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专题三 微创新 数列与其他知识的综合问题
(分值：51分)
1.(17分)如图，对每个正整数n，A (x ，y )是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FA 交抛物线于另一点
n n n n
B (s ，t ).
n n n
(1)试证：x s =-4(n∈N*)；(6分)
n n
(2)取x =2n，并记C 为抛物线上分别以A 与B 为切点的两条切线的交点.试证：|FC |+|FC |+…+|FC |=2n-2-
n n n n 1 2 n
n+1+1.(11分)
2.(17分)(2024·吉林模拟)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热
度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调
查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是
否与收看短视频有关联；(单位：人)(7分)
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之
一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
①求经过i(i∈N*)次传递后球回到甲的概率；(4分)
②记前m(m∈N*)次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.(6分)
m m
n(ad-bc) 2
参考公式：χ2= ，其中n=a+b+c+d；E( Σ X)= Σ E(X).
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) i i
i=1 i=1
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
b +c a +c
3.(17分)(2024·广州模拟)已知正项数列{a }，{b }满足a = n ，b = n (其中c>0).
n n n+1 2 n+1 2
(1)若a ≠b ，且a +b ≠2c，证明：数列{a -b }和{a +b -2c}均为等比数列；(5分)
1 1 1 1 n n n n
(2)若a >b ，a +b =2c，以a ，b ，c为三角形三边长构造序列△A B C (其中A B =c，B C =a ，A C =b )，记
1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n
π
△A B C 的外接圆的面积为S ，证明：S > c2；(6分)
n n n n n 3
(3)在(2)的条件下证明：数列{S }是递减数列.(6分)
n答案精析
1.证明 (1)对任意固定的n∈N*，因为焦点F(0，1)，所以可设直线A B 的方程为y-1=k x，
n n n
将它与抛物线方程x2=4y联立得
x2-4k x-4=0，
n
由一元二次方程根与系数的关系得x s =-4(n∈N*).
n n
(2)对任意固定的n∈N*，
x
利用导数知识易得抛物线x2=4y在A 处的切线的斜率k = n ，
n A n 2
故x2=4y在A 处的切线的方程为
n
x
y-y = n(x-x )，①
n n
2
s
类似地，可求得x2=4y在B 处的切线的方程为y-t = n(x-s )，②
n n 2 n
x -s x2-s2 x2 s2
由②-①得y -t =- n nx+ n n= n- n，
n n 2 2 4 4
x -s x2-s2
n nx= n n，
2 4
x +s
所以x= n n ， ③
2
(x +s )
将③代入①并注意x s =-4得交点C 的坐标为 n n，-1 .
n n n 2
由两点间的距离公式得
(x +s ) 2
|FC |2= n n +4
n
2
x2 s2 x2 4
= n+ n+2= n+ +2
4 4 4
x2
n
( x 2 ) 2
=
n+
，
2 x
n
|x | 2
则|FC |= n + .
n 2 |x |
n
取x =2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得
n
|FC |+|FC |+…+|FC |
1 2 n
1
= (|x |+|x |+…+|x |)+
2 1 2 n( 1 1 1 )
2
+ +…+
|x | |x | |x |
1 2 n
1
= (2+22+…+2n)+
2
(1 1 1 )
2
+ +…+
2 22 2n
=(2n-1)+(2-21-n)
=2n-2-n+1+1.
2.解 (1)将所给数据进行整理，得到如下列联表：
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游客 200 100 300
北方游客 80 120 200
合计 280 220 500
零假设H ：南北方游客来此景点旅游与收看短视频无关联.
0
500×(200×120-80×100) 2
χ2=
300×200×280×220
8 000
= ≈34.632>10.828=x ，
231 0.001
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频
0
有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)①设经过i次传递后球回到甲的概率为P，
i
1
P=(1-P )×
i i-1 4
1 1
=- P + (i≥2)，
4 i-1 4
1 1( 1)
P- =- P - ，
i 5 4 i-1 5
1 1
又P - =- ≠0，
1 5 5
{ 1} 1 1
所以 P - 是首项为- ，公比为- 的等比数列，
i 5 5 4
1 1( 1) i-1
所以P= - - (i∈N*).
i 5 5 4
②设第i次传递时甲接到球的次数为Y，则Y服从两点分布，E(Y)=P，
i i i i设前m次传递中球传到甲的次数为Y，
m m
E(Y)=E( Σ Y)= Σ E(Y)
i i
i=1 i=1
=P +P +P +…+P
1 2 3 m
( 1) m
1- -
m 1 4
= - ×
5 5 1
1+
4
4 ( 1) m m 4
= - + - ，
25 4 5 25
m-E(Y)
因为E(X)= ，
4
m 1 1 ( 1) m
所以E(X)= + - - .
5 25 25 4
b +c a +c
3.证明 (1)正项数列{a }，{b }满足a = n ，b = n ，
n n n+1 2 n+1 2
两式相减可得
1
a -b =- (a -b )，
n+1 n+1 2 n n
因为a ≠b ，所以a -b ≠0，
1 1 1 1
1
所以{a -b }是以a -b 为首项，- 为公比的等比数列，
n n 1 1 2
b +c a +c
由a = n ，b = n ，
n+1 2 n+1 2
两式相加可得
1
a +b = (a +b )+c，
n+1 n+1 2 n n
1
即a +b -2c= (a +b -2c)，
n+1 n+1 2 n n
因为a +b ≠2c，
1 1
1
所以a +b -2c≠0，所以{a +b -2c}是以a +b -2c为首项， 为公比的等比数列.
1 1 n n 1 1 2
(2)因为a >b ，由(1)得{a -b }是等比数列，
1 1 n n
所以a -b ≠0，即a ≠b ，
n n n n
1
由(1)知，a +b -2c= (a +b -2c)，
n+1 n+1 2 n n
因为a +b =2c，
1 1所以a +b -2c=0，
1 1
所以{a +b -2c}为常数列{0}，
n n
故a +b =2c，
n n
a2+b2-c2
n n
由cos C =
n 2a b
n n
(a +b ) 2
a2+b2- n n
= n n 2
2a b
n n
1 1 1
a2+b2- a2- b2- a b
= n n 4 n 4 n 2 n n
2a b
n n
3 3 1
a2+ b2- a b
=4 n 4 n 2 n n
2a b
n n
3( a b ) 1
=
n+ n
-
8 b a 4
n n
3 1 1
≥ - = ，
4 4 2
因为a ≠b ，所以等号不成立，
n n
1
故cos C > ，因为C ∈(0，π)，
n 2 n
( π)
所以C ∈ 0， ，
n 3
√3
所以sin C < ，
n 2
c
c 2c
由正弦定理得△A B C 的外接圆的直径2r= >√3= ，
n n n sin C √3
n 2
c πc2
所以r> ，所以S =πr2> .
√3 n 3
(3)由(1)可知，
( 1) n-1
a -b =(a -b ) - ，
n n 1 1 2
由(2)可知，a +b =2c，
n n
解得a =c+ a 1 -b 1( - 1) n-1 ，
n 2 2b =c- a 1 -b 1( - 1) n-1 ，
n 2 2
所以a b =c2- (a 1 -b 1 ) 2 ( - 1) 2n-2
n n 4 2
=c2-(a -b )
2(1) n
，
1 1 4
a b 随着n的增大而增大，
n n
a2+b2-c2
n n
又因为cos C =
n 2a b
n n
(a +b ) 2-c2-2a b
= n n n n
2a b
n n
3c2-2a b 3c2
= n n= -1，
2a b 2a b
n n n n
所以cos C 随着n的增大而减小，所以{cos C }是递减数列，
n n
( π)
因为C ∈ 0， ，
n 3
{ c }
所以{sin C }是递增数列，所以 是递减数列，
n sin C
n
所以数列{S }是递减数列.
n
