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专题 03 几何图形中的旋转综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、线段的旋转..................................................................................................................................................1
题型二、直角三角形的旋转......................................................................................................................................4
题型三、等腰三角形的旋转......................................................................................................................................9
题型四、菱形的旋转................................................................................................................................................13
题型五、矩形的旋转................................................................................................................................................20
题型六、正方形的旋转............................................................................................................................................23
B综合攻坚・能力跃升
题型一、线段的旋转
1．如图，在 中， ， ，点 在边 上（不与点 ， 重合），连接 ，以点
A为中心，将线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1) ______°；
(2)取 中点 ，连接 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
2．已知 ，点B，C分别在射线 上，将线段 绕点B顺时针旋转
得到线段 ，过点D作 的垂线交射线 于点
(1)如图1，当点D在射线 上时，求证：C是 的中点；
(2)如图2，当点D在 内部时，作 ，交射线 于点F，用等式表示线段 与 的数量
关系，并证明．题型二、直角三角形的旋转
3．综合与探究
【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行
探究．
【探索发现】
（1）如图1，已知 ， ， ， ，将点 与
重合，点 与点 重合， 与 交于点 ，发现此时线段 ，请尝试证明．
【猜想证明】
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转，点 的对应点分别为 ， ，当点 落在线段 上
时，连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【深入探究】
（3）在 旋转过程中，当 时，直接写出线段 的长度．
4．综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究．
【活动一】拼接
（1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点 与点 重合，点 与点 重合），求四边形 的
周长；
【活动二】平移（2）在图2中，将 纸片沿射线 的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形
，如图3所示．
①求证：四边形 是平行四边形；
②若点 为 的中点，则四边形 的周长为_________．
【活动三】旋转
（3）在图3中，当点 为 的中点时，将 绕点 顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的
重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数．
题型三、等腰三角形的旋转
5．【问题背景】如图①，在 和 中， ， ， ，连接 ，
．
【特例研究】
（1）当点D在 上， 时， 与 的数量关系为______；
【拓展探究】
（2）将 绕点A旋转至图②位置，（1）中结论是否成立？说明理由；
【迁移应用】
（3）将 绕点A旋转，当 时，若 ， ， ______．
6．综合与实践
已知等边三角形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ，将 绕点 旋转，连接 ，
．
【问题背景】（1）如图①，当点 ， 分别在 ， 边上时，线段 和 的数量关系为________；
【问题迁移】
（2）当 旋转到如图②的位置时，线段 和 的数量关系为________； 和 的数量关
系为________，并说明理由；
【问题拓展】
（3）当点 旋转到线段 上时，如图③所示，若 ， ，则 的长为________；
（4）若 ， ，则在 旋转的过程中，当 时， 的长为________．
题型四、菱形的旋转
7．如图1，在菱形 中， ， ，连接 ， 交于点 ．
(1)求菱形 的面积；
(2)如图2，将菱形 绕着点 逆时针旋转 ，得到菱形 ，点 ， ， ， 的对
应点分别为 ， ， ， ．
①当点 落在 上时，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②连接 ，当 平行于菱形ABCD一边时，求出 的值；
(3)在（2）的条件下，连接 ，当 垂直于菱形 的一边时，直接写出 的长．
8.在菱形 中， ，点P是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，点E的位置
随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点E在菱形 内部或边上时，连接 ，则 与 的数量关系是______， 与 的
位置关系是______；
(2)如图2，当点P、E都在菱形 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成
立，请说明理由．
(3)如图3，若四边形 为正方形，点P在对角线 上， ，交边 于点E，连接 交 于
点F．请求出 的度数并直接写出线段 之间的数量关系．
题型五、矩形的旋转
9．如图，将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形 ，点F恰好落在 的延长线
上．
(1)证明： ；
(2)证明： 的延长线经过点B．
10．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方
法，体验数学的无穷魅力．
已知矩形 ， ，将矩形 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到矩形
，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，连接 ．
(1)操作发现：如图1，当 时， ______，如图2，当 时， ______；
(2)初步探究：
如图3，当边 经过点 时，求 的长；
(3)拓展延伸：
如图4，若 ，当点 落在 的延长线上时，直接写出四边形 的面积和 的长．
（结果用含 的式子表示）
题型六、正方形的旋转
11．如图1，在正方形 和正方形 中，点 C在边 上，连接 ， ．
(1) 与 的位置关系是 ；
(2)将正方形 绕点 D按顺时针方向旋转，使点 E 落在 边上，如图 2，连接 ， ，
与 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
12．如图①，四边形 与四边形 是共一个顶点的两个大小不同的正方形．
【操作发现】
（1）如图②，正方形 绕点A逆时针旋转，使点E落在边 上，线段 与 的数量关系是
________， 与 的关系是________．
【猜想证明】
（2）如图③，正方形 绕点A逆时针旋转某一角度 时，猜想（1）中的结论是否成立？
并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图④，正方形 绕点A逆时针旋转，使点F落在直线 上，当 时，直接写
出 的长度．一、单选题
1．如图，线段 在直角坐标轴中，已知 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后，点 的对
应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ，将 绕点A逆时旋转α（ ）得到 （点B与点D
对应），线段 交线段 于点O，当 时，旋转角α为（ ）
A． B． C． D．
3．把边长为5的正方形 绕点A顺时针旋转 得到正方形 ，边 与 交于点E，则四边
形 的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴正半轴上，点 ，将菱形 绕点 逆
时针旋转得到四边形 ，使得点 的对应点 落在 的延长线上， 交 于点 ，则点 的横坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，在矩形 中， ，以点 为旋转中心，将矩形 按顺时针方向旋转
，得到矩形 ，点 的对应点分别是点 ．当点 落在矩形 对角线
的延长线上时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．8
二、填空题
6．如图，在 中， ， ，将此三角形绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B
的对应点分别是 ， ，若 恰好经过点B， 与 相交于点P，则 的度数是 ．
7．如图，在菱形 中， ，将该菱形绕点 在平面内顺时针方向旋转 得到菱形 ，
与 交于点 ，且 ，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ．
8．如图， 中， ， 于点E，将线段 绕点A顺时针旋转 ，点E的对应点F恰好落在 边上，若 ，则 ___________．
9．如图，在矩形 中， ， ．将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形
，边 与 相交于点 ，边 与 的延长线相交于点 ．在矩形 旋转过程中，当
落在线段 上时， ；当 是线段 的三等分点时， ．
10．如图，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形
的边长相等，给出如下四个结论：① ；②正方形 绕点O旋转时，四边形 面积随
的长度变化而变化；③ 周长的最小值为 ；④ 其中所有正确结论的
代号是 ．
三、解答题
11．如图，在正方形 中，E、F是对角线 上的两点，连接 ， ，将线段 绕点A顺时针旋
转 得到线段 ，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长．
12．【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．
【问题情境】如图①，在矩形 中， ， ．将边 绕点 逆时针旋转 得到线
段 ，过点 作 交直线 于点 ．
【猜想证明】从特殊到一般
(1)当 时，四边形 的形状为_______；（直接写出答案）
(2)如图②，当 时，连接 ，求此时 的面积；
(3)如图③，连接 ，请找出其中的全等三角形并证明；
(4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时 的长度．
13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片
绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知纸片 和 中， ，
， ．
【初步感知】
（1）如图1，在纸片 绕点A旋转过程中，当 恰好平分 时， 与 相交于点M，则
______．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 绕点A旋转过程中，当点D恰好落在 的角平分线 的延长线上时，延
长 交 于点F，求 的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片 绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成以 为直角边的直角三角形．若
能，直接写出所有满足条件的 的面积；若不能，请说明理由．
14．【特例感知】
(1)如图①， 为等腰直角三角形，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，过点C作交直线 于点F，直线 与直线 交于点G，则 的形状为______三角形（不用证明）．
【类比探究】
(2)如图②，将背景图形“等腰直角三角形 ”换成“矩形 ”，其余条件均不变，（1）中的结论
是否成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)在（2）的条件下，将“旋转 ”换成“旋转 （ ）”．请直接写出当 是等腰三
角形时 的值．
15．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活
动．
(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片 和 摆成图1的形状，点A与点E重合，边
与边 重合，边 ， 在同一直线上．请写出图中一个度数为 的角：______；
(2)【解决问题】如图2，小明将长方形 绕点A顺时针旋转 后，边 与边 交于点M，连接
，若 ， ，求矩形 的面积；
(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形 绕点A顺时针转动一周，若边 所在的直线恰好经过
线段 的中点O时，连接 ， ，若 ， ，请求出 的面积．
16．（1）【问题初探】
苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形
的边长为2， 的顶点 在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点
旋转， 的两边分别与正方形 的边 和 交于点 和点 （点 与点 ， 不重合），
问：在旋转过程中，四边形 的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：
浩浩：如图 ，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了 ，则
，那么 ，这样，就实现了四边形 的面积
向 面积的转化．
小航：如图 ，也是考虑到正方形对角线的特征，过点 分别作 于点 ， 于点 ，证明
，从而将四边形 的面积转化成了小正方形 的面积．
通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，
线段 与 的和也是一个定值，为 ．
（2）【类比探究】
①如图 ，矩形 中， ， ，点 是 边的中点， ，点 在 上，点 在
上，则四边形 的面积为 ， ；
②如图 ，若将（ ）中的“正方形 ”改为“ ，边长为 的菱形 ”，其他条件不
变，当 时，四边形 的面积是 ．
③如图 ，在②的条件下，当点 在对角线 上运动到 且 旋转至 时， 的长度为
______．
（3）【拓展延伸】
如图5， （ 为钝角）， ， 是钝角， 平分 ， ， ，
， ，点 是 上一点，那么 的长为______．
