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第六章 概率初步压轴题专练
1．现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰
子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9种可能，按照不同方式可得共有45种符合题意的情形，
进而根据概率公式，即可求解．
【详解】解：根据树状图法可得第一个数字有6种情形，第二个数字可以选6个数字，第三个数字也可以
选6个数字，故总可能结果有 种可能
依题意， ， ，共有9种可能，每
种有6种排列方式，
其中 ， ， 每种可能有3种不同排列
； 和 ， 共9种可能；
的排列有 6种可能，同理 ....，6种可能
则符合题意的共有 种，
∴其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意找出符合题意的可能数是解题的关键．
2．甲乙丙丁四人互相给其他的三人之一写信，选择对象的方式是等可能的．问存在两个人收到对方的信
的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分只存在两个人收到对方的信和有两组两个人收到对方的信两种情况分别计算出概率然后加起来
即可．
【详解】解：分两种情况，当只存在两个人收到对方的信的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙
丁共计六种，以其中甲乙情况为例：甲写给乙的概率为 ，乙写给甲的概率为 ，在这种情况下，又分两种情形，一种是丙写给丁的概率为 ，那么丁不写给丙概率为 ，另一种是丙不写给丁的概率为 ，那么
甲乙的概率为 ，所以当只存在两个人收到对方的信的情况概率为： ；
当存在两组两个人收到对方的信的情况有：甲乙和丙丁、甲丙和乙丁、甲丁和乙丙共计三种，以甲乙和丙
丁情况为例，甲写给乙的概率为 ，乙写给甲的概率为 ，丙写给丁的概率为 ，丁写给丙的概率为 ，
那么甲乙和丙丁的概率为 ，所以存在两组两个人收到对方的信的情况概率为 ；
则存在两个人收到对方的信的概率为 ，
故选C．
【点睛】本题考查了概率的计算，分情况讨论计算概率是解题关键．
3．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白
的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（ ）
A．小王的可能性最大B．小李的可能性最大C．小马的可能性最大D．三人的可能性一样大
【答案】D
【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李
抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求
出三人抽到“主持人”的可能性．
【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况：
小王抽到“主持人”可能性为 ，
小王抽到空白纸条的可能性为： ，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条，
抽取“主持人”可能性为： ，
抽取空白纸条可能性为： （当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”），
故小李抽到“主持人”的可能性为： ，
小马抽到“主持人”的可能性为： ，
故选：D．【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键．
4．某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任
意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名
学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（ ）
A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能
【答案】D
【分析】从每次点的4个同学与已经蹲下的同学的重合人数入手，进而分析得到结果.
【详解】假设点的4个同学全部为站立的学生，则蹲下人数+4；
假设点的4个同学中只有1个为已蹲下的学生，则蹲下人数－1+3=+2；
假设点的4个同学中有2个为已蹲下的学生，则蹲下人数－2+2=0；
假设点的4个同学中有3个为已蹲下的学生，则蹲下人数－3+1=－2；
假设点的4个同学全部为已蹲下的学生，则蹲下人数－4；
第一次点完之后，蹲下人数为4，为偶数，之后每次蹲下的人数一定符合上述五种情况之一，所以增加或
减少的人数仍为偶数，故蹲下的人数只可能为偶数.
故选D.
【点睛】本题为推理论证题，需要有严谨的逻辑思维及较强的推理分析能力.
5．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组
无解，且关于x的分式方程 有整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式组，再根据不等式组无解，分式方程有整数解即可得解．
【详解】解： ，
由①得，x≤a，
由②得，x＞ ，
可见，x取-3，-2，-1，0时，不等式组无解；
解分式方程 得，
x= ，当a取-3，-1，1时，分式方程有整数解，
当a取-1时，分式方程x=2是增根．
综上，a取-3时，符合题意，P= ．
故选A．
【点睛】本题考查简单事件的概率、不等式组以及分式方程，能求解分式方程是解题的关键．
6．（多选）小明进行投篮游戏，第一个没进，已知投篮20次，命中了17个，其中20次投篮的命中概率
为 ，则下列哪个数一定会在 中出现？（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】AD
【分析】根据第一个没进，依次对后面的投篮情况进行讨论即可．
【详解】解：因为第一个没进，
所以若第二个进了，则有 ．
若第二个没进，第三个没进，则有 ， ， ．
若第二个没进，第四个没进，则有 ， ， ， ．
若第二个没进，第五个没进，则有 ， ，
后续情况无需讨论，
由此可见0.5一定会在 中出现；
因为 ，
如果前五次有三次没进，则 ， ， ，……
由此可见这一种情况中0.6没有出现；
因为 ，
如果前10次有一次或二次没进，则 或 ，
由此可见这种情况下0.7没有出现；
因为 ，如果前五次只有第一次没进，则 ，
如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则 ，
如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则 ，
如果前五次有三次没进，则 ，
由此可见0.8一定会在 中出现．
故选AD．
【点睛】本题考查概率问题，分类讨论思想的应用，正确的对没进的球进行讨论是解题的关键．
7．有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后
随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的
数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．
（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求使分式 有意义的（x，y）出现的概率
【答案】(1) ;(2) .
【详解】试题分析：（1）根据题意列出图表，即可表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）根据（1）中的树状图求出使分式 有意义的情况，再除以所有情况数即可；
（3）先化简，再找出使分式的值为整数的（x，y）的情况，再除以所有情况数即可．
试题解析: （1）用列表法表示（x，y）所有可能出现的结果如下：
（2）∵使分式 有意义的（x，y）有（-1，-2）、（1，-2）、（-2，-1）、（-2，1）4种情
况，∴使分式 有意义的（x，y）出现的概率是 ，
（3）∵ ，使分式的值为整数的（x，y）有（1，-2）、（-2，1）2种情况，
∴使分式的值为整数的（x，y）出现的概率是
考点: 1.列表法与树状图法；2.分式有意义的条件；3.分式的化简求值．
8．如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进
行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，
并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若 ，求x的值．
【答案】(1) ；
(2)B点表示的数为-21；
(3)x的值为4或6．
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向
左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；
（3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到
结果．
【详解】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，则P(奇数)= ，
∴P(B点移动到4)= ；
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．一堆彩球有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出8个球中都有7个红球，
一直数到最后8个球，正好数完，在已经数出的球中红球的数目不少于90％．
（1）这堆球的数目最多有多少个？
（2）在（1）的情况下，从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率有多大？
【答案】（1）210个（2）0.18
【分析】(1) 摸了n次，利用已知列概率，令其大于等于0.9.
(2)利用乘法原理.
【详解】解：（1）设每次摸8个球，共摸了n次，
则 ，
∴
当n＝20时，共有210个球，
∴这堆球的数目最多有210个．
（2）在（1）的情况下，210个球中有21个黄球，189个红球，
所以从中摸两个，恰为一黄一红的概率约为0.18．10．我们来定义下面两种数：
（一）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数
=（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数．
例如：对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．
是一个平方和数
又例如：对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，
是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；
（二）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数
＝ 最左边数 最右边数，我们就称该整数为双倍积数．
例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，
是一个双倍积数，
又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，
是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数．
注意：在下面的问题中，我们统一用字母 表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母 表示该整数分拆
出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：
（1）①若一个三位整数为平方和数，且十位数为4，则该三位数为________；
②若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为 6 ，则该三位数为_________；
③若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则 应满足的数量关系为_______；
（2）若 （即这是个最左边数为 ，中间数为565，最右边数为 的整数，以下类同）是一个平方和
数， 是一个双倍积数，求 的值．
（3）从所有三位整数中任选一个数为双倍积数的概率．
【答案】(1)①240；②361或163；③ ；(2) ；(3)
【分析】(1)①根据题意构造 关系式 ，计算即可；
②根据题意构造 关系式 ，计算即可；
③根据定义，这个整数既为平方和数，又是双倍积数则有 ，由完全平方公式即可解决问题；
(2)根据定义可知 ， ，再由完全平方公式和平方差公式即可求解；
(3)先求得所有三位整数的个数，再分类讨论求得其中为双倍积数的数据个数，利用概率公式即可求解．
【详解】(1)①若一个三位整数为平方和数，且十位数为4，由定义得： ，
由 为 的整数，则试数可知：
或 ，
由于百位数字不能为0，
∴此数为：240；
②若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为6，
由定义得： ，即 ，
由 为 的整数，则试数可知：
则 ， 或 ， ，
∴此数为：361或163；
③ ，理由如下：
若一个整数既为平方和数，又是双倍积数
则有 ，
∴ ，
∴ ；
(2)若 是一个平方和数，
∴ ，
若 是一个双倍积数，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
，即 ，
∴ ，
∴ ；
(3) 所有三位整数的个数： (个)，
设十位数字为 ，由定义得： ，
∴十位数字为 一定是偶数，
当 时， ，最左边数 ，最右边数 ，满足条件的有9个，当 时， ，则 ，满足条件的有1个，
当 时， ，则 ， ，满足条件的有2个，
当 时， ，则 ， ，满足条件的有2个，
当 时， ，则 ， ， ，满足条件的有3个，
900个三位整数中是双倍积数的数有： (个)，
∴从所有三位整数中任选一个数为双倍积数的概率为： ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、平方和数以及双倍积数的定义，涉及到完全平方公式和平方差公式，
解答时注意按照题意构造等式．解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，还考查了概率公式．
