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期末难点特训三（和二次函数综合有关的压轴题）
1．如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线
段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点
P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜
90°），连接E′A、E′B，求E'A+ E'B的最小值．
【答案】（1） ， ；（2） 最大值为6，点P的坐标为( ， )；
（3）E'A+ E'B的最小值为
【分析】（1）把点（-1，0），B（0，3）代入 ，即可求得 的值，得到抛物线
的解析式令 ，求出抛物线与 轴交点，根据待定系数法可以确定直线AB的解析式；
（2）设点P的坐标为( ， )，则点N的坐标为( ， )，利用
，得到 ，利用二次函数的性质即可求解；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′= ，构造相似三角形，可以证明AM′就是E'A+ E'B的最小值．【详解】（1）∵抛物线 （m≠0）与x轴交于点（-1，0）与y轴交于点B（0，
3），
则有 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
令 ，得到 ，
解得： 或 ，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线AB解析式为 ；
（2）如图，
设点P的坐标为( ， )，
∵PE⊥ OA交直线AB于点N，交x轴于E，
∴点N的坐标为( ， )，∵ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为6，
此时点P的坐标为( ， )；
（3）如图中，在 轴上 取一点M′使得OM′= ，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．
∵OE′=2，OM′•OB= ，
∴OE′2=OM′•OB，
∴ ，
∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴ ，
∴M′E′= BE′，
∴E'A+ E'B=AE′+E′M′=AM′，此时E'A+ E'B最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值=AM′= ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、两点间线段
最短等知识，第(3)问解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E'A+ E'B的最小值．
2．如图1，抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 左侧），与 轴交于点 ，
连接 ，抛物线的对称轴直线 与 交于点 、与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，求证：点 在抛物线上；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 是抛物线上的动点，连接 、 ，当 时，请
直接写出直线 的解析式．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）① ；②
【分析】（1）根据抛物线与 轴交于点 ，可求出 ，然后根据抛物线的对称轴直线为
，可得 ，即可求解；
（2）连接 ，作 轴于点 ，令 得方程 ，可得到 ， ，
从而求出直线 的解析式为 ，进而可得 ，根据旋转的性质，可得
，从而 是等边三角形，可得 ，在 中，可得
， ，可得 ，然后代入抛物线解析式，即可求证；
（3）过点M作GK⊥x轴，作DG⊥GK于点G，作KN⊥GK于点K，根据 ， ，可得△BDE和△MDN是等腰直角三角形，可证得△DGM≌△MKN，得到点N ，根据
旋转知识可得△BDN是等边三角形，然后分两种情况讨论：当点P在点B的上方时；当点P在点
B的下方，分别求出即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∵对称轴 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，连接 ，作 轴于点 ，
令 ，得方程 ，
解得： ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，∴ ，
，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
，
∴ ，
对于
当 时，
∴点 在抛物线上；
（3）如图，过点M作GK⊥x轴，作DG⊥GK于点G，作KN⊥GK于点K，
∵ ， ，
∴DE=2，OE=1，OB=3，
∴BE=2，
∴BE=DE，∵DE⊥x轴，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴DM=NM，∠DMN=90°，
∴∠DMG+∠KMN=90°，
∵∠DMG+∠GDM=90°，
∴∠GDM=∠KMN，
∵∠G=∠K=90°，
∴△DGM≌△MKN，
MK=DG，KN=GM，
∵ ，
∴MK=DG= ，KN=GM=2-1=1，
∴点N ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴DB=DN，∠BDN=60°，
∴△BDN是等边三角形，
∴∠BND=60°，
当点P在点B的上方时，
∵ ，
∴∠DNP= ，
∴PN垂直平分BD，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴PN过点E，
设直线PN的解析式为
把点N ，E（1，0）代入，得：
，解得： ，
∴直线PN的解析式为 ；
当点P在点B的下方，记作 时，则∠DN =∠BND+∠BN =90°，
设直线DN的解析式为 ，
把点N ， 代入，得：
，
解得： ，
∴设直线DN的解析式为 ，
∵ ，
∴可设直线 的解析式为： ，
将把点N 代入，得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
综上所述，直线 的解析式为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，及一次函数的性质，图形旋转，全等三角形的判
定和性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想是解题的关键．
3．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y
轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接 ， 交于点E，求 的最大值；
（3）如图2，连接 ， ，过点O作直线 ，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探
究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使 ．若存在，请求出所有符合条件的点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，点P的坐标为 或
【分析】（1）把点的坐标直接代入函数解析式，计算即可；
（2）用二次函数的解析式表示点D的坐标，用点D的表示线段的比值，构造出二次函数，用二次
函数的最值求解即可；
（3）分点P在直线BQ的左右两侧求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ,点 ，
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4),
∴-2=-4a,
解得a= ，
∴y= (x+1)(x-4),
∴ ．（2）过点D作 轴于点G，交 于点F，过点A作 轴交 的延长线于点K，
∴ ，
∴ ，
∴
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ．
∴ ．
∴当 时， 有最大值，最大值是 ．（3）符合条件的点P的坐标为 或（ ．
∵ ，
∴直线l的解析式为 ，
设 ，
①当点P在直线 右侧时，如图2，过点P作 轴于点N，过点Q作 直线 于点
M，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得 ，
解得 （舍去）或 ．
∴ ．
②当点P在直线 左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为 ．
此时点P的坐标为 ．
综合所述，存在这样的点P，且坐标为为 或（ ．
【点睛】本 题考查了二次函数解析式的确定，最值的应用，一次函数解析式的确定，平行线的意
义，三角形的相似，存在性问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活用点的坐标表示比值构造二次
函数，活用分类思想是解题的关键．
4．如图1，抛物线 （ ）与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在线段
上有一动点 （不与 ， 重合），过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点 ．（1）分别求出抛物线和直线 的函数表达式；
（2）连接 、 ，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标；
（3）如图2，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 （ ），
连接 ， ，求 的最小值．
【答案】（1）抛物线 ，直线 解析式为 ；（2） ；（3）
【分析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由S=S +S = ×PN×OA= × =- x2+6x，即可求解；
PNA PNB
△ △
(3)在y轴上取一点M使得0M′= ，构造相似三角形，可以证明AM'就是E'A+ E'B的最小值 .
【详解】解：（1）∵抛物线 （ ）与 轴交于点 与 轴交于点 ，
则有 ，
解得 ，∴抛物线 ，
令 ，得到 ，
解得： 或 ，
∴ ， ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ；
（2）如图1中，设 ，则点 ，
则设 面积为 ，
则 ，
∵ ，故 有最大值，当 时， 的最大值为6，此时 ；
（3）如图，在 轴上取一点 使得 ，连接 ，在 上取一点 使得
OE′=OE．∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时 最小（两点间线段最短， ， 、 共线时），
最小值 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等
知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM'就是E'A+ E'B的最小值，属于中考压轴题.
5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；；（2）△BCD面积的最大值为27；（3）存在，点M坐标为（ ，
0）或（﹣ ，0）．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，先求出直线BC解析式，设点D坐标为（x，x2
﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），可求DE的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）过点M作MN⊥BC，连接CM，分两种情况讨论，当点M在原点右侧时，当点M'在原点左侧
时，点M与点M'关于原点对称，然后通过证明△AOC∽△MNC，可得 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣6；
（2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，、
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC解析式为y＝x﹣6，
设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），
∴DE＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵△BCD面积＝ ×DE×OB＝ （﹣x2+6x）×6＝﹣3（x﹣3）2+27，
∴当x＝3时，△BCD面积的最大值为27；
（3）存在，理由如下：
当点M在原点右侧时，过点M作MN⊥BC，连接CM，如图所示：
∵B（6，0），C（0，﹣6），A（﹣1，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝1，
∴∠OCB＝45°＝∠OBC，BC＝6 ，
∵∠ACO+∠OCM＝45°，
∴∠ACO＝∠BCM，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC＝90°＝∠AOC，∴△AOC∽△MNC，
∴ ，
∵MN⊥BC，∠OBC＝45°，
∴∠NMB＝∠MBN＝45°，
∴MN＝BN＝ BM＝ （6﹣OM）＝ ，
∴CN＝ ，
∴ ，
∴OM＝ ，
∴点M（ ，0）；
当点M'在原点左侧时，点M与点M'关于原点对称，如图所示，
∴点M'（﹣ ，0）；
综上所述：点M坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性
质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．如图1，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴
交于点C，OC＝OB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，
设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式；
（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是
否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图1中，过点Q作QN⊥OC于N，过点P作PM⊥OC于M，利用相似三角形的性质构建关
系式即可；
（3）如图2中，作ET平分∠OED，交OD于T，过点T作TR⊥DE于R．证明 EOT≌△ERT
（AAS），推出OT＝TR，EO＝ER＝m，设OT＝TR＝x，在Rt DTR中，根据D△T2＝TR2+DR2，构
建方程求出x，再利用相似三角形的性质，构建方程求出m的值△即可．
【详解】解：（1）∵OC＝OB＝10，
∴C（0，﹣10），B（10，0），
把C，B两点坐标代入y＝ x2+bx+c，得到 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣10；
（2）如图1中，过点Q作QN⊥OC于N，过点P作PM⊥OC于M．∵∠OCP+∠OCQ＝180°，∠OCP+∠PCM＝180°，
∴∠QCN＝∠PCM，
∵∠QNC＝∠PMC＝90°，
∴△QNC∽△PMC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
整理得m＝12﹣n；
（3）如图2中，作ET平分∠OED，交OD于T，过点T作TR⊥DE于R．
由题意A（﹣4，0），P（n， n2﹣ n﹣10），
∴直线PA的解析式为y＝ （n﹣10）x+n﹣10，
∴D（0，n﹣10），
∵m＝12﹣n，∴n=12－m，∴n－10=12－m－10=2－m，
∴D（0，2﹣m），
∴OD＝m﹣2，
∵∠TEO＝∠TER，∠EOT＝∠ERT＝90°，ET＝ET，
∴△EOT≌△ERT（AAS），
∴OT＝TR，EO＝ER＝m，
设OT＝TR＝x，
在Rt DTR中，∵DT2＝TR2+DR2，
△
∴（m﹣2﹣x）2＝x2+（ ﹣m）2，
∴x＝ ，
∵∠OED＝2∠EQB，∠OET＝∠TED，
∴∠OET＝∠EQB，
∵∠EOQ＝∠QEB＝90°，
∴△OET∽△EQB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
整理，得 = ，
两边平方并整理得： ，
∴ ，
解得m＝8或﹣6（舍）或2（舍）或0（舍），
∵m＝12﹣n，
∴n＝4，
∴P（4，﹣12）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，全
等三角形的判定和性质，分式方程的求解，相似三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
7．如图，直线l：x＝3，抛物线G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点为P，抛物线G与直线l交于点
Q．
（1）写出抛物线G的顶点P的坐标 （用m表示），点P的坐标所满足的函数关系式为
；
（2）求点Q的纵坐标yQ（用含m的代数式表示），并求yQ的最大值；
（3）随m的变化，G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径
的长．
【答案】（1） ； （2） ； 的最大值为 ；（3）点P在y轴与l
之间移动的路径长为 ．
【分析】（1）因为P为抛物线的顶点，所以求出抛物线的对称轴并带入抛物线，即可求出P点的
坐标，进而可求出P满足的函数关系式；
（2）Q在直线l上，可知Q的横坐标为x=3，将其代入抛物线方程y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3可得到
，开口向下，有最大值，求出其对称轴即可得到 的最大
值；
（3）先求出P的运动轨迹为y=x+3，分别求出P在y轴及l上时的坐标，根据两点之间的距离公式
即可求得路径长．
【详解】解：（1）由题意知：抛物线对称轴为 ，
将 代入抛物线解析式可得：， ，
∴P点的坐标为(m，m+3)，
∵m+3-m=3，
∴P点坐标满足y-x=3，即P的坐标满足的函数关系式为y-x=3，故答案为：(m，m+3)；y-x=3；
（2）∵Q在直线l上，可知Q的横坐标为x=3，
∴将x=3代入抛物线得： ，
∴ 可看作开口向下的抛物线，有最大值，其对称轴为 ，
将 代入 中，得： ，
∴ 的最大值为 ；
（3）由（1）知P的运动轨迹为y=x+3，
∴P点在y轴上时，x=0，y=3，P的坐标为(0，3)，
P点在直线l上时，x=3，y=6，P的坐标为(3，6)，
∴路径长为： ，
即点P在y轴与l之间移动的路径长为 ．
【点睛】本题考查二次函数综合知识，掌握二次函数解析式求法、最值及两点间的距离公式是解
题的关键．
8．如图，抛物线 与 轴相交于点 和点 ，与 轴相交于点 ，
作直线 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线 上方的抛物线上存在点 ，使 ，求点 的坐标；（3）在（2）的条件下，点 的坐标为 ，点 在抛物线上，点 在直线 上，当以
为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）点 坐标为 ；（3）
，
【分析】（1）将A、C点坐标分别代入抛物线中，联立即可求得a和c的值，从而求出抛物线解析
式；
（2）过点 作 轴交抛物线于点 ，则 ，过点 作 交抛物线
于点 ，设 ，借助 ，即可求得t的值，从而求得D点坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，设 ，分DF为边和DF为对角线两种情况讨论，表示
出M点坐标，代入抛物线中求得n的值，即可得出N点坐标．
【详解】解：（1）：抛物线 经过点
，解得
∴抛物线的解析式为
（2）过点 作 轴交抛物线于点 ，则
过点 作 交抛物线于点
过点 作 于点 ，则设点 的横坐标为 ，则
∵点 是 与 轴的交点
，
解得
的坐标为 ，
解得 （舍去），
∴点 的纵坐标为：
则点 坐标为
（3）设直线BC的解析式为： ，
将C（0,3），B（4，0）分别代入得，
，解得 ，∴直线BC的解析式为： ，
设 ，
①当FD为平行四边形的边时，
如图，当N点在M点左侧时，
则 即
整理得 ，即 ,
故 ，
解得： ，
此时 ；
同理当N点在M点右侧时可得 ，
故 ，
解得 ，此时 ；
①当FD为平行四边形的对角线时，
则 ,即
故 ，整理得 ，
该方程无解．
综上所述： ， ．
【点睛】本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函
数与平行四边形问题．（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构
造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，
可借助这一点结合图象表示M点坐标．
9．已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点．
（1）若 时．
①求 三点的坐标；
②如图1，点 是直线 上方抛物线上一点，过 点作 轴交 于 点，若 ，请
求出 点坐标；（2）如图2，将 绕原点 顺时针旋转得 ，且使得点 落在线段 上．当
时，请求出 的值和 的长．
【答案】（1）① ， ；② ；（2） ．
【分析】（1）①把 代入解析式，分别令x=0和y=0即可求出 三点的坐标；
②先根据 求出PF的值，再求出直线BC的解析式为，设 ，则
，然后利用PF=3列方程求解即可；
（2）先证明AB=BC=5，再根据勾股定理求出OC的长，即可求出a的值；过 作 ，根据
，可求出AH，然后利用 即可求出CE的值．
【详解】解：（1）若 时①原抛物线为 ，
当 时， ，即 ，
当y=0时，即 时，
∴(x+1)(x-4)=0，
解得 ，
即 ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把 代入，得
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
，
解得 ，
当m=1时，-m2+3m+4=-1+3+4=6；
当m=3时，-m2+3m+4=-9+9+4=4；
；
（2）由旋转的性质得．
，
，
，
，
，
即 ，
∴ ．
过 作 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
．
由旋转的性质得，OA=OD，OC=OE，
∴ ，
∵∠AOD+∠COD=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，即 ，
当y=0时，即 时，
∴(x+1)(x-4)=0，解得 ，
即 ；
∴OA=1，OC=3，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，勾股
定理，解一元二次方程，锐角三角函数，以及形似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴
题．
10．综合与探究：
如图1，抛物线y＝x2+ x+3与x轴交于C、F两点（点C在点F左边），与y轴交于点D，AD＝
2，点B坐标为（﹣4，5），点E为AB上一点，且BE＝ED，连接CD，CB，CE．
（1）求点C、D、E的坐标；
（2）如图2，延长ED交x轴于点M，请判断△CEM的形状，并说明理由；
（3）在图2的基础上，将△CEM沿着CE翻折，使点M落在点M'处，请判断点M'是否在此抛物
线上，并说明理由．
【答案】（1）点C的坐标是（﹣4，0），点D的坐标是（0，3），点E的坐标是（﹣ ，5）；
（2）△CEM的等腰三角形．理由见解析；（3）点M'不在此抛物线上．理由见解析.
【分析】（1）结合抛物线解析式求得点C、D的坐标；设EA=a，根据已知条件BE=ED列出方程
a2+22=（4-a）2，解方程即可求得a的值，易得点E的坐标；
（2） CEM的等腰三角形，利用全等三角形（ CBE≌△CDE）的性质得到∠BEC=∠CED，由平行线
△ △的性质和等量代换推知∠CED=∠ECM．所以EM=CM，证得 CEM的等腰三角形；
（3）点M'不在此抛物线上．设M（m，0）．由相似三角形△（ DOM∽△DAE）的对应边成比例求
得m的值，易得CM的长度，根据翻折的性质知EM=EM′．易得△四边形CMEM′是菱形．由菱形的对
边相等的性质可以求得点M′的坐标，将 代入函数解析式进行验证即可．
【详解】（1）如图1所示，
∵抛物线y＝x2+ x+3与x轴交于C，当y＝0时，x2+ x+3＝0．
解得x＝﹣ ，x＝﹣4．
1 2
∵点C在点F左边，
∴点C的坐标是（﹣4，0）．
当x＝0时，y＝3．
∴点D的坐标是（0，3）．
∵AD＝2，D（0，3），
∴OA＝5．
∵点B坐标为（﹣4，5），
∴BA∥x轴．
在Rt EAD中，设EA＝a，EB＝4﹣a．
又BE△＝ED，
∴DE＝4﹣a．
∴a2+22＝（4﹣a）2，得a＝ ．
∴点E的坐标是（ ，5）．
（2）如图2所示， CEM的等腰三角形．理由如下：
△由C（﹣4，0），D（0，3）知，OC＝4，OD＝3．
由勾股定理求得CD＝5．
又∵点B坐标为（﹣4，5），
∴CB＝5，CD＝CB．
又∵BE＝BD，
∴△CBE≌△CDE（SSS）．
∴∠BEC＝∠CED．
又∵BE∥CM，
∴∠BEC＝∠ECM，
∴∠CED＝∠ECM．
∴EM＝CM．
∴△MCE是等腰三角形．
（3）点M'不在此抛物线上．理由如下：
如图3所示，
设点M的坐标是（m，0）．
∵△DOM∽△DAE．
，即
解得m＝ ．
∵CM＝4+ ＝ ．由翻折可知，EM＝EM′．
∵CM＝EM，
∴四边形CMEM′是菱形．
∴EM′＝CM＝ ．
．
∴点M′的坐标是（ ，5）．
当m＝ 时，代入抛物线解析式y＝x2+ x+3，得
．
∴点M′不在此抛物线上．
【点睛】考查了二次函数综合题．需要综合运用二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求
出二次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识
点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
11．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）
的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线y＝﹣ x2﹣ x+2 与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为
；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为
N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以
点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请
说明理由．【答案】（1） ；（﹣2， ）；（1，0）；（2）N点坐标为（0， ﹣3）
或（ ， ）；（3）存在；E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣1，﹣ ）、F（﹣
4， ）．
【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的
坐标；
（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN＝AC，结合A点坐标，则可求得ON
的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可
求得∠NMP＝60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；
（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证
△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求
得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，
从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线 ，
∴其梦想直线的解析式为 ，联立梦想直线与抛物线解析式可得： ，
解得： 或 ，
∴A（﹣2， ），B（1，0），
故答案为： ；（﹣2， ）；（1，0）；
（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
在 中，
令y=0可求得x=﹣3或x=1，
∴C（﹣3，0），且A（﹣2， ），
∴AC= = ，
由翻折的性质可知AN=AC= ，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，
∵OD= ，
∴ON= ﹣3或ON= +3，
当ON= +3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0， ﹣3）；当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，
在Rt△AMD中，AD=2，OD=
∴∠DAM=60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，
∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，
∴MP= MN= ，NP= MN= ，
∴此时N点坐标为（ ， ）；
综上可知N点坐标为（0， ﹣3）或（ ， ）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，
则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ACK=∠EFH，
在△ACK和△EFH中，
∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF，
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH=CK=1，HE=AK= ，
∵抛物线对称轴为x=﹣1，
∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0， ），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴的距离为EH﹣OF= ﹣ = ，
即E点纵坐标为﹣ ，
∴E（﹣1，﹣ ）；
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（﹣3，0），且A（﹣2， ），
∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5， ），
设E（﹣1，t），F（x，y），
则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t= ，
∴x=﹣4，y= ﹣t，
代入直线AB解析式可得 ﹣t=﹣ ×（﹣4）+ ，
解得t=﹣ ，
∴E（﹣1，﹣ ），F（﹣4， ）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣1，﹣ ）、F（﹣4， ）．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四
边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理解题目中梦想直线的定义是解题的关
键，在（2）中确定出N点的位置，求得ON的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的位置是
解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
12．如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 位于点 的左侧），与 轴交
于点 ．已知 的面积是 ．
（1）求 的值；
（2）在 内是否存在一点 ，使得点 到点 、点 和点 的距离相等，若存在，请求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②， 是抛物线上一点， 为射线 上一点，且 、 两点均在第三象限内， 、
是位于直线 同侧的不同两点，若点 到 轴的距离为 ， 的面积为 ，且 ，
求点 的坐标．
【答案】（1）-3；（2）存在点 ，使得点 到点 、点 和点 的距离相等；（3） 坐
标为
【分析】（1）令 ，求出x的值即可求出A、B的坐标，令x=0，求出y的值即可求出点C的坐
标，从而求出AB和OC，然后根据三角形的面积公式列出方程即可求出 的值；
（2）由题意，点 即为 外接圆圆心，即点 为 三边中垂线的交点，利用A、C两点
的坐标即可求出 、 的中点 坐标，然后根据等腰三角形的性质即可得出线段 的垂直平分
线过原点，从而求出线段 的垂直平分线解析式，然后求出AB中垂线的解析式，即可求出点
的坐标；
（3）作 轴交 轴于 ，易证 ，从而求出 ，利用待定系数法和一次函
数的性质分别求出直线AC、BP的解析式，和二次函数的解析式联立，即可求出点P的坐标，然后
利用SAS证出 ，从而得出 ，设 ，利用平面直角坐标系中任意
两点之间的距离公式即可求出m，从而求出点Q的坐标．
【详解】解：（1）
令 ，即
解得 ，
由图象知：
，
∴AB=1
令x=0，解得y=
∴点C的坐标为
∴OC=解得： ， （舍去）
（2）存在，
由题意，点 即为 外接圆圆心，即点 为 三边中垂线的交点
， ，
， 、 的中点 坐标为
线段 的垂直平分线过原点，
设线段 的垂直平分线解析式为： ，
将点 的坐标代入，得
解得：
∴线段 的垂直平分线解析式为：
由 ， ，
线段 的垂直平分线为
将 代入 ，
解得：
存在点 ，使得点 到点 、点 和点 的距离相等
（3）作 轴交 轴于 ，则∴
、 到 的距离相等，
设直线 ，
将 ， 代入，得
解得
即直线 ，
∴设直线 解析式为：
直线经过点
所以：直线 的解析式为
联立 ，
解得：
点 坐标为
又 ，
，
设AP与QB交于点G
∴GA=GQ，GP=GB
，
在 与 中
，
，设
由 得：
解得： ， （当 时， ，故应舍去）
坐标为 ．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握求抛物线与坐标轴的交点坐标、利用待定系数
法求一次函数的解析式、三角形外心的性质、利用SAS判定两个三角形全等和平面直角坐标系中
任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．
13．如图1，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2，直线 ： 与 轴交于点 ， 点是 轴上一个动点，过点 作 轴，
与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，当点 、 、 、 四个点组成的四边形是平行四边
形时，求此时 点坐标.
(3)如图3，连接 和 ， 点是抛物线上一个动点，连接 ，当 时，求 点
的坐标.
【答案】(1) ；(2) ， ， ；(3) ，
.【分析】（1）把A、B、C三点坐标分别代入函数解析式得到三元一次方程组，解方程组即可；
（2）设 ，则 ， ，根据 轴，可表示出GH的长，根据
平行四边形的性质列方程解答即可；
（3）分两种情况讨论：① 在 上方，证 ② 在 下方，设 和 轴交于
点 ，过 作 ，过 作 轴于 ，证
【详解】(1)将 、 、 分别代入y=ax2+bx+c，得：
，
解得 ， ，
∴
(2)设 则 ，
∵ 轴
∴
∵四个点 、 、 、 组成平行四边形
∴
∴
解得： ， ，
∴ ， ，
(3)① 在 上方，如图所示，过 作 ，交 于
证明
∵∴
∴
∴ ，此时 在抛物线上，
∴
② 在 下方
和 轴交于点 ，过 作 ，过 作 轴于
证明
∵
∴
∴
设 ，则
∴
∴ ，解得
∴
∴ 表达式：
联立： ，解得 或 (舍)
∴【点睛】本题考查的是二次函数及其应用，能正确的作出辅助线把二次函数与几何图形结合是关
键，要注意分类讨论思想的应用.
14．已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.
(1)a、b的值；
(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持
顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹
的曲线MQˆ扫过的区域的面积；
(3)设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线
OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.
【答案】（1）a=1，b=4；（2）MQ扫过的面积为 ；（3） 或
【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
（2）连接MQ、DN后，由图可以发现曲线MQ扫过的面积正好是 ▱MQND的面积；连接QD，则
▱MQND的面积是两倍的△MQD的面积，所以这道题实际求的是△MQD的面积；由（1）的抛物
线解析式，不难求出顶点M的坐标，联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标；以
OQ为底，M、D两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD的面积，则此题可求．
（3）在平移过程中，抛物线的开口方向和大小是不变的，即二次项系数不变；抛物线的顶点始终
在直线OM上，根据直线OM的解析式（y= x）可表达出抛物线顶点的坐标（h， h），可据此先设出平移后的抛物线解析式；若求平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时顶点横坐
标的取值范围，那么就要考虑到两个关键位置：
①抛物线对称轴右侧部分经过C点时，抛物线顶点横坐标h的值；
②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时，h的值；
【详解】解：（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：
，
解得：a=1、b=4．
（2）连接MQ、QD、DN，
由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；
由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），
当x=0时，y=3，
∴Q（0，3）；
设直线OM的解析式为y=kx，
∴-2k=-1，
∴k= ，
∴直线OM：y= x，联立直线y=-2x+9，得：
，
解得．
则D（ ）；
曲线QM扫过的区域的面积：S=S =2S ；
MQND MQD
△
（3）由于抛物线的顶点始终在y= x上，可设其坐标为（h， h），设平移后的抛物线解析式为
y=（x-h）2+ h；
①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时，有：
h2+ h=9，解得：h= （依题意，舍去正值）
②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：
，
消去y，得：x2-（2h-2）x+h2+ h-9=0，
则：△=（2h-2）2-4（h2+ h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，
结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，h＜ 或h＞4．
【点睛】该题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的图相与性质，二
次函数的平移，一次函数与二次次函数交点坐标的求法，一元二次方程根的判别式等知识；（2）
题中，要通过观察图形找出曲线扫过的面积和平行四边形的面积之间的联系；最后一题中，要注
意“射线CD”这个条件及分类思想的运用．
15．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶
点为 ，连接 ， ， 与抛物线的对称轴 交于点 ．（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ，若 ，求点 的坐标；
（3）点 是对称轴 右侧抛物线上的动点，在射线 上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为
顶点的三角形与 相似？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2） 的坐标为 或 ；（3）在射线 上存在点 ，
使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，点 的坐标为 或 或
．
【分析】（1）直接将A（-1，0）和点B（4，0）代入 ，解出a，b的值即可
得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点 作
轴，交 轴于点 ，交 于点 ，设 ，则 ，根据三角形PBC
的面积，列出关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨
论结合图形，得出边之间的关系，即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线 过点 和点 ，∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得 ， ，∴ 的坐标为 或 ；
（3）存在；如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵抛物线 的对称轴为 ，
∴点 的横坐标为 ，
又∵点 在直线 上，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
∵点 是对称轴 右侧抛物线上的动点，点 在射线 上，
∴设 （ ），
①当 ， 时，如图2， ，
则 ，解得 或 （舍去），
∴此时点 的坐标为 ；
②当 ， 时，如图3， ，则 ，解得 或 （舍去），
∴此时点 的坐标为 ；
③当 ， 时，如图4， ， 过点N作 于点H，
∴ 是等腰直角三角形，
由（1）知点H的坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴HE=MH，
∴点H为EM的中点，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴点M的纵坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
故在射线 上存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，点 的坐标为
或 或 ．
【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的
性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助
线．
16．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点
A．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC的面积分
为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）存在，点D的坐标是（﹣4，5）或
（﹣8，45）；（3）点Q的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）．
【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线的表达式，利用配方法可得顶点坐标；
（2）解法一：设D(m，m2+2m﹣3)，求出直线AD的解析式，再求出与x轴的交点坐标，根据直线DA将四边形DBAC的面积分为3：5两部分，分两种情况，列方程解出即可求出对应的点D的坐
标；
解法二：确定E点分BC为3：5两部分，进而求E点坐标和AE解析式，直线AE再与抛物线求交
点即可；
（3）分三种情况，正确画图，并根据坐标平移的特点可得点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B(﹣3，0)，C(1，0)，
∴ ，解得： ，
∴该二次函数的解析式是y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，
∴顶点坐标为(﹣1，﹣4)；
（2）解法一：如图1，将x＝0代入y＝x2+2x﹣3中得：y＝﹣3，
∴A(0，﹣3)，
设D(m，m2+2m﹣3)，
设直线AD的解析式为：y＝kx+n，
则 ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为：y＝(m+2)x﹣3，
∴直线AD与x轴的交点E的坐标为( ，0)，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
①当 ＝ 时， ，
解得：m＝﹣4，m2+2m﹣3＝5，
∴D(﹣4，5)；
②当 ＝ 时， ＝ ，
解得：m＝﹣8，m2+2m﹣3＝45，
∴D(﹣8，45)；
综上，点D的坐标是(﹣4，5)或(﹣8，45)；
解法二：∵直线DA将四边形DBAC的面积分为3：5两部分，
∴ ＝ 或 ＝ ，
①当 时，CE= BC= ,
∴OE= ，
∴E(﹣ ，0)，
设直线AE的解析式为：y=kx+b，把A(0，﹣3)，E(﹣ ，0)，代入得
，
∴ ，
∴y＝﹣2x﹣3，
∴x2+2x﹣3＝﹣2x﹣3，
解得：x＝0（舍），x＝﹣4，
1 2
∴D(﹣4，5)；
②当 ＝ 时，同理得：D(﹣8，45)；
综上，点D的坐标是(﹣4，5)或(﹣8，45)；（3）分三种情况：
①如图2，以AB为边时，四边形ABPQ是平行四边形，
∵抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∴P的横坐标为﹣1，
∵A(0，﹣3)，B(﹣3，0)，
∴Q的横坐标为2，
当x＝2时，y＝22+2×2﹣3＝5，
∴Q（2，5）；
②如图3，以AB为边时，四边形ABQP是平行四边形，
同理得Q(﹣4，5)；
③如图4，以AB为对角线时，四边形AQBP是平行四边形，同理得Q(﹣2，﹣3)；
综上，点Q的坐标为(2，5)或(﹣4，5)或(﹣2，﹣3)．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象与坐标轴的交
点，二次函数图象与一次函数的交点，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的性质等知识，
第三问解决问题的关键是画出图形，分情况讨论思想的正确运用．
17．已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点D（0，﹣6），直线y＝﹣ x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）抛物线上点E位于第四象限，且在抛物线的对称轴的右侧，当△BCE的面积为32时，过点E
作平行于y轴的直线交x轴于Q，交BC于点F，在y轴上是否存在点K，使得以K、E、F三点为
顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点K的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在线段OB上有一动点P，直接写出 DP+BP的最小值和此时点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；（2）存在，K的坐标为（0， ），（0，﹣10），（0，
）或（0， ）；（3） DP+BP的最小值为24，此时点P的坐标为（2，0）
【分析】（1）先求出点B，C坐标，再将点B，C坐标代入抛物线解析式中，求解即可得出结论；
（2）利用△BCE的面积为32，求出点E，F坐标，再分三种情况，利用直角三角形的性质求解，
即可得出结论；
（3）先作出PM＝ DP，再判断出点M在x轴上时，所求的式子的值最小，再判断出
△DOP'∽△M'DP'，得出DP'＝ m，再用勾股定理求出m，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣ x+2过点B，C，
令y＝0，则﹣ x+2＝0，
∴x＝6，
令x＝0，则y＝2，
∴B（6，0），C（0，2），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和D（0，﹣6），∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6；
（2）由（1）得对称轴为直线x=2.5,设点Q（m，0）且m>2.5，则E（m，m2﹣5m﹣6），F（m，
﹣ m+2），
∵△BCE的面积为32，
∴ EF•（xB﹣xC）＝32，
∴ [﹣ m+2﹣（m2﹣5m﹣6）]•（6﹣0）＝32，
∴m＝4或m＝ （舍），
∴E（4，﹣10），F（4， ），
∵以K、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形，
当∠EFK＝90°时，
∴FK∥x轴，
∴K（0， ），
当∠FEK＝90°时，
∴EK∥x轴，
∴K（0，﹣10），
当∠EKF＝90°时，设K（0，k），
∴EK2+FK2＝EF2，
∴42+（k+10）2+42+（ ﹣k）2＝（ +10）2，
∴k＝ ，∴K（0， ），（0，﹣10），（0， ）或（0， ）；
（3）如图，
以点D为直角顶点作Rt△PDM，使DM＝3DP，
在Rt△PDM中，根据勾股定理，PM＝ ＝ DP，
要使 DP+BP最小，则有点B，P，M在同一条线上，
而点B，P在x轴上，
所以，点M在x轴上时， DP+BP最小，此时，点M记作M'，点P记作P'，
设P'（m，0），
∵∠DOP'＝∠M'DP'＝90°，∠OP'D＝∠DP'M'，
∴△DOP'∽△M'DP'，
∴ ，
∴ ，
∴DP'＝ m，
在Rt△DOP'中，OD＝6，根据勾股定理得，（ m）2﹣m2＝36，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴P（2，0），
∴ DP+BP＝ ×2 +（6﹣2）＝24，即 DP+BP的最小值为24，此时点P的坐标为（2，0）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，相似三角形的判
定和性质，勾股定理，构造出PM＝ DP是解本题的关键．
18．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，直线
与抛物线交于 、 两点．
（1）若 ，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下， ，点 为直线 上的动点，若 的最小值为 时，求 的
值；
（3）取线段 的中点 ， 可能是等腰直角三角形吗？若可能，求出 的值；若不可能，
请说明理由．
【答案】（1） ；（2）-5；（3） 或 或
【分析】（1）先求出点C坐标，根据 得出点A坐标，代入抛物线解析式求出m的值
即可得到结论；
（2）设点A关于DE对称点为 ，求出 的解析式为 ,联立 解析式求得点N的
坐标，进一步求出 ，连接 交DE于点P，知 的最小值是 ，即 ，
再列式求出B的值即可；
（3）当△ACM为等腰直角三角形时，分 ， 和 三种情况求解即可．【详解】解：（1）对于 ，当x=0时，y=m，
∴
∵
∴
将 代入 中，得，
解得 或 （舍去）
∴
∴抛物线的解析式为： ；
（2）∵直线DE的解析式为
设点A关于DE对称点为
∵
∴ 的解析式为
联立 解析式得
解得
∴
∵点 与点 关于点 对称，
∴点
连接 交DE于点P，可知，当且仅当点P在此处时， 的最小值是 ，
即
∴
解得 或
∵
∴
（3）由题可知，点
∵抛物线 ，直线DE：
∴联立可得
整理得，
∴
∴
即
∴点
当 时，
∴∴点
①当△ACM为等腰直角三角形，且 时，
解得 或 （舍去）
∴
②当△ACM为等腰直角三角形，且 时，
解得，
∴
③当△ACM为等腰直角三角形，且 时，
解得， 或 （舍去）
∴
综上所述， 或 或
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、
函数图象的交点等知识点．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度．
