文档内容
专题 6.1 平面向量的线性运算，基本定理
及坐标表示
题型一 平面向量的基本概念
题型二 平面向量的线性运算
题型三 已知平面向量的线性运算求参数
题型四 向量共线与三点共线
题型五 平面向量共线定理的推论
题型六 平面向量的坐标运算
题型七 平面向量基本定理
题型一 平面向量的基本概念
例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．向量的模可以比较大小 B．平行向量就是共线向量
C．对于任意向量 ，必有 D．对于任意向量 ，必有
例2．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）（多选）下列有关向量命题，正确的
是（ ）
A．若 ，则
B．已知 ，且 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则 且
练习1．（2023春·吉林·高三长春吉大附中实验学校校考期中）下列向量中不是单位向量
的是（ ）
A． B．
C． D．练习2．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）以下结论中错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若向量 ，则点 与点 不重合
C．方向为东偏南 的向量与北偏西 的向量是共线向量
D．若 与 是平行向量，则
练习3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中学校校考期中）（多选）下列叙述中正
确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．已知非零向量 与 且 // ，则 与 的方向相同或相反
D．对任一非零向量 是一个单位向量
练习4．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．若ABCD为平行四边形，则 B．若 ， ，则
C．互为相反向量的两个向量模相等 D．
练习5．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）（多选）下列说法正确
的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．向量 的长度与向量 的长度相等
C． 是与非零向量 共线的单位向量
D．若四边形 满足 ，则四边形 是矩形
题型二 平面向量的线性运算
例3．（2023春·吉林·高三校联考期中）已知 ， ，E为 的中点，记
， ，则 （ ）
A． B． C． D．例4．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD
中，下列计算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
练习6．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）化简
（ ）
A． B． C． D．
练习7．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，
，BC＝2AD，DE＝EC，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习8．（2023·河北·统考模拟预测）已知 为 所在平面内一点，且满足 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
练习9．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）如图，在平行四边形 中，
（ ）A． B． C． D．
练习10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）下列式子中，不能化简
为 的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 已知平面向量的线性运算求参数
例5．（2023·广东广州·统考模拟预测）在 中， 是 边上一点，且
是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·北京·高一专题练习）在 中，M，N分别是AB，AC的中点，若
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
练习11．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 的边 的中点为 ，
点 在 所在平面内，且 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
练习12．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）平行四边形ABCD中，点E满足
，则 （ ）
A． B．-1 C．1 D．练习13．（2023春·陕西·高三校联考期中）如图，在平行四边形 中，
.
(1)若 ，试用 表示 ；
(2)若 与 交于点 ，且 ，求 的值.
练习14．（2023春·四川成都·高一校考期中）在 中，点 ， 满足 ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
练习15．（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知在 中，点 为边 的中点，
若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
题型四 向量共线与三点共线
例7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中， ， 分别是与 轴、 轴
方向相同的单位向量，已知 ， ， ，若 与 共线，
则实数 的值为（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
例8．（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知 是平面内四个互不相同
的点， 为不共线向量， ， ， ，则（ ）
A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共
线 D．N，P，Q三点共线练习16．（2021春·高三课时练习）已知 为平面内所有向量的一组基底， ，
， ，则 与 共线的条件为（ ）
A． B．
C． D． 或
练习17．（2023春·四川成都·高三川大附中校考期中）设 ， 是两个不共线的非零向量，
则“ 与 共线”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 中任意两个都不共线，并且
与 共线， 与 共线，那么 等于（ ）
A． B．
C． D．
练习19．（2023春·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）（多选）设向量 、 是不共
线的两个平面向量，已知 ，其中 ， ，若P、Q、R三
点共线，则角 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
练习20．（2022春·高一课时练习）已知 三点共线， 是直线外一点，若
，则 ________．
题型五 平面向量共线定理的推论
例9．（2023春·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考期中）已知 三点共线于直
线 ，对直线 外任意一点 ，都有 ，则 的最小值为
________．
例10．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末） ABC中，D为AB上一点且满足 ，
若P为CD线段上一点，且满足 △ （ ， 为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为3
练习21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模） 中，点M是BC的中点，点N
为AB上一点，AM与CN交于点D，且 ， .则 （ ）.
A． B． C． D．
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知 为线段 上的任意一点， 为直线 外一
点， 关于点 的对称点为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
练习23．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知 是平行四边形 对角线上的一点，且
，其中 ，写出满足条件的 与 的一组 的值
__________．
练习24．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）如图所示，在 中，
为 边上一点，且 ，过 的直线 与直线 相交于 点，与直线 相交
于 点（ ， 两点不重合）.
(1)用 ， 表示 ；
(2)若 ， ，求 的最小值.
练习25．（2023秋·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考期末）在平行四边形 中， 分
别为 上的点，且 ，连接 ，与 交于点 ，若 ，则 的值为______.
题型六 平面向量的坐标运算
例11．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）（多选）已知向量
， // ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 ， ，若向量
，则可使 成立的 可能是（ ）
A． B． C． D．
练习26．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知向量 ，
， .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值.
练习27．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点
.
(1)求以线段 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)若实数 ， 满足 ，求 的值.
练习28．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若向量 ， ，
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，
则实数m的值为（ ）．A． B． C． D．1
练习30．（2023春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）已知向量 ，
，若 ，则m＝______．
题型七 平面向量基本定理
例13．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点， ， ，点P
在线段AB上，且 ，则点P的坐标为______．
例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）（多选）在下列各组
向量中，能作为平面的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
练习31．（2023·全国·高三专题练习）若 是一组基底，向量 ，则称 为
向量 在基底 下的坐标，现已知向量 在基底 下的坐标为 ，则
向量 在另一组基底 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
练习32．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在 中，
， ，直线 交 于点 ，若 则 _________ .
练习33．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 ．其中不能作
为平面内所有向量的一组基底的是_____．（写出所有满足条件的序号）
练习34．（2023·全国·高三专题练习）在 中，D是BC的中点，E是AD的中点，F
是CE的中点，记 ， ，则以 为基底表示向量 ______．
练习35．（2023·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O
点，线段OD上有点M满足 ，线段CO上有点N满足 ，设
，已知 ，则 _________．
