图：（2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图：
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．
2．如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形
（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中．
(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解
题的关键．
（1）把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，把
一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；根据上述性质，即可拼接组成图形；
（2）结合（1）即可拼接组成图形；
（3）结合（1）即可拼接组成图形．
【详解】（1）解：如图1所示：
（2）解：如图2所示：
（3）解：如图3所示：
3．如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边
形，线段 位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形．
(1)请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且 为对角线．
(2)请在图2中画一个以 为边，面积为 的三角形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）以 为对角线，画出菱形 ，即可获得答案；
（2）过点 向左作线段 ，使得 ；取 中点 ，连接 ，由网格特点可知， ，故
，由等边三角形性质可知， ，所以 ，故
即为所求三角形．
【详解】（1）解：以 为对角线，画出菱形 ，如下图；
（2）解：如下图，过点 向左作线段 ，使得 ，
即为以 为边，面积为 的三角形．
【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计、等边三角形的性质、菱形的判定与性质、三角形面积等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．【一览众山小】
1．如图，点A的坐标是 ，将线段 绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题
的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 和 ，
由旋转可知，
， ，
，
．
在 和 中，，
，
， ．
点 的坐标为 ，
， ，
点 的坐标为 ．
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形 绕着原点O顺时针旋转 得到正方形
，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形 则点 的坐标是
（ ）
A．(0,1) B． C．(1,0) D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用
，得到 的坐标和点 的坐标重合，即可得出结果．
【详解】解：由题意，可知： ，每旋转 次，正方形回到原来的位置，
∵ ，
∴ 的坐标和点 的坐标重合，∴点 的坐标是(0,1)；
故选A．
3．若点 ， 关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相
反数求出 的值，再代入代数式求值即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点 ， 关于原点对称，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也
涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个．
【答案】3
【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形
的小方格即可．
【详解】如图所示，
∴这样的白色小方格有3个．
故答案为：3．
5．如图，正方形 与正方形 关于某点中心对称，已知 ， ， 三点的坐标分别是(1,0)，(2,0)， ．
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点 ， ， ， 的坐标．
【答案】(1)
(2) ， ， ， ．
【分析】本题考查了坐标与图形，求对称中心．
（1）求出点D和 的中点即可；
（2）根据 ， ，求出正方形的边长，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴对称中心的坐标为 ，即 ；
（2）解：∵ ， ，
∴正方形 与正方形 边长为2，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ．6．已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上
阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影：
(1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
(2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关
键．
（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；（答案不唯一）
（2）解：中心对称图形如图2所示（答案不唯一）
7．半角模型探究
如图，正方形 的边长为3，E、F分别是 、 边上的点，且 ．将 绕点D逆时针旋转 ，得到 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
(3)探究延伸：如图，在四边形 中， ， ， ．E、F分别是边 、
上的点，且 ．求 的周长．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)8
【分析】（1）由旋转可得 ， 为直角，可得出 ，由 ，得
到 为 ，可得出 ，再由 ，利用 可得出三角形 与三角形
全等，由全等三角形的对应边相等可得出 ；
（2）由（1）的全等得到 ，正方形的边长为3，用 求出 的长，再由 求出
的长，设 ，可得出 ，在直角三角形 中，利用勾股定理列出关
于 的方程，求出方程的解得到 的值，即为 的长．
（3）拓展延伸：如图，在正方形 中， 、 分别在边 、 上，且 ，连接 ，同
（2）可得结论 仍然成立，再结合 ，即可作答．
【详解】（1）证明： 逆时针旋转 得到 ，
， ，
、 、 三点共线，
， ，
，
，
，在 和 中，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得，
即 ，
解得 ，
则 ．
∴ ；
（3）解：如图②，将 绕点 顺时针旋转角度为 的度数，得到 ，
由旋转可得， ， ， ， ，
，，
，
，
点 、 、 三点共线，
在 和 中，
，
，
，
，
；
∵
∴
则
∴
∴
则 的周长为 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化
及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
8．在 中，将 绕点A顺时针旋转 至 ，将 绕点A逆时针旋转 至 （ ，
），得到 ，使 ，我们称 是 的“旋补三角形”，
的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
(1)当 为等边三角形时，画图研究 的“旋补中线” 与 的数量关系是__________；(2)如图，当 为任意三角形时，（1）中的结论是否成立?并给予证明；
(3)若 ， ，求 的“旋补三角形”的周长．
【答案】(1)
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可得 ， ，由等腰三角
形的性质和直角三角形的性质可得 ，再进行等量代换，即可解题；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 、 ，证明四边形 为平行四边形，再由“
”可证 ，利用全等三角形性质和平行四边形性质即可解题；
（3）根据题意得到 ，结合等腰三角形性质和勾股定理可求 ，再结合旋
转的性质即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知， ， ，
为等边三角形，
， ，
，
，
， 是 的中线，
， ，
，
，
即 ；
故答案为： ；
（2）解：结论仍然成立，证明如下：
延长 至点 ，使得 ，连接 、 ，
是 的中线，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
；
（3）解： ，
，
， 是 的中线，
，
，
，
的“旋补三角形”的周长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾
股定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
