微创新 数列与其他知识的综合问题
[考情分析] 新高考下数列与其他知识的综合问题是高考的热点，也是各地模拟考试热点，经常以压轴大
题的形式出现，一般难度较大，考查的范围较广.数列常与概率、函数、解析几何相结合，也可以与集合、
解三角形、立体几何相结合.在学习过程中，对综合运用各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以
重视.
考点一 数列与概率统计结合
例1 [数列收敛]龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两
个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.
日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量y(千张) 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4
10 10 10
1
经计算可得y= Σ y=2.2， Σ ty=118.73， Σ
t2
=385.
10 i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，
已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分
数表示)；
1 3
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，并且A套餐只可使用一张优惠
4 4
券，B套餐只可使用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n(n∈N*)张的概率为P ，求P ；
n n
(3)记(2)中所得概率P 的值构成数列{P }(n∈N*).
n n
①求数列{P }的最值；
n
②数列收敛的定义：已知数列{a }，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n>N 时，|a -
n 0 0 n
a|<ε(a是一个确定的实数)，则称数列{a }收敛于a.根据数列收敛的定义，证明数列{P }收敛.
n n
n n
Σ (x -x)(y - y) Σ x y -nx y
i i i i
^
i=1 i=1
^ ^
参考公式：b= = ，a=y-bx.
n n
Σ (x -x) 2 Σ x2-nx2
i i
i=1 i=1
(1)解 剔除第10天的数据，
2.2×10-0.4
可得y = =2.4，
新 9
1+2+3+4+5+6+7+8+9
t = =5，
新 9
9
则( Σ ty) =118.73-10×0.4=114.73，
i i 新
i=19
( Σ
t2
) =385-102=285，
i 新
i=1
9
( Σ t y ) -9t y
i i 新 新 新
^
i=1
所以b=
9
( Σ
t2
)
-9t2
i 新 新
i=1
114.73-9×5×2.4 673
= = ，
285-9×52 6 000
^ 673 2 207
可得a=2.4-
6 000
×5=
1 200
，
^ 673 2 207
所以y=
6 000
t+
1 200
.
1 3 1
(2)解 由题意知P = P + P (n≥3)，其中P = ，
n 4 n-1 4 n-2 1 4
1 1 3 13
P = × + = ，
2 4 4 4 16
3 3
所以P + P =P + P (n≥3)，
n 4 n-1 n-1 4 n-2
3 13 3 1
又由P + P = + × =1，
2 4 1 16 4 4
{ 3 }
所以 P + P 是首项为1的常数列，
n 4 n-1
3
所以P + P =1(n≥2)，
n 4 n-1
4 3( 4)
所以P - =- P - (n≥2)，
n 7 4 n-1 7
4 1 4 9
又因为P - = - =- ，
1 7 4 7 28
{ 4} 9 3
所以数列 P - 是首项为- ，公比为- 的等比数列，
n 7 28 4
4 9 ( 3) n-1
故P - =- - ，
n 7 28 4
9 ( 3) n-1 4 4 3( 3) n
所以P =- - + = + - .
n 28 4 7 7 7 4
4 3(3) n 4
(3)①解 当n为偶数时，P = + > 单调递减，
n 7 7 4 713
最大值为P = ；
2 16
4 3(3) n 4 1
当n 为奇数时，P = - < 单调递增，最小值为P = .
n 7 7 4 7 1 4
13 1
综上，数列{P }的最大值为 ，最小值为 .
n 16 4
[ 7ε]
②证明 对任意ε>0，总存在正整数N
0
= log
3 3
+1(其中[x]表示取整数)，
4
| 4| |3( 3) n|
使得当n>N 时， P - = -
0 n 7 7 4
=
|3(3) n|
<
3(3)log
3 4
7
3
ε
=ε，
7 4 7 4
所以数列{P }收敛.
n
[规律方法] 数列与概率相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相
关知识进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，
准确应用相关的数列知识.
跟踪演练1 (2024·苏州模拟)现有甲、乙两个盒子中都有大小、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个
盒子中各任取一个球交换，记为一次操作.重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为X ，甲
n
盒中恰有1个黑球的概率为a ，恰有2个黑球的概率为b .
n n
(1)求随机变量X 的分布列；
1
(2)求数列{a }的通项公式；
n
n
6-10a
9
i
(3)求证： Σ < (n∈N*).
9a a 5
i=1 i i+1
(1)解 由题可知X 的可能取值为0，1，2，
1
根据题意得，X =0即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，X =1即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒
1 1
中拿红球乙盒中拿红球交换，X =2即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则
1
1 2 2
P(X =0)= × = ，
1 3 3 9
1 1 2 2 5
P(X =1)= × + × = ，
1 3 3 3 3 9
2 1 2
P(X =2)= × = ，
1 3 3 9
X 的分布列为
1
X 0 1 2
12 5 2
P
9 9 9
(2)解 由全概率公式可知
P(X =1)=P(X =1)P(X =1|X =1)+P(X =2)P(X =1|X =2)+P(X =0)P(X =1|X =0)
n+1 n n+1 n n n+1 n n n+1 n
(1 1 2 2) (2 ) ( 2)
= × + × P(X =1)+ ×1 P(X =2)+ 1× P(X =0)
3 3 3 3 n 3 n 3 n
5 2 2
= P(X =1)+ P(X =2)+ P(X =0)，
9 n 3 n 3 n
5 2 2
即a = a + b + (1-a -b )，
n+1 9 n 3 n 3 n n
1 2
即a =- a + ，
n+1 9 n 3
3 1( 3)
a - =- a - ，
n+1 5 9 n 5
5
又a =P(X =1)= ，
1 1 9
{ 3} 3 2
所以数列 a - 是以a - =- 为首项，
n 5 1 5 45
1
- 为公比的等比数列，
9
3 ( 2 ) ( 1) n-1 2( 1) n
a - = - × - = - ，
n 5 45 9 5 9
3 2( 1) n
即{a }的通项公式为a = + - .
n n 5 5 9
[3 2( 1) i]
6-10 + -
6-10a 5 5 9
i
(3)证明 因为 =
9a i a i+1 9 [3 + 2( - 1) i][3 + 2( - 1) i+1]
5 5 9 5 5 9
( 1) i
-4 -
9
=
[3 2( 1) i][3 2( 1) i+1]
9 + - + -
5 5 9 5 5 9
1 1
=3 2( 1) i-3 2( 1) i+1 ，
+ - + -
5 5 9 5 5 9n
6-10a
i
所以 Σ
9a a
i=1 i i+1
1 1 1 1 1 1
=3 2( 1) 1-3 2( 1) 2+3 2( 1) 2-3 2( 1) 3+…+3 2( 1) n-3 2( 1) n+1
+ - + - + - + - + - + -
5 5 9 5 5 9 5 5 9 5 5 9 5 5 9 5 5 9
1
9 9
= -3 2( 1) n+1< (n∈N*)，得证.
5 + - 5
5 5 9
考点二 数列与其他知识的结合问题
例2 (2024·苏州模拟)点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线C：y=x3上的点P (x ，y )
1 1 1
作曲线C的切线l 与曲线C交于P (x ，y )，过点P 作曲线C的切线l 与曲线C交于点P (x ，y )，依此
1 2 2 2 2 2 3 3 3
类推，可得到点列：P (x ，y )，P (x ，y )，P (x ，y )，…，P (x ，y )，…，n∈N*，已知x =1.
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n 1
(1)求数列{x }，{y }的通项公式；
n n
1 1 1 4
(2)记点P 到直线l (即直线P P )的距离为d .求证： + +…+ > .
n n+1 n+1 n+2 n d d d 9
1 2 n
(1)解 曲线C上点P n (x n ，y n )处的切线l n 的斜率为k n =y' x=x n
=3x2
n ，
故得到切线方程为y-y
=3x2
(x-x )，
n n n
{
y=x3,
联立 y- y =3x2 (x-x ),
n n n
y =x3,
n n
消去y得x3-3x2 x+2x3
=0，
n n
化简得(x-x )2(x+2x )=0，
n n
所以x=x 或x=-2x ，
n n
由x=x 得到点P 的坐标(x ，y )，
n n n n
由x=-2x 就得到点P 的坐标(-2x ，(-2x )3)，
n n+1 n n
所以x =-2x ，
n+1 n
故数列{x }是首项为1，公比为-2的等比数列，
n
所以x =(-2)n-1，y =(-8)n-1.
n n
(2)证明 由(1)知P ((-2)n，(-8)n)，P ((-2)n+1，(-8)n+1)，
n+1 n+2
所以直线l 的方程为
n+1
(-8) n-(-8) n+1
y-(-8)n= [x-(-2)n]，
(-2) n-(-2) n+1
化简得3·4nx-y-2(-8)n=0，|3·4n (-2) n-1-(-8) n-1-2(-8) n|
因为d =
n √(3·4n
)
2+(-1) 2
27·8n-1 27·8n-1
= < =9·2n-3，
√9·42n+1 3·22n
1 1(1) n-3
所以 > ，
d 9 2
n
[ (1) n]
4 1-
1 1 1 1 2 8( 1 ) 8( 1) 4
所以 + +…+ > × = 1- ≥ 1- = ，
d
1
d
2
d
n
9
1
9 2n 9 2 9
1-
2
1 1 1 4
即 + +…+ > .
d d d 9
1 2 n
[规律方法] 数列与函数、解析几何等的结合，通常与函数、圆锥曲线的切线相结合，利用切点或交点的
变化构造递推关系，构造等差或等比数列解决问题.
x2 y2 √2
跟踪演练2 (2024·长沙市长郡中学模拟)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率e= .
a2 b2 2
(1)若椭圆E过点(2，√2)，求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l ，l 均过点P(p ，0)(0
0，
4 p k2
x +x = n ，
1 2 1+2k2
2k2p2-2b2
x x = n ，
1 2 1+2k2
{ 2p k2
x = n ,
M 1+2k2
则
-p k
y = n ,
M 1+2k2
2p
{ x = n ,
N k2+2
同理可得
p k
y = n ,
N k2+2
因为M，N，Q三点共线，所以y (x -x )=(y -y )(x -t )，易知y -y ≠0，
N N M N M N n N M
x y -x y
M N N M
则t =
n y - y
N M
2p k2 p k 2p -p k
n · n - n · n
1+2k2 k2+2 k2+2 1+2k2 2p
= = n ，
p k -p k 3
n - n
k2+2 1+2k2
1
因为p = ，
n 3n
2
所以t = .
n 3n+1
|1 2 | 1 1
②结合①可知a =|PQ|=|p -t |= - = ，所以 =3n+1，
n n n 3n 3n+1 3n+1 a
n{1 }
所以数列 是首项为9，公比为3的等比数列，
a
n
{1 } 9(1-3n ) 9
所以数列 的前n项和S = = (3n-1).
a n 1-3 2
n
专题强化练
(分值：51分)
1.(17分)如图，对每个正整数n，A (x ，y )是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FA 交抛物线于另一点
n n n n
B (s ，t ).
n n n
(1)试证：x s =-4(n∈N*)；(6分)
n n
(2)取x =2n，并记C 为抛物线上分别以A 与B 为切点的两条切线的交点.试证：|FC |+|FC |+…+|FC |=2n-2-
n n n n 1 2 n
n+1+1.(11分)
证明 (1)对任意固定的n∈N*，因为焦点F(0，1)，
所以可设直线A B 的方程为y-1=k x，
n n n
将它与抛物线方程x2=4y联立得x2-4k x-4=0，
n
由一元二次方程根与系数的关系得x s =-4(n∈N*).
n n
(2)对任意固定的n∈N*，
x
利用导数知识易得抛物线x2=4y在A 处的切线的斜率k = n ，
n A n 2
x
故x2=4y在A 处的切线的方程为y-y = n(x-x )， ①
n n 2 n
类似地，可求得x2=4y在B 处的切线的方程为
n
s
y-t = n(x-s )， ②
n n
2
x -s x2-s2 x2 s2
由②-①得y -t =- n nx+ n n= n- n，
n n 2 2 4 4
x -s x2-s2
n nx= n n，
2 4
x +s
所以x= n n ， ③
2
(x +s )
将③代入①并注意x s =-4得交点C 的坐标为 n n，-1 .
n n n 2(x +s ) 2
由两点间的距离公式得|FC |2= n n +4
n 2
x2 s2 x2 4 ( x 2 ) 2
= n+ n+2= n+ +2= n+ ，
4 4 4 x2 2 x
n n
|x | 2
则|FC |= n + .
n 2 |x |
n
取x =2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得
n
1 ( 1 1 1 )
|FC |+|FC |+…+|FC |= (|x |+|x |+…+|x |)+2 + +…+
1 2 n 2 1 2 n |x | |x | |x |
1 2 n
1 (1 1 1 )
= (2+22+…+2n)+2 + +…+ =(2n-1)+(2-21-n)=2n-2-n+1+1.
2 2 22 2n
2.(17分)(2024·吉林模拟)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热
度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调
查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是
否与收看短视频有关联；(单位：人)(7分)
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之
一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
①求经过i(i∈N*)次传递后球回到甲的概率；(4分)
②记前m(m∈N*)次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.(6分)
m m
n(ad-bc) 2
参考公式：χ2= ，其中n=a+b+c+d；E( Σ X)= Σ E(X).
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) i i
i=1 i=1
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
解 (1)将所给数据进行整理，得到如下列联表：
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
200
100
300
北方游客
80
120
200
合计
280
220
500
零假设H ：南北方游客来此景点旅游与收看短视频无关联.
0
500×(200×120-80×100) 2
χ2=
300×200×280×2208 000
= ≈34.632>10.828=x ，
231 0.001
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频
0
有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)①设经过i次传递后球回到甲的概率为P，
i
1 1 1
P=(1-P )× =- P + (i≥2)，
i i-1 4 4 i-1 4
1 1( 1)
P- =- P - ，
i 5 4 i-1 5
1 1
又P - =- ≠0，
1 5 5
{ 1} 1 1
所以 P - 是首项为- ，公比为- 的等比数列，
i 5 5 4
1 1( 1) i-1
所以P= - - (i∈N*).
i 5 5 4
②设第i次传递时甲接到球的次数为Y，则Y服从两点分布，E(Y)=P，
i i i i
设前m次传递中球传到甲的次数为Y，
m m
E(Y)=E( Σ Y)= Σ E(Y)
i i
i=1 i=1
=P +P +P +…+P
1 2 3 m
( 1) m
1- -
m 1 4 4 ( 1) m m 4
= - × = - + - ，
5 5 1 25 4 5 25
1+
4
m-E(Y)
因为E(X)= ，
4
m 1 1 ( 1) m
所以E(X)= + - - .
5 25 25 4
b +c a +c
3.(17分)(2024·广州模拟)已知正项数列{a }，{b }满足a = n ，b = n (其中c>0).
n n n+1 2 n+1 2
(1)若a ≠b ，且a +b ≠2c，证明：数列{a -b }和{a +b -2c}均为等比数列；(5分)
1 1 1 1 n n n n
(2)若a >b ，a +b =2c，以a ，b ，c为三角形三边长构造序列△A B C (其中A B =c，B C =a ，A C =b )，记
1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n
π
△A B C 的外接圆的面积为S ，证明：S > c2；(6分)
n n n n n 3
(3)在(2)的条件下证明：数列{S }是递减数列.(6分)
n
b +c a +c
证明 (1)正项数列{a }，{b }满足a = n ，b = n ，
n n n+1 2 n+1 21
两式相减可得a -b =- (a -b )，
n+1 n+1 2 n n
因为a ≠b ，所以a -b ≠0，
1 1 1 1
1
所以{a -b }是以a -b 为首项，- 为公比的等比数列，
n n 1 1 2
b +c a +c
由a = n ，b = n ，
n+1 2 n+1 2
1
两式相加可得a +b = (a +b )+c，
n+1 n+1 2 n n
1
即a +b -2c= (a +b -2c)，
n+1 n+1 2 n n
因为a +b ≠2c，
1 1
1
所以a +b -2c≠0，所以{a +b -2c}是以a +b -2c为首项， 为公比的等比数列.
1 1 n n 1 1 2
(2)因为a >b ，由(1)得{a -b }是等比数列，
1 1 n n
所以a -b ≠0，即a ≠b ，
n n n n
1
由(1)知，a +b -2c= (a +b -2c)，
n+1 n+1 2 n n
因为a +b =2c，所以a +b -2c=0，
1 1 1 1
所以{a +b -2c}为常数列{0}，
n n
故a +b =2c，
n n
a2+b2-c2
n n
由cos C =
n 2a b
n n
(a +b ) 2
a2+b2- n n
= n n 2
2a b
n n
1 1 1
a2+b2- a2- b2- a b
= n n 4 n 4 n 2 n n
2a b
n n
3 3 1
a2+ b2- a b
=4 n 4 n 2 n n
2a b
n n
3( a b ) 1
=
n+ n
-
8 b a 4
n n
3 1 1
≥ - = ，
4 4 2
因为a ≠b ，所以等号不成立，
n n1
故cos C > ，因为C ∈(0，π)，
n 2 n
( π)
所以C ∈ 0， ，
n 3
√3
所以sin C < ，
n 2
由正弦定理得△A B C 的外接圆的直径
n n n
c
c 2c
2r= >√3= ，
sin C √3
n 2
c πc2
所以r> ，所以S =πr2> .
√3 n 3
( 1) n-1
(3)由(1)可知，a -b =(a -b ) - ，
n n 1 1 2
由(2)可知，a +b =2c，
n n
解得a =c+ a 1 -b 1( - 1) n-1 ，
n 2 2
b =c- a 1 -b 1( - 1) n-1 ，
n 2 2
所以a b =c2- (a 1 -b 1 ) 2 ( - 1) 2n-2
n n 4 2
=c2-(a -b )
2(1) n
，
1 1 4
a b 随着n的增大而增大，
n n
a2+b2-c2
又因为cos C = n n
n 2a b
n n
(a +b ) 2-c2-2a b
= n n n n
2a b
n n
3c2-2a b 3c2
= n n= -1，
2a b 2a b
n n n n
所以cos C 随着n的增大而减小，所以{cos C }是递减数列，
n n
( π)
因为C ∈ 0， ，
n 3
{ c }
所以{sin C }是递增数列，所以 是递减数列，
n sin C
n
所以数列{S }是递减数列.
n
