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考向 41 双曲线
1．（2021·山东·高考真题）已知 是双曲线 （ ， ）的左焦点，点 在双曲线上，
直线 与 轴垂直，且 ，那么双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
易得 的坐标为 ，设 点坐标为 ，求得 ，由 可得 ，
然后由a，b，c的关系求得 ，最后求得离心率即可.
【详解】
的坐标为 ，设 点坐标为 ，
易得 ，解得 ，
因为直线 与 轴垂直，且 ，
所以可得 ，则 ，即 ，
所以 ，离心率为 ．
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】
关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
1.待定系数法求双曲线方程最常用的设法：
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝t(t≠0)；
(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝t(t≠0)；
(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2)；
(4)过两个已知点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)；
(5)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<k<a2)．
合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程，提高解题速度．3.求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
一、定义：平面内与两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹称为双
曲线．即： 。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 或 ， 或 ，
顶点 、 、
轴长 虚轴的长 实轴的长
焦点 、 、
焦距
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
离心率 ， 越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程
三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
四、直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与圆
锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交
点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到 。
①. 若 =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②. 若 ，设 。
③. . 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b. 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c. 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
【知识拓展】
弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的
关系，进行整体代入。即当直线 与圆锥曲线交于点 ， 时，则
= =
= =
1．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则
此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．22．（2021·全国·模拟预测）设双曲线 ： 的左焦点和右焦点分别是 ， ，点 是 右支上
的一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2021·广西南宁·模拟预测（文））已知双曲线C的离心率 ，虚轴长为 ，则其标准方程为
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
4．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为 ，且 ，则双曲线的方程为
___________.
1．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））若双曲线 的渐近线方程为
，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知双曲线 的右焦点到它的一条渐近
线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3．（2021·浙江宁波·高三月考）设直线 与双曲线 两条渐近线分别
交于点 ， ，若点 满足 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·广东·高三月考）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m
5．（2021·内蒙古宁城·高三月考（理））已知 ， 是双曲线 的左右顶点，
为该双曲线上任一点（与 ， 不重合），已知 与 斜率之积为 ，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知 是双曲线 右支上一点， 、 分别是双
曲线 的左、右焦点， 为坐标原点， ，则下列结论中错误的是（ ）
A．双曲线 的离心率为 B．双曲线 的渐近线方程为
C．点 到双曲线 的左焦点距离是 D． 的面积为
7．（2021·云南师大附中高三月考（文））双曲线 的左､右焦点分别为F，F，直
1 2
线l过F与C的左支和右支分别交于A，B两点， 是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足
1
，则C的离心率为___________.8．（2021·云南师大附中高三月考（理））双曲线 的左、右焦点分别为F，F，直
1 2
线l过F与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q使得 的角平分线过F，且满足
1 2
，则C的离心率为__________.
9．（2021·浙江金华第一中学高三月考）已知 ，若圆 经过双曲线 的焦点，
则 ______．
10．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））方程 表示的曲线即为函数 的图象，
对于函数 ，有如下结论：
① 在 上单调递减；
②函数 不存在零点；
③函数 的值域是 ；
④ 的图象不经过第一象限.
其中正确的命题是_______________________．（填写命题序号）
11．（2021·广东·高三月考）双曲线 的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆
与C的渐近线相切．
（1）求C的离心率；
（2）已知点 ，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到 的距离相等．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ，点P
在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为 时， ，求双曲线的方程；（Ⅱ）若 ，求双曲线离心率 的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程.
1．（2021·江苏·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，
则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为（
）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2010·全国·高考真题（文））中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），
则它的离心率为
A． B．
C． D．
5．（2020·天津·高考真题）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点
的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高考真题（文））双曲线 的右焦点到直线 的距离为________．
8．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C
的焦距为_________．
9．（2021·全国·高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．
10．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
1．【答案】A
【分析】
根据题意渐近线的斜率为 ，所以该渐近线的方程为 ，所以 ，求得 ，
利用 ，求得 即可得解.【详解】
∵双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ， ，
∴该渐近线的方程为 ，∴ ，
解得 或 （舍去），∴ ，
∴双曲线的离心率为 ．
故选：A．
2．【答案】C
【分析】
根据双曲线的方程求出 的值，由双曲线的定义可得 ，由双曲线的性质可
知 ，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】
由双曲线 ： 可得
， ，所以 ，
所以 ， ，
由双曲线的定义可得 ，所以 ，
所以 ，
由双曲线的性质可知： ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时，取得最小值 ，此时点 为双曲线的右顶点 ，即 的最小值为 ，
故选：C.
3．【答案】D
【分析】
根据给定条件结合 求出 ，再按焦点位置即可写出标准方程.
【详解】
设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则 ，即 ，
于是得 ，而 ，解得 ，
所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为 ，当焦点在y轴上时，双曲线方程为 .
故选：D
4．【答案】 或
【分析】
根据双曲线的渐近线方程为 ，则可设双曲线的方程为 ，再根据 ，求得 ，即
可得出答案.【详解】
解：因为双曲线的渐近线方程为 ，
则可设双曲线的方程为 ，即 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 或 .
故答案为： 或 .
1．【答案】D
【分析】
由题意 ，根据 ，代入即得解
【详解】
由题意， ，又
故
故选：D
2．【答案】C
【分析】
根据焦距可得 的值，根据右焦点到渐近线距离可求得 的值，由 可得 的值，再由 即可
求解.
【详解】
因为焦距为 ，所以 ，右焦点 ， ，双曲线 渐近线方程为： ，
所以右焦点到它的一条渐近线的距离为 ，
所以 ， ，
所以离心率 ，
故选：C.
3．【答案】A
【分析】
设 , 的中点为 ，用点差法可得 ，由 可得 结
合点 在直线 上，可得出 的关系，从而可得答案.
【详解】
由双曲线 得到渐近线的方程为
即双曲线的两条渐近线合并为
设 , 的中点为 ，则 ，
两式相减可得 ，即
…………… ①
又点 在直线 上，则 ……… ②
由 ,则 ，则 …………… ③
联立②，③可得 ，将 代入①可得
所以渐近线的方程为
故选：A
4．【答案】C
【分析】
根据双曲线的标准方程，即可得出结论.
【详解】
双曲线 可化为 ，
因为双曲线的焦点在 轴上，所以 ，即 ．
故选：C.
5．【答案】D
【分析】
先求出 ， ， 与 斜率之积为 ，代入后得 ，又 为该双曲线上任一点，代入后
得到 ， 关系.即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
解： ， 是双曲线 的左右顶点
，
设 ，又 与 斜率之积为
又 为该双曲线上任一点（与 ， 不重合）故可知 ，可知
所以双曲线的渐近线为 ，即 .
故选：D
6．【答案】C
【分析】
求出 、 、 的值，可判断AB选项的正误；求出点 的坐标，可判断CD选项的正误.
【详解】
在双曲线 中， ， ， ，该双曲线的左焦点为 .
设 ，则 ，由 ，可得 ，
所以， ，解得 ，即点 .
对于A选项，双曲线 的离心率为 ，A对；
对于B选项，双曲线 的渐近线方程为 ，B对；
对于C选项，点 到双曲线 的左焦点距离是 ，C错；
对于D选项， 的面积为 ，D对.
故选：C.
7．【答案】
【分析】
画出图形，利用 和 是等边三角形的条件，得到各边之间的关系，再用余弦定理，
找到a和c的关系，进而求出离心率.
【详解】如图所示，由题意可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，在等边三
角形 中，设 ，则 ， ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ，即 ①，因为 是等边三角形，所以 ，在 中，
，化简可得 ②，由①②可得 ，
所以 .
故答案为： .
8．【答案】
【分析】
设 ，结合已知得到 ，利用角平分线定理得到 ，再结合双曲线定义得到一个关
于m，a的方程，在 中利用余弦定理得到另一个m，c的方程，两个方程联立消元即可得到答案.
【详解】
如图所示，由题意可得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，设 ，则 ，因为 平分 ，
由角平分线的性质定理可得， ，
所以 ， ， ．
由双曲线的定义可得 ，所以 ，即 ①，，所以 ，所以 ，
即 是等边三角形，所以 ，
在 中，
，
化简可得 ②，由①②可得 ，所以 ．
故答案为：
9．【答案】
【分析】
求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得 的值.
【详解】
双曲线的焦点坐标是 ，代入圆的方程，
得 ， ， ，
解得： .
故答案为：
10．【答案】①②③④
【分析】根据题意作出函数 的图象，由图可知，轨迹是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，结
合图形可判断①②③④的正误.
【详解】
当 时，由 得 ，可得 ，则有 ，
当 时，由 得 ，可得 ，则有 ，
当 时，由 得 ，可得 .
所以，函数 的图象是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，如下图所示：
对于①，函数 在 上单调递减，①对；
对于②，由于直线 是双曲线 、 的一条公共渐近线，
故函数 的图象与直线 无交点，即函数 不存在零点，②对；
对于③，函数 的值域是 ，③对；对于④， 的图象不经过第一象限，④对.
故答案为：①②③④.
11．【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】
(1)求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件借助点到距离公式计算即得；
(2)结合(1)的结论设出直线MN的方程，并与双曲线方程联立，借助韦达定理探讨直线AM，AN斜率关系即
可推理作答.
【详解】
(1)双曲线 的渐近线方程为 ，令点 ，则 ，
因以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切，则 ，整理得 ，
所以双曲线C的离心率为 ；
(2)由(1)知，双曲线C的方程为： ，点 ，显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN：
，
因直线MN与双曲线右支交于两点，则直线MN与双曲线的两条渐近线 在y轴右侧都相交，于是得
，
由 消去x得： ，设 ，则
，
直线AM的斜率 ，同理，直线AN的斜率 ，
于是得 ，
因此，直线AM与AN的倾斜角互补，则直线AM与AN关于x轴对称，而点F在x轴上，所以点F到直线AM与AN的距离相等.
12．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ， 的最大值为2， 无最小值.
【分析】
（Ⅰ）根据 ，利用数量积为0可求出 ，再根据双曲线的定义求出 ，即可求解；
（Ⅱ）设 ， ， ，分 两种情况求出 与 的关系，即
可根据定义求出离心率，利用三角函数求取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意知， ， ，
，
解得 .
由双曲线定义得:
所求双曲线的方程为:
（Ⅱ）设 ， ， .
(1)当 时， ，且 ，
，此时 .
(2)当 ，由余弦定理得:
，
， ，
综上， 的最大值为2，但 无最小值.
此时 ，
此时双曲线的渐近线方程为 .
1．【答案】D
【分析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】
双曲线的渐近线为 ，易知 与直线 平行，
所以 .
故选：D.
2．【答案】B
【分析】
分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
3．【答案】A
【分析】
首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
4．【答案】D
【详解】
由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=- x,
∴-2=- ×4,
∴a=2b.设b=k,则a=2k,c= k,
∴e= = = .
5．【答案】D
【分析】
由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为 ，再根据双曲线的渐近线的方
程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础
题．
6．【答案】D
【分析】
根据题意可知，点 既在双曲线的一支上，又在函数 的图象上，即可求出点 的坐标，得到
的值．
【详解】
因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支上，由
可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还在函数
的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属
于基础题．
7．【答案】
【分析】
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】
由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
8．【答案】4
【分析】
将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再由关系式求
得 ，即可求解.
【详解】
由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中 ，
故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.
【点睛】
本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
9．【答案】
【分析】
根据离心率结合 得出 关系即可求出.
【详解】
由题离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .10．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，即可得
出轨迹 的方程；
（2）设点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，联立直线 与曲线
的方程，列出韦达定理，求出 的表达式，设直线 的斜率为 ，同理可得出 的表达式，
由 化简可得 的值.
【详解】
因为 ，
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 ；
（2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
不妨直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，消去 并整理可得 ，
设点 、 ，则 且 .由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
设直线 的斜率为 ，同理可得 ，
因为 ，即 ，整理可得 ，
即 ，显然 ，故 .
因此，直线 与直线 的斜率之和为 .
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
