文档内容
第六章：数列（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．已知等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．600 B．608 C．612 D．620
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出等差数列 的公差，进而求出通项公式并求出和.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
因此 ， ，
显然 构成等差数列，
所以 .
故选：B
2．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】
根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可；
【详解】
法一：设等比数列的公比为 ，若 ，则 ，所以 ；
由 ，得 ，即 ，所以 ，解得 ，则 .
故选：C.
法二：设等比数列的公比为 ，若 ，则 ，所以 ；
由等比数列的性质知 成等比数列，其公比为 ，设 ，显然 ，
则 ， ，
所以 ，所以 .
故选：C.
3．设等比数列 中， ， 使函数 在 时取得极值 ，则 的值是（
）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【分析】根据 在 时取得极值 ，可求得 ， ，代回验证可得 ， ，再根据等比数列
的性质即可求解.
【详解】由题意 ，
因为 在 时取得极值 ，
所以 ，
解得 或 ，
当 ， 时，
，
所以 在 上单调递增，不合题意，
当 ， 时，
，
所以 时， ，时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时 取得极小值，满足题意，
所以 ，
又 ， ， 同号，
所以 .
故选： .
4．已知数列 ， 都是等差数列，记 ， 分别为 ， 的前n项和，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前 项和的性质及和与项的关系即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
因为数列 ， 都是等差数列，
所以不妨令 ，
所以 ，
，
所以 .
故选：C
5．已知数列 的前 项和为 ，且 ，设 ，若数列 是递增数列，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 的关系式可得数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，再由 是递增数列可得
恒成立，即可得 .
【详解】当 时， ，解得 ；当 时，由 ，得 ，
两式相减得 ，
所以 ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
可得 ，所以 ；
因为数列 是递增数列，所以 对于任意的 恒成立，
即 ，即 恒成立，
因为 时， 取得最小值3，故 ，
即 的取值范围是 .
故选：C.
6．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，
因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是
偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数 ，按照上述规则实施第 次运算的结果
为 ，若 ，且 均不为1，则 （ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
【答案】B
【分析】根据“角谷猜想”的规则，由 倒推 的值.
【详解】由题知 ，因为 ，则有：
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数， ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，可得 ；若 为偶数，则 .
综上所述： 或32.
故选：B
7．已知等差数列 和等比数列 ， ， ， ， ，则满足 的数值
m（ ）A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多
个值
【答案】A
【分析】根据题意求公差和公比，令 ，分情况讨论，结合数列单调性分析判
断.
【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ， ， ，
则 ，解得 ，
令 ，
可得 ，此时满足 只有 成立；
若 ，则 ，
（1）若 为奇数，则 ，不满足 ；
（2）若 为偶数，则 ，且 ，
即 ，可得 ，即 不成立；
综上所述：满足 的数值m有且仅有1个值，该值为1.
故选：A.
8．给定函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为函数 的牛顿数列.已知 为
的牛顿数列， ，且 ，数列 的前 项和为 ．则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据定义求得数列 的递推公式，然后代入 可得 的递推公式，根据递推公式可知为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.
【详解】由 可得 ， ，
，则两边取对数可得 .
即 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
故选：A.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为递增数列 D． 为周期数列
【答案】BCD
【分析】根据题意，分别求得 ， ， ，得到数列 构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可
求解．
【详解】解：由题意，数列 满足 ， ，
当 时， ，当 时， ，A错误；
当 时， ；
若 为奇数，则 ， 为偶数， ， 为奇数，
则 ， ， ， ；
若 为偶数，则 ， 为奇数， ， 为偶数，
则 ， ， ， .
所以数列 是以4为周期的周期数列.故 ，B正确：
又由 ，故 递增，C正确；
由上述讨论可知， 的项为1， ，1， ，故是周期数列，D正确．
故选：BCD．
10．已知数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 单调递减 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对A：通过计算得到 ，则有 ，即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得；对
C：通过计算 、 找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得.
【详解】对A选项：由 ， ，则 ，
依次类推可得当 时，有 ，
故 ，故数列 单调递减，即A正确；
对B选项：由 ，
则 ，
由 ，当 时， ，
故 ，
即 ，故B正确；
对C选项： ，则 ， ，
即 ，故C错误；
对D选项：由 ，故 ，
即 ，故有 ， ， ， ，
累加有 ，即 ，故 ， ，
故 ，即有 ，
又 ，
故当 时， ，
， ， ，
又 ，
累加有 ， ，
即 ，
即 ，故 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用.
11．如图， 是一块半径为 的圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依
次剪去一个更小半圆 其直径为前一个剪掉半圆的半径 得图形 ， ， ， ， ，记纸板 的周长为
，面积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出 ，再求和，判断C；利用 与 的
关系，即可判断D.
【详解】根据图形生成的规律可知，
， ， ，故A正确；
， ， ，故B正确；
根据题意可知，图形 中被剪去的最小的半圆的半径为 ，
所以当
故C错误；
根据题意可知，图形 中被剪去的最小的半圆的半径为 ，
，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计
算.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知数列 的通项公式为: ，其前 项和为 ，若 成等比数列， 则 k=
【答案】6
【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出 ，再解方程，即可求得答案.
【详解】因为 成等比数列，所以 ，
由于数列 的通项公式为: ，
故 是首项为1，公差为2的等差数列，且前 项和为 ，
所以 ，所以 (舍去负值)，所以 (舍去负值)，
故答案为：6
13．已知数列 中， ， ，若 ，则数列 的前 项和 .
【答案】
【分析】根据条件，先构造等比数列求出 ，再由 得 ，从而可求和.
【详解】由 ，有 ，
，两式相除得到 ，
所以 是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
14．已知函数 ，数列 满足 ， ， ，则
．
【答案】2
【分析】根据函数性质分析可知： 在 上单调递增，且为奇函数，进而可得 ，结合数列
周期性分析求解.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，
且 ，即 ，可知 为定义在 上的奇函数；
且 ，
因为 在 上单调递增，可知 在 上单调递增；
综上所述： 在 上单调递增，且为奇函数.
因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
由 可知：3为数列 的周期，则 ，
且 ，所以 .
故答案为：2.
【点睛】易错点睛：本题分析 的奇偶性的同时，必须分析 的单调性，若没有单调性，由
无法得出 .
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．数列 满足 ，且
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明等比数列.
（2）利用等比数列求和公式化简即可.
【详解】（1）由已知， ，所以
故 ，又因为 ，所以
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
（2）由（1）知，令
，所以所以
故
16．已知各项均不为零的数列 满足 ，其前n项和记为 ，且 ， ， ，数
列 满足 ， ．
(1)求 ， ， ；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ，10507
(2)
【分析】（1）首先利用数列 与 的关系，求得 ，再赋值求 ，再利用 时，
，即可求得 ；
（2）由（1）可知， ，再利用分组转化，以及错位相减法求和.
【详解】（1）因为 ， ，又数列 各项均不为零，所以
．当 时， ，所以
当 时， ，所以 ，
，两式相减可得 ， ，
∴
；
（2）由（1）可知， ，
设 ，当 时，数列 的前 项和为28，
当 ，数列 的前 项和为，
设
，
两式相减得 ，
，
解得： ，
，
所以 ， ，
所以 .
17．已知数列 中，
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 恒成立，试求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对 两边同时除以 ，即可证明数列 是等差数列，再由等
差数列的通项公式求出数列 的通项公式；
（2）由（1）求出 ，再由裂项相消法求和求出 ，则 ，即 ，求解即可.
【详解】（1） 两边同时除以 ，数列 是首项 ，公差为2的等差数列，
，
.
（2） ，可得 ，
，即 ，即 恒成立.
.
18．已知数列 满足： ，正项数列 满足： ，且
， ， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)已知 ，求： ；
(3)求证： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）由题意可得数列 为等差数列，数列 为等比数列，再分别求解公差与公比即可求；
（2）代入化简可得 ，再分组根据错位相减与裂项相消求和即可；
（3）放缩可得 ，再裂项相消求和即可.【详解】（1）因为 ，所以数列 为等差数列，设公差为 ，
因为 ，所以数列 为等比数列，设公比为 ，且 ，
因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ， .
（2）由（1）可知，由 ，
记
作差, 得:
所以,
∴ .
（3）令 ，
因为 ，且 ，所以 成立；
因为 ，所以
，
因为 ，所以 ，故 ，
综上，所以 .
19．若正实数数列 满足 ，则称 是一个对数凸数列；若实数列 满足
，则称 是一个凸数列.已知 是一个对数凸数列， ．
(1)证明： ；
(2)若 ，证明： ；
(3)若 ， ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)10.
【分析】（1）法一：由 得到 ， ， ， ， ，累乘法得到
；
法二：由 得到 ；
（2）法一：由题意得 ，从而得到 ，证明出
；
法二：考虑反证法，假设 ，得到 ，进而推出 ，假设不成立；
法三：得到 ，且 ，利用累加法得到
，证明出结论；
（3）由 可得 ，即 ，累加得 ，另
外 ，故 ，故 ，化简得： ，显然
符合题意，此时 ，综上， 的最大值为10．【详解】（1）法一：由题意得： ，∴ ，
∴ ， ， ， ， ，
将以上式子累乘得： ，也即 成立．
法二：由题意得： ，
∴ ，∴ 成立．
（2）法一：∵ ，∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ．
法二：考虑反证法，假设 ，
由 得 ，
∴ ，∴ ，
同理： ，
∴ ，∴ ，
同理可证： ， ，…， ，
综上可得： ，与条件矛盾，
∴假设不成立，∴ 成立．
法三：∵ ，∴ ，也即 ，
同时，由 可得： ，
∴ ，也即 ，
∴ ， ，…， ，
将以上式子累加得： ，
也即 ，同理可得：
，，
……
，
将以上式子累加得： ，
∴ ，∴ ，∴ 成立．
（3）由 可得： ，
∴ ，也即 ，
∴ ， ，…， ，
将以上式子累加得： ，①
另外， ， ，…， ，
将以上式子累加得： ，②
结合①②式可得： ，
∴ ，化简得： ，
另外，显然有 符合题意，此时 ，
综上， 的最大值为10．
【点睛】思路点睛：数列 的性质可参考 这类下凸函数进行理解，不等式
相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系．
