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专题三 微重点 1 数列的递推关系
(分值：70分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·唐山模拟)已知数列{a }满足a =a +a +2n，a =130，则a 等于( )
n n+1 n 1 10 1
A.1 B.2
C.3 D.4
1
2.(2024·合肥模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，首项a =-1，且满足S - +2=a (n≥2)，则S 等于( )
n n 1 n S n 6
n
1 3
A. B.
3 7
7 17
C. D.
17 41
a a +2n-2 1 1 1 1
3.(2024·西安模拟)若数列{a }满足a =4， n= n-1 (n≥2)，则 + + +…+ 等于( )
n 1 n n-1 a a a a
1 2 3 2 024
2 021 1 012
A. B.
2 025 2 025
1 2 023
C. D.
4 4 048
4.(2024·衡阳模拟)已知数列{a }满足a =1，a =1，a =2a +3a (n≥2)，数列{a }的前n项和为S ，则S 等
n 1 2 n+1 n n-1 n n 2 023
于( )
32 024-1 32 024-4
A. B.
2 8
32 025-2 32 023+1
C. D.
2 4
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，若S =2S +n-1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
n n 1 n+1 n
A.数列{S +n}为等比数列
n
B.数列{a }的通项公式为a =2n-1-1
n n
C.数列{a +1}为等比数列
n
D.数列{2S }的前n项和为2n+2-n2-n-4
n
1 1 1
6.(2024·鹰潭模拟)已知数列{a }满足a =1，a =a + a + a +…+ a (n≥2)，则( )
n 1 n 1 2 2 3 3 n-1 n-1
a n
n
A.a =1 B. =
2 a n-1
n-1
{1,n=1,
n
C.a = D.a = n
n 2 n ,n≥2
2三、填空题(每小题5分，共10分)
1
7.(2024·乐山模拟)在数列{a }中，已知a = ，(n+2)a =na ，则数列{a }的前2 024项和S = .
n 1 2 n+1 n n 2 024
8.(2024·茂名模拟)已知T 为正项数列{a }的前n项的乘积，且a =2，T2 =an+1，则a = .
n n 1 n n 5
四、解答题(共28分)
n S
9.(13分)(2024·绍兴模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，且a =2，S = a ，设b = n.
n n 1 n n+2 n+1 n n
(1)求证：数列{b }为等比数列；(7分)
n
(2)求数列{S }的前n项和T .(6分)
n n
10.(15分)(2024·六安模拟)设数列{a }满足a =3，a =3a -4n.
n 1 n+1 n
(1)求数列{a }的通项公式；(7分)
n
4n2+8n+5
(2)若b = ，求数列{b }的前n项和S .(8分)
n a a n n
n n+1答案精析
1.D 2.D 3.B 4.D 5.AD 6.AD
2 024
7.
2 025
8.32
解析
由T2 =an+1 ，得T2 =an+2
，
n n n+1 n+1
T2 an+2
于是a2
=
n+1
=
n+1
，
n+1 T2 an+1
n n
则an =an+1
，
n+1 n
又a >0，两边取对数得
n
nlg a =(n+1)lg a ，
n+1 n
lg a lg a
因此
n+1= n
，
n+1 n
{lg a }
n
所以数列 是常数列，
n
lg a lg a
则 n= 1=lg 2，
n 1
即lg a =nlg 2=lg 2n，
n
所以a =2n，a =32.
n 5
n
9.(1)证明 因为S = a
n n+2 n+1
n
= (S -S )，
n+2 n+1 n
即(n+2)S =n(S -S )，
n n+1 n
即nS =(2n+2)S ，
n+1 n
S 2S
则
n+1= n
，
n+1 n
S
即b =2b ，又b = 1=a =2，
n+1 n 1 1 1
故数列{b }是以2为首项，2为公比的等比数列.
n
S
(2)解 由(1)知b =2n，即 n=2n，得S =n·2n，
n n n
则T =1·21+2·22+…+n·2n，
n
有2T =1·22+2·23+…+n·2n+1，
n则T -2T =-T
n n n
=2+22+23+…+2n-n·2n+1
2(1-2n
)
= -n·2n+1
1-2
=2n+1-2-n·2n+1
=(1-n)2n+1-2，
故T =(n-1)2n+1+2.
n
10.解 (1)因为a =3a -4n，
n+1 n
设a +x(n+1)+y
n+1
=3(a +xn+y)， ①
n
展开整理，
得a =3a +2xn+2y-x，
n+1 n
对照a =3a -4n，
n+1 n
{ 2x=-4, {x=-2,
可得 解得
2y-x=0, y=-1,
故①式为a -[2(n+1)+1]
n+1
=3[a -(2n+1)]，
n
当n=1时，a -3=0，即数列{a -(2n+1)}是各项为0的常数列，
1 n
故a =2n+1.
n
4n2+8n+5
(2)因为b =
n a a
n n+1
4n2+8n+5
=
(2n+1)(2n+3)
1 1
=1+ - ，
2n+1 2n+3
(1 1) (1 1) ( 1 1 ) 1 1 ( 2 )
所以数列{b }的前n项和S =n+ - + - +…+ - =n+ - =n 1+ .
n n 3 5 5 7 2n+1 2n+3 3 2n+3 6n+9
