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考向 37 直线与方程
1．（2021·山东高考真题）如下图，直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线 与 轴交点为 求解.
【详解】
由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率 ，
所以直线 与 轴的交点为 ，
所以直线的点斜式方程可得 ： ，
即 ．
故选：D2．（2021·全国高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点 和点
的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
【答案】
【分析】
结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得 ，
，化简即可得解.
【详解】
由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得解.1. 求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，
即得所求直线方程．
在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使
用时要注意分类讨论思想的运用．
一、直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫
做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
二、直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即k＝
tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
三、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x≠x，y≠y) 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 2 1 2 1 1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
四、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k ＝ k .
1 2 1 2 1 2 1 2
(2)当直线l，l不重合且斜率都不存在时，l∥l.
1 2 1 2 ⇔
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l，l的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k · k ＝－ 1.
1 2 1 2 1 2 1 2
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l⊥l.
1⇔ 2
五、两条直线的交点坐标
已知两条直线l：Ax＋By＋C＝0，l：Ax＋By＋C＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
1 1 1 1 2 2 2 2【知识拓展】
三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
(2)结论：|PP|＝.
1 2
(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
2．点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C＝0与l：Ax＋By＋C＝0之间的距离d＝.
1 1 2 2
1．（2021·江苏高二专题练习）与直线 关于 轴对称的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高三）已知直线 ： （ ）， ： ，若
，则 与 间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2021·全国高二课时练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直
线的斜率分别为______．
4．（2022·全国）设 ， 是正数，若两直线 和 恒过
同一定点，则 的最小值为__________．1．（2021·全国高二专题练习）已知直线 与直线 互相垂直，垂足为 .则
等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏高二专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同
一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知
的顶点 ， ， ，则 的欧拉线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国）已知直线 ， .则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·全国高二专题练习）已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国（文））“直线 与直线 平行”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·全国高二专题练习）已知直线 与直线 垂直，则a＝（
）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
7．（2021·全国高三专题练习（理））已知 ， ，直线 ， ，
且 ，则 的最小值为（ ）A．2 B．4 C． D．
8．（2021·全国高三专题练习（理））已知点P与点 的距离不大于1，则点P到直线
的距离最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2021·江苏高二专题练习）已知实数m，n满足 ，则直线 必过定点
________________．
10．（2021·全国高二单元测试）若直线 和 互相垂直，则实数
_____________.
11．（2021·全国高二专题练习）已知直线 ： ， ： ， ，若 ，
则 ___________.
12．（2021·江苏高二专题练习）点 到直线 距离的最大值为___________.
1．（2020·山东高考真题）直线 关于点 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·山东高考真题）已知直线 的图像如图所示，则角 是（ ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2008·全国高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 与 ，原
点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为
A．3 B．2 C． D．
5．（2007·浙江高考真题（理））直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2008·福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2008·四川高考真题（理））直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移１个单位，所得到的直
线为(
A． B．
C． D．
8．（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距
离，当 、 变化时， 的最大值为
A． B．
C． D．
9．（2016·北京高考真题（文））已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大
值为
A．−1 B．3 C．7 D．8
10．（2014·四川高考真题（文））设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
交于点 ，则 的取值范围是A． B． C． D．
11．（2021·湖南高考真题）过圆 的圆心且与直线 垂直的直线方程为___________
12．（2008·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为 ，
点 在线段OA上（异于端点），设 均为非零实数，直线 分别交 于点E，F，一
同学已正确算出 的方程： ，请你求OF的方程：__________________________．
13．（2016·上海高考真题（文））已知平行直线 ，则 的距离是
_______________.
1．【答案】B
【分析】
把方程中 换成 ，整理即得．
【详解】
直线 关于 轴对称的直线的方程为 ，即 ．
故选：B．
2．【答案】B
【分析】
由直线平行的结论列方程求 ，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.
【详解】
由 得 ，解得 ，
所以直线 ： ，即 ，所以 与 间的距离为 ，
故选B．
3．【答案】 和 .
【分析】
根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为 ，得到 ，得出对角线所在直线的斜率为 ，
结合两角和的正切公式，求得 ，再结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】
设正方形一边所在直线的倾斜角为 ，其斜率 ，
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为 ，其斜率为 ，
根据题意值 ，可得 ，解得 ，
即正方形其中一边所在直线的斜率为 ，
又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为 .
故答案为： 和 .
4．【答案】
【分析】
根据直线 方程求出 所过定点坐标，将定点坐标代入 的方程可得 ，将
展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
直线 的方程可化为 ，
显然该直线恒过两直线 和 的交点，由 可得 ，
所以直线 恒过点 ，
所以点 也在直线 上，故 ，即 ．
因为 ， 是正数，所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故答案为： .
1．【答案】D
【分析】
先由两直线垂直利用直线的一般式解出 的值，再代入交点坐标联立方程组求出未知数即可.
【详解】
由两直线垂直得 ，
解得 ，
所以原直线一可写为 ，
又因为垂足为 同时满足两直线方程，
所以代入得 ，
解得 ，
所以 ，故选:D
2．【答案】D
【分析】
根据线段AB的中点坐标和直线AB的斜率求出线段AB的垂直平分线，结合欧拉线的定义即可得出结果.
【详解】
线段AB的中点为M（1，2），k=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2= （x﹣1），即x﹣2y+3=0．
AB
∵AC=BC，∴ 的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此 的欧拉线的方程为：x
﹣2y+3=0．
故选：D．
3．【答案】B
【分析】
由 ，求得 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，直线 ，直线 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4．【答案】A
【分析】
根据直线的垂直关系可求得直线 的斜率为 ，所以 ，即可求得 .
【详解】
由垂直知两直线的斜率之积为 ，而直线 的斜率为 ，
得直线 的斜率为 ，即 ，得 为钝角，
所以 .
故选：A
5．【答案】C【分析】
根据两直线平行得到 或 ，再利用充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
当直线 与直线 平行,
，
解得 或 ，
当 ，直线 和直线 重合，舍去，所以 .
根据充分条件、必要条件的定义可得，
“直线 与直线 平行”是“ ”的充分必要条件
故选：C
6．【答案】D
【分析】
根据 ，得出关于 的方程，即可求解实数 的值.
【详解】
直线 与直线 垂直，
所以 ，解得 或 .
故选：D.
7．【答案】D
【分析】
根据 得到 ，再将 化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以，
当且仅当 ， 时，等号成立．
故选：D.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．【答案】B
【分析】
依题意知点P的轨迹为以 为圆心半径为1的圆面，则点P到直线 的距离最小值为圆心
到直线的距离减去半径．
【详解】
设点 ，则 ，
圆心 到 的距离为
则点P到直线 的距离最小值为
故选：B
9．【答案】
【分析】
将 代入直线 得 ，由 即可得结果.
【详解】
由已知得 ，代入直线 得 ，
即 ，
由 ，解得 ，
直线必过定点 ，
故答案为: .
10．【答案】6
【分析】
根据两直线垂直的条件求解．
【详解】
因为直线 和 互相垂直，所以 ，所以 ．
故答案为：6．
11．【答案】 或
【分析】
根据直线一般式时的平行关系 求解并检验即可得答案.
【详解】
∵ ，
∴ ，解得： 或 ，
检验，当 时， ： ， ： 满足题意；
当 时， ： ， ： 满足题意
故答案为： 或
【点睛】
两直线位置关系的判断： 和 的平行和垂直的条件属于常考题型，
如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直： ；
平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.
12．【答案】
【分析】
直线 恒过点 ，根据几何关系可得，点 到直线 的距离为 .
【详解】
解：直线 恒过点 ，
则点 到直线 的距离的最大值为点 到点 的距离，
∴点 到直线 距离的最大值为：
.
故答案为： .
1．【答案】D
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ,则其关于点 对称的点的坐标为 ，代入已知
直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ，
则其关于点 对称的点的坐标为 ，
因为点 在直线 上，所以 即 .
故选：D.
2．【答案】D
【分析】
本题可根据直线的斜率和截距得出 、 ，即可得出结果.
【详解】
结合图像易知， ， ，
则角 是第四象限角，
故选：D.
3．【答案】B
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点 到直线
距离最大，即可求得结果.
【详解】
由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，
属于基础题.
4．【答案】A
【详解】
， ，设底边为
由题意， 到 所成的角等于 到 所成的角于是有 ，
再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A．5．【答案】D
【分析】
设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．
【详解】
设所求直线上任一点（ ），则它关于 对称点为 在直线 上，∴
化简得 故选答案D．
故选D．
【点睛】
本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题．
6．【答案】C
【详解】
直线 和直线 互相垂直的充要条件是 ，即 ，故选C
7．【答案】A
【详解】
∵直线 绕原点逆时针旋转 的直线为 ，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将 向右平移１个单位得 ，即 故选A；
【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
8．【答案】C
【分析】
为单位圆上一点，而直线 过点 ，则根据几何意义得 的最大值为 .
【详解】
为单位圆上一点，而直线 过点 ，
所以 的最大值为 ，选C.
【点睛】
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数
的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．9．【答案】C
【详解】
由题意得，线段AB的方程： ， ，
∴ ，
当 时等号成立，即 的最大值为7.
故选：C.
【点睛】
求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求
函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单
调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
10．【答案】B
【详解】
试题分析：易得 .设 ，则消去 得： ，所以点P在以AB为直径的圆
上， ，所以 ，令 ，则
.因为 ，所以 .所以
， .选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以 ，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.
11．【答案】
【分析】
根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为 求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所
求直线的方程.
【详解】
由 可得 ，所以圆心为 ，
由 可得 ，所以直线 的斜率为 ，
所以与直线 垂直的直线的斜率为 ，
所以所求直线的方程为： ，即 ，
故答案为： .
12．【答案】
【详解】
本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想 ．
事实上，由截距式可得直线 ，直线 ，两式相减得 ，显
然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
13．【答案】
【详解】
试题分析：
利用两平行线间的距离公式得 .
【考点】两平行线间距离公式
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即 的系数必须相同，本题较为容易，
主要考查考生的基本运算能力.
