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微重点 1 数列的递推关系
[考情分析] 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接
根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体
现出化归思想在数列中的应用.
考点一 构造辅助数列
例1 (1)(多选)已知数列{a }，下列结论正确的是( )
n
A.若a =2，a =a +n+1，则a =211
1 n+1 n 20
B.若a =1，a =2a +3，则a =2n-1-3
1 n+1 n n
a 1
C.若a =1，a = n ，则a =
1 n+1 1+3a n 3n-2
n
D.若a =2，2(n+1)a -na =0，则a =n·2n
1 n n+1 n
答案 ACD
解析 A项，a -a =n+1，
n+1 n
∴a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+a =20+19+18+…+2+2=211，故A正确；
20 20 19 19 18 2 1 1
B项，方法一 ∵a =2a +3，
n+1 n
∴a +3=2(a +3)，
n+1 n
∴数列{a +3}是以a +3=4为首项，2为公比的等比数列，
n 1
∴a +3=4·2n-1=2n+1，
n
故a =2n+1-3，故B错误；
n
方法二 若a =2n-1-3，
n
则a =21-1-3=-2≠1，故B错误；
1
a
n
C项，∵a = ，a =1，则a ≠0，
n+1 1+3a 1 n
n
1 1+3a 1
n
∴ = = +3，
a a a
n+1 n n
1 1
∴ - =3，
a a
n+1 n
{1 } 1
∴数列 是以 =1为首项，3为公差的等差数列，
a a
n 1
1
∴ =1+(n-1)×3=3n-2，
a
n
1
∴a = ，故C正确；
n 3n-2
D项，∵2(n+1)a -na =0，
n n+1a 2a
∴ n+1 = n ，
n+1 n
{a } a
∴数列 n 是以 1=2为首项，2为公比的等比数列，
n 1
a
∴ n =2·2n-1=2n，
n
∴a =n·2n，故D正确.
n
(2)已知数列{a }满足a =t，a -2a =-n+1，若{a }是递减数列，则实数t的取值范围为( )
n 1 n+1 n n
A.(-1，1) B.(-∞，0)
C.(-1，1] D.(1，+∞)
答案 B
解析 将a -2a =-n+1整理得a -(n+1)=2(a -n)，
n+1 n n+1 n
又a -1=t-1，易知当t=1时，a =1，a =2，不满足{a }是递减数列，故t≠1，
1 1 2 n
因此数列{a -n}是以t-1为首项，2为公比的等比数列，
n
故a -n=(t-1)2n-1，
n
因此a =n+(t-1)2n-1，
n
由于{a }是递减数列，故a 1，故1-t> ，
2n-1
1
因此1-t> =1，解得t<0.
21-1
[规律方法] (1)形如a -a =f(n)的数列，利用累加法求a .
n+1 n n
a
n+1
(2)形如 =f(n)的数列，利用累积法求a .
a n
n
qa
n
(3)形如a = (p，q≠0)的数列，取倒数构造等差数列求通项.
n+1 pa +q
n
(4)若数列{a }满足a =pa +q(p≠0，1；q≠0)，构造a +λ=p(a +λ).
n n+1 n n+1 n
(5)若数列{a }满足a =pa +f(n)(p≠0，1)，构造a +g(n+1)=p[a +g(n)].
n n+1 n n+1 n
a n·2n
跟踪演练1 (1)已知数列{a }满足
n+1
= ，其中a =1，则a 等于( )
n a n+1 1 8
n
A.28 B.220 C.225 D.228
答案 C
a 1 a 2 a 7
解析 由题意，得 2 = ×21， 3 = ×22，…， 8 = ×27.
a 2 a 3 a 8
1 2 7a a a 1 2 7
2 3 8
由累乘法，得 × ×…× = ×21× ×22×…× ×27，
a a a 2 3 8
1 2 7
即 a a 8 = 8 1 ×21×22×…×27= 21+ 2 2+ 3 …+7 = 2 7(1 2 +7) -3=225，
1
又a =1，所以a =225.
1 8
1
(2)(2024·晋中模拟)若数列{a }满足a =1，a =4，且对任意的n≥2(n∈N*)都有a -2a +a =2，则 +
n 1 2 n+1 n n-1 a -1
2
1 1 1
+ +…+ 等于( )
a -1 a -1 a -1
3 4 2 024
3 1( 1 1 )
A. - +
4 2 2 023 2 024
1
B.
2
3 1( 1 1 )
C. - +
4 2 2 024 2 025
1 012
D.
2 025
答案 C
解析 因为对于任意的n≥2(n∈N*)都有a -2a +a =2，
n+1 n n-1
则(a -a )-(a -a )=2，
n+1 n n n-1
令b =a -a ，
n n+1 n
所以b -b =2(n≥2)，又b =a -a =3，
n n-1 1 2 1
所以数列{b }是以3为首项，2为公差的等差数列，
n
所以b =3+(n-1)·2=2n+1，
n
所以a =a +(a -a )+(a -a )+…+(a -a )=a +b +b +…+b
n 1 2 1 3 2 n n-1 1 1 2 n-1
(n-1)(3+2n-1)
=1+ =n2(n≥2)，
2
1 1 1
则 = =
a -1 n2-1 (n+1)(n-1)
n
1( 1 1 )
= - (n≥2)，
2 n-1 n+1
1 1 1 1
所以 + + +…+
a -1 a -1 a -1 a -1
2 3 4 2 024
1( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1- + - + - +…+ - + -
2 3 2 4 3 5 2 022 2 024 2 023 2 025
1( 1 1 1 )
= 1+ - -
2 2 2 024 2 0253 1( 1 1 )
= - + .
4 2 2 024 2 025
考点二 利用a 与S 的关系
n n
a 1
例2 已知数列{a }的前n项和为S ，且S = n+ .
n n n 2 a
n
(1)证明：数列{S2 }是等差数列；
n
(2)设数列{b }的前n项积为T ，若T =S2，求数列{b }的通项公式.
n n n n n
a 1
(1)证明 当n=1时，a = 1+ ，
1 2 a
1
得a2 =2，即S2
=2，
1 1
S -S 1
当n≥2时，S = n n-1+ ，
n 2 S -S
n n-1
S +S 1
所以
n n-1=
，
2 S -S
n n-1
所以S2 -S2 =2，故数列{S2 }是以S2
=2为首项，2为公差的等差数列.
n n-1 n 1
(2)解
由(1)知，S2
=2+(n-1)×2=2n，
n
得T =2n，
n
T 2n n
n
当n≥2时，b = = = ，
n T 2(n-1) n-1
n-1
当n=1时，b =T =2，不符合上式，
1 1
{
2,n=1,
故b = n
n ,n≥2.
n-1
[规律方法] 在处理S ，a 的式子时，一般情况下，如果要证明f(a )为等差(等比)数列，就消去S ，如果要
n n n n
证明f(S )为等差(等比)数列，就消去a .但有些题目要求求{a }的通项公式，表面上看应该消去S ，但这会
n n n n
导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去a ，求出S ，然后利用a =S -S (n≥2)求出
n n n n n-1
a (n≥2).
n
{ a }
跟踪演练2 (1)(2024·天津模拟)设数列{a }满足a +2a +3a +…+na =2n+1(n∈N*)，则数列 n 的前10
n 1 2 3 n n+1
项和为( )
20 11
A. B.
11 6
51 23
C. D.
22 6
答案 C
解析 由题意a +2a +3a +…+na =2n+1，
1 2 3 n则a +2a +3a +…+na +(n+1)a =2(n+1)+1，
1 2 3 n n+1
两式相减得(n+1)a =2，
n+1
2 2
所以a = ，所以a = (n≥2)，
n+1 n+1 n n
2
又a =2×1+1=3≠ ，
1 1
{3,n=1,
所以a = 2
n ,n≥2,
n
3
{ ,n=1,
a 2
n =
n+1 2 (1 1 )
=2 - ,n≥2,
n(n+1) n n+1
{ a } 3 (1 1 1 1 1 1 ) 3 (1 1 ) 51
所以数列 n 的前10项和为 +2× - + - +…+ - = +2× - = .
n+1 2 2 3 3 4 10 11 2 2 11 22
(2)(2024·佛山模拟)设数列{a }的前n项之积为T ，满足a +2T =1(n∈N*)，则a 等于( )
n n n n 2 024
1 011 1 011
A. B.
1 012 1 013
4 047 4 048
C. D.
4 049 4 049
答案 C
解析 因为a +2T =1，
n n
1
所以a +2T =1，即a +2a =1，所以a = ，
1 1 1 1 1 3
T
n
所以 +2T =1(n≥2)，显然T ≠0，
T n n
n-1
1 1
所以 - =2(n≥2)，
T T
n n-1
{ 1 } 1 1
所以数列 是首项为 = =3，公差为2的等差数列，
T T a
n 1 1
1
所以 =3+2(n-1)=2n+1，
T
n
1
即T = ，
n 2n+1
1
T 2×2 024+1 4 047
2 024
所以a = = = .
2 024 T 1 4 049
2 023
2×2 023+1专题强化练
(分值：70分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·唐山模拟)已知数列{a }满足a =a +a +2n，a =130，则a 等于( )
n n+1 n 1 10 1
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 D
解析 由题意，得a -a =a +2n，
n+1 n 1
则a -a =a +2，
2 1 1
a -a =a +4，
3 2 1
…
a -a =a +18，
10 9 1
将以上等式左右两边分别相加，
9×(2+18)
得a -a =9a + =9a +90，
10 1 1 2 1
即a =10a +90，
10 1
又a =130，所以a =4.
10 1
1
2.(2024·合肥模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，首项a =-1，且满足S - +2=a (n≥2)，则S 等于( )
n n 1 n S n 6
n
1 3
A. B.
3 7
7 17
C. D.
17 41
答案 D
1 1 1
解析 由S - +2=a (n≥2)，得S - +2=S -S S = (n≥2)，
n S n n S n n-1 n 2+S
n n n-1
⇒
1
所以由a =-1，得S = =1，
1 2 2+S
1
1 1 1 3
S = = ，S = = ，
3 2+S 3 4 2+S 7
2 3
1 7 1 17
S = = ，S = = .
5 2+S 17 6 2+S 41
4 5
a a +2n-2 1 1 1 1
3.(2024·西安模拟)若数列{a }满足a =4， n= n-1 (n≥2)，则 + + +…+ 等于( )
n 1 n n-1 a a a a
1 2 3 2 024
2 021 1 012
A. B.
2 025 2 0251 2 023
C. D.
4 4 048
答案 B
a a +2n-2 a a {a } a
解析 将
n= n-1
化简为
n- n-1=2(n≥2)，所以数列 n
是以
1=4为首项，2为公差的等差数列，
n n-1 n n-1 n 1
a
所以
n=4+2(n-1)=2n+2，
n
1 1 1(1 1 )
即 = = - ，
a 2n(n+1) 2 n n+1
n
1 1 1 1
所以 + + +…+
a a a a
1 2 3 n
1[( 1) (1 1) (1 1 )]
= 1- + - +…+ -
2 2 2 3 n n+1
1( 1 ) n
= 1- = ，
2 n+1 2n+2
1 1 1 1 2 024 1 012
所以 + + +…+ = = .
a a a a 4 050 2 025
1 2 3 2 024
4.(2024·衡阳模拟)已知数列{a }满足a =1，a =1，a =2a +3a (n≥2)，数列{a }的前n项和为S ，则S 等
n 1 2 n+1 n n-1 n n 2 023
于( )
32 024-1 32 024-4
A. B.
2 8
32 025-2 32 023+1
C. D.
2 4
答案 D
解析 由已知得a =2a +3a =5，
3 2 1
因为a =2a +3a (n≥2)，
n+1 n n-1
所以a +a =3(a +a )，
n+1 n n n-1
所以a +a =9(a +a ).
n+2 n+1 n n-1
因为a +a =6，
2 3
所以数列{a +a }是以6为首项，9为公比的等比数列.
2n 2n+1
所以S =a +a +a +a +a +…+a +a
2 023 1 2 3 4 5 2 022 2 023
=a +(a +a )+(a +a )+…+(a +a )
1 2 3 4 5 2 022 2 023
6×(1-91 011
)
=1+
1-9
32 023+1
= .
4二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，若S =2S +n-1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
n n 1 n+1 n
A.数列{S +n}为等比数列
n
B.数列{a }的通项公式为a =2n-1-1
n n
C.数列{a +1}为等比数列
n
D.数列{2S }的前n项和为2n+2-n2-n-4
n
答案 AD
解析 ∵S =2S +n-1，
n+1 n
∴S +(n+1)=2(S +n)，
n+1 n
又S +1=2≠0，
1
∴数列{S +n}是首项、公比都为2的等比数列，故选项A正确；
n
又S +n=2n，∴2S =2n+1-2n，
n n
22 (1-2n ) n(n+1)
∴数列{2S }的前n项和为 -2× =2n+2-n2-n-4，故选项D正确；
n 1-2 2
又∵S +n=2n，∴S =2n-n，
n n
当n≥2时，a =S -S =2n-1-1，
n n n-1
当n=1时，a =1，不满足上式，
1
{ 1,n=1,
∴a = 故选项B错误；
n 2n-1-1,n≥2,
{ 2,n=1,
∵a +1=
n 2n-1,n≥2,
a +1 a +1
2 3
∴ ≠ ，
a +1 a +1
1 2
∴数列{a +1}不是等比数列，故选项C错误.
n
1 1 1
6.(2024·鹰潭模拟)已知数列{a }满足a =1，a =a + a + a +…+ a (n≥2)，则( )
n 1 n 1 2 2 3 3 n-1 n-1
a n
n
A.a =1 B. =
2 a n-1
n-1
{1,n=1,
n
C.a = D.a = n
n 2 n ,n≥2
2
答案 AD
1 1 1
解析 对于AB，因为数列{a }满足a =1，a =a + a + a +…+ a (n≥2)， ①
n 1 n 1 2 2 3 3 n-1 n-1
a 2
2
所以当n=2时，a =a =1，此时 =1≠ ，故A正确，B错误；
2 1 a 1
11 1 1 1
对于CD，当n≥2时，a =a + a + a +…+ a + a ， ②
n+1 1 2 2 3 3 n-1 n-1 n n
1
②-①得a -a = a ，
n+1 n n n
a a
整理得
n+1= n
，
n+1 n
a a 1
又 1=1， 2= ，即当n=1时，不满足上式，
1 2 2
{a } 1
n
所以数列 从第二项起是首项为 的常数列，
n 2
a 1 n
故当n≥2时， n= ，则a = ，
n 2 n 2
{1,n=1,
综上，a = n 故C错误，D正确.
n ,n≥2,
2
三、填空题(每小题5分，共10分)
1
7.(2024·乐山模拟)在数列{a }中，已知a = ，(n+2)a =na ，则数列{a }的前2 024项和S = .
n 1 2 n+1 n n 2 024
2 024
答案
2 025
a n
n+1
解析 因为(n+2)a =na ，所以 = ，
n+1 n a n+2
n
a a a 1 1 2 n-1 1 1 1
2 3 n
所以a =a · · ·…· = · · ·…· = = - ，
n 1 a a a 2 3 4 n+1 n(n+1) n n+1
1 2 n-1
1 1 1 1 1 2 024
因此S =1- + - +…+ - = .
2 024 2 2 3 2 024 2 025 2 025
8.(2024·茂名模拟)已知T 为正项数列{a }的前n项的乘积，且a =2，T2 =an+1，则a = .
n n 1 n n 5
答案 32
解析
由T2 =an+1 ，得T2 =an+2
，
n n n+1 n+1
T2 an+2
于是a2
=
n+1
=
n+1 ，则an =an+1
，
n+1 T2 an+1 n+1 n
n n
又a >0，两边取对数得nlg a =(n+1)lg a ，
n n+1 n
lg a lg a
因此
n+1= n
，
n+1 n
{lg a }
n
所以数列 是常数列，
nlg a lg a
则 n= 1=lg 2，
n 1
即lg a =nlg 2=lg 2n，
n
所以a =2n，a =32.
n 5
四、解答题(共28分)
n S
9.(13分)(2024·绍兴模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，且a =2，S = a ，设b = n.
n n 1 n n+2 n+1 n n
(1)求证：数列{b }为等比数列；(7分)
n
(2)求数列{S }的前n项和T .(6分)
n n
n n
(1)证明 因为S = a = (S -S )，
n n+2 n+1 n+2 n+1 n
即(n+2)S =n(S -S )，
n n+1 n
即nS =(2n+2)S ，
n+1 n
S 2S
则
n+1= n
，
n+1 n
S
即b =2b ，又b = 1=a =2，
n+1 n 1 1 1
故数列{b }是以2为首项，2为公比的等比数列.
n
S
(2)解 由(1)知b =2n，即 n=2n，得S =n·2n，
n n n
则T =1·21+2·22+…+n·2n，
n
有2T =1·22+2·23+…+n·2n+1，
n
则T -2T =-T =2+22+23+…+2n-n·2n+1
n n n
2(1-2n
)
= -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1
1-2
=(1-n)2n+1-2，
故T =(n-1)2n+1+2.
n
10.(15分)(2024·六安模拟)设数列{a }满足a =3，a =3a -4n.
n 1 n+1 n
(1)求数列{a }的通项公式；(7分)
n
4n2+8n+5
(2)若b = ，求数列{b }的前n项和S .(8分)
n a a n n
n n+1
解 (1)因为a =3a -4n，设a +x(n+1)+y=3(a +xn+y)， ①
n+1 n n+1 n
展开整理，得a =3a +2xn+2y-x，
n+1 n
{ 2x=-4,
对照a =3a -4n，可得
n+1 n 2y-x=0,{x=-2,
解得
y=-1,
故①式为a -[2(n+1)+1]=3[a -(2n+1)]，
n+1 n
当n=1时，a -3=0，即数列{a -(2n+1)}是各项为0的常数列，故a =2n+1.
1 n n
4n2+8n+5 4n2+8n+5
(2)因为b = =
n a a (2n+1)(2n+3)
n n+1
1 1
=1+ - ，
2n+1 2n+3
(1 1) (1 1) ( 1 1 ) 1 1 ( 2 )
所以数列{b }的前n项和S =n+ - + - +…+ - =n+ - =n 1+ .
n n 3 5 5 7 2n+1 2n+3 3 2n+3 6n+9
