第六章几何图形初步易错训练与压轴训练（3易错+5压轴）（解析版）_初中数学_七年级数学上册（人教版）_知识点汇总

第六章 几何图形初步易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一 分类讨论思想在线段的计算中的易错................................................................................................1 易错题型二 分类讨论思想在角的计算中的易错....................................................................................................5 易错题型三 分类讨论思想在旋转中求角的多解易错............................................................................................8 压轴题型一 线段上动点定值问题..........................................................................................................................12 压轴题型二 线段上动点求时间问题......................................................................................................................19 压轴题型三 几何图形中动角定值问题..................................................................................................................25 压轴题型四 几何图形中动角数量关系问题..........................................................................................................31 压轴题型五 几何图形中动角求运动时间问题......................................................................................................36 02 易错题型 易错题型一 分类讨论思想在线段的计算中的易错 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知线段 ，点C是 所在的直线上的点， ，则 的长为 ． 【答案】3或7 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差计算，分类讨论：当点C在线段 上时， ；当点C在线段 的延长线上时， ，分别进行求解即可． 【详解】解：当点C在线段 上时，如图， ∵ ， ， ∴ ； 当点C在线段 的延长线上时，如图， ∵ ， ， ∴ ，综上所述， 的值为3或7， 故答案为：3或7． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知A，B，C是同一直线上的三点，若 ， ，点 M是线段AC的中点，则线段 的长为 ． 【答案】 或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的性质是解题的关键．应考虑到位置关系的多种可能 性，即可得到答案． 【详解】解：①当点 在线段 的延长线上时，此时 ， 点M是线段AC的中点， ； ②当点 在线段 上时，此时 ， 点M是线段AC的中点， ． 故答案为： 或 ． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段 ， 组成一条折线 ，若该折线 上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线 的“折中点”，已知D是折线 的“折中点”，E为线 的中点， ， ，则线段 的长为 ． 【答案】4或8/8或4 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，中点的定义，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答．根据题意分两种情况画图解答即可得出答案． 【详解】解：①如图， ， ， 点 是折线 的“折中点”， ， 点 为线段 的中点， ， ， ， ， ； ②如图， ∵ ， ， 点 是折线 的“折中点”， 点 为线段 的中点， ， ， ， ， ．综上所述， 的长为4或8． 故答案为：4或8． 3．（23-23七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知线段 ，在线段AB上有一点 ，且 ，点 是线段 的一个三等分点，点 为线段 的中点，则线段 的长为 ． 【答案】 或 或 或 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查线段中点， 等分点的计算，根据题意，图形结合分析，线段的和差运算即可求解， 掌握线段中点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：点 在点 右边，点 是靠近点 的三等分点，如图所示， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 点 是靠近点 的三等分点，如图所示， ∴= ， ∴ ， ， ∴ ； 当点 在点 的坐标，点 是靠近点 的三等分点，如图所示， ∴ ， ∴ ，∴ ， ， ∴ ； 点 是靠近点 的三等分点，如图所示， ∴M ， ∴ ， ， ∴ ； 故答案为： 或 或 或 ． 易错题型二 分类讨论思想在角的计算中的易错 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内，若 ， ，则 的 大小是 ． 【答案】 或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，分 在 的内部和外部讨论即可． 【详解】解：当 在 的内部时， ∵ ， ， ∴ ； 当 在 的外部时，∵ ， ， ∴ ； 故答案为： 或 ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）已知 ，射线 平分 ，则 ． 【答案】 或 / 或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的和差、角平分的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 先分两种情况画出图形，再分别运用角的和差求得 ，然后根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：如图： ， ∴ , ∵射线 平分 ， ∴ ； 如图： ， ∴ , ∵射线 平分 ， ∴ ． 综上， 或 ．故答案为： 或 ． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 是从 的顶点O引出的一条射线，若 ， ，则 的度数是 °． 【答案】 或120 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的有关计算，掌握数形结合以及分类讨论思想成为解题的关键． 分 在 内部和外部两种情况，分别画出图形，运用角的和差及已知条件计算即可． 【详解】解：①如图所示：当 在 内部时， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； ②如图所示：当 在 外部时， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ．综上， 的度数是 或 ． 故答案为： 或120． 3．（22-23七年级上·广东茂名·期末）如图，已知 是 内部的一条射线，图中有三个角： ， 和 ，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线 为 的“巧分线”．如果 ， 是 的“巧分线”，则 度． 【答案】 或 或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角的计算和理解能力． 分 种情况，根据“巧分线”定义即可求解． 【详解】解：若 ， 是 的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合 题意： ，此时 ； ，此时 ； ，此时 ； 故答案为： 或 或 ． 易错题型三 分类讨论思想在旋转中求角的多解易错 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线 上，过O作射线 ，三角板 的顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按 的速度沿逆时 针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线 恰好平分锐角 （图②）．【答案】6或24/24或6 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线 恰好平分锐 角 ，得到三角板旋转的度数，进而得到 的值． 【详解】解： ， ， 当直线 恰好平分锐角 时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为 ， ； 当 在 的内部时，如图： 三角板旋转的角度为 ， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如 图所示的形状．已知 ， ， ，若保持三角板 不动，将三角板 绕 点A在平面内旋转．当 时， 的度数为 ．【答案】 或 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结 合三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：当 时， ，分以下两种情况： 如图1所示， ， ； 如图2所示， ， 综上所述， 的度数为 或根据答案为： 或 ． 2．（23-24七年级下·天津和平·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的 几何探究方式．请你利用一副含有 角的直角三角板 和含有 角的直角三角板 尝试完成探究． 试探索；保持三角板 不动，将 角的顶点与三角板 的 角的顶点重合，然后摆动三角板 ， 使得 与 中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的 的度数 ． 【答案】 或 或 或 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； 如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 综上： 为 或 或 或 ． 故答案为： 或 或 或 ． 03 压轴题型 压轴题型一 线段上动点定值问题 例题：（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段： ， 且m，n满足 ，点M，N分别为 中点．(1)求线段 的长； (2)线段 以每秒4个单位长度向右运动，线段 以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后， ，求此时线段 的长； (3)若 ，将线段 固定不动，线段 以每秒4个单位速度向右运动，在线段 向右运动的某一 个时间段t内，始终有 为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段 的长是4，线段 的长是8 (2)16或8 (3)当 时， 为定值，定值为6 【知识点】线段中点的有关计算、绝对值非负性、与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应 用) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）若6秒后， 在点 左边时，若6秒后， 在点 右边时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 即线段 的长是4，线段 的长是8； （2）解：∵ ， ， ∴ ， ， 设运动后点M对应点为 ，点N对应点为 ，分两种情况， 若6秒后， 在 的左侧时： ， ∴ ，即 ， 解得 ． 若6秒后， 在 的右侧时： ， ∴ ，即 ， 解得 ． 即线段 的长为16或8； （3）解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ∵线段 固定不动，线段 以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后， ， ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 故当 时， 为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题 的关键是掌握分类讨论思想． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是线段 上一动点，沿 的路线以 的速度往返运动1次， 是线段 的中点， ，设点 的运动时间为 ． (1)当 时，则线段 ________ ，线段 ________ ； (2)当 为何值时， ？ (3)点 从点 出发的同时，点 也从点 出发，以 的速度向点 运动，若当运动时间 满 足 时，线段 的长度始终是一个定值，求这个定值和 的值． 【答案】(1)4；3 (2) 或 (3) ，定值为5 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系（1）根据 可求出 的长以及 的长，再由 是线段 的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当 时，存在 ；当 时，存在 ，考虑两种情况即可； （3）根据点 和点 的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段 ，即可求得． 【详解】（1）解：∵ ，点 以 的速度运动， ∴ 时， ， ， ∵ 是线段 的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵ 是线段 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 当点 从 时， 当点 从 时， ∵点 沿 的路线需要 故 综上所述，当 为 或 时， ． （3）解：如图， 由题意得：点 的速度是 ，点 速度为 ∵ ， ∴点 在点 右侧， 由题意可知 ∴ ∵ 是线段 的中点∴ 即 ∵线段 的长度始终是一个定值 ∴ 故 解得 ，定值为5 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点 表示的数分别 为 ，则 两点之间的距离 ；线段 的中点表示的数为 ． 【知识运用】 （ ）点 表示的数分别为 ，若 与 互为倒数， 与 互为相反数．则 两点之间的距离 为______；线段 的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （ ）在（ ）的条件下，动点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿数轴向左运动，动点 从点 出发以 每秒 个单位的速度沿数轴向左运动，点 是线段 的中点． ①点 表示的数是______（用含 的代数式表示）； ②在运动过程中，点 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间 ； ③线段 的长度随时间 的变化而变化，当点 在点 左侧时，是否存在常数 ，使 为 定值？若存在，求常数 及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（ ） ； ；（ ） ； 或 ； 存在， ，此时定值 ． 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、数轴上的动点问题 【分析】（ ）根据题意，求出 ，再根据结论解答即可求解； （ ） 根据题意，表示出 秒后点 表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出 ，得到 ，当 时即可求出常数 的值，进而求出定值． 【详解】解：（ ）∵ 与 互为倒数， 与 互为相反数， ∴ ， ， ∴ ； 线段 的中点表示的数为 ； 故答案为： ； ； （ ） 秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， ∵点 是线段 的中点， ∴点 表示的数是 ， 故答案为： ； 当点 为 中点时，则 ， 解得 ，不合，舍去； 当点 为 中点时，则 ， 解得 ； 当点 为 中点时，则 ， 解得 ； ∴运动时间 的值为 或 ； 当点 在点 左侧时， ， ， ∴ ， 当 时， ∴ ， 此时，定值 ． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点 A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为 ；②A、B两点间的距离为 ． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足 ， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且 ，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段 上一点（点C不与 A、B重合），当 时，称点C为线段 的左三等分点；当 时，则称点C为线 段 的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段 的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表 示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点 A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段 的左三等分，点Q为 的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m， 使得 的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2） 或11；（3）① ；②存在， ，理由见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、数轴上的动点问题、绝对值非负性 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值 得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据 列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则 为 ， 为 ，根据点C为线段 的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ， ， ， ，得出 ， ， ，根据 的值为定值，进行求解即可． 【详解】解： ， 且 ， ， ， A、B两点的中点表示的数为 ， 故答案为： ； （2）设点D表示的数为x， ∵ 当点D在点A左边时， ， 解得： ， 当点D在点B右边时， ， 解得： ， 点为 或11； （3）①设C点为m，则 为 ， 为 ， 点C为线段 的左三等分点， ， ∴ ， 解得 ， 点C表示的数为 ； ②存在．理由如下： 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ，， 随着t的变化，上式的值为定值， 解得 ． 压轴题型二 线段上动点求时间问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点 在线段 上，图中共有三 条线段 、 和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的 “巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若 ，点 是线段 的巧点，则 最长为______ ； 【解决问题】 （3）如图②，已知 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速移动；点 从点 出 发，以 的速度沿 向点 匀速移动，点 、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移 动的时间为 ．当 为何值时， 为 、 的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2） ；（3）当 为 或 或 时， 为 、 的巧点 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计 算 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点 为线段 的巧点，则 最长时，满足 ，即 ，即可求解；（3）根据“巧点”的定义，分为 或 或 ，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点 在线段 上，点 为线段 的中点， ∴ ， ∴点 是线段 的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点 在线段 上，点 为线段 的巧点， ∴则 最长时，满足 ， 即 ， ∴ ， 故答案为： ． （3）解： 秒后， ， ， ， ∵ 为 、 的巧点 ∴ 或 ，或 ， 当 时， ， 解得： ， 当 时， ， 解得： ， 当 时， ， 解得： ， ∴当 为 或 或 时， 为 、 的巧点． 巩固训练 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段 上一点， ，C，D两动 点分别从点P，B同时出发沿射线 向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是 ， ①若 ，当动点C，D运动了2s时，求 的长度； ②若经过t秒，点C到达 中点时，点D也刚好到达 的中点，求t的值；【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是 ， ，点C，D在运动时，总有 ，求 的 长度． 【答案】（1）① ；② ；（2） 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算 ，再根据运动时间得出 、 ，然后根据线段的和差即可得出答案； ②先根据运动时间得出 ，再根据线段的中点得出 ，然后根据 列 方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为 ，则 ，得出 ，再根据线段的和差及等量代换得出 ， 从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为 的中点，点D为 的中点 ； （2）设运动时间为 ，则． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 上有A、B两点， ， 上有两个动点P、Q． 点P从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒 个单位 长度的速度沿直线 向右运动．设运动时间为 （秒）． (1)请用含t的代数式表示线段 的长． (2)当点B是线段 的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段 与线段 的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当 时， ；当 时， (2) (3)能重合， (4) 【知识点】用代数式表示式、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关 计算 【分析】（1）根据题意，点P每秒 个单位长度，点P运动到点B需要用时间为 ，当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ，结合 ，得 ，得到 ；当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ，结合 ，得 ，得到 即 ． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段 的中点．根据题意得到等量关系： 列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则 ，列式计算即可；（4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒 个单位长度，点P运动到点B需要用时间为 ，当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ， ∵ ， ， ∴ 即 ． （2）解：根据题意，点P每秒 个单位长度，点P运动到点B需要用时间为 ， 当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∵点Q从点B出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向右运动． ∴ 秒过后，点Q运动的路程为 ， ∵点B是线段 的中点． ∴ ， ∴ ， 解得 ， 即点P、Q出发 秒钟后，点B是线段 的中点．（3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则 ， ∴ ． 解得： ； 故点P、Q出发 秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段 与线段 的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段 与线段 的长度相等，根据题意，得 ， 解得： ． 当 时，线段 与线段 的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读 懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段 ，点 、 、 在线段 上，且 ． (1) __________ ， __________ ； (2)已知动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 运动；同时动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 运动，当点 到达点 后立即以原速返回，直到点 到达点 ， 运动停止；设运动的时间为 ． ①求 为何值，线段 的长为 ； ②如图2，现将线段 折成一个长方形 （点 、 重合），请问：是否存在某一时刻，以点 、 、 、 为顶点的四边形面积与以点 、 、 、 为顶点的四边形面积相等，若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8(2)① 或 或 ；②存在， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段n等分点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问 题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在 上，N在 上），此时 即可列出方程求得，当M点返回时，点M在 上，点N在 上， 此时 ，列出方程求得， 【详解】（1）解： ， ， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时， ， 当M到达E点时， ， 如图1， 当 时， ， ∴ ， 如图2， 当 时， ， ∴ ， 如图3， 当 时， ， ∴ ，综上所述： 或 或 ； ②如图4， 当 时， 由 得， ， ∴ ， 如图5， 当 时， ， ∴ ，此时不构成四边形，舍去 综上所述： ． 压轴题型三 几何图形中动角定值问题 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图 是 的平分线， 是 的平分线， ， (1)求 的度数. (2)当射线 在 的内部线绕点 转动时，射线 、 的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下， 的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 【答案】(1) (2)发生变化，理由见解析(3)不变， 【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ，进而根据 即可求解； （2）根据 ，则 转动时 同样在动，同理 也在动； （3）根据（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵ 是 的平分线， 是 的平分线， ， ∴ ， ∴ （2）解：∵ ， ∴ 转动时 同样在动， 同理 同样转动； （3） 不变同样35°； 解：当射线 在 的内部线绕点 转动时， ∵ 是 的平分线， 是 的平分线， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键． 巩固训练 1．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知 ， ， 平分 ， 平分 . （1）如图，当 、 重合时，求 的值；（2）若 从上图所示位置绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒（ ），在旋转过程中 的值是否会因 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 【答案】（1）35°；（2）是定值，35° 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解； （2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后 由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°），∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°），最后根 据∠AOE-∠BOF求解可得． 【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE= ∠AOB= ×110°=55°，∠BOF= ∠COD= ×40°=20°， ∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°； （2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2， 由题意∠BOC=3t°， 则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°），∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°）， ∴∠AOE-∠BOF= （110°+3t°）- （40°+3t°）=35°， ∴∠AOE-∠BOF的值是定值． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 2．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在 内部作射线 ． ， 分别平 分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°；(2)如图2，若 平分 ．试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是， 请说明理由． 【答案】(1) 、 、 ； (2) 是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出 、 、 、 等度数，进而求得结果； （2）根据 ，从而表示出分子，根据 ，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵ 和 互补， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 分别平分 和 ， ∴ ， ， ∴ ， ， 故答案为： 、 、 ； （2） 是定值， 理由如下： ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数 量关系． 3．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角 的三角板的顶点重合于一点 ，绕着点 转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点 在射线 上时，直接写出 的度数是____________度； (2)①如图2，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； ②如图3，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； (3)若 只在 内部旋转，作 平分线 交 于点 ，再作 的平分线 交 于点 ， 在转动过程中 的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② (3) 的值不会发生变化， ，理由见解析 【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可； （2）①根据角平分线的定义得到 ，再根据 进行求解即可；②根据角 平分线的定义得到 ，再根据 进行求解即可； （3）分别用 表示出 ．再根据角平分线的定义表示出 ， ，再 根据 进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，∴ ， 故答案为： ； （2）解：①由题意得， ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ； ②由题意得， ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解： 的值不会发生变化， ，理由如下： 由题意得， ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键． 压轴题型四 几何图形中动角数量关系问题 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，AOC 120，DOE80． (1)如图1，当OD平分AOC时，求EOB的度数； (2)点F 在射线OB上，若射线OF 绕点O逆时针旋转n（0n180且n60），FOA3AOD．当 DOE在AOC内部（图2）和DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，FOE和EOC的数量关系 是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1)40 (2)不改变，EOF 2EOC，理由见解析 【分析】（1）由OD平分AOC，则DOC=60，由DOE=80，得到EOC=20，最后得到 EOB40； （2）分两种情况，DOE在AOC内部时，令AOD x，则DOF 2x， EOF 802x，EOC40x，结论成立；DOE的两边在射线OC的两侧时．令AOD x，则 DOF 2x，DOC 120x，EOF 2x80，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵OD平分AOC， 1 ∴COD AOC 60， 2 ∵DOE80． ∴COEDOECOD20， ∴AOEAOCCOE 12020140， ∴BOE180AOE40； （2）①DOE在AOC内部时． 令AOD x，则DOF 2x，EOF 802x， EOC120x2x802x40x ∴ ， ∴EOF 2EOC； ②DOE的两边在射线OC的两侧时．令AOD x， 则DOF 2x，DOC 120x，EOF 2x80， EOC80120xx40 ∴ ，∴EOF 2EOC． 综上可得，FOE和EOC的数量关系不改变，EOF 2EOC 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计 算． 巩固训练 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线AB上，COD在直线AB上方，且 COD60，射线OE在COD内部，AOE2DOE． (1)如图1，若OD是BOC的平分线，求COE的度数； (2)如图2，探究发现：当BOD的大小发生变化时，COE与BOD的数量关系保持不变．请你用等式 表示出COE与BOD的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)BOD3COE，理由见解析 【分析】（1）根据补角的定义可得AOD120，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设COEx，则DOE 60x，再利用AOE2DOE，然后整理可得结论． 【详解】（1）∵OD是BOC的平分线， ∴BODCOD60， ∴AOD180BOD120． ∵AODAOEDOE,AOE2DOE， ∴AOD3DOE， 1 DOE AOD40 ∴ ， 3 ∴COECODDOE20． （2）BOD3COE， 设COEx，则DOE 60x，∵AOE2DOE， ∴AOD3DOE3(60x)1803x， ∴BOD180AOD180(1803x)3x， ∴BOD3COE． 【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，AOB100，COD40，射线OE平分AOC，射 线OF 平分BOD（本题中的角均为大于0且小于180的角）． (1)如图，当OB，OC重合时，求EOF的度数； 0n40 COD AOEBOF (2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？若是 定值，求出AOEBOF 的值，若不是，请说明理由． 0n220 COD AOE BOF (3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)70 (2)为定值，理由见解析 (3)当0n80时， AOEBOF 30；当80n140时，AOEBOF 110；当140n220时， BOFAOE30 1 1 【分析】(1)根据角平分线的定义知EOB AOB、BOF  COD，再根据 2 2 EOF EOBBOF 可得答案； (2)由题意知AOC AOBBOC 100n、BODBOCCODn40，根据角平分线的定义 1 100n 1 n40 得AOE AOC  、BOF  BOD ，代入计算可得答案； 2 2 2 2 (3)分情况计算，利用n表示出AOC，BOD，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵AOB100，COD40，射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD， 1 1 1 1 EOB AOB 10050、BOF  COD 4020， 2 2 2 2EOF EOBBOF 502070； （2）解：AOEBOF 的值为定值， 理由如下：如图： 0n40 ∵COD 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 AOC AOBBOC 100n，BODBOCCODn40，点C、D在直线AO的右侧， ∵射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD， 1 100n 1 n40 AOE AOC  ，BOF  BOD ， 2 2 2 2 100n n40 AOEBOF   30， 2 2 AOEBOF的值为定值； （3）解：当0n80时，如图2：由(2)知，AOEBOF 30； 当80n140时，如图3所示， AOC 360AOBBOC 360100n260n，BODBOCCODn40， ∵射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD， 1 260n 1 n40 AOE AOC  ，BOF  BOD ， 2 2 2 2 260n n40 AOEBOF   110； 2 2 当140n220时，如图4所示， AOC 360AOBn360100n260n， BOD360nCOD360n40320n， ∵射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD， 1 260n 1 320n AOE AOC  ，BOF  BOD ， 2 2 2 2 320n 260n BOFAOE  30； 2 2 综上，AOE与BOF具有的数量关系为：当0n80时， AOEBOF 30；当80n140时， AOEBOF 110；当140n220时，BOFAOE30． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是 解决本题的关键． 压轴题型五 几何图形中动角求运动时间问题 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1， ， ， 三点在一条直线上，且 ， ，射线 ， 分别平分 和 ．如图2，将射线 以每秒 的速度绕点 逆时针 旋转一周，同时将 以每秒 的速度绕点 逆时针旋转，当射线 与射线 重合时， 停止运 动．设射线 的运动时间为 秒．(1)运动开始前，如图1， ______ ， ______ ； (2)旋转过程中，当 为何值时，射线 平分 ? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)39，51 (2) (3)存在，符合条件的 的值为12s或33s 【分析】（1）根据平角的定义求得 ，再根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据 列方程求解即可； （3）分情况根据 列方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 三点在一条直线上， ， ， ， ， 分别平分 和 ， ， ， 故答案为：39，51； （2）解： 射线 以每秒 的速度绕点 逆时针旋转一周，同时将 以每秒 的速度绕点 逆时针 旋转， ， 射线 平分 ， ， ， ， ； （3）解：存在某一时刻使得 ，分以下几种情况： 情况一：若 在 上方，此时 ，即 ， 解得 ； 情况二：若 在 下方，此时 ， 即 ， 解得 （不符合题意，舍去）； 情况三：当 停止运动时， 继续旋转时，当 旋转264°时，有 ， 此时 ． 综上所述，符合条件的 的值为12s或33s． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键． 巩固训练 1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线 上一点，过点O作射线 ， ， 将一直角三角板（ ）的直角顶点放在点O处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方． (1)将图1中的三角板绕点O以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后， 恰好平分 ．求t的值；并判断此时 是否平分 ？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕O点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周， 那么经过多长时间 平分 ？请说明理由． 【答案】(1) ； 平分 ，理由见解析(2) 的值为 或 【分析】（1）根据 的度数求出 的度数，根据互余得出 的度数，进而求出时间t即可； 根据题意和图形得出 ， ，再根据 ，即可得出 平分 ； （2）根据题意和图形得出 ，再根据旋转求出结果即可． 【详解】（1）解：旋转前 , 当 平分 时， ， 则 , 解得： ， 结论： 平分 , 理由：∵ ， 又∵ ， ∴ , ∴ 平分 ； （2）解： 若 平分 ， 则 ， ∴ ， ∴ ， 当 停止时, 平分 , 则有 ,∴ , 综上所述，满足条件的 的值为 或 ． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问 题. 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知， 是 内部的一条射线，且 ． (1)如图1所示，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数； (2)如图2所示， 是直角，从点O出发在 内引射线 ，满足 ，若 平分 ，求 的度数； (3)如图3所示， ，射线 ，射线 分别从 出发，并分别以每秒 和每秒 的速度绕 着点O逆时针旋转， 和 分别只在 和 内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出 和 的数量关系； ②若 ，当 ，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)① ；② 【分析】（1）先求出 ，再根据角平分线的定义得到 ，由此即可得 到答案；（2）先求出 ，则 ，进一步求出 ，由角平分线的定义得到 ，进而可得 ； （3）①先求出 ， ，根据题意可得 ，由此求出 ， ，则 ；②求出 ，再由 ， ，得到 ，把 代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ； （3）解：①∵ ，∴ ， ∴ 由题意得： ， ∴ ， ， ∴ ； ②由①知 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 把 代入得： 解得 ， ∴若 ，当 时， ． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． 3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．(1)【探索新知】 如图1，射线 在 的内部，图中共有 个角： ， 和 ，若其中有一个角的度 数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ．（用含 的代数式表示出所 有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若 ，且射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当与 与 成 时停止旋转，旋转的时间为 秒． ①当 为何值时，射线 是 的“巧分线”． ②若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止．请直接写出当射线PQ是 MPN 的“巧分线”时t的值． 1 2 1 【答案】(1)①是；② 或 或  2 3 3 (2)①9s或18s或12s；②6s或4s或2.4s 【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解； ②分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 ②∵MPN ， 当PQ是MPN 的角平分线时， 1 1 ∴MPQ  ； 2 2 当PQ是MPN 三等分线时，MPQ较小时， 1 1 ∴MPQ  ； 3 3 当PQ是MPN 三等分线时，MPQ较大时， 2 2 ∴MPQ  ； 3 31 1 2 故答案为： 或 或 ； 2 3 3 PM QPN （2）解：①∵ 是 的“巧分线”， ∴PM 在QPN 内部，所以PQ转至PM 左侧， ∵PQ与PN 成180时停止旋转，且MPN 60，PQ旋转速度为10/s． ∴6t≤18． MPN 2QPM 当 1 时，如图所示： 1 10t 60 60， 2 解得t 9； 当MPN QPN 时，如图所示： 10t 260， 解得t 12； 2MPN Q PN 当 2 时，如图所示： 10t 60260， 解得t 18． ∵9s或12s或18s均在6t≤18的范围内， ∴综上可得：当t为9s或12s或18s时，射线PM 是QPN 的“巧分线”； ②依题意有：PQ在MPN 的内部，QPN 10t MPN 5t60 ∴ ， ， 1 当QPN  MPN时，如图所示： 3 1 10t  5t60 ， 3 解得t 2.4； 1 ②当QPN  MPN 时，如图所示： 2 1 10t  5t60 ， 2 解得t4； 2 ③当QPN  MPN 时，如图所示： 3 2 10t  5t60 ， 3 解得t6． ∴当t为2.4s或4s或6s时，射线PQ是MPN 的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能 力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．