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回顾 7 解析几何
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式： y - y = k ( x - x )(直线过点P (x ，y )，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
0 0 0 0 0
(2)斜截式：y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
y- y x-x
(3)两点式： 1 = 1 (直线过点P (x ，y )，P (x ，y )，且x ≠x ，y ≠y ，不包括坐标轴和平行于坐标
y - y x -x 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1
轴的直线).
x y
(4)截距式： + =1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点
a b
的直线).
(5)一般式：Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0).
2.直线的两种位置关系
(1)当不重合的两条直线l 和l 的斜率都存在时：
1 2
①两直线平行：l ∥l k = k .
1 2 1 2
②两直线垂直：l ⊥l k k =-1.
1 2⇔ 1 2
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.
⇔
(2)直线的一般式方程是Ax+By+C=0.
①若直线l ：A x+B y+C =0，l ：A x+B y+C =0，则l ∥l A B -B A =0且A C -A C ≠0(或B C -B C ≠0).
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
②若直线l ：A x+B y+C =0，l ：A x+B y+C =0，则l ⊥l A A +B B =0.
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2⇔ 1 2 1 2
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
⇔
3.三种距离公式
(1)已知A(x ，y )，B(x ，y )，两点间的距离
1 1 2 2
|AB|=√(x -x ) 2+(y - y ) 2.
2 1 2 1
|A x +B y +C|
0 0
(2)点到直线的距离d= (其中点P(x ，y )，直线方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)).
√A2+B2 0 0
|C -C |
2 1
(3)两平行线间的距离d= (其中两平行线方程分别为l ：Ax+By+C =0，l ：Ax+By+C =0(A2+B2≠0)).
√A2+B2 1 1 2 2
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数对应相等.
4.圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程： ( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 .
(2)圆的一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0( D 2 + E 2 -4 F >0) .
5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离.
(2)弦长的求解方法
l2
根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2= d 2 + (其中l为弦长，r为圆的半径，
4
d为圆心到直线的距离)，弦长l=2√r2-d2.
(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含.
(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程.
6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF |+|PF |= 2 a
1 2
(2a>|F F |)
1 2
||PF |-|PF ||= 2 a
1 2
(0<2a<|F F |)
1 2
|PF|=|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程
x2 y2
+ =1
a2 b2
(a>b>0)
x2 y2
- =1
a2 b2
(a>0，b>0)
y2=2px
(p>0)
图形
几何性质
范围|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(± a ， 0) ，
(0 ， ± b )
(± a ， 0)
(0 ， 0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(± c ， 0)
(p )
，0
2
轴
长轴长 2 a ，
短轴长 2 b
实轴长 2 a ，
虚轴长 2 b离心率
c √ b2
e= = 1- (01)
a a2
e =1
准线
p
x=-
2
渐近线
b
y =± x
a
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
弦长公式：|AB|=√1+k2|x -x |，
1 2
√ 1
或|AB|= 1+ |y -y |(k≠0).
k2 1 2
1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范
围时出错.
2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0
x y
的情况，直接设为 + =1；再如，过定点P(x ，y )的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y-y =k(x-x )
a a 0 0 0 0
等.
3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜
率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合.|C -C |
1 2
4.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式 ，导致错解.
√A2+B2
5.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两
点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0<2a<|F F |.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为
1 2
常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.
6.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.
7.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.
8.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的
系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式
Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ≥0”或“Δ>0”下进行.
