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微重点 1 数列的递推关系
[考情分析] 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接
根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体
现出化归思想在数列中的应用.
考点一 构造辅助数列
例1 (1)(多选)已知数列{a }，下列结论正确的是 ( )
n
A.若a =2，a =a +n+1，则a =211
1 n+1 n 20
B.若a =1，a =2a +3，则a =2n-1-3
1 n+1 n n
a 1
C.若a =1，a = n ，则an=
1 n+1 1+3a 3n-2
n
D.若a =2，2(n+1)a -na =0，则a =n·2n
1 n n+1 n
(2)已知数列{a }满足a =t，a -2a =-n+1，若{a }是递减数列，则实数t的取值范围为 ( )
n 1 n+1 n n
A.(-1，1) B.(-∞，0)
C.(-1，1] D.(1，+∞)
[规律方法] (1)形如a -a =f(n)的数列，利用累加法求a .
n+1 n n
a
n+1
(2)形如 =f(n)的数列，利用累积法求a .
a n
n
qa
n
(3)形如a = (p，q≠0)的数列，取倒数构造等差数列求通项.
n+1 pa +q
n
(4)若数列{a }满足a =pa +q(p≠0，1；q≠0)，构造a +λ=p(a +λ).
n n+1 n n+1 n
(5)若数列{a }满足a =pa +f(n)(p≠0，1)，构造a +g(n+1)=p[a +g(n)].
n n+1 n n+1 n
a n·2n
跟踪演练1 (1)已知数列{a }满足
n+1=
，其中a =1，则a 等于 ( )
n a n+1 1 8
n
A.28 B.220
C.225 D.228
(2)(2024·晋中模拟)若数列{a }满足a =1，a =4，且对任意的n≥2(n∈N*)都有a -2a +a =2，则
n 1 2 n+1 n n-1
1 1 1 1
+ + +…+
等于 ( )
a -1 a -1 a -1 a -1
2 3 4 2 024
3 1( 1 1 ) 1
A. - + B.
4 2 2 023 2 024 2
3 1( 1 1 ) 1 012
C. - + D.
4 2 2 024 2 025 2 025
考点二 利用a 与S 的关系
n na 1
例2 已知数列{a }的前n项和为S ，且S =
n+
.
n n n 2 a
n
(1)证明：数列{S2 }是等差数列；
n
(2)设数列{b }的前n项积为T ，若T =S2，求数列{b }的通项公式.
n n n n n
[规律方法] 在处理S ，a 的式子时，一般情况下，如果要证明f(a )为等差(等比)数列，就消去S ，如果要
n n n n
证明f(S )为等差(等比)数列，就消去a .但有些题目要求求{a }的通项公式，表面上看应该消去S ，但这会
n n n n
导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去a ，求出S ，然后利用a =S -S (n≥2)求出
n n n n n-1
a (n≥2).
n
{ a }
跟踪演练2 (1)(2024·天津模拟)设数列{a }满足a +2a +3a +…+na =2n+1(n∈N*)，则数列 n 的前10
n 1 2 3 n n+1
项和为 ( )
20 11
A. B.
11 6
51 23
C. D.
22 6
(2)(2024·佛山模拟)设数列{a }的前n项之积为T ，满足a +2T =1(n∈N*)，则a 等于 ( )
n n n n 2 024
1 011 1 011
A. B.
1 012 1 013
4 047 4 048
C. D.
4 049 4 049答案精析
例1 (1)ACD [A项，a -a
n+1 n
=n+1，
∴a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+a =20+19+18+…+2+2=211，故A正确；
20 20 19 19 18 2 1 1
B项，方法一 ∵a =2a +3，
n+1 n
∴a +3=2(a +3)，
n+1 n
∴数列{a +3}是以a +3=4为首项，2为公比的等比数列，
n 1
∴a +3=4·2n-1=2n+1，
n
故a =2n+1-3，故B错误；
n
方法二 若a =2n-1-3，
n
则a =21-1-3=-2≠1，故B错误；
1
a
n
C项，∵a = ，a =1，
n+1 1+3a 1
n
则a ≠0，
n
1 1+3a 1
n
∴ = = +3，
a a a
n+1 n n
1 1
∴ - =3，
a a
n+1 n
{1 } 1
∴数列 是以 =1为首项，3为公差的等差数列，
a a
n 1
1
∴ =1+(n-1)×3=3n-2，
a
n
1
∴a = ，故C正确；
n 3n-2
D项，∵2(n+1)a -na =0，
n n+1
a 2a
∴ n+1 = n ，
n+1 n
{a } a
∴数列 n 是以 1=2为首项，2为公比的等比数列，
n 1
a
∴ n =2·2n-1=2n，
n
∴a =n·2n，故D正确.]
n
(2)B [将a -2a =-n+1整理得a -(n+1)=2(a -n)，
n+1 n n+1 n
又a -1=t-1，
1易知当t=1时，a =1，a =2，
1 2
不满足{a }是递减数列，
n
故t≠1，
因此数列{a -n}是以t-1为首项，
n
2为公比的等比数列，
故a -n=(t-1)2n-1，
n
因此a =n+(t-1)2n-1，
n
由于{a }是递减数列，故a 1，
1
故1-t> ，
2n-1
1
因此1-t> =1，解得t<0.]
21-1
跟踪演练1 (1)C (2)C
例2 (1)证明 当n=1时，
a 1
a = 1+ ，
1 2 a
1
得a2 =2，即S2
=2，
1 1
当n≥2时，
S -S 1
S = n n-1+ ，
n 2 S -S
n n-1
S +S 1
所以
n n-1=
，
2 S -S
n n-1
所以S2 -S2 =2，故数列{S2 }是以S2
=2为首项，2为公差的等差数列.
n n-1 n 1
(2)解 由(1)知，
S2=2+(n-1)×2=2n，
n
得T =2n，
n
当n≥2时，
T 2n n
n
b = = = ，
n T 2(n-1) n-1
n-1
当n=1时，b =T =2，不符合上式，
1 1
{
2,n=1,
故b = n
n ,n≥2.
n-1跟踪演练2 (1)C (2)C
