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专题 03 圆中常见的多解问题（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】.....................................................................................................1
【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】.................................................................................1
【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】.................................................................................................2
【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】..................................................................................................................2
【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】.............................................................................................3
【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】.................................................................................................3
【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】
【例1】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA=10cm，线段OB=6cm，
那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【变式1-1】若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是
（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
【变式1-2】⊙O的半径为10cm, A是⊙O上一点, B是OA中点, C点和B点的距离等于5cm, 则C点和⊙O的
位置关系是 （ ）
A．C在⊙O内 B．C在⊙O上 C．C在⊙O外 D．C在⊙O上或C在⊙O内
【变式1-3】在已知线段AB=10，且A、B两点都在⊙O的外，圆上动点P与点A的最小距离为6，与B点
的最小距离为4，若△ABO为直角三角形，则⊙O的半径r= ．
【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】
【例2】已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3
的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且∠APB=56°，若点C是⊙O上异于点
A,B的一点，则∠ACB的大小为（ ）A．134° B．124° C．62°或118° D．67°或113°
【变式2-2】在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
【变式2-3】）⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM:OC=3:5，则AC的
长为 ．
【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】
【例3】（2025·江西宜春·模拟预测）已知OA为⊙O的半径，AB是⊙O的弦，且AB=4❑√3，
∠OAB=30°，点P在⊙O上，若点P到直线AB的距离为2，则∠PAB的度数为 ．
【变式3-1】AB、AC是⊙O的弦，M、N分别是AB、AC的中点，若∠BAC=40°，则∠MON的
度数为 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·广西崇左·期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm，下雨前
水面宽为100cm，一场大雨过后，水面宽为240cm，则水位上升______cm．
A．70 B．70或170 C．100 D．100或200
【变式3-3】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB=6，CD=8，若点E、F
分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ．
【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】
【例4】圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A．30° B．60° C．150° D．150°或30°
【变式4-1】圆的一条弦将圆分成弧长之比为1：5的两条弧，则这条弦所对圆周角的度数是 ．
【变式4-2】已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为❑√2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 ．
【变式4-3】已知等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为
．
【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】
【例5】PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，
则∠COD的度数为 ．
【变式5-1】点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，BC为底边，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．30°或150° C．150° D．60°或120°
【变式5-2】已知，在△ABC中，AC=4，BC=3❑√2，以AB为直径的圆经过△ABC的外心，则AB的
长为 ．
【变式5-3】若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为
．
【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】
【例6】如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是边BC上的动点，连接PM，以点P为圆
心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP=4时，点C在⊙P ；(填“上”“内”或“外”)
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
【变式6-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3．以点C为圆心，r为半径的圆作⊙C，若边
AB与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ．
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【变式6-2】如图，已知直线l的解析式是y= x−4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为
31.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切
时，则该圆运动的时间为（ ）
A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒
【变式6-3】如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中
心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒(2−❑√3)cm的速度向左运动 秒时，
⊙O与正方形重叠部分的面积为 (2 π−❑√3 ) cm2 ．
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