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周二
1.(2024·济南模拟)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P
( π π) ( π)
cos ，sin ，则cos α- 等于( )
3 3 6
1
A.0 B.
2
√2 √3
C. D.
2 2
答案 D
( π π) (1 √3)
解析 因为P cos ，sin ，即P ， ，
3 3 2 2
(1 √3)
即角α的终边经过点P ， ，
2 2
√3 1
所以sin α= ，cos α= ，
2 2
( π) π π
所以cos α- =cos αcos +sin αsin
6 6 6
1 √3 √3 1 √3
= × + × = .
2 2 2 2 2
2.(2024·葫芦岛模拟)已知函数f(x)=|ex-1|，g(x)=[f(x)]2-tf(x)(t∈R)，若关于x的方程g(x)=3-t2有三个不同的实
数根，则实数t的取值范围是( )
A.(-2，2) B.(√3，2)
C.(-2，-√3) D.(2，+∞)
答案 B
解析 如图，作出函数f(x)的图象，
令m=f(x)，
由图可知，当m∈(0，1)时，关于x的方程m=f(x)有2个不同的实数根，
当m=0或m∈[1，+∞)时，关于x的方程m=f(x)只有1个实数根.
因为关于x的方程g(x)=3-t2有三个不同的实数根，所以关于m的方程m2-tm+t2-3=0的一个根在(0，1)上，另一个根在[1，+∞)上，或方程的两个根一个为
m=0，另一个在(0，1)上.
若m=0为方程m2-tm+t2-3=0的根，则t=±√3，
当t=√3时，方程的另一个根为m=√3，不符合题意；
当t=-√3时，方程的另一个根为m=-√3，不符合题意.
若m=1为方程m2-tm+t2-3=0的根，则t=-1或t=2，
当t=-1时，方程的另一个根为m=-2，不符合题意；
当t=2时，方程只有一个根为m=1，不符合题意.
若关于m的方程m2-tm+t2-3=0的一个根在(0，1)上，另一个在(1，+∞)上，
令h(m)=m2-tm+t2-3，
{
Δ>0, {t2-4(t2-3)>0,
则 h(0)>0,即 t2-3>0,
h(1)<0, 1-t+t2-3<0,
解得√30)上，线段AB，PA，PB的中点分别为D，
M，N，线段MN的中点为E，若直线PA，PB的斜率之和为0，则( )
A.点M，N不在x轴上
B.点E在x轴上
C.点D与点P的横坐标相等
D.点D与点P的纵坐标互为相反数
答案 ABD
解析 如图所示，令P(x ，y )，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2 3 3
y - y y - y
2 1 3 1
则k +k = + =0.
PA PB x -x x -x
2 1 3 1
{y2=2px ,
1 1
又 y2=2px ,
2 2
y2=2px ,
3 3
y - y 2p y - y 2p
则 2 1 = ， 3 1 = ，
x -x y + y x -x y + y
2 1 1 2 3 1 1 3y + y y + y
而y = 1 2 ，y = 1 3 ，
M 2 N 2
y - y p y - y p
所以 2 1 = ， 3 1 = ，
x -x y x -x y
2 1 M 3 1 N
p p
则 + =0，
y y
M N
y + y
故y +y =0，而y = M N=0，则B选项正确；
M N E 2
若点M或N在x轴上，则y =y =0，即y +y =y +y =0，
M N 1 2 1 3
故y =y =0，与题设矛盾，
2 3
所以点M，N不在x轴上，A选项正确；
y + y y + y y + y
又y +y = 1 2+ 1 3=y + 2 3=y +y =0，
M N 2 2 1 2 1 D
则点D与点P的纵坐标互为相反数，D选项正确；
显然点D不可能在抛物线上，点D与点P的横坐标不相等，C选项错误.
4.(2024·晋城模拟)若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n的最小值为
，该棱台各棱的长度之和的最小值为 .
答案 6 42
解析 因为正n棱台的侧棱有n条，底面有2n条棱，所以正n棱台共有3n条棱，
由3n>15，得n>5，
所以n的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42.
5.(2024·南通调研)已知数列{a }的前n项和为S ，S =a -4a ，a =-1.
n n n n n+1 1
(1)证明：数列{2a -a }为等比数列；
n+1 n
a
(2)设b =
n+4
，求数列{b }的前n项和；
n n(n+1) n
(3)是否存在正整数p，q(p<6 > > ，当p=5时不等式成立，
2 22 23 24 16
5 q 3
因此 + = ，
32 2q 16
q 1
即 = .
2q 32
n
令d = ，
n 2n
1-n
则d -d = ≤0，
n+1 n 2n+1
从而d =d >d >d >d >…，
1 2 3 4 5
1
显然d = ，即q=8，
8 32
所以存在p=5，q=8，使得S ，S ，S 成等差数列.
p 6 q
