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周四
1.(2024·来宾模拟)已知a=tan 2，b=lg π，c=√e，则a，b，c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<b<a D.c<a<b
2.(2024·烟台模拟)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，
2n
例如φ(4)=2.已知b = ，n∈N*，T 是数列{b }的前n项和，若T <M恒成立，则M的最小值为( )
n φ(3n+1
)
n n n
3 7
A. B.1 C. D.2
4 6
3.(多选)(2024·厦门质检)为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数
^ ^
据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为 y=0.42x+a，其中自变量x指的是1~6月
的编号，其中部分数据如表所示：
时间 2023年1月 2023年2月 2023年3月 2023年4月 2023年5月 2023年6月
编号x 1 2 3 4 5 6
y/百亿元 y y y 11.107 y y
1 2 3 5 6
6 6
参考数据： Σ y2 =796， Σ (y - y) 2 =70.
i i
i=1 i=1
则下列说法正确的是( )
A.经验回归直线经过点(3.5，11)
^
B.a=10.255
C.根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元
D.相应于点(x ，y )的残差为0.103
4 4
4.(2024·德州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，√2(a2+b2-c2)=absin C，且c=1，则
△ABC面积的最大值为 .
x2
5.(2024·安徽A10联盟模拟)已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，C在点P(x ，y )(y ≠0)处的切线l分别交直
2 0 0 0
线x=1和直线x=2于M，N两点.
(1)求证：直线x x+2y y-2=0与C相切；
0 0
|MF|
(2)探究： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
|NF|答案精析
1.A 2.A 3.AC
√2
4.
4
解析 因为√2(a2+b2-c2)=absin C，
由余弦定理2abcos C=a2+b2-c2，
得2√2abcos C=absin C，
所以sin C=2√2cos C，
又sin2C+cos2C=1，C∈(0，π)，
2√2 1
则sin C= ，cos C= .
3 3
所以由余弦定理以及基本不等式得
2ab 2ab 4ab
1=a2+b2-2abcos C=a2+b2- ≥2ab- = ，
3 3 3
3 √3
即ab≤ ，当且仅当a=b= 时等号成立.
4 2
1 √2 √2
所以S = absin C= ab≤ ，
△ABC 2 3 4
√2
即△ABC面积的最大值为 .
4
{x x+2y y-2=0,
0 0
5.(1)证明 联立 x2
+ y2=1,
2
整理得(x2 +2y2 )x2-4x x+(4-4y2 )=0.
0 0 0 0
x2
又因为
0+y2 =1，即x2 +2y2
=2，
2 0 0 0
则x2-2x x+x2 =0，
0 0
即(x-x )2=0，此方程有唯一解，即直线x x+2y y-2=0与椭圆C相切.
0 0 0
2-x x
(2)解 由(1)知，直线l的方程为x x+2y y-2=0，即y=
0
，
0 0 2y
0
将方程x=1和方程x=2分别与上式联立，2-x 1-x
( ) ( )
得M 1， 0 ，N 2， 0 .
2y y
0 0
因为F(1，0)，
(2-x ) 2
0
所以|MF|2= ，
4 y2
0
1-x 2
( )
|NF|2=(2-1)2+ 0
y
0
x2-2x +1
0 0
=1+
y2
0
x2+ y2-2x +1
0 0 0
=
y2
0
(
x2
)
x2+ 1- 0 -2x +1
= 0 2 0
y2
0
(x -2) 2
0
= ，
2y2
0
(2-x ) 2
0
|MF|2 4 y2 1
0
所以 = = ，
|NF|2 (2-x ) 2 2
0
2y2
0
|MF| √2
即 为定值 .
|NF| 2
