文档内容
2025 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:13)(cid:11)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) 02(cid:30)(cid:31)(cid:23)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:30)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:10)120(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10)150(cid:38)(cid:34)
(cid:4)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:10)
1.(cid:45)(cid:35)(cid:29)(cid:38)(cid:46)I(cid:29)((cid:20)(cid:47)(cid:21))(cid:48)(cid:46)Ⅱ(cid:29)((cid:49)(cid:20)(cid:47)(cid:21))(cid:50)(cid:51)(cid:38)(cid:52)(cid:53)(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:24)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:24)(cid:67)(cid:9)(cid:68)(cid:69)
(cid:70)(cid:53)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:52)
2.(cid:73)(cid:53)(cid:46)I(cid:29)(cid:36)(cid:55)(cid:20)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:21)(cid:53)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:33)2B(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:53)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:83)(cid:21)(cid:84)(cid:62)(cid:53)(cid:77)(cid:85)(cid:9)(cid:86)(cid:87)(cid:52)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:55)(cid:33)
(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:78)(cid:55)(cid:97)(cid:20)(cid:86)(cid:98)(cid:99)(cid:53)(cid:77)(cid:85)(cid:9)(cid:52)(cid:69)(cid:70)(cid:45)(cid:35)(cid:29)(cid:72)(cid:100)(cid:101)(cid:52)
3.(cid:73)(cid:53)(cid:46)Ⅱ(cid:29)(cid:36)(cid:55)(cid:59)(cid:53)(cid:77)(cid:69)(cid:70)(cid:53)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:52)(cid:69)(cid:70)(cid:45)(cid:35)(cid:29)(cid:72)(cid:100)(cid:101)(cid:52)
4.(cid:24)(cid:35)(cid:102)(cid:103)(cid:78)(cid:55)(cid:59)(cid:45)(cid:35)(cid:29)(cid:48)(cid:53)(cid:21)(cid:71)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:73)(cid:52)
(cid:46) I (cid:29)(cid:30)(cid:20)(cid:47)(cid:21)(cid:34)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:114)( i) =2(cid:55)(cid:115)| +1|=(cid:30) (cid:34)
A(cid:107) 5 B(cid:107) 3 1C−(cid:107)𝑧1 𝑧 D(cid:107)5
2(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:116)(cid:109)(cid:117)(cid:118)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(cid:111)(cid:55)(cid:26)(cid:121)(cid:21)(cid:122)(cid:30) (cid:34)
A(cid:107)“ > >1”(cid:122)“ >1”(cid:62)(cid:58)(cid:123)(cid:124)(cid:125)
B(cid:107) 𝑎 >10,,𝑏e >2 𝑎𝑏
𝑥 𝑥
C(cid:107)∀𝑥>0,2 2
𝑥
∀𝑥 ≥𝑥
D(cid:107) + =0(cid:62)(cid:126)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:122) =
𝑎
𝑎 𝑏 𝑏 −1
3(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:87)(cid:127)(cid:128)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)| |=3,| |=| +2 |(cid:55)(cid:115)| + |=(cid:30) (cid:34)
A(cid:107) 3 B(cid:107)2 C(cid:107)𝑎 5 𝑎−𝑏 𝑎 D𝑏(cid:107)3 𝑎 𝑏
4(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:56)(cid:82)(cid:142)(cid:143)(cid:62)(cid:138)(cid:144)(cid:55)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:141)(cid:56)(cid:130)(cid:143)(cid:149)(cid:142)､(cid:130)(cid:143)(cid:149)(cid:150)(cid:62)
(cid:151)(cid:152)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:138)“(cid:11)(cid:142)(cid:143)､(cid:157)(cid:31)(cid:158)”(cid:62)(cid:142)(cid:143)(cid:130)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:55)(cid:105)(cid:59)1000(cid:64)(cid:141)(cid:56)(cid:62)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:41)(cid:38)100(cid:38)(cid:55)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)
(cid:13)(cid:34)(cid:165)(cid:15)(cid:162)(cid:88)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:62)(cid:169)(cid:170)(cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:166)(cid:55)(cid:115)(cid:119)(cid:120)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:62)(cid:122)(cid:30) (cid:34)A(cid:107) (cid:62)(cid:178)(cid:137)0.005
B(cid:107)(cid:179)𝑎 (cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:13)(cid:183)(cid:62)(cid:8)(cid:13)(cid:137)75(cid:38)
C(cid:107)(cid:179)(cid:180)(cid:162)(cid:163)(cid:184)(cid:185)60(cid:38)(cid:62)(cid:186)250(cid:158)
235
D(cid:107)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:13)(cid:183)(cid:62)(cid:111)(cid:187)(cid:13)(cid:137) (cid:38)
3
5(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:188)(cid:189)(cid:188)(cid:118)·(cid:190)(cid:27)(cid:34)(cid:191)(cid:192) (cid:62)(cid:172)(cid:193) (cid:194)(cid:195) 2+ 2=9(cid:196)(cid:106)(cid:185)(cid:197)(cid:198)(cid:62)(cid:50)(cid:192)
M(cid:55)N(cid:55)(cid:115)(cid:193)(cid:199)MN(cid:62)(cid:111)(cid:192) (cid:62)(cid:200)(cid:201)(cid:122)(cid:30) 𝐴 (cid:34)(−3,−4) 𝑙 𝐶:(𝑥−3) (𝑦−4)
A(cid:107)(cid:104)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:137)10(cid:62)(cid:195)𝑃(cid:62)(cid:104)(cid:51)(cid:38) B(cid:107)(cid:104)(cid:202)(cid:205)(cid:206)(cid:137)10(cid:62)(cid:207)(cid:195)(cid:62)(cid:104)(cid:51)(cid:38)
C(cid:107)(cid:104)(cid:124)(cid:191)(cid:208)(cid:192)(cid:62)(cid:193)(cid:199) D(cid:107)(cid:104)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:137)5(cid:62)(cid:195)(cid:62)(cid:104)(cid:51)(cid:38)
6(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:25)(cid:150)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:114)(cid:209)(cid:13) = 6sin >0)(cid:62)(cid:166)(cid:210)(cid:194)(cid:209)(cid:13) = 6cos (cid:62)(cid:166)(cid:210)(cid:62)
(cid:211)(cid:42)(cid:190)(cid:202)(cid:212)(cid:213)(cid:106)(cid:192)(cid:214)(cid:122)(cid:104)(cid:202)(cid:215)(cid:190)(cid:216)(cid:217)(cid:62)(cid:190)(cid:202)𝑓(cid:218)(𝑥(cid:192))(cid:55)(cid:115) =𝜔(cid:30)𝑥( 𝜔 (cid:34) 𝑔(𝑥) 𝜔𝑥
𝜔
A(cid:107) B(cid:107) C(cid:107) D(cid:107)
2 4 6 8
π π π π
7(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)·(cid:104)(cid:27)(cid:34)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:224)(cid:225) (cid:122)(cid:226)(cid:227)(cid:137)2(cid:62)(cid:215)(cid:173)(cid:217)(cid:55)(cid:203)(cid:195)(cid:225) (cid:224)(cid:225) (cid:55)
(cid:192)P(cid:137)(cid:195)(cid:228) (cid:72)(cid:62)(cid:91)(cid:192).(cid:229)(cid:190)(cid:230)(cid:231) (cid:62)(cid:232)(cid:233)(cid:234)𝐴(cid:148)𝐵(cid:36)𝐶𝐷(cid:55) (cid:194)(cid:203)(cid:195)(cid:225) (cid:167)(cid:162)(cid:216)(cid:62)(cid:235)(cid:236)𝐴𝑃(cid:178)𝐷(cid:137)⊥(cid:30) (cid:34)𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐷 𝑃−𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝐴𝑃𝐷
A(cid:107) 2 B(cid:107) 3 C(cid:107) 6 D(cid:107) 3
3 6 6 3
8(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2023·(cid:133)(cid:134)(cid:162)(cid:214)·(cid:104)(cid:27)(cid:34)(cid:129)(cid:130)(cid:209)(cid:13) =( )(ln )2 ln + +2(cid:55)(cid:114) [0,2](cid:36)(cid:55) 0(cid:237)(cid:162)(cid:238)(cid:55)
(cid:115)(cid:239)(cid:13) (cid:62)(cid:164)(cid:178)(cid:240)(cid:241)(cid:137)(cid:30) (cid:34) 𝑦 2−𝑥 𝑎 −4 𝑎 𝑥 𝑥∈ 𝑦≥
A(cid:107)𝑎(0,e] B(cid:107)[e,+ ) C(cid:107)(0,1] D(cid:107)[1,+ )
二、多项选择题：本题共3小题∞，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个∞选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9(cid:107)(cid:30)6(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:31)(cid:242)(cid:243)(cid:244)·(cid:190)(cid:27)(cid:34)(cid:129)(cid:130)(cid:209)(cid:13) ( )= 3sin cos cos2 + 1 (cid:55)(cid:115)(cid:119)(cid:120)(cid:174)(cid:175)(cid:215)(cid:245)(cid:62)(cid:122)(cid:30) (cid:34)
2
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑥
A(cid:107) ( )=sin
6
π
B(cid:107)(cid:209) 𝑓 (cid:13)𝑥 ( )(cid:62)2(cid:234)𝑥(cid:76)−(cid:215)(cid:246)(cid:247)(cid:137)2
𝑓 𝑥 π
C(cid:107) = (cid:122)(cid:209)(cid:13) ( )(cid:166)(cid:210)(cid:62)(cid:104)(cid:124)(cid:82)(cid:248)(cid:249)
3
π
𝑥 𝑓 𝑥D(cid:107)(cid:209)(cid:13) ( )(cid:62)(cid:166)(cid:210)(cid:250)(cid:251) =sin (cid:62)(cid:166)(cid:210)(cid:131)(cid:252)(cid:253)(cid:254) (cid:202)(cid:255)(cid:187)(cid:227)(cid:256)(cid:257)(cid:258)
12
π
10(cid:107)(cid:30)6(cid:38)(cid:34) 𝑓 (cid:30)𝑥 2024·(cid:259)(cid:260)·(cid:27) 𝑦 (cid:28)(cid:112)(cid:113) 2 (cid:34) 𝑥 (cid:129)(cid:130)(cid:261)(cid:14)(cid:193) 2= (cid:62)(cid:205)(cid:192)(cid:137) (cid:55)(cid:192) (cid:194)(cid:192) (cid:3)(cid:185)(cid:208)(cid:192)(cid:82)(cid:248)(cid:55)(cid:191)(cid:192) (cid:62)
(cid:172)(cid:193) (cid:194)(cid:261)(cid:14)(cid:193) (cid:106)(cid:185) (cid:55) (cid:50)(cid:192)(cid:30)(cid:192) (cid:48)(cid:192) (cid:70)(cid:192) (cid:62)𝐸:(cid:50)𝑦(cid:262)(cid:34)8𝑥(cid:55)(cid:115)(cid:119)(cid:120)(cid:121)𝐹(cid:21)(cid:215)(cid:245)𝐹 (cid:62)(cid:122)𝐶(cid:30) (cid:34) 𝐶
A𝑙(cid:107)(cid:114) (cid:137)𝐸 𝐴 (cid:62)𝐵(cid:111)(cid:193)(cid:55)(cid:115) 𝐴 =𝐶 𝐵
B(cid:107) 𝐵𝐹>4△𝐴𝐶𝐹 |𝐴𝐹| 2|𝐵𝐹|
C(cid:107)|(cid:263)𝐴𝐹(cid:70)|(cid:172)(cid:193)(cid:264)(cid:257) = 2
D(cid:107)(cid:82)(cid:185)(cid:211)(cid:42)(cid:172)(cid:193)|𝐴(cid:55)𝐶(cid:214)| (cid:186) |𝐴𝐹+| >
11(cid:107)(cid:30)6(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:259)𝑙(cid:260)·(cid:190)(cid:27)|𝐴(cid:34)𝐹|(cid:129)(cid:130)|𝐵(cid:209)𝐹(cid:13)| 2|𝐶𝐹=| 2( (cid:137)(cid:265)(cid:13))(cid:55)(cid:115)(cid:119)(cid:120)(cid:102)(cid:266)(cid:215)(cid:245)(cid:62)(cid:122)(cid:30) (cid:34)
2𝑥
A(cid:107)(cid:229) =1(cid:36)(cid:55) (cid:70) (cid:267)(cid:62)(cid:268)(cid:193)𝑓((cid:173)𝑥)(cid:269)(cid:137)𝑒 −𝑎𝑥+𝑎1=0
B(cid:107)(cid:114)𝑎 (cid:186)3(cid:202)𝑓((cid:270)𝑥)(cid:192)(cid:55)(0(cid:115),𝑓(0(cid:62)))(cid:164)(cid:178)(cid:240)(cid:241)(cid:137)( 2,+2𝑥−)𝑦
C(cid:107)(cid:229)𝑓(=𝑥) 2(cid:36)(cid:55) =1(cid:122) 𝑎 (cid:62)(cid:271)(cid:148)(cid:178)(cid:192) 𝑒 ∞
𝑎 𝑒1 𝑥 𝑓(𝑥) 1
D(cid:107)(cid:229) = (cid:36)(cid:55) (cid:186)(cid:272)(cid:104)(cid:270)(cid:192) (cid:55)(cid:273) < <
2 0 0 2
𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥
(cid:46)
I−I1
(cid:29)
𝑥
(cid:30)(cid:49)
−
(cid:20)(cid:47)(cid:21)(cid:34)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:129)(cid:130)(cid:13)(cid:120){ }(cid:122)(cid:7)(cid:274)(cid:197)(cid:137)0(cid:62)(cid:275)(cid:274)(cid:13)(cid:120)(cid:55) =1(cid:55)(cid:273)(cid:41)(cid:276) , ,
1 2 3 6
(cid:162)(cid:275)(cid:277)(cid:13)(cid:120)(cid:55)(cid:115)(cid:13)(cid:120){ }(cid:54)6(cid:44)(cid:62)(cid:48)(cid:137) . 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
13(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:116) 𝑎 (cid:109) 𝑛 (cid:278)(cid:279)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:129)(cid:130) π 2 , (cid:55)(cid:273) cos = sin 2 1 𝛼 si s n inπ 2 +𝛽 (cid:55)(cid:115) tan ta 𝛼 n + t t a a n n 𝛽 2 𝛽 2 = (cid:107)
14(cid:107)(cid:30)5(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:280)(cid:128)(cid:281)(cid:189)·(cid:282)(cid:27)(cid:34)(cid:114)(cid:283)(cid:104)(cid:284) 𝛼 (cid:186) ,𝛽 (cid:190) ∈ (cid:285)(cid:286)π(cid:287)(cid:48)(cid:190) 1− (cid:288)(cid:289) 2 (cid:290) 𝛼 (cid:62)(cid:291)(cid:74)+(cid:292)(cid:84)𝛽(cid:255)(cid:55)(cid:293)(cid:186)1− 7 𝛼 20 (cid:294)(cid:197)(cid:198)(cid:62)
(cid:283)(cid:175)(cid:30)(cid:33)(cid:13)(cid:295)(cid:296)(cid:53)(cid:34)(cid:55)(cid:98)(cid:111)(cid:297)(cid:186)(cid:50)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:196)(cid:298)(cid:62)(cid:299)(cid:170)(cid:137) .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15(cid:107)(cid:30)13(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:108)(cid:300)(cid:301)(cid:302)·(cid:190)(cid:27)(cid:34)(cid:303)(cid:190)(cid:216)(cid:217) (cid:62)(cid:219)(cid:216) (cid:65) (cid:65) (cid:62)(cid:82)(cid:226)(cid:38)(cid:304)(cid:137) (cid:65) (cid:65) (cid:273)sin( + )=2
𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝐵 𝐶
3sin2 (cid:107)
2
𝐴
(1)(cid:305)(cid:216) (cid:62)(cid:148)(cid:76)(cid:40)
(2)(cid:114) = 𝐴 3(cid:55) (cid:226)(cid:72)(cid:62)(cid:23)(cid:137)3 21(cid:55)(cid:305)(cid:190)(cid:216)(cid:217) (cid:62)(cid:246)(cid:227)(cid:107)
7
𝑏 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶16(cid:107)(cid:30)15(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:87)(cid:127)(cid:128)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:129)(cid:130) = + cos (cid:70)(cid:192) (cid:267)(cid:62)(cid:268)(cid:193)(cid:173)(cid:269)(cid:137) +
2 2
π π
𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 ,𝑓 𝑥 2𝑦−π
=0.
(1)(cid:305) (cid:62)(cid:178)(cid:40)
(2)(cid:305)𝑎(,𝑏)(cid:70)(cid:306)(cid:37)[0, ](cid:62)(cid:255)(cid:307)(cid:306)(cid:37)(cid:48)(cid:271)(cid:178).
𝑓 𝑥 π
17(cid:107)(cid:30)15(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:128)(cid:109)(cid:135)(cid:308)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:88)(cid:166)1(cid:55)(cid:70)(cid:309)(cid:226)(cid:217) (cid:111)(cid:55) = (cid:55) (cid:55) = (cid:273)
(cid:55)(cid:59) (cid:310) (cid:311)(cid:162)(cid:166)2(cid:55)(cid:264)(cid:257) = (cid:55) (cid:137) (cid:62)(cid:111)𝐴𝐵(cid:192)𝐶𝐷(cid:107)𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐷⊥𝐷𝐶 𝐸𝐴 𝐸𝐷
𝐸𝐴⊥𝐸𝐷 △𝐴𝐸𝐷 𝐴𝐷 𝐸𝐵 𝐴𝐵 𝐹 𝐴𝐸
(1)(cid:67)(cid:312)(cid:10) //(cid:253)(cid:225) (cid:40)
(2)(cid:114) (cid:194)𝐵(cid:253)𝐹(cid:225) 𝐸(cid:167)𝐶𝐷(cid:162)(cid:62)(cid:216)(cid:137)30°(cid:55)(cid:305)(cid:282)(cid:225)(cid:216) (cid:62)(cid:215)(cid:236)(cid:178)(cid:107)
𝐸𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴−𝐸𝐵−𝐷
18(cid:107)(cid:30)17(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:25)(cid:150)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)2024(cid:22)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:24)(cid:78)(cid:316)(cid:317)(cid:314)(cid:318)(cid:319)(cid:171)(cid:23)(cid:24)(cid:13)(cid:11)(cid:320)(cid:33)(cid:31)(cid:62)(cid:102)(cid:321)(cid:55)(cid:317)(cid:20)(cid:21)(cid:251)4
(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:258)3(cid:322)(cid:55)(cid:38)(cid:178)(cid:325)(cid:137)(cid:104)(cid:21)6(cid:38)(cid:55)(cid:317)(cid:20)(cid:21)(cid:75)(cid:202)(cid:76)(cid:21)(cid:326)(cid:74)(cid:62)(cid:133)(cid:202)(cid:20)(cid:44)(cid:111)(cid:186)(cid:50)(cid:44)(cid:327)(cid:190)(cid:44)(cid:122)(cid:215)(cid:245)(cid:62)(cid:55)(cid:25)(cid:51)(cid:20)(cid:82)(cid:257)6
(cid:38)(cid:55)(cid:186)(cid:176)(cid:20)(cid:327)(cid:25)(cid:197)(cid:20)(cid:62)(cid:257)0(cid:38).(cid:114)(cid:215)(cid:245)(cid:53)(cid:77)(cid:122)“(cid:50)(cid:44)”(cid:62)(cid:55)(cid:115)(cid:20)(cid:82)1(cid:202)(cid:257)3(cid:38)；(cid:114)(cid:215)(cid:245)(cid:53)(cid:77)(cid:122)“(cid:190)(cid:44)”(cid:62)(cid:55)(cid:115)(cid:20)(cid:82)1
(cid:202)(cid:257)2(cid:38)(cid:55)(cid:20)(cid:82)2(cid:202)(cid:257)4(cid:38).(cid:153)(cid:13)(cid:11)(cid:328)(cid:329)(cid:76)(cid:182)(cid:330)(cid:331)(cid:53)(cid:77)(cid:332)(cid:333)(cid:146)(cid:334)(cid:55)(cid:317)(cid:20)(cid:21)(cid:215)(cid:245)(cid:53)(cid:77)(cid:122)(cid:50)(cid:202)(cid:20)(cid:44)(cid:62)(cid:299)(cid:170)(cid:137) (cid:55)(cid:215)(cid:245)
(cid:53)(cid:77)(cid:122)(cid:190)(cid:202)(cid:20)(cid:44)(cid:62)(cid:299)(cid:170)(cid:137) (cid:98)(cid:111)0< <1)(cid:107) 𝑝
1−𝑝( 𝑝 1
(1)(cid:70)(cid:104)(cid:335)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:35)(cid:111)(cid:55)(cid:11)(cid:56)(cid:336)(cid:82)(cid:153)(cid:202)(cid:317)(cid:20)(cid:21)(cid:337)(cid:25)(cid:197)(cid:338)(cid:55)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:342)(cid:20)(cid:47)(cid:104)(cid:202)(cid:20)(cid:44)(cid:55)(cid:114) = (cid:55)(cid:305)(cid:11)(cid:56)(cid:336)(cid:343)(cid:21)(cid:257)
3
𝑝2(cid:38)(cid:62)(cid:299)(cid:170)；
(2)(cid:344)(cid:82)(cid:153)(cid:322)(cid:317)(cid:20)(cid:21)(cid:55)(cid:11)(cid:56)(cid:336)(cid:337)(cid:25)(cid:197)(cid:338)(cid:55)(cid:345)(cid:36)(cid:99)(cid:186)(cid:190)(cid:294)(cid:53)(cid:21)(cid:173)(cid:77)(cid:10)
Ⅰ： (cid:341)(cid:342)(cid:20)(cid:104)(cid:202)(cid:20)(cid:44)； Ⅱ： (cid:341)(cid:342)(cid:20)(cid:50)(cid:202)(cid:20)(cid:44)； Ⅲ： (cid:341)(cid:342)(cid:20)(cid:190)(cid:202)(cid:20)(cid:44)(cid:107)
1
(cid:114) = (cid:55)(cid:273)(cid:11)(cid:56)(cid:336)(cid:20)(cid:47)(cid:173)(cid:77)Ⅰ(cid:55)(cid:305)(cid:45)(cid:21)(cid:257)(cid:38)(cid:62)(cid:13)(cid:11)(cid:247)(cid:346)；
2
① 𝑝
(cid:347)(cid:45)(cid:21)(cid:257)(cid:38)(cid:62)(cid:13)(cid:11)(cid:247)(cid:346)(cid:137)(cid:339)(cid:348)(cid:349)(cid:183)(cid:55) (cid:62)(cid:164)(cid:178)(cid:70)(cid:244)(cid:350)(cid:240)(cid:241)(cid:219)(cid:272)(cid:351)(cid:20)(cid:47)(cid:173)(cid:77)Ⅰ(cid:234)(cid:352)?
② 𝑝
19(cid:107)(cid:30)17(cid:38)(cid:34)(cid:30)2024·(cid:128)(cid:353)(cid:353)(cid:189)·(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:192)(cid:120)(cid:55)(cid:354)(cid:122)(cid:59)(cid:192)(cid:62)(cid:355)(cid:85)(cid:356)(cid:357)(cid:104)(cid:340)(cid:3)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:283)(cid:120)(cid:107)(cid:191)(cid:287)(cid:193) = 3
(cid:72)(cid:62)(cid:192) ( , )(cid:296)(cid:287)(cid:193) (cid:62)(cid:268)(cid:193) (cid:194)(cid:287)(cid:193) (cid:106)(cid:185) ( , )(cid:55)(cid:191)(cid:192) (cid:296)(cid:287)(cid:193) (cid:62)(cid:268)(cid:193) (cid:194)(cid:287)(cid:193) (cid:106)(cid:185)(cid:192) 𝐶(:𝑦 , 𝑥)(cid:55)
1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3
(cid:349)(cid:345)(cid:361)(cid:362)𝑃 (cid:55)𝑥(cid:250)𝑦(cid:257)(cid:258)(cid:192)(cid:120)(cid:10)𝐶 ( ,𝑙 )(cid:55) (𝐶 , )(cid:55)𝑃 𝑥(𝑦, )(cid:55)…(cid:55)𝑃 ( , 𝐶)(cid:55)…(cid:55)𝑙(cid:129)(cid:130) =𝐶1(cid:107) 𝑃 𝑥 𝑦
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1
(1)(cid:305)(cid:13)(cid:120){ }(cid:65){ }(cid:62)(cid:363)(cid:44)𝑃(cid:7)𝑥(cid:364)𝑦(cid:40) 𝑃 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 𝑃𝑛 𝑥𝑛𝑦𝑛 𝑥
(2)(cid:365)(cid:192) (cid:258)𝑥𝑛(cid:172)(cid:193)𝑦𝑛 (cid:30)(cid:366)(cid:172)(cid:193) (cid:34)(cid:62)(cid:206)(cid:367)(cid:137) (cid:55)
+1 +1 +2
𝑃𝑛 1 𝑙1𝑛 1 𝑃4 𝑛 𝑃𝑛 𝑑𝑛
(cid:30)I(cid:34)(cid:305)(cid:67)(cid:10) + + + > (cid:40)
1 2 9
𝑑 𝑑 ⋯ 𝑑𝑛
(cid:30)II(cid:34)(cid:305)(cid:67)(cid:10) 1 + 1 + + 1 > 8 1 (cid:55)(cid:114) (cid:178)( > N )(cid:194)(cid:30)I(cid:34)(cid:196)(cid:198)(cid:55)(cid:115)(cid:305)(cid:345)(cid:36) 1 + 1 + + 1 (cid:62)(cid:234)(cid:76)
1 2 9 2 1 2
∗
(cid:178)(cid:107) 𝑑 𝑑 ⋯ 𝑑𝑛 1− 𝑛 𝑛 𝑛 0,𝑛∈ 𝑑 𝑑 ⋯ 𝑑𝑛
