专题5.2平面向量基本定理及坐标表示六大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）

专题 5.2 平面向量基本定理及坐标表示【六大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:28)....................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:39)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:28)............................................................................................................4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:28)............................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:39)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:28)............................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:39)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:28)........................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:50)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:51)(cid:44)(cid:45)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:28)............................................................................6 1(cid:62)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:63)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (cid:25)(cid:49)(cid:64)(cid:40) (cid:65)(cid:21)(cid:66)(cid:67) (cid:25)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:102)(cid:49)(cid:103)(cid:104)(cid:95)(cid:105)(cid:106) (1)(cid:71)(cid:54)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36) 2022 (cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:17)(cid:13)(cid:93)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:107)(cid:25)(cid:103)(cid:104).(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:87)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:68)(cid:111) (cid:15)(cid:63)(cid:72)(cid:73)(cid:74) (cid:94)3(cid:21)(cid:95)5(cid:69) (cid:112)(cid:113)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:62)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37) (2)(cid:75)(cid:76)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:77)(cid:78) 2022(cid:87)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:88)(cid:89)I(cid:91)(cid:10)(cid:94)3 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:102)(cid:49)(cid:103)(cid:104)(cid:95)(cid:114)(cid:64)(cid:115)(cid:20) (cid:69)(cid:54)(cid:63)(cid:72)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (cid:21)(cid:95)5(cid:69) (cid:116)(cid:21)(cid:62)(cid:117)(cid:118)(cid:21)(cid:37)(cid:119)(cid:120)(cid:25)(cid:121)(cid:95)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126) (3)(cid:79)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:30)(cid:31)(cid:32) 2023(cid:87)(cid:96)(cid:97)(cid:91)(cid:10)(cid:94) 14(cid:21)(cid:95)5 (cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:79)(cid:83)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:13)(cid:62)(cid:54)(cid:70)(cid:110)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136) (cid:33)(cid:37)(cid:80)(cid:81)(cid:62)(cid:82)(cid:81)(cid:83)(cid:13)(cid:84)(cid:44) (cid:69) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:135)(cid:51)(cid:140)(cid:21)(cid:141)(cid:95)(cid:122)(cid:123)(cid:141)(cid:142).(cid:11)(cid:143)(cid:138)(cid:24) (cid:45) 2024 (cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:98)(cid:91)(cid:92)(cid:15)(cid:13)(cid:93)(cid:10) (cid:25)(cid:144)(cid:145)(cid:141)(cid:38)(cid:4)(cid:73)(cid:80)(cid:146)(cid:147)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:44)(cid:45) (4)(cid:15)(cid:54)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:37)(cid:30) (cid:94)9(cid:21)(cid:95)5(cid:69) (cid:81)(cid:148)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:83)(cid:149)(cid:150)(cid:37)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:15)(cid:54)(cid:95) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:85)(cid:86) 2024(cid:87)(cid:99)(cid:100)(cid:91)(cid:10)(cid:94)5(cid:21)(cid:95)5(cid:69) (cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:153)(cid:3)(cid:7)(cid:120)(cid:95)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:40) (cid:54). (cid:22)(cid:158)(cid:159)(cid:49)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:37)(cid:160)(cid:161)(cid:28) 1(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15) (1)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15) (cid:163)(cid:164) (cid:95) (cid:101)(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:37)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:46)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:147)(cid:106)(cid:172)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:37)(cid:173)(cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:95)(cid:127)(cid:174)(cid:175)(cid:127)(cid:166)(cid:147)(cid:176)(cid:13) (cid:95) (cid:95)(cid:177) .(cid:178) (cid:95) (cid:169)(cid:46)(cid:47)(cid:95)(cid:179)(cid:180)(cid:181){ (cid:95) }(cid:182)(cid:183)(cid:52)(cid:53)(cid:172)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:184)(cid:127)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:166)(cid:168)(cid:34)(cid:185). (2)(cid:36)(cid:15)(cid:37)(cid:176)(cid:186) (cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:158)(cid:95)(cid:187)(cid:188)(cid:173)(cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:138)(cid:189)(cid:136)(cid:34)(cid:185){ (cid:95) }(cid:37)(cid:85)(cid:86)(cid:190)(cid:156)(cid:157)(cid:69)(cid:54)——(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:37)(cid:173)(cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:191)(cid:187)(cid:115)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:173)(cid:73)(cid:169)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:167)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:95)(cid:172)(cid:192)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:37)(cid:176)(cid:186).2(cid:162)(cid:38)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:176)(cid:186) (cid:38)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:176)(cid:186)(cid:101)(cid:39)(cid:27)(cid:30)(cid:157)(cid:193)(cid:194)(cid:119)(cid:81)(cid:148)(cid:48)(cid:130)(cid:131)(cid:119)(cid:81)(cid:148)(cid:156)(cid:157)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:80)(cid:62)(cid:82)(cid:48)(cid:13)(cid:84)(cid:44) (cid:45).(cid:166)(cid:195)(cid:188)(cid:32)(cid:33)“(cid:197)(cid:198)”(cid:153)(cid:3)(cid:37)(cid:130)(cid:131)(cid:119)(cid:141)(cid:95)(cid:39)(cid:27)(cid:130)(cid:131)(cid:119)(cid:81)(cid:148)(cid:200)(cid:136)(cid:32)(cid:33)(cid:201)(cid:37)(cid:3)(cid:202). 3(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:21)(cid:37)(cid:166)(cid:195)(cid:203)(cid:204)(cid:10) (cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:21)(cid:37)(cid:166)(cid:195)(cid:203)(cid:204)(cid:101)(cid:10)(cid:205)(cid:20)(cid:116)(cid:166)(cid:168)(cid:34)(cid:185)(cid:95)(cid:206)(cid:44)(cid:27)(cid:207)(cid:34)(cid:185)(cid:188)(cid:85)(cid:86)(cid:58)(cid:134)(cid:208)(cid:52)(cid:53)(cid:209)(cid:32) (cid:33)(cid:37)(cid:119)(cid:120)(cid:95)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:44)(cid:45)(cid:112)(cid:54)(cid:55).(cid:4)(cid:73)(cid:165)(cid:166)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:138)(cid:169)(cid:165)(cid:34)(cid:185)(cid:190)(cid:37)(cid:69)(cid:54)(cid:101)(cid:169)(cid:165)(cid:37)(cid:95)(cid:213)(cid:138)(cid:214)(cid:168)(cid:34)(cid:185)(cid:190)(cid:37)(cid:69) (cid:54)(cid:191)(cid:101)(cid:215)(cid:166)(cid:37). (cid:22)(cid:158)(cid:159)(cid:49)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:72)(cid:54)(cid:21)(cid:216)(cid:217)(cid:28) 1(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:77)(cid:78)(cid:69)(cid:54)(cid:63)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (1)(cid:77)(cid:78)(cid:69)(cid:54) (cid:169)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:167)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:153)(cid:218)(cid:149)(cid:150)(cid:101)(cid:166)(cid:219)(cid:220)(cid:64)(cid:37)(cid:68)(cid:119)(cid:95)(cid:181)(cid:166)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:54)(cid:221)(cid:167)(cid:168)(cid:218)(cid:153)(cid:149)(cid:150)(cid:37)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:182)(cid:183)(cid:181)(cid:32)(cid:33) (cid:222)(cid:77)(cid:78)(cid:69)(cid:54). (2)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:138)(cid:30)(cid:31)(cid:150)(cid:131)(cid:42)(cid:43)(cid:202)(cid:141)(cid:95)(cid:224)(cid:83)x(cid:225)(cid:62)y(cid:225)(cid:226)(cid:32)(cid:153)(cid:165)(cid:37)(cid:167)(cid:168)(cid:227)(cid:228)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:229)(cid:221) (cid:95) (cid:95)(cid:230){ (cid:95) }(cid:222)(cid:221)(cid:34) (cid:185).(cid:147)(cid:106)(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:37)(cid:173)(cid:73)(cid:166)(cid:168)(cid:32)(cid:33) (cid:95)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:187)(cid:158)(cid:95)(cid:127)(cid:174)(cid:175)(cid:127)(cid:166)(cid:147)(cid:176)(cid:13)x(cid:95)y(cid:95)(cid:177)(cid:231) =x +y .(cid:172)(cid:232)(cid:95) (cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:37)(cid:173)(cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:191)(cid:187)(cid:50)x(cid:95)y(cid:215)(cid:166)(cid:233)(cid:36)(cid:95)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:127)(cid:234)(cid:13)(cid:147)(x(cid:95)y)(cid:182)(cid:183)(cid:32)(cid:33) (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:95)(cid:152)(cid:222) =(x,y)(cid:235).(cid:72)(cid:141)x (cid:182)(cid:183) (cid:138)x(cid:225)(cid:99)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:95)y(cid:182)(cid:183) (cid:138)y(cid:225)(cid:99)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:95)(cid:235)(cid:182)(cid:183)(cid:32)(cid:33) (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53). (cid:236)(cid:237)(cid:95) =(1,0)(cid:95) =(0,1)(cid:95) =(0,0). (3)(cid:49)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:83)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:3)(cid:202) (cid:52)(cid:53)(cid:119) (cid:32)(cid:33) =(x,y)(cid:141)(cid:201)(cid:27)(cid:142)(cid:9)(cid:238)(cid:239)(cid:95)(cid:240)(cid:49)A(x,y)(cid:141)(cid:201)(cid:241)(cid:127)(cid:142)(cid:9). (cid:120)(cid:169)(cid:165) (cid:242) (cid:49)A(x,y)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(x,y)(cid:52)(cid:53)(cid:49)A(cid:138)(cid:30)(cid:31)(cid:150)(cid:131)(cid:42)(cid:43)(cid:202)(cid:141)(cid:37)(cid:228)(cid:243)(cid:95) (cid:229) =(x,y)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(x,y)(cid:244)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:140)(cid:245)(cid:95)(cid:129)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:226)(cid:32). (cid:73)(cid:74) (cid:169)(cid:165) (cid:246)(cid:247)(cid:95)(x,y)(cid:244)(cid:187)(cid:115)(cid:52)(cid:53)(cid:49)(cid:95)(cid:129)(cid:187)(cid:115)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:248)(cid:249)(cid:128)(cid:38)(cid:250) (cid:251)(cid:49)(x,y)(cid:48)(cid:32)(cid:33)(x,y). (cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:83)(cid:72)(cid:253)(cid:49)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:169)(cid:166)(cid:36)(cid:153)(cid:165).(cid:254)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:255) (cid:252)(cid:202) (cid:49)(cid:138)(cid:256)(cid:49)(cid:128)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:83)(cid:32)(cid:33)(cid:253)(cid:49)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:153)(cid:165). 2(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:51)(cid:44)(cid:45)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (1)(cid:167)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:92)(cid:257)(cid:93)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (cid:50)(cid:106)(cid:32)(cid:33) =( , )(cid:95) =( , )(cid:142)(cid:258)(cid:106) = + (cid:95) = + (cid:95)(cid:184)(cid:115) + =( + )+( + )=( + ) +( + ) (cid:95)(cid:259) + =( + , + ).(cid:165)(cid:15)(cid:187)(cid:231) - =( - , - ). (cid:172)(cid:192)(cid:101)(cid:260)(cid:95)(cid:167)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:58)((cid:257))(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:69)(cid:229)(cid:142)(cid:106)(cid:172)(cid:167)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:153)(cid:38)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:58)((cid:257)). (2)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:84)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (cid:50) =(x,y)(cid:95)(cid:187)(cid:231) =x +y (cid:95)(cid:148) = (x +y )= x + y (cid:95)(cid:259) =( x, y). (cid:172)(cid:192)(cid:101)(cid:260)(cid:95)(cid:176)(cid:13)(cid:83)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:261)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:142)(cid:106)(cid:27)(cid:172)(cid:168)(cid:176)(cid:13)(cid:84)(cid:256)(cid:112)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:153)(cid:38)(cid:42)(cid:43).3(cid:162)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (1)(cid:167)(cid:32)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (cid:224) =( , )(cid:95) =( , )(cid:95)(cid:72)(cid:141) ≠0.(cid:179)(cid:180)(cid:158)(cid:262)(cid:95) (cid:95) (cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:263)(cid:64)(cid:85)(cid:86)(cid:101)(cid:264)(cid:138)(cid:176)(cid:13) (cid:95)(cid:177) = .(cid:163)(cid:164)(cid:27) (cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:95)(cid:187)(cid:265)(cid:221)( , )= ( , )(cid:95)(cid:259) (cid:95)(cid:266)(cid:267) (cid:95)(cid:231) - =0.(cid:172)(cid:192)(cid:101)(cid:260)(cid:95)(cid:32)(cid:33) (cid:95) ( ≠0) (cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:263)(cid:64)(cid:85)(cid:86)(cid:101) - =0. (2)(cid:130)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:53) (cid:178)A( , )(cid:95)B( , )(cid:95)C( , )(cid:130)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:95)(cid:148)(cid:127) = (cid:95) (cid:108)(cid:240)( - , - )= ( - , - )(cid:95)(cid:259)( - )( - )=( - )( - )(cid:95) (cid:48)(cid:50) = (cid:231)(cid:268)( - )( - )=( - )( - )(cid:95) (cid:48)(cid:50) = (cid:231)(cid:268)( - )( - )=( - )( - ). (cid:50)(cid:269)(cid:187)(cid:158)(cid:95)(cid:254)(cid:172)(cid:270)(cid:85)(cid:86)(cid:141)(cid:127)(cid:166)(cid:168)(cid:209)(cid:271)(cid:128)(cid:95)A,B,C(cid:130)(cid:49)(cid:46)(cid:47). 4(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:37)(cid:272)(cid:273) (1)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:114)(cid:64)(cid:101)(cid:39)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:80)(cid:62)(cid:82)(cid:62)(cid:13)(cid:84)(cid:44)(cid:45)(cid:37)(cid:81)(cid:148)(cid:112)(cid:156)(cid:157)(cid:40)(cid:54)(cid:37)(cid:95)(cid:178)(cid:274)(cid:158)(cid:127)(cid:32)(cid:47)(cid:275)(cid:167)(cid:276)(cid:49)(cid:37) (cid:42)(cid:43)(cid:95)(cid:148)(cid:38)(cid:205)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43). (2)(cid:54)(cid:21)(cid:212)(cid:277)(cid:141)(cid:95)(cid:278)(cid:39)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:153)(cid:142)(cid:72)(cid:42)(cid:43)(cid:153)(cid:165)(cid:172)(cid:166)(cid:256)(cid:148)(cid:95)(cid:211)(cid:212)(cid:200)(cid:226)(cid:277)((cid:279))(cid:112)(cid:156)(cid:157)(cid:40)(cid:54). (cid:22)(cid:226)(cid:81)(cid:272)(cid:273)(cid:83)(cid:280)(cid:134)(cid:28) 1(cid:162)(cid:178) (cid:83) (cid:169)(cid:46)(cid:47)(cid:95)(cid:174) (cid:95)(cid:148) . 2(cid:162)(cid:274)(cid:158)P(cid:221)(cid:47)(cid:275)AB(cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:178)A( , )(cid:95)B( , )(cid:95)(cid:148)P(cid:49)(cid:42)(cid:43)(cid:221) . 3(cid:162)(cid:274)(cid:158)(cid:281)ABC(cid:37)(cid:220)(cid:282)(cid:221)G(cid:95)(cid:178)A( , )(cid:95)B( , )(cid:95)C( , )(cid:95)(cid:148)G . (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:28) 1 (cid:22)(cid:283)1(cid:28)(cid:92)2024·(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)·(cid:288)(cid:289)(cid:93)(cid:138) (cid:141)(cid:95) = (cid:95)(cid:49) (cid:101) (cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:152) = (cid:95) = (cid:95)(cid:148) = 3 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐵𝐸 (cid:92) (cid:93) 1 1 2 1 1 1 2 1 A(cid:162) + B(cid:162) + C(cid:162) D(cid:162) 3 3 3 6 3 3 3 6 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎− 𝑏 𝑎− 𝑏 (cid:22)(cid:290)(cid:120)1-1(cid:28)(cid:92)2023·(cid:88)(cid:89)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:138) (cid:141)(cid:95)(cid:49)D(cid:138)(cid:194)AB(cid:99)(cid:174)(cid:294)(cid:295) =2(cid:95)E(cid:221)BC(cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:150)(cid:47) 𝐴𝐷 DE(cid:78)AC(cid:37)(cid:296)(cid:297)(cid:47)(cid:106)(cid:49)F(cid:95)(cid:148) =(cid:92) △ (cid:93) 𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐵 A(cid:162) +2 B(cid:162) 𝐵+𝐹2 C(cid:162)2 D(cid:162) + (cid:22)(cid:290)(cid:120)1𝐵-2𝐴(cid:28)(cid:92)𝐵2𝐶024·(cid:193)(cid:298)(cid:209)−(cid:191)𝐵·𝐴(cid:166)(cid:289)𝐵(cid:93)𝐶(cid:274)(cid:158)(cid:30)(cid:157)(cid:193)(cid:194)𝐵(cid:119)𝐴−𝐵𝐶 (cid:95)(cid:178)(cid:49) (cid:101)(cid:194)−2𝐵(cid:37)𝐴(cid:130)(cid:142)𝐵𝐶(cid:69)(cid:49)(cid:92)(cid:299)(cid:109)(cid:49) (cid:300)(cid:93)(cid:95)(cid:49) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀 𝐵𝐶 𝐵 (cid:101)(cid:194) (cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:150)(cid:47) (cid:83) (cid:153)(cid:78)(cid:106)(cid:49) (cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93) 𝐵𝐻 𝑁 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝑀𝑁 𝐻 𝐵𝐷2 2 1 1 A(cid:162) B(cid:162) C(cid:162) D(cid:162) 3 5 5 4 (cid:22)(cid:290)(cid:120)1-3(cid:28)(cid:92)2023·(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:185)·(cid:130)(cid:289)(cid:93)2000(cid:304)(cid:87)(cid:305)(cid:95)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:11)(cid:311)(cid:37)(cid:94)(cid:130)(cid:140)(cid:45)(cid:11)(cid:312)(cid:313)(cid:262)(cid:314)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:205)(cid:318)(cid:136)(cid:319) (cid:320)(cid:69)(cid:321).(cid:184)(cid:322)(cid:319)(cid:320)(cid:69)(cid:321)(cid:49)(cid:95)(cid:250)(cid:37)(cid:101)(cid:181)(cid:166)(cid:85)(cid:47)(cid:275)(cid:69)(cid:321)(cid:221)(cid:167)(cid:323)(cid:69)(cid:95)(cid:177)(cid:72)(cid:141)(cid:166)(cid:323)(cid:69)(cid:83)(cid:88)(cid:297)(cid:324)(cid:325)(cid:142)(cid:106)(cid:246)(cid:166)(cid:323)(cid:69)(cid:83)(cid:172)(cid:323) (cid:69)(cid:324)(cid:325)(cid:95)(cid:319)(cid:320)(cid:69)(cid:321)(cid:325)(cid:221) 5 .(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:138)(cid:326)(cid:119) (cid:141)(cid:95) (cid:83) (cid:153)(cid:78)(cid:106)(cid:49) (cid:95) 2 −1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 (cid:95)(cid:174)(cid:49) (cid:221)(cid:47)(cid:275) (cid:37)(cid:319)(cid:320)(cid:69)(cid:321)(cid:49)(cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93) 𝐵𝐹⊥𝐴𝐶,𝐷𝐻⊥𝐴𝐶,𝐴𝐸⊥𝐵𝐷,𝐶𝐺⊥𝐵𝐷 𝐸 𝐵𝑂 𝐵𝐹 A(cid:162) 5 +5 5 B(cid:162) 5 + 5 2 10 2 10 3− + 3− 5− 𝐵𝐴 𝐵𝐺 𝐵𝐴 𝐵𝐺 C(cid:162) 5 + 5 D(cid:162) 5 + 5 2 10 2 5 −1 5− 3− 𝐵𝐴 𝐵𝐺 𝐵𝐴 𝐵𝐺 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:39)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:28) (cid:22)(cid:283)2(cid:28)(cid:92)2024·(cid:327)(cid:328)(cid:328)(cid:329)·(cid:166)(cid:289)(cid:93)(cid:138) (cid:141)(cid:95)(cid:49) (cid:101)(cid:47)(cid:275) (cid:99)(cid:166)(cid:49)(cid:95)(cid:49) (cid:101)(cid:47)(cid:275) (cid:99)(cid:166)(cid:49)(cid:95)(cid:174) = (cid:95) 2 △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶 𝑃 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐷𝐴 = + (cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93) 3 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝜆𝐴𝐶 𝜆 1 1 2 5 A(cid:162) B(cid:162) C(cid:162) D(cid:162) 6 3 3 6 (cid:22)(cid:290)(cid:120)2-1(cid:28)(cid:92)2024·(cid:327)(cid:328)(cid:330)(cid:331)·(cid:130)(cid:289)(cid:93)(cid:138) (cid:141)(cid:95) (cid:138)(cid:194) (cid:99)(cid:95)(cid:174) = (cid:101)(cid:194) (cid:99)(cid:173)(cid:73)(cid:166)(cid:49)(cid:95) (cid:83) (cid:78)(cid:106)(cid:49) (cid:95)(cid:178) = + (cid:95)(cid:148) + △=𝐴𝐵(cid:92)𝐶 (cid:93)𝐸 𝐵𝐶 𝐸𝐶 3𝐵𝐸,𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐶𝐷 𝑃3 𝐶𝑃 𝑥𝐶𝐴 𝑦𝐶𝐵3 3𝑥 4𝑦 A(cid:162) B(cid:162) C(cid:162)3 D(cid:162)-3 4 4 − 3 (cid:22)(cid:290)(cid:120)2-2(cid:28)(cid:92)2024·(cid:88)(cid:89)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:138) (cid:141)(cid:95) = >0)(cid:95) = >0)(cid:95)(cid:178) = 4 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝑁 𝑡𝑁𝐶(𝑡 𝐵𝑃 𝜆𝑃𝑁(𝜆 𝐴𝑃 𝐴𝐶 1 (cid:95)(cid:148) + (cid:37)(cid:57)(cid:221)(cid:92) (cid:93) 4 − 𝐵𝐶 𝜆 𝑡 A(cid:162)7 B(cid:162)6 C(cid:162)5 D(cid:162)4 (cid:22)(cid:290)(cid:120)2-3(cid:28)(cid:92)2024·(cid:332)(cid:302)(cid:333)(cid:334)·(cid:130)(cid:289)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:138) (cid:141)(cid:95)(cid:49)D(cid:95)E(cid:69)(cid:229)(cid:138)(cid:194)AB(cid:95)BC(cid:99)(cid:95)(cid:174)(cid:335)(cid:221)(cid:299)(cid:109)B(cid:37) △𝐴𝐵𝐶(cid:193)(cid:142)(cid:69)(cid:49)(cid:95)CD(cid:83)AE(cid:78)(cid:106)(cid:49)F(cid:95)(cid:178) = + (cid:95)(cid:148) + =(cid:92) (cid:93) 𝐵𝐹 𝑥𝐴𝐵 𝑦𝐴𝐶 3𝑥 𝑦 3 1 1 A(cid:162) B(cid:162) C(cid:162) D(cid:162) 4 2 4 −1 − − − (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:28) (cid:22)(cid:283)3(cid:28)(cid:92)2024·(cid:88)(cid:89)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:138)(cid:30)(cid:31)(cid:150)(cid:131)(cid:42)(cid:43)(cid:202) (cid:103)(cid:95)(cid:274)(cid:158)(cid:49) ( ), =( )(cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93) A(cid:162)( ) B(cid:162)( ) C(cid:162)( 𝑥𝑂𝑦) 𝐴D−(cid:162)1(,10,1𝐴)𝐵 1,−2 𝑂𝐵 (cid:22)(cid:290)(cid:120)3-21,(cid:28)−3(cid:92)2024·(cid:332)(cid:302)·(cid:289)0(cid:291),−(cid:292)1(cid:293)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) =−2(,3 )(cid:95) =(3,2)(cid:95)(cid:49) ( )(cid:95)(cid:148)(cid:49)B(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:221) (cid:92) (cid:93) 𝐴𝐵 2,−1 𝐴𝐶 𝐶 −1,2 A(cid:162)( ) B(cid:162)(0,5) C(cid:162)( ) D(cid:162)( ) (cid:22)(cid:290)(cid:120)3-−2(cid:28)2,−(cid:92)12023·(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:298)·(cid:288)(cid:289)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) =2(,−5 )(cid:95) =(1,2)(cid:95) =2(,−9,14)(cid:95)(cid:178) = + (cid:95)(cid:148) + = (cid:92) (cid:93) 𝑎 2,−3 𝑏 𝑐 𝑐 𝑚𝑎 𝑛𝑏 𝑚 𝑛 A(cid:162)5 B(cid:162)6 C(cid:162)7 D(cid:162)8 (cid:22)(cid:290)(cid:120)3-3(cid:28)(cid:92)2024·(cid:88)(cid:89)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:138)(cid:339)(cid:119) (cid:141)(cid:95) = (cid:95)(cid:49) (cid:101)(cid:47)(cid:275) (cid:99)(cid:299)(cid:109) (cid:37)(cid:130)(cid:142)(cid:69)(cid:49)(cid:95)(cid:49) (cid:101) (cid:47)(cid:275) (cid:99)(cid:299)(cid:109) (cid:37)(cid:193)(cid:142)(cid:69)(cid:49)(cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐸 𝐶𝐵 𝐵 𝐹 𝐴𝐵6 𝐵4 𝐷𝐶 4 6 A(cid:162) + B(cid:162) + 5 15 15 5 𝐴𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐹 4 4 4 4 C(cid:162) + D(cid:162) + 5 15 15 5 𝐴𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐹 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:39)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:28) (cid:22)(cid:283)4(cid:28)(cid:92)2024·(cid:284)(cid:285)(cid:340)(cid:341)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:224)(cid:32)(cid:33) = 1 (cid:95) =(2, 2)(cid:95)(cid:178) // (cid:95)(cid:148)(cid:176)(cid:13) (cid:37)(cid:57)(cid:221)(cid:92) (cid:93) 2 A(cid:162) B(cid:162) 𝑎 C(cid:162)2 1,𝑘− 𝑏 𝑘 D(cid:162)1 𝑎 𝑏 𝑘 −2 −1 3 (cid:22)(cid:290)(cid:120)4-1(cid:28)(cid:92)2024·(cid:332)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:345)·(cid:288)(cid:289)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) =( +3)(cid:95) =( +1)(cid:95)(cid:148)“ = ”(cid:101)“ (cid:83) (cid:46) 4 (cid:47)”(cid:37)(cid:92) (cid:93) 𝑎 𝑚,2𝑚 𝑏 1,4𝑚 𝑚 − 𝑎 𝑏 A(cid:162)(cid:263)(cid:69)(cid:169)(cid:107)(cid:64)(cid:85)(cid:86) B(cid:162)(cid:107)(cid:64)(cid:169)(cid:263)(cid:69)(cid:85)(cid:86)C(cid:162)(cid:263)(cid:64)(cid:85)(cid:86) D(cid:162)(cid:244)(cid:169)(cid:263)(cid:69)(cid:346)(cid:169)(cid:107)(cid:64)(cid:85)(cid:86) (cid:22)(cid:290)(cid:120)4-2(cid:28)(cid:92)2023·(cid:88)(cid:89)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) =( ), =( ), =( )(cid:162)(cid:178)(cid:347)(cid:348)(cid:176)(cid:13) (cid:294)(cid:295) 𝑎 1,−1 𝑏 −1,2 𝑐 −3,3 𝑚,𝑛 + // (cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93) 𝑛 𝑛𝑎 𝑏 𝑏−𝑚𝑐 𝑚 1 1 A(cid:162)3 B(cid:162) C(cid:162) D(cid:162) 3 3 − −3 (cid:22)(cid:290)(cid:120)4-3(cid:28)(cid:92)2024·(cid:349)(cid:328)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) =(2 2+ )(cid:95) =( )(cid:95)(cid:72)(cid:141) >0(cid:95)(cid:178) // (cid:95)(cid:148)(cid:176) (cid:13) (cid:37)(cid:230)(cid:57)(cid:59)(cid:60)(cid:101)(cid:92) (cid:93) 𝑎 𝜆 1,𝜆 𝑏 𝜇,1 𝜆 𝑎 𝑏 𝜇A(cid:162)[2 2,+ ) B(cid:162)[2,+ ) C(cid:162)[ 2,+ ) D(cid:162)[1,+ ) (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:39)(cid:27)(cid:32)∞(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:48)∞(cid:49)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:28) ∞ ∞ (cid:22)(cid:283)5(cid:28)(cid:92)2024·(cid:332)(cid:342)(cid:350)(cid:351)·(cid:130)(cid:289)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) = (cid:83) = (cid:46)(cid:47)(cid:95)(cid:148)3 =(cid:92) (cid:93) A(cid:162)(1,10) B(cid:162)(5,10) 𝑎 C((cid:162)𝑚,(25),2)𝑏 (−2,−4) D(cid:162)(1,2)𝑎−𝑏 (cid:22)(cid:290)(cid:120)5-1(cid:28)(cid:92)2024·(cid:193)(cid:298)(cid:352)(cid:329)·(cid:288)(cid:289)(cid:93)(cid:274)(cid:158) (cid:95) (cid:69)(cid:229)(cid:221) (cid:37)(cid:194) (cid:95) (cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:178) =(3,4)(cid:95) ( )(cid:95)(cid:148)(cid:49) (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:221)(cid:92) (cid:93) 𝐷 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐵 −2,A−(cid:162)3 (4,5) 𝐶 B(cid:162)(1,1) C(cid:162)( ) D(cid:162)( ) (cid:22)(cid:290)(cid:120)5-2(cid:28)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:166)(cid:190)·(cid:349)(cid:353)(cid:354)(cid:355)·(cid:356)(cid:357)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:49)−5,−(17,3)(cid:95) ( )(cid:95)−8(,−11+1)(cid:95)(cid:178)A(cid:95)B(cid:95)C(cid:130)(cid:49)(cid:46) (cid:47)(cid:95)(cid:148) (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:221)(cid:92) (cid:93) 𝐴 𝐵 𝑚−5,1 𝐶 3,𝑚 𝐴𝐵 A(cid:162) ，2 B(cid:162) 2， C(cid:162) 2，2 D(cid:162) ， (cid:22)(cid:290)(cid:120)5- − 3(cid:28)2(cid:92)2024·(cid:327)(cid:328)(cid:358)(cid:359)·(cid:166)−(cid:289)2 (cid:93)(cid:224)(cid:32)(cid:33) =( )(cid:95) =( )(cid:95)(cid:178)(cid:32)−(cid:33)2 (cid:83)−2 (cid:46)(cid:47)(cid:95)(cid:148) + =(cid:92) (cid:93) A(cid:162)( ) B(cid:162)( ) 𝑎C(cid:162)2(,−1 ) 𝑏 𝑚,2 D(cid:162)( 𝑎 𝑎)−𝑏 𝑎 𝑏 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 − 2(cid:50),1(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:51)(cid:44)(cid:45)(cid:37)−2(cid:42),−(cid:43)1(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)−4(cid:60),2(cid:61)(cid:21)(cid:28) −2,−4 (cid:22)(cid:283)6(cid:28)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:166)(cid:190)·(cid:284)(cid:285)·(cid:356)(cid:141)(cid:93)(cid:138)(cid:326)(cid:119)ABCD(cid:141)(cid:95) =1(cid:95) =2(cid:95)(cid:360)(cid:49)P(cid:138)(cid:115)(cid:49)A(cid:221)(cid:361)(cid:282)(cid:37)(cid:227)(cid:228)(cid:361) (cid:99)(cid:162)(cid:178) = + R)(cid:95)(cid:148) + (cid:37)(cid:56)(cid:140)(cid:57)(cid:221)(cid:92)𝐴 𝐵 (cid:93) 𝐴𝐷 A(cid:162) 𝐴 3 𝑃 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐷 B (𝜆 (cid:162) ,𝜇∈ 5 𝜆 𝜇 C(cid:162) 5 D(cid:162)2 2 (cid:22)(cid:290)(cid:120)6-1(cid:28)(cid:92)2024·(cid:193)(cid:298)(cid:309)(cid:329)·(cid:166)(cid:289)(cid:93)(cid:138)(cid:150)(cid:131)(cid:362)(cid:119) (cid:95) (cid:95) // (cid:95) = =1(cid:95) =2(cid:95) (cid:95) (cid:69) (cid:229)(cid:221) (cid:95) (cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:49) (cid:138)(cid:115)A(cid:221)(cid:361)(cid:282)(cid:95) (cid:221)(cid:363)𝐴(cid:364)𝐵𝐶(cid:37)𝐷(cid:361)(cid:365)𝐴𝐵⊥𝐴𝐷(cid:99)(cid:290)𝐷(cid:360)𝐶 (cid:92)𝐴(cid:163)𝐵(cid:223)𝐴(cid:184)𝐷(cid:53)𝐷(cid:93)𝐶(cid:95)(cid:178) 𝐴𝐵= +𝐸 𝐹(cid:95) (cid:72)(cid:141)𝐴,𝐵 R𝐵(cid:95)𝐶(cid:148)2 (cid:37)(cid:230)𝑃(cid:57)(cid:59)(cid:60)(cid:101)(cid:92) (cid:93)𝐴𝐷 𝐷𝐸𝑀 𝐴𝑃 𝜆𝐸𝐷 𝜇𝐴𝐹 𝜆𝜇∈ 𝜆−𝜇A(cid:162)[ 2,1] B(cid:162)[ 2, 2] C(cid:162) 1 , 1 D(cid:162) 2, 2 2 2 2 2 (cid:22)(cid:290)(cid:120)6- − 2(cid:28)(cid:92)2023·(cid:301)(cid:342)(cid:366)−(cid:367)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:138)(cid:150)(cid:131)(cid:362)−(cid:119) (cid:141)(cid:95) (cid:95)− (cid:95) = =1(cid:95) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 𝐴𝐵∥𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐶 =2(cid:95)(cid:360)(cid:49) (cid:138)(cid:115)(cid:49) (cid:221)(cid:361)(cid:282)(cid:95)(cid:174)(cid:83)(cid:150)(cid:47) (cid:153)(cid:368)(cid:37)(cid:361)(cid:99)(cid:369)(cid:360)(cid:95)(cid:224) = + (cid:95)(cid:148) (cid:56)(cid:140)(cid:57) 𝜆 𝐴𝐵 𝑃 𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐷 𝜇𝐴𝐵(𝜆,𝜇∈𝑅) 𝜇 (cid:101) . (cid:22)(cid:290)(cid:120)6-3(cid:28)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:130)(cid:190)·(cid:329)(cid:370)·(cid:371)(cid:275)(cid:372)(cid:145)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:77)(cid:226)(cid:119) (cid:37)(cid:194)(cid:297)(cid:221)2(cid:95)(cid:141)(cid:282)(cid:221) (cid:95)(cid:193)(cid:168)(cid:363)(cid:361)(cid:37)(cid:361)(cid:282)(cid:335)(cid:221) (cid:77)(cid:226)(cid:119) (cid:373)(cid:194)(cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:92)(cid:163)(cid:223)(cid:93)(cid:95)(cid:178) (cid:138) (cid:99)(cid:95)(cid:174) =𝐴𝐵𝐶𝐷+ (cid:95)(cid:148) + (cid:37)(cid:56)(cid:140)𝑂(cid:57)(cid:221) (cid:162) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃 𝐵𝐶 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐷 𝜆 𝜇 (cid:166)(cid:62)(cid:227)(cid:20)(cid:21) 1(cid:162)(cid:92)2024·(cid:99)(cid:100)(cid:374)(cid:285)(cid:23)·(cid:130)(cid:289)(cid:93)(cid:189)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:37)(cid:166)(cid:279)(cid:32)(cid:33) (cid:62) (cid:95)(cid:148)(cid:115)(cid:190)(cid:193)(cid:279)(cid:32)(cid:33)(cid:141)(cid:169)(cid:375)(cid:376)(cid:209)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:34)(cid:185) 1 2 (cid:37)(cid:101)(cid:92) (cid:93) 𝑒 𝑒 A(cid:162)2 + (cid:58) B(cid:162) +3 (cid:58) +3 1 2 1 2 1 2 2 1 C(cid:162) 3𝑒 𝑒 (cid:58)𝑒2 −𝑒 D(cid:162) 𝑒 (cid:58) 𝑒+ 𝑒 𝑒 1 2 2 1 1 1 2 2(cid:162)(cid:92)2024𝑒·(cid:327)−(cid:328)𝑒 (cid:377)(cid:302)𝑒·(cid:288)−6(cid:289)𝑒(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) =( )(cid:95)𝑒 =𝑒( 𝑒)(cid:95)(cid:148)“ =2”(cid:101)“ ”(cid:37)(cid:92) (cid:93) A(cid:162)(cid:263)(cid:69)(cid:169)(cid:107)(cid:64)(cid:85)(cid:86) 𝑎 𝑡−3B,−(cid:162)1(cid:107)(cid:64)𝑏(cid:169)(cid:263)2(cid:69),𝑡(cid:85)(cid:86) 𝑡 𝑎∥𝑏 C(cid:162)(cid:263)(cid:64)(cid:85)(cid:86) D(cid:162)(cid:244)(cid:169)(cid:263)(cid:69)(cid:129)(cid:169)(cid:107)(cid:64)(cid:85)(cid:86) 3(cid:162)(cid:92)2024·(cid:284)(cid:328)(cid:378)(cid:379)·(cid:130)(cid:289)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:142)(cid:194) (cid:37)(cid:194)(cid:297)(cid:221)1(cid:95)(cid:49) (cid:69)(cid:229)(cid:221) (cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:178) =3 (cid:95)(cid:148) = (cid:92) (cid:93) △𝐴𝐵𝐶 𝐷,𝐸 𝐴𝐵,𝐵𝐶 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐹 1 5 1 3 A(cid:162) + B(cid:162) + 2 6 2 4 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶1 1 3 C(cid:162) + D(cid:162) + 2 2 2 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 1 4(cid:162)(cid:92)2024·(cid:88)(cid:89)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:274)(cid:158) ( )(cid:95) ( )(cid:95)(cid:174) = (cid:95)(cid:148)(cid:49) (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:221)(cid:92) (cid:93) 2 A(cid:162)(1,1) B(cid:162)( ) 𝑀 4,−2 𝑁 C −(cid:162)6, ( −4 ) 𝑀𝑃 − 𝑀 D 𝑁 (cid:162)( 𝑃 ) 5(cid:162)(cid:92)2024·(cid:332)(cid:302)(cid:380)(cid:381)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)9(cid:293),−(cid:93)1(cid:274)(cid:158)(cid:49)A(cid:95)B(cid:95)C(cid:95)−D2,(cid:221)2 (cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:169)(cid:165)(cid:37)(cid:193)(cid:49)2(cid:95),−(cid:178)1 =2 (cid:95)(cid:174) = ( )(cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93) 𝐵𝐷 𝐷𝐴−3𝐷𝐶 𝐴𝐶 −2A,1(cid:162)( 𝐴𝐵) B(cid:162)( ) C(cid:162)( ) D(cid:162)( ) 6(cid:162)(cid:92)20244,−·(cid:327)2(cid:328)(cid:382)(cid:298)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)−(cid:293)4(cid:93),2(cid:138) ABC(cid:141)(cid:95)(cid:49)D6(cid:221),−(cid:47)3 (cid:275)BC(cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:49)−E6,(cid:294)3(cid:295) =2 (cid:95)(cid:178) = + (cid:95)(cid:148) + (cid:37)(cid:57)(cid:221)(cid:92) (cid:93) △ 𝐶𝐸 𝐸𝐴 𝐴𝐵 𝜆𝐴𝐷 𝜇 𝐵𝐸 1𝜆 𝜇 1 1 1 A(cid:162) B(cid:162) C(cid:162) D(cid:162) 2 4 2 4 − − 2 7(cid:162)(cid:92)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:288)(cid:289)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) =(1,1), =( + )(cid:95)(cid:72)(cid:141) (cid:174) >0(cid:95)(cid:148) (cid:37)(cid:56)(cid:245)(cid:57)(cid:221)(cid:92) (cid:93) 𝑥 +𝑦 A(cid:162) 2+1 B(cid:162) 2+2 𝑎 𝑏 C 2(cid:162)𝑥 4 𝑦,2 𝑎 ∥ D 𝑏 (cid:162) 𝑥𝑦 2 𝑥𝑦 −1 8(cid:162)(cid:92)2024·(cid:349)(cid:353)(cid:302)(cid:211)·(cid:288)(cid:289)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:49) (cid:138)(cid:363)(cid:364)(cid:221)2(cid:37) (cid:99)(cid:44)(cid:360)(cid:95) = (cid:178) = + (cid:95)(cid:148) + (cid:37) 3 𝜋 𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑚𝑂𝐴 𝑛𝑂𝐵 𝑚 𝑛 (cid:56)(cid:140)(cid:57)(cid:221)(cid:92) (cid:93) A(cid:162)1 B(cid:162) 2 C(cid:162)2 3 D(cid:162) 3 3 (cid:288)(cid:62)(cid:304)(cid:20)(cid:21) 9(cid:162)(cid:92)2024·(cid:88)(cid:89)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:274)(cid:158)(cid:32)(cid:33) =(1,2), = .(cid:178) )//( )(cid:95)(cid:148) =(cid:92) (cid:93) A(cid:162) B(cid:162)0 𝑎 C𝑏(cid:162)1(−2,1) (𝑥𝑎−𝑏 D(cid:162)𝑎−2𝑥𝑏 𝑥 −1 1 10(cid:162)(cid:92)2023·(cid:352)(cid:285)(cid:383)(cid:381)·(cid:130)(cid:289)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:184)(cid:53)(cid:95)(cid:193)(cid:194)(cid:119) (cid:221)(cid:142)(cid:384)(cid:362)(cid:119)(cid:95) (cid:95) = (cid:95) (cid:95) (cid:69)(cid:229)(cid:221) (cid:95) 2 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷∥𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐹 𝐷𝐶 𝐴𝐸 (cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95)(cid:178) = + ( )(cid:95)(cid:148)(cid:92) (cid:93) 𝐴𝐷 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐵𝐹 𝜆,𝜇∈𝑅7 A(cid:162) = B(cid:162) =2 2 𝜆 𝜇 7 C(cid:162) = D(cid:162) =1 4 𝜆 𝜇 11(cid:162)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:130)(cid:99)·(cid:284)(cid:328)(cid:385)(cid:141)·(cid:371)(cid:275)(cid:372)(cid:145)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:77)(cid:226)(cid:119) (cid:141)(cid:95) (cid:221) (cid:141)(cid:49)(cid:95) (cid:221)(cid:47)(cid:275) (cid:99)(cid:37)(cid:360)(cid:49)(cid:95) = + (cid:95)(cid:148)(cid:190)(cid:200)(cid:134)(cid:208)(cid:77)(cid:233)(cid:37)(cid:101)(cid:92) (cid:93) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝑀 𝐴𝐷 𝐵𝑀 𝜆 𝐵𝐸 𝜇𝐵𝐷 3 A(cid:162)(cid:254) (cid:221)(cid:47)(cid:275) (cid:99)(cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:128)(cid:95) + = 2 𝑀 𝐴𝐷 𝜆 𝜇 1 B(cid:162) (cid:37)(cid:56)(cid:140)(cid:57)(cid:221) 2 𝜆𝜇 C(cid:162) (cid:37)(cid:230)(cid:57)(cid:59)(cid:60)(cid:221)[0,1] D(cid:162) 𝜇 + (cid:37)(cid:230)(cid:57)(cid:59)(cid:60)(cid:221) 1 ,2 2 𝜆 𝜇 (cid:130)(cid:62)(cid:117)(cid:118)(cid:21) 12(cid:162)(cid:92)2024·(cid:99)(cid:100)·(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:326)(cid:119) (cid:141)(cid:95) (cid:221) (cid:141)(cid:49)(cid:95) (cid:83) (cid:78)(cid:106)(cid:49) (cid:95)(cid:178)(cid:188) = (cid:95) = (cid:222) (cid:221)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:166)(cid:168)(cid:34)(cid:95)(cid:148)(cid:32)(cid:33) (cid:187)(cid:52)(cid:53)(cid:221)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (cid:92)(cid:27)𝐸 、𝐵𝐶(cid:52)(cid:53)(cid:93)𝐴.𝐸 𝐵𝐷 𝐹 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝐴𝐹 𝑎 𝑏 13(cid:162)(cid:92)2024·(cid:327)(cid:328)(cid:328)(cid:329)·(cid:288)(cid:289)(cid:93)(cid:32)(cid:33) = (cid:95) = (cid:95) = (cid:162)(cid:178) (cid:130)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:95)(cid:148) = (cid:162) 𝐴𝐵 (−3,6) 𝐴𝐶 (𝑚,5) 𝐶𝐷 (−1,4) 𝐴,𝐵,𝐷 𝑚 14(cid:162)(cid:92)2024·(cid:301)(cid:302)(cid:278)(cid:386)·(cid:166)(cid:289)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:193)(cid:194)(cid:119) (cid:101)(cid:194)(cid:297)(cid:221)1(cid:37)(cid:77)(cid:226)(cid:119)(cid:95)(cid:296)(cid:297)CD(cid:387)E(cid:95)(cid:177)(cid:231) ＝ (cid:162)(cid:360) (cid:49)P(cid:108)(cid:49)A(cid:136)(cid:388)(cid:95)(cid:389)(cid:77)(cid:226)(cid:119)(cid:37)(cid:194)(cid:390)(cid:391)(cid:128)(cid:392)(cid:226)𝐴(cid:32)𝐵𝐶(cid:44)𝐷(cid:360)(cid:166)(cid:393)(cid:394)(cid:268)A(cid:49)(cid:95) = + (cid:95)(cid:148) +𝐷(cid:37)𝐸 (cid:230)2(cid:57)𝐶𝐷(cid:59)(cid:60) (cid:221) (cid:162) 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐸 𝜆 𝜇(cid:193)(cid:62)(cid:54)(cid:395)(cid:21) 15(cid:162)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:166)(cid:190)·(cid:352)(cid:328)(cid:396)(cid:331)·(cid:371)(cid:275)(cid:372)(cid:145)(cid:93)(cid:274)(cid:158) (0,1)(cid:95) (3,2)(cid:95) ( )(cid:162) (1)(cid:178) =( )(cid:95)(cid:40) (cid:95) (cid:126) 𝐴 𝐵 𝐶 −1,5 (2)(cid:178)𝐴𝐵−=22𝐴𝐶 +4𝑚,𝑛(cid:95)(cid:40)(cid:49)𝑚 (cid:37)𝑛(cid:42)(cid:43)(cid:162) 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷 16(cid:162)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:166)(cid:190)·(cid:397)(cid:349)(cid:336)(cid:398)·(cid:356)(cid:357)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:138)(cid:142)(cid:384)(cid:362)(cid:119) (cid:141)(cid:95) = = = = (cid:95) (cid:95) (cid:69)(cid:229) (cid:221) (cid:95) (cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95) (cid:83) (cid:78)(cid:106)(cid:49) . 𝐴𝐵𝐶𝐷 2𝐴𝐷 2𝐷𝐶 2𝐶𝐵 𝐴𝐵 2𝑎 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝑀 (1)(cid:27) (cid:95) (cid:52)(cid:53) (cid:126) (2)(cid:40)𝐴(cid:47)𝐷(cid:275) 𝐴𝐸(cid:37)(cid:297).𝐵𝐹 𝐴𝑀 17(cid:162)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:166)(cid:190)·(cid:399)(cid:400)(cid:401)(cid:381)·(cid:356)(cid:141)(cid:93)(cid:32)(cid:33) =(3,2)(cid:95) =( )(cid:95) =(4,1)(cid:162) (1)(cid:40)(cid:294)(cid:295) = + (cid:37)(cid:176)(cid:13)m(cid:95)n(cid:126) 𝑎 𝑏 −1,2 𝑐 (2)(cid:178) +𝑎 /𝑚/𝑏2 𝑛𝑐 (cid:95)(cid:40)(cid:176)(cid:13)k(cid:162) 𝑎 𝑘𝑐 𝑏−𝑎18(cid:162)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:166)(cid:190)·(cid:329)(cid:370)(cid:402)(cid:403)·(cid:356)(cid:357)(cid:93)(cid:163)(cid:223)(cid:95)(cid:138) (cid:141)(cid:95)E(cid:95)H(cid:69)(cid:229)(cid:101)AD(cid:95)BC(cid:37)(cid:141)(cid:49)(cid:95) =2 (cid:95)G (cid:221)DF(cid:83)BE(cid:37)(cid:78)(cid:49)(cid:162) ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐹 𝐹𝐵 (1)(cid:152)(cid:32)(cid:33) = (cid:95) = (cid:95)(cid:404)(cid:115)(cid:32)(cid:33) (cid:95) (cid:221)(cid:34)(cid:185)(cid:52)(cid:53) (cid:95) (cid:126) (2)(cid:178) =𝐴𝐵 𝑎+ 𝐴𝐷(cid:95)(cid:40)𝑏 m(cid:95)n(cid:37)(cid:57)𝑎(cid:126) 𝑏 𝐵𝐸 𝐷𝐹 (3)(cid:40)(cid:405)𝐴𝐶(cid:10)A𝑚(cid:95)𝐵G𝐸(cid:95)H𝑛𝐷(cid:130)𝐹(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:162) 19(cid:162)(cid:92)23-24(cid:24)(cid:166)(cid:190)·(cid:327)(cid:328)(cid:358)(cid:359)·(cid:371)(cid:275)(cid:372)(cid:145)(cid:93)(cid:274)(cid:158) , (cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:347)(cid:348)(cid:32)(cid:33)(cid:95) =2 + , = 1 2 1 2 + , = + (cid:95)(cid:174) (cid:130)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:162) 𝑒 𝑒 𝐴𝐵 𝑒 𝑒 𝐵𝐸 − 1 2 1 2 (𝑒1)(cid:40)𝜆(cid:176)𝑒(cid:13)𝐸𝐶(cid:37)(cid:57)−(cid:126)2𝑒 𝑒 𝐴,𝐸,𝐶 (2)(cid:178) =𝜆(2,1), =( )(cid:95)(cid:40) (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:126) 1 2 (3)(cid:274)(cid:158)𝑒 (3,5)(cid:95)𝑒(cid:138)(cid:92)22(cid:93),−(cid:37)2(cid:85)(cid:86)(cid:190)𝐵𝐶(cid:95)(cid:178) (cid:193)(cid:49)(cid:390)(cid:406)(cid:128)(cid:392)(cid:406)(cid:234)(cid:376)(cid:209)(cid:30)(cid:157)(cid:193)(cid:194)(cid:119)(cid:95)(cid:40)(cid:49) (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:162) 𝐷 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 𝐴