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考向 35 空间向量及其运算和
空间位置关系
1．（2021·全国高考真题）（多选题）在正三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【答案】BD
【分析】
对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数．
【详解】易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于A，当 时， ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故A错误；
对于B，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ， 平面
，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ，所以 点
轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ， ，则
， ， ，所以 或 ．故 均满足，故C
错误；
对于D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点轨迹为线
段 ．设 ，因为 ，所以 ， ，所以，此时 与 重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】
本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
表示空间向量的有向线段所在的直线互
共线向量 a∥b
相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋
yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作
〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||
b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a＝λb，a＝λb，a＝λb
1 1 2 2 3 3
a·b＝0
垂直 ab＋ab＋ab＝0
1 1 2 2 3 3
(a≠0，b≠0)
模 |a|
夹角余
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
弦值
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有
无数个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数
个，它们是共线向量．
(3)
位置关系 向量表示
l∥l n∥n n＝λn
1 2 1 2 1 2
直线l，l的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l⊥l n⊥n n·n＝0
1 2 1 2⇔1 2
l∥α n⊥m n·m＝0
⇔
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l⊥α n∥m n＝λm
⇔
α∥β n∥m n＝λm
⇔
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m n·m＝0
⇔
【知识拓展】
⇔．（2021·江苏高三）已知数组 ， ， ，则 （ ）
A．1 B．—1 C．2 D．
2．（2022·全国高三专题练习（理））三棱锥 中， 和 都是等边三角形， ，
， 为棱 上一点，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．与 点位置有关系
3．（2021·余干县第三中学（理））正方体 中， ，下列说法正确的有________.
（1）异面直线 与 所成的角为 ；
（2） 为 的中点，平面 截正方体所得截面面积为 ；
（3）三棱锥 的外接球半径为 ；
（4） 在 上， ，正方体8个顶点中与点 的距离为 的点有4个.
4．（2021·河南郑州·高三（文））如图所示，正方体 的棱长为 是它内切球的一
条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)， 为正方体表面上的动点，当弦 的长度最大时，
的 取值围是_______________________．1．（2020·江苏高三）已知三维数组 ， ，且 ，则实数 （ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
2．（2022·全国高三专题练习（理））在棱长为2的正方体 中，点 平面 ，点
F是线段 的中点，若 ，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海高三）如图， 面 ， 为矩形，连接 ､ ､ ､ ､ ，下面各组向
量中，数量积不一定为零的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
4．（2018·浙江高考模拟）如图：在平行六面体ABCD﹣ABCD中，M为AC与BD的交点.若 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）A． B．
C． D．
5．（2020·天津市第四中学高三）已知O为坐标原点，向量 ，点 .若点
E在直线 上，且 ，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三）（多选题）设所有空间向量的集合为
，若非空集合 满足：① ， ，② ， ，
，则称 为 的一个向量次空间，已知 ， 均为向量次空间，则下列说法错误的是（ ）
A．
B． 为向量次空间
C．若 ，则
D．若 ，则 ，总 且 ，使得
7．（2021·全国高三）（多选题）在正三棱柱 中， ， ， 与 交于点 ，
点 是线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点 ，使得
C．三棱锥 的体积为D．直线 与平面 所成角的余弦值为
8．（2021·山东济宁市·高三）（多选题）如图，直四棱柱 中，底面 为平行四边
形， ， ，点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），点 是半圆弧
上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（ ）
A．四面体 的体积是定值
B． 的取值范围是
C．若 与平面 所成的角为 ，则
D．若三棱锥 的外接球表面积为 ，则
9．（2021·全国）（多选题）将边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角 ，如图所
示，点 分别为线段 的中点，则 （ ）
A． 与 所成得角为
B．
C．过 且与 平行得平面截四面体 所得截面的面积为D．四面体 的外接球的表面积为
10．（2021·北京海淀·）已知边长为1的正方体 ， 为 中点， 为平面 上
的动点，若 ，则三棱锥 的体积最大值为_______．
11．（2020·全国高三专题练习）已知长方体 ， ， ，在 上取一点
M，在 上取一点N，使得直线 平面 ，则线段MN的最小值为________.
12．（2021·全国高三专题练习（理））在四棱锥 中，四边形 是边长为4的菱形，
， .
（1）证明： 平面 ；
（2）如图，取 的中点为 ，在线段 上取一点 使得 ，求二面角 的大小.1．（2012·陕西高考真题（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ,且 ，
则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·全国高考真题（理））在长方体 中， ， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
3．（2008·福建高考真题（理））如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2，AA=1，则BC与平面
1 1 1 1 1 1
BBDD所成角的正弦值为（ ）
1 1A． B． C． D．
4．（2014·广东高考真题（理））已知向量 ，则下列向量中与 成 的是
A． B． C． D．
5．（2011·上海高考真题（理））设 是空间中给定的5个不同的点，则使
成立的点 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．10
6．（2012·四川高考真题（文））如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，
则异面直线 与 所成角的大小是____________．
7．（2015·四川高考真题（理））如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动
点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为 ，则 的最大值为
.8．（2016·浙江高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°．
沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．
9．（2008·宁夏高考真题（理））已知向量 ，且 ，则
____________．
10．（2007·安徽高考真题（理））在正四面体O－ABC中， ，D为BC的中点，E为
AD的中点，则 ＝______________(用 表示)．
11．（2011·江苏高考真题）如图，在正四棱柱 中， ，点 是 的中
点，点 在 上，设二面角 的大小为 ．
（1）当 时，求 的长；（2）当 时，求 的长．
1．【答案】C
【分析】
由空间向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ， .
故选：C.
2． 【答案】A
【分析】
先证明 面 ，得到 ，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.
【详解】
如图所示，
取 的中点 ，连接 ，
和 都是等边三角形，
，，
面 ， 面 ，
，在 中，
， ，
由余弦定理 ，
.
故选：A
3．【答案】（1）（2）（3）
【分析】
本题可构建空间直角坐标系 ，然后写出每个顶点的坐标，连接 、 、 、 ，通过异面
直线所成角的定义得出异面直线 与 所成角即 ，通过三角形 是等边三角形即可得出
（1）正确，然后通过平面 截正方体所得截面即矩形 得出（2）正确，再然后通过三棱锥
的外接球即正方体 的外接球得出（3）正确，最后通过空间向量求出正方体8个
顶点中与点 的距离，即可得出（4）错误.
【详解】
如图，做空间直角坐标系 ，则 、 、 、 、 、 、 、 ，
（1）如图，连接 、 、 、 ，
因为由正方体性质易知 ，
所以异面直线 与 所成角即 （或补角），
因为 ，所以三角形 是等边三角形， ，
则异面直线 与 所成的角为 ，（1）正确；
（2）如图，作 中点 、 的中点 ，连接 、 、 ，结合图像易知，平面 截正方体所得截面即矩形 ，
， ，矩形 的面积 ，（2）正确；
（3）如图，连接 、 ，
三棱锥 的外接球即正方体 的外接球，
则外接球半径 ，（3）正确；
（4）如图，因为 ，所以 ，
则 ， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，故正方体8个顶点中与点 的距离为 的点有3个，（4）错误，
故答案为：（1）、（2）、（3）.
【点睛】
关键点点睛：本题考查异面直线所成角、截面、几何体的外接圆以及两点间距离的求法，可通过找平行线
的方式求出异面直线所成角，考查空间向量的灵活应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是难题.
4．【答案】
【分析】
首先确定弦 过球心 ，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到
，再通过构造几何意义求 的最大值和最小值.
【详解】
当弦 的长度最大时，弦过球心 ，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设 是上下底面的中心，
则 ， ，
， ， ，
则
，
而 表示点 和定点 距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小
值是 ，所以 的最小值是 ，最大值是 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题第一个关键点是确定 过球心 ，利用对称性设 ， ，第二个关键
点是构造两点间距离的几何意义 求最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理计算证明 ， ，进而利用线面垂直判定定理证得 平面 ，
从而 ，在计算证得 ，得到 平面 ，从而 ，证得 平面 ；
（2）以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.
【详解】
（1）因为 ， ，所以 ，所以 ，
又因为 为平行四边形，所以 ， ，
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 .
（2）由（1）知， ， ， 两两垂直，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，在三角形 中， ，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
因为 ， ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ， ，于是取 ，
又由（1）知，底面 为正方形，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 是平面 的一个法向量，
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以二面角 的大小为 .1．【答案】A
【详解】
设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C(0,2,0)，B(0,2,1)，可得 ＝(－2,2,1)， ＝
1 1
(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈 ， 〉＝
2．【答案】C
【详解】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相
等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
1
,所以 ,
因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标
系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第
四，破“应用公式关”.
3．【答案】D
【详解】
试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、 所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A
（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， （0，2，1）
∴ =（-2，0，1）， =（-2，2，0）， 且为平面BBDD的一个法向量．
1 1∴ ．∴BC 与平面BBDD所成角的正弦值为
1 1 1
考点：直线与平面所成的角
4．【答案】B
【详解】
试题分析：对于A选项中的向量 ， ，则 ；
对于B选项中的向量 ， ，则 ；
对于C选项中的向量 ， ，则 ；
对于D选项中的向量 ，此时 ，两向量的夹角为 .故选B.
【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题.
5．【答案】B
【详解】
考点：向量的加法及其几何意义．
分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知
这样的点是一个唯一确定的点．
解：根据所给的四个向量的和是一个零向量 ，
当A，A，A，A，A 是平面上给定的5个不同点确定以后，
1 2 3 4 5
在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，
故选B．
6．【答案】
【详解】
试题分析：分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则
，，即异面直线AM与DN所成角的大小是
1
考点：异面直线所成的角
7．【答案】
【详解】
建立坐标系如图所示.设 ，则 .设 ，则 ，
由于异面直线所成角的范围为 ，
所以 . ，
令 ，则 ，当 时取等号.
所以 ，当 时，取得最大值.
考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.
8．【答案】
【分析】试题分析：设直线 与 所成角为 ．
设 是 中点，由已知得 ，如图，以 为 轴， 为 轴，过 与平面 垂直的
直线为 轴，建立空间直角坐标系，由 ， ， ，作 于 ，
翻折过程中， 始终与 垂直， ，则 ， ，因此
可设 ，则 ，与 平行的单位向
量为 ，
所以 ＝ ，所以 时， 取最大值 ．
考点：异面直线所成角．
9．【答案】3
【分析】
利用向量的坐标运算求得求出 ，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，可得 ，
因为 ，解得 ，故答案为3.
10．【答案】
【详解】
因为在四面体 中， 为 的中点， 为 的中点，
，故答案为
.
11．【答案】（1） （2）
【分析】
以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD 为z轴正半轴，建立空间直角坐标系 ，设点
1
，计算出平面 的法向量 ．
（1）计算出平面 的法向量，将二面角 为直二面角转化为 ，求出 的值，再利用
空间中两点间的距离公式求出 ；
（2）由已知条件得出 ，计算 的值，则利用空间两点见的距离公式可得出 的值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD 为z轴正半轴，
1
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A(1,0,2),N( ,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),
1面MDN的法向量 ，
设面ADN的法向量为 ，则 ，即 ，
1
取 ，则 ， ，则 ．
（1）由题意： ，则 ，
取 ，
；
（2）由题意： ，即 ，
取 ，则 ， ， ， .
【点睛】本题考查平面与平面垂直、空间中两点间的距离以及二面角的求法，对于二面角的求解，关键是要找到合
适的位置建立空间直角坐标系，并求出相应的法向量，考查空间想象能力与运算能力，属于中等题．
