文档内容
重难点突破 03 直线与圆的综合应用
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：距离的创新定义....................................................................................................................2
题型二：切比雪夫距离........................................................................................................................6
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题..........................................................................11
题型四：闵氏距离问题......................................................................................................................15
题型五：圆的包络线问题..................................................................................................................17
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题..................................................20
题型七：圆中的垂直问题..................................................................................................................25
题型八：圆的存在性问题..................................................................................................................28
03 过关测试.........................................................................................................................................31直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。
题型一：距离的创新定义
【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之
间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 可以转化为 到 的距离，
同理， 可以转化为 到 的距离，
因为 ，
所以 到两定点 和 的距离之和为 ，
所以 在以点 和 为焦点的椭圆上，
设椭圆的标准方程为： ，
则， ，
即 ，
又 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为： ，
由 ，得 ，
解得， .
故选：D.
【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和
余弦距离.若二维空间有两个点 ， ，则曼哈顿距离为： ，
余弦相似度为： ，余弦距离为 .
若 ， ，则A，B之间的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题 ， ，
，
所以A，B之间的余弦距离为 .
故选：A.
【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，
费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据
以上性质，已知 ， ， ， 为 内一点，记 ，则 的
最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 为坐标原点，由 ， ， ，
知 ,且 为锐角三角形，
因此，费马点M在线段 上，设 ，如图，则 为顶角是120°的等腰三角形，故 ，
所以 ，
则 的最小值为 .
故选：B
【变式1-2】以三角形边 ， ， 为边向形外作正三角形 ， ， ，则 ， ，
三线共点，该点称为 的正等角中心．当 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下
性质：
（1） ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即
费马点）．由以上性质得 的最小值为
【答案】
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点 ， ， ，
则 表示坐标系中一点 到点 、 、 的距离之和，
因为ΔABC是等腰三角形， ，
所以 点在 轴负半轴上，所以 与 轴重合，
令ΔABC的费马点为 ，则 在 上，则 ，
因为ΔABC是锐角三角形，由性质（1）得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
， 到 、 、 的距离分别为 ， ，
所以 的最小值，
即为费马点 到点 、 、 的距离之和，则 ．
故答案为： ．【变式1-3】已知平面上的线段 及点 ，任取 上一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，
记作 .请你写出到两条线段 ， 距离相等的点的集合 ， ， ，其中 ，
， ， ， ， 是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3
分；② 5分．① ， ， ， ；② ， ， ， ．你选择
第 种情形，到两条线段 ， 距离相等的点的集合 .
【答案】 ①， 轴 ② 轴非负半轴，抛物线 ，直线
【解析】根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方
程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果.
对于①， ， ， ， ；
利用两点式写出两条直线的方程 ： ， ： ，
到两条线段 ， 距离相等的点的集合 ， ， ，
根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，
到两条线段 ， 距离相等的点的集合为 ，
对于②， ， ， ， ．根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点
是 轴的非负半轴，抛物线抛物线 ，直线
故满足条件的集合 且 .
综上所述，①， ；②， 且
.
题型二：切比雪夫距离
【典例2-1】在平面直角坐标系中,定义 为两点 的“切比
雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ,称 的最小值为点 到直线 的“切比雪夫距离”记作
给出下列四个命题:
①对任意三点 ，都有
②已知点 和直线 则
③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点 、 、 ，若它们共线，设 ， 、 ， ， ， ，如图，结合三角
形的相似可得 ， ， 为 ， ， ，或 ， ， ，则
；
若 ， 或 ， 对调，可得 ；
若 ， ， 不共线，且三角形中 为锐角或钝角，如图，由矩形 或矩形 ， ；
则对任意的三点 ， ， ，都有 ，故①正确；
②设点 是直线 上一点，且 ，
可得 ， ，
由 ，解得 ，即有 ，
当 时，取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，
的范围是 ，无最值；
综上可得， ， 两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ；故②正确；
③由题，到原点 的“切比雪夫距离”的距离为1的点 满足 ，即
或 ，显然点 的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义 为两点 、 的“切比雪
夫距离”，又设点 及直线 上任意一点 ，称 的最小值为点 到直线 的“切比雪夫距离”，记作
，给出下列三个命题：
①对任意三点 、 、 ，都有 ；
②已知点 和直线 ，则 ；
③定义 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由新定义表示出三点 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出 ，判断②，
根据新定义求出 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．①设
，则 ，
，
显然 ，同理 ，
∴ ，①正确；
②设 是直线 上任一点，则 ，
，易知 在 上是增函数，在 上是减
函数，∴ 时， ，②错；
③由 得 ，易知此曲线关于 轴， 轴，原点都对称，它是以 为
顶点的正方形，其转成图形面积为 ，③错．
故选：B．
【变式2-1】（2024·上海·二模）在平面直角坐标系中，定义 为两点 、
的“切比雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ，称 的最小值为点 到
直线 的“切比雪夫距离”，记作 ，给出下列三个命题：
① 对任意三点 、 、 ，都有 ；
② 已知点 和直线 ，则 ；
③ 定点 、 ，动点 满足 （ ），
则点 的轨迹与直线 （ 为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】设 ，由题意可得：
同理可得： ,则：
，
命题①成立；设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x,2x-1），可得 ，
由 ，解得 ，即有 ，当 时取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，
的范围是 ，无最小值.
综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为 .
说法②正确.
定点 、 ，动点 满足 （ ），则：
，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.
(1)当 时，有 ，得： ；
(2)当 时，有 ，此时无解；
(3)当 时，有 ；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图象可知，点 的轨迹与直线 （ 为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.
综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.
本题选择D选项.
【变式2-2】（2024·高三·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义 为
两点 、 的“切比雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ，称 的最小值为点 到
直线 的“切比雪夫距离”，记作 ，给出四个命题，正确的是 .
①对任意三点 、 、 ，都有 ；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；③ 已知点 和直线 ，则 ；
④ 定点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹与直线
（ 为常数）有且仅有 个公共点.
【答案】①②③④
【解析】①对任意三点 、 、 ，若它们共线，设 、 、 ，
如下图，结合三角形相似可得 或 ， 或 ， 或 ，则
；
若 、 或 、 对调，可得 ；
若 、 、 不共线，且ΔABC中 为锐角或钝角，由矩形 或矩形 ，
；
则对任意的三点 、 、 ，都有 ，命题①正确；
②到原点的“切比雪夫距离”等于 的点，即为 ，若 ，则 ；
若 ，则 ，故所求轨迹是正方形，命题②正确；
③设点 是直线 上一点，且 ，可得 ，
由 ，解得 ，即有 .
当 时， 取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，
的取值范围是 ，无最值，所以， 、 两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ，命题③正确；
④定点 、 ，动点 ，满足 ，
可得 不在 上， 在线段 间成立，可得 ，解得 .
由对称性可得 也成立，即有两点 满足条件；
若 在第一象限内，满足 ，即为 ，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点 的轨迹与直线 （ 为常数）有且仅有 个公共点，命题④正确.
故答案为：①②③④.
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
【典例3-1】（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标
准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点 的曼哈顿距离
，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则
B．若点 ，则在 轴上存在点 ，使得
C．若点 ，点 在直线 上，则 的最小值是3
D．若点 在圆 上，点 在直线 上，则 的值可能是4
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知 ，则A正确；
对于B选项，设 ，则 ，从而 ，
故B错误；
对于C选项，作 轴，交直线 于 ，过 作 ，垂足为 .由曼哈顿距离的定义可知 .
当 不与 重合时，因为直线 的斜率为 ，所以 ，所以
；
当 与 重合时， .
综上， ，则 .故C正确.
对于D选项，若 ，则 ，故D正确.
故选：ACD
【典例3-2】（2024·高三·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定
义如下：设 ， ，则 ， 两点间的曼哈顿距离 已知 ，
点 在圆 上运动，若点 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】由题意得，圆 ，圆心 ，半径 ，
设点P(x ,y )，则 ，
0 0
故点 的轨迹为如下所示的正方形，其中 ， ，则 ， ，
则 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
【变式3-1】在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 之间的“折
线距离”，则圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是 .
【答案】
【解析】将直线 平移到与圆相切，求出此时的直线方程为 ，利用结论二可知，
圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是 ．
【变式3-2】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系 中，定义 为 ，
两点之间的“折线距离”.已知点 ，动点P满足 ，点M是曲线 上任意一
点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ， 的最小值为
【答案】 /0.5
【解析】设 ， ，
当 时，则 ，即 ，
当 时，则 ，即 ，
当 时，则 ，即
当 时，则 ，即 ，
故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形 的面积：则 .
如下图，设 ， ，显然 ， ，
，
求 的最小值，即 的最小值， 的最大值，
又 ，下面求 的最小值，
令 ， ，即 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， 有最小值，且 ，
所以 .
故答案为： ； .题型四：闵氏距离问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）闵氏距离（ ）是衡量数值点之间距离的一种非常
常见的方法，设点 、 坐标分别为 ， ，则闵氏距离
.若点 、 分别在 和 的图像上，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，设 ，
因为点A、B分别在函数 和 的图象上，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
设 ， ，则 ，
令 ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
【典例4-2】（2024·高三·安徽阜阳·期末）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设
两组数据分别为 和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为
，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，其中 ，则 ；
③若 ，其中 ，则 ；
④若 ，其中 ，则 的最小值为 .
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【解析】对于①： ，故①正确.
对于②： ，故②错误.
对于③： ，不妨设 ，
，且 均为非负数，所以 故③正确.
对于④：构造函数 ，则 ， 的最小值即两曲线动点
间的最小距离，设 与直线 平行的切线方程为 ，联立 得：
，令 得， ，所以切线方程为 ： 与 之间的距离
，所以最小值为 ，故④正确.
故选C.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系 中，已知点 ， ，记
，其中 为正整数，称 为点 ， 间的 距离．下列说法正确的
是（ ）．
A．若 ，则点 的轨迹是正方形
B．若 ，则 与 重合
C．
D．
【答案】A
【解析】由 得 ，所以点 的轨迹是以 为中心的正方形，故A正确；
记 ， ，则 ， ，
若 ，则 ，显然有 ， 满足此等式，可取点 ， ，显然
与 不重合，故B错误；
取点 ， ， ，则 ，
此时 ，故C错误，也可得D错误．
故选：A.
【变式4-2】（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，其中q表示
阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，其中a， ，则
C．若 ， ，其中a，b，c， ，则
D．若 ， ，其中a， ，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A： ，故A正确．
对于B： ， ，故B错误．
对于C： ， ，不妨设 ， ，因为
，所以 ，所以 ，所以 ，所以
，故C正确．
对于D：构造函数 ， ，则 的最小值即两曲线动点间的最小距离，设直线
与曲线 相切，则由 ，得 ，由 ，得 ，所以切
线方程为 ，
所以两曲线动点间的最小距离为 ，故D正确．
故选：ACD
题型五：圆的包络线问题
【典例5-1】（多选题）设有一组圆 ： （ ）.下列四个命题中真命题的
是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点【答案】BD
【解析】圆心为 ，半径为 ，
， ， ， ， ，圆 与圆 是内含关系，
因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A错误；
易知圆心在直线 上，此直线与所有圆都相交，B正确；
若 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错；
将 代入圆方程得 ，即 ，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程
无整数解，即原点不在任一圆上，D正确．
故选：BD．
【典例5-2】（多选题）设有一组圆 .下列四个命题正确的是
A．存在 ，使圆与 轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【答案】ABD
【解析】根据题意得圆的圆心为（1，k），半径为 ，
选项A,当k= ，即k=1时，圆的方程为 ，圆与x轴相切，故正确；
选项B，直线x=1过圆的圆心（1，k），x＝1与所有圆都相交，故正确；
选项C,圆k：圆心（1，k），半径为k2，圆k+1：圆心（1，k+1），半径为（k+1）2，
两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R﹣r＝2k+1，（R﹣r＞d）， 含于Ck 之中，
k +1
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；
∁
选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k2＝k4，不存在 k N*使上式成立，
即所有圆不过原点，正确．
∈
故选ABD
【变式5-1】（多选题）已知圆M: ，直线l： ，下面五个命
题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
B．对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；
C．存在实数k与θ，直线l和圆M相离；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：
E．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；
【答案】AD
【解析】AB选项，由题意知圆M的圆心为点 ，半径为r=1，直线l的方程可写作 ，过定点 ，因为点A在圆上，
所以直线l与圆M相切或相交，任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，A正确B错误；
C选项，由以上分析知不存在实数k与θ，直线l和圆M相离，C错误；
D选项，当直线l与圆M相切时，点A恰好为直线l与圆M的切点，故直线AM与直线l垂直，
①当 时，直线AM与x轴垂直，则 ，
即 ，解得 ，存在 ，使得直线l与圆M相切；
②当 时，若直线AM与直线l垂直，则 ，
直线AM的斜率为 ，
所以 ，即 ，
此时对任意的 ，均存在实数θ，使得 ，则直线AM与直线l垂直.
综上所述，对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切.D正确.
E选项，点 到直线l的距离为 ，
令 ，当 时，d=0，；当 时， ，
即此时 恒成立，直线l与圆M必相交，
故此时不存在实数k，使得直线l与圆M相切.E错误.
故选：AD
【变式5-2】（多选题）已知圆 ： ，直线 ： ，下面命题中正
确的是（ ）
A．对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点；
B．对任意实数 与 ，直线 与圆 都相离；
C．存在实数 与 ，直线 和圆 相交；
D．对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 与圆 相切.
【答案】ACD
【解析】对于A，圆 ： 的圆心为 ，半径为 ；无论 取何
值，都有 ，∴圆过定点 ；
又直线 ： 可化为 ，过定点 ；
∴直线 和圆 有公共点 ，A正确；对于B，圆心 到直线 的距离为 ，其中 ；∴ ，故B错
误；
根据B的分析，可得C､D正确.
故选：ACD
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
【变式5-3】（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学
三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点的轨迹是圆，
此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .设点 的轨迹
为曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的方程为
B．点 都在曲线 内部
C．当 三点不共线时，则
D．若 ，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】设 ， 不与 ， 重合），
由 ， ，有 ， ，
，即 ，化简得 ，
所以点 的轨迹曲线 是以 为圆心，半径 的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线 的方程为 ，选项A正确；
对于B选项，由 ，点 在曲线 外，选项B错误；
对于C选项，由 ， ，有 ，
则当 ， ， 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知， 是 内角 的角平分线，所以 ，选项C正确；
对于D选项，由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 在线段 上时，等号成立，
则 的最小值为 ，选项D正确．
故选：ACD．
【变式5-4】圆的反演点：已知圆 的半径是 ，从圆心 出发任作一条射线，在射线上任取两点 ，
若 ，则 互为关于圆 的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点 在圆
外，过 作圆的两条切线，两切点的连线与 的交点就是点 的反演点；若点 在圆 内，则连接
，过点 作 的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为 的反演点.已知圆 ，
点 ，则 的反演点的坐标为 .
【答案】
【解析】圆 ，圆心 ，半径 ，
点 ，点 在圆 外，
过 作圆的两条切线，两切点为 ，则 在以 为直径的圆上，
即 是圆 与圆 的交点，
两圆方程相减，得公共弦 所在直线的方程为 ，
又直线 的方程为 ，由 ，解得 ，
所以 的反演点的坐标为 .故答案为：
【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，
他研究发现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ ，且 ），那么点 的轨迹为圆，
这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆 ： ，点 ，平面内一定点 （异于点 ），对于
圆上任意动点 ，都有比值 为定值，则定点 的坐标为 .
【答案】
【解析】设 的坐标为 ，动点 ， ，
则 ，
，
，
，
可得 ，
又点 的轨迹方程 ，
可得 ，解得 （舍）或 ，
则 的坐标为 .
故答案为: .
【变式5-6】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发
现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯
圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ， ，点P是满足 的阿氏圆上的
任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线 上的动点，Q在y轴上的射影为M，则
的最小值为 .
【答案】 或（ ）【解析】设 ，由 得 ，
化简得 ，
抛物线 的焦点为 ， ，
，
，
易知当 四点共线时， 取得最小值为 ，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ； ．
【变式5-7】如图，已知平面 ， ， 、 是直线 上的两点， 、 是平面 内的两点，且
， ， ， ， ． 是平面 上的一动点，且直线 ， 与平面 所成角
相等，则二面角 的余弦值的最小值是 .
【答案】
【解析】 ， ， ， ，同理 ，为直线 与平面 所成的角， 为直线 与平面 所成的角，
，又 ，
， ，在平面 内，以 为 轴，以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，设 ， ，整理可得： ，
在 内的轨迹为 为圆心，以 为半径的上半圆
平面 平面 ， ， ， 为二面角 的平面角，
当 与圆相切时， 最大， 取得最小值，此时 ，
.
故答案为： .
【变式5-8】如图，在正方体 中， ，点 在线段 上，且 ，
点 是正方体表面上的一动点，点 是空间两动点，若 且 ，则 的最小
值为 .
【答案】
【解析】如图,建立如图所示的空间直角坐标系
则 , ，设
由题设
即也即
由此可知点 都是在球心为 ,半径为2的球面上
又 ,故点 是球的直径的两个端点
所以 ，
所以
而 在正方体的表面上,故当点 在正方体的顶点 上时,
此时 的值最小为
故答案为 ： .
题型七：圆中的垂直问题
【变式5-9】（2024·海南·模拟预测）已知直线ME= 1 AD，直线 过点 且与直线 相互垂直，圆
2
，若直线 与圆C交于M，N两点，则 ．
【答案】
【解析】由直线 ，可得斜率 ，
ME= 1 AD
2
因为 且直线 过点 ，所以直线 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，
又由圆 ，即 ，
可得圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
所以弦长 .
故答案为： .
【变式5-10】（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为
，则 的最大值为 ．
【答案】20
【解析】设圆心 到AC，BD的距离分别为m，n．
因为AC，BD相互垂直，所以 ，
由垂径定理得 ，
则 ，
由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
故 ．
故答案为：20
【变式5-11】（2024·高三·北京·期中）已知 为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为
则四边形 的面积的最大值为
【答案】14
【解析】解: 圆 ,
圆心O坐标 ,半径 ,
设圆心O到AC、BD的距离分别为 、 ,
,
则 ,
又
四边形ABCD的面积
,当且仅当 时取等号,
则四边形ABCD面积的最大值为14.
故答案为14【变式5-12】过定点 作两条相互垂直的直线 、 ，设原点到直线 、 的距离分别为 、 ，则
的最大值是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
作 交 于点 ，作 交 于点 ，
可得四边形 为矩形，
，
故可设 ，
，其中 ，
当 取最大值1时， 取最大值 .
故答案为：
【变式5-13】（2024·江苏·二模）在平面直角坐标系 中，圆 .已知过原点
且相互垂直的两条直线 和 ，其中 与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相切于点 .若 ，则直
线 的斜率为 .
【答案】
【解析】设 ： ， ： ，利用点到直线的距离，列出式子
，求出 的值即可.由圆 ，可知圆心 ，半径为 .
设直线 ： ，则 ： ，圆心 到直线 的距离为 ，
，
.
圆心 到直线 的距离为半径，即 ，
并根据垂径定理的应用，可列式得到 ，
解得 .
故答案为： .
题型八：圆的存在性问题
【典例6-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆 ，点 在直线 上．若存
在过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，且 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】圆 圆心 ，半径为
设弦 中点为 ，连接 ， ，
由 ， ，可得点 在弦 上，
且 ， ， ，
又圆心 到弦 所在直线的距离为：
，
则 ，
则点 在以 为圆心半径为5的圆上运动，
又点 在直线 上，
则直线 与以 为圆心半径为5的圆有公共点，
则 ，解之得 或 ，所以 的取值范围是 ．
故答案为：
【典例6-2】（2024·黑龙江·三模）已知圆C： ， ，若C上存
在点P，使得 ，则r的取值范围为 .
【答案】[4，6]
【解析】因为点 ，而点P满足 ，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除
点A，B外)，圆M： (y≠0)，半径 =1，
又点Р在圆C： (r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r， ，
依题意，圆M与圆C有公共点，因此 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【变式6-1】已知圆 和两点 ， ．若圆 上存在点 ，使得
，则 的最大值为 ．
【答案】11
【解析】设 ， ，则 ，
即 ，则 的轨迹为以 为圆心，半径 的圆，
根据题意知两圆有交点，圆心距 ，故 ，
解得 ，故 的最大值为 .
故答案为： .
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知圆 及圆 ，若圆 上任意一点
，圆 上均存在一点 使得 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，即 在 上运动，而 为圆 上任意一点，要使圆 上存在一点 使 ，
即过 点相互垂直的两直线与圆 有交点且 与两条垂线的夹角均为 即可，
所以，只需 为射线 与圆 交点时，使过 点相互垂直的两直线与圆 有交点且 与两条垂线的夹角
均为 ，
如上图，上述两条垂线刚好与圆 相切为满足要求的临界情况，
所以，只需 ， 为圆 半径，即 ，
又 ，故 ，可得 .
故答案为：
【变式6-3】（2024·广东韶关·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，过F且斜率为 的直线l交
抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：
上存在一点M，使得 ，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线为 ，
由 消去 ，得 ，设 ，有 ，
于是 的中点为 ，且 ，
所以以线段 为直径的圆的半径 ，方程为 ；对圆 及内任意一点 ，必可作互相垂直的两直线与圆D相交，则圆 上存在两点 , ，使 ，
对圆 外任意一点 ， , 是圆 上两点，当 , 与圆 相切时，
最大，此时 为矩形， ，
从而以线段 为直径的圆上存在两点 , ，在圆 上存在一点 ，使得 ，
等价于以 为圆心，以 为半径的圆与圆 有公共点，
因此 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为： ；
1．定义平面内任意两点 之间的距离 ，称为 之间的曼哈顿距离．
若点 在直线 上，点 为抛物线 上一点，则 之间的曼哈顿距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，设 ，
所以 ，
如图所示， ，且直线与抛物线无交点，
所以，只需 两点的横坐标相等时， 最小，即
所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.2．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
的曼哈顿距离为： .已知点 在圆 上，点 在直
线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点 作平行于 轴的直线 交直线 于点 ，过点 作 于点 表示
的长度，因为直线 的方程为 ，所以 ，即
，
当固定点 时， 为定值，此时|AB|为零时， 最小，即 与 重合（ 平行于 轴）时，
最小，如图所示，
设 ， ，则 ，
，
由三角函数知识可知 ，其中 ，
则其最大值是 ，
所以 ，故D正确.
故选：D.
3．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则
B．若点 ，则在 轴上存在点 ，使得
C．若点 ，点 在直线 上，则 的最小值是5
D．若点 在圆 上，点 在直线 上，则 的值可能是4
【答案】D
【解析】A选项， ，A错误；
B选项，设 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故在 轴上不存在点 ，使得 ，B错误；
C选项，点 在直线 上，设 ，
则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，C错误；
D选项，设 ，此时 ，
故 的值可能为4，D正确.
故选：D
4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．
在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．
设 ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离 ，其中
（O为坐标原点）．已知 ， ，则 的最大值近似等于
（ ）
（参考数据： ， ．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
【答案】B
【解析】设 ，
由题意可得： ，即 ，可知 表示正方形 ，其中 ，
即点 在正方形 的边上运动，
因为 ，由图可知：
当 取到最小值，即 最大，点 有如下两种可能：
①点 为点A，则 ，可得 ；
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，不妨取 ，
则 ；
因为 ，
所以 的最大值为 .
故选：B.
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点 ，
的曼哈顿距离为 .我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫
“好点”，已知三角形 的三个顶点坐标为 ， ， ，则 的“好点”的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”；
对于B，设 ，
则 ，，
所以 ，
所以点 是 的“好点”；
对于C，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”；
对于D，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”.
故选：B.
6．在平面直角坐标系中，设点 ，定义 ，其中 为坐标原点.对于下列结论：
（1）符合 的点 的轨迹围成的图形的面积为 ；
（2）设点 是直线： 上任意一点，则 ；
（3）设点 是直线： 上任意一点，则“使得 最小的点 有无数个”的充要条件是“
”；
（4）设点 是椭圆 上任意一点，则 .
其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）､（2）､（3） B．（1）､（3）､（4）
C．（2）､（3）､（4） D．（1）､（2）､（4）
【答案】A
【解析】对于（1），由 ，根据新定义得： ，
画出图象如图所示：根据图形得到：四边形 为边长是 的正方形，面积等于2，（1）正确；
对于（2），点 是直线： 上任意一点，则 ，
可得 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时，可得 ，
综上可得 的最小值为 ，故 正确；
对于 ，当 时， ，满足题意；
而 ，当 时， ，满足题意，
即 都能 “使 最小的点 有无数个”， 正确；
对于 点 是椭圆 上任意一点，因为求最大值，
所以可设 ， ， ， ， ，
， 不正确．
故选：A.
7．设 ， 为平面直角坐标系上的两点，其中 ， ， ， 均为整数.若
，则称点 为点 的“相关点”.已知点 是坐标原点 的“相关点”，点 是点 的
“相关点”，点 是点 的“相关点”，……，依此类推，点 是点 的“相关点”.注：点 ，
间的距离 则点 与点 间的距离最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据题意，由于“相关点”的关系都是相互的，所以当 ， 时，
点 与点 间的距离最小值为0，所以点 又回到最初位置，坐标为 ，
然后根据 式子，经过三次变换： ， ，，又因为 ， ， ， 均为整数，所以点 与点 间的距离最小值为1，
故选：B
8．定义：平面直角坐标系中，点 的横坐标 的绝对值表示为 ，纵坐标 的绝对值表示为 ，我
们把点 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 的折线距离，记为 （其中的“+”
是四则运算中的加法）.若拋物线 与直线 只有一个交点 ，已知点 在第一象限，且
，令 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为拋物线 与直线 只有一个交点 ，
所以 只有一个解，消去 得 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ，
可化为 ，即 ，
所以 ， ，因为点 在第一象限，所以 ， ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
因为 ，抛物线开口向下，对称轴为 ，所以 随 的增大而增大，
故 .
故选：C.
9．（2024·浙江·模拟预测）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵
可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若
， ，则 ， 两点的“曼哈顿距离”为 ，下列直角梯形中的虚线可以作
为 ， 两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】根据题意： ， 两点的“曼哈顿距离”为 ，再结合四个选项可以判断只有C选
项符合题意.
故选：C．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很
多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点A
（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以 ，所以双曲线方程为 ，
令 可得 ，因为 ，所以 ，
即方程 的解是 ，
故选：C.
11．设直线系M： ，则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数 ，存在正n
边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据直线系M： ，可得 到直线M的距离 ，
所以所有直线都为圆心为 ，半径为1的圆的切线，
对于①：因为直线系为圆的任意切线，所以不存在一个直线与所有直线相交，故①错误；
对于②：因为直线系为圆的任意切线，所以该直线系不过定点，故②错误；
对于③：对于任意实数 ，作圆 的外切正n边形，其所有边都为圆的切线，即为直线
系中的直线，故③正确；
对于④：如图所示：
正 和正 面积不相等，故④错误；
故选：B
12．（2024·高三·上海浦东新·期中）设直线系 （ ），则下列命题中是
真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④ 中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点 不在 中的任一条直线上；
⑥对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上；
⑦ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根据直线系 （ ）得到，
所有直线都为圆心为 ，半径为1的圆的切线．
对于①，可取圆心为 ，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；对于②，可取圆心为 ，半径为 的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；
对于③，可取圆心为 ，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；
对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；
对于⑤，存在 不在 中的任一条直线上，所以⑤错误；
对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在 中的直线上，所以⑥正确；
对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角
形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；
故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个．
故选：B．
13．设直线系 ， ，对于下列四个命题：
（1） 中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点 不在 中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数 ， ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上；
（4） 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） （4） D．（1）（2）
【答案】A
【解析】首先发现直线系 表示圆 的切线集合，再根据
切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点 不在任何一条直线上，判断选项.因为点 到
直线系 中每条直线的距离 ，直线系
表示圆 的切线集合.
（1）由于直线系表示圆 的所有切线，其中存在两条切线平行，所有 中所有直线均经过
一个定点不可能，故（1）不正确；
（2）存在定点 不在 中的任意一条直线上，观察知点 符合条件，故（2）正确；
（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数 ，存在正 变形，其所有
边均在 的直线上，故（3）正确；
（4）如下图， 中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如 ，一类是 ,显然这两类三角形
的面积不相等，故（4）不正确.故选：A
14．设直线系 ，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于x轴时， 或 ；
（2）当 时，直线倾斜角为 ；
（3） 中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点 不在 中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】 ，
（1）当直线垂直于x轴时，则 ，解得 或 或 ，故（1）错误；
（2）当 时，直线方程为： ，
斜率 ，即 ，倾斜角 ，故（2）正确；
（3）由直线系
可令 ，消去 可得 ，
故直线系 表示圆 的切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意 ，存在定点 不在直线系 中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．
15．设有一组圆 ： ．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的序号是（ ）A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
【答案】B
【解析】根据题意得：圆心 ，
圆心在直线 上，故存在直线 与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆 ：圆心 ，半径为 ，
圆 ：圆心 ，即 ，半径为 ，
两圆的圆心距 ，
两圆的半径之差 ，
任取 , ， 含于 之中，选项①错误；
若 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将 带入圆的方程，则有 ，即 ，
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故选：B．
16．已知直线 与圆 相切，则满足条件的直线 有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】因为直线 与圆 相切，
则圆心 到直线的距离为 ，
即 ，即 ，
所以 ，其中 ，
则 或 ，
正弦值为 的只有在 轴负半轴，正弦值为 可以在第一或者第二象限，故有 种可能，
则满足条件的直线 有3条.
故选：C.
17．已知直线l： 与圆 相切，则满足条件的直线l有（ ）条A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】 的圆心为 ，半径为1，
则圆心到 的距离为 ，
则 ，
故 或 ，
所以 或 ，
当 时， ，此时直线l： ，
当 时， 或 ，
当 ，此时 ，直线l： ，
当 ，此时 ，直线l： ，
综上：满足条件的直线l有3条.
故选：B
18．（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时
期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ 且 ），那么点
的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点 到 ， 的距离比为 ，则点 到直线 ：
的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，设点 ，则 ，
∴ ，化简得点 的轨迹方程为 ，
∴点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆.
圆心 到直线 ： 的距离 ，
∴点 到直线 最大距离为 .
故选：A.19．（2024·云南昆明·一模）在棱长均为 的四面体 中，点 为 的中点，点 为 的中点.若
点 ， 是平面 内的两动点，且 ， ，则 的面积为
A． B．3
C． D．2
【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系如图所示，
，底面 为等边三角形，且 .所以OD=2,B(-√3，-1，0)，D(0,2,0),C(√3
，-1，0),点 为 的中点，所以E（ ， ，0），点 为 的中点，F（- ，- ，0），设M
（x,y,0）, ， ，化简得 ，且点M 是平面BCD 内的动点，
所以点M在以（0,0）为圆心，以1为半径的圆上，又 ，且点N 是平面BCD 内的动点，同理N也
在这个圆上，且 ，所以MN为圆的直径，因为AO 面BCD，所以AO MN，且AO= ，
.
故选：C.
20．（多选题）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 .若直线 上存在一点 ，
使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取可以是
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
所作的圆的两条切线相互垂直，所以 ，圆点 ，两切点构成正方形
即
在直线 上，圆心距计算得到
故答案选AB
21．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点 和 之间的“t距离”为
，其中 表示p，q中的较大者，则点 与点 之
间的“t距离”为 ；若平面内点 和点 之间的“t距离”为 ，则A点的轨迹围成的封
闭图形的面积为 .
【答案】 4
【解析】第一空：点 与点 之间的“t距离”为
；
第二空：若平面内点 和点 之间的“t距离”为 ，
则 ，
不妨设 ，解得 或 ，此时 ，即 ，
由对称性可知，当 或 时， ，如图所示：
，所以A点的轨迹就是正方形 的四条线段，
则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 .
故答案为： ；4.
22．平面中两条直线 、 相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线 和 的距离，
则称有序非负实数对 是点M的“距离坐标”．已知常数 ， ，给出下列命题：
（1）若 ，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；（2）若 ， ，则“距离坐标”为 的点有且仅有2个；
（3）若 ，则“距离坐标”为 的点有且仅有4个．
以上命题中，正确的命题是 ．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】对于（1），只有当点M与点O重合时，满足题意.故（1）正确；
对于（2），不妨假设 ，则点 在直线 上.
又点 到直线 的距离为 ，
如图1，作 的两条平行线 ，使得 与 的距离均为 .
由定义结合图象可知，直线 与 的交点满足条件.
所以，“距离坐标”为 的点有且仅有2个.故（2）正确；
对于（3），如图2，作 的两条平行线 ，使得 与 的距离均为 ；作 的两条平行线 ，使
得 与 的距离均为 .
由定义结合图象可知，满足条件的点有且仅有4个.故（3）正确.
故答案为：（1）（2）（3）.23．在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 的“切比雪夫
距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d
（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有 ；②已知点P
（3，1）和直线 ，则 ；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．
其中正确的序号为 ．
【答案】①②③
【解析】其中①③的讨论见后文．
②设点Q是直线 上一点，且 ，则 ．由 ，
解得 ，即有 ，当 时，取得最小值 ；由 ，解得 或 ，
即有 ，此时 的范围是 ，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小
值为 ．
综上，①②③正确．
24．（2024·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有
好多种距离.平面上，欧几里得距离是 与 两点间的直线距离，即
.切比雪夫距离是 与 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝
对值中的最大值，即 .已知 是直线 上的动点，当 与 （ 为
坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
【答案】6
【解析】因为点 是直线 ： 上的动点，要使 最小，则 ，此时 ，
所以 ，由方程组 ，解得 ， ，
所以， ， 两点之间的切比雪夫距离为6.
故答案为：6.
25．（2024·四川凉山·三模）点 是 内部或边界上的点，若 到 三个顶点距离之和最小，
则称点 是 的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若 ， ，
时，点 是 的费马点，且已知 在 轴上，则 的大小等于 .
【答案】
【解析】先证明：若 到ΔABC三个顶点距离之和最小，则如图将 绕点B逆时针旋转60°得到 ，则 ≌ ，
，所以 是等边三角形， ，
，当 四点共线时取得最小值，
此时 ，
同理可得
所以命题得证.
点 是ΔABC的费马点，且已知 在 轴上，
，
，
所以 ，
所以 = .
故答案为：
