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考向 43 直线与圆锥曲线
1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦
点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则
双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 ，
再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】
设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
2．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，Q，
R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）求出 的值后可求抛物线的方程.
（2）设 ， ， ，联立直线 的方程和抛物线的方程后可得
，求出直线 的方程，联立各直线方程可求出 ，根据题设条件可得
，从而可求 的范围.
【详解】
（1）因为 ，故 ，故抛物线的方程为： .
（2）设 ， ， ，所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或 .
【点睛】
方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，
从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见
函数的范围问题.
1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二
次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二
次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关
系求解.
3.直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与
系数的关系.
4.定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值
等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不
受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧
妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线C ,C ，已知它们的方程为C : f(x,y)0,C :g(x,y)0，
1 2 1 2
f(x,y)0
求曲线C ,C 的交点坐标，即求方程组 的实数解.
1 2 g(x,y)0
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线l:AxByC 0，圆锥曲线C: f(x,y)0，把二者方程联立得到方程组，消去 y(x)得到一
个关于x(y)的方程ax2 bxc0(ay2 byc0).
（1）当a0时，
0方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
0方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
0方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.
（2）直线与双曲线有两个交点相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直
线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点相离.
（3）直线与抛物线有两个交点相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直
线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点相离.
【知识拓展】1 . 圆锥曲线的 中点弦问题
（1）AB为椭圆 的弦， ，弦中点M(x，y)，则AB所在直线的斜
0 0
率为 ，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值 .
（2）AB为双曲线 的弦， ，弦中点M(x，y)，则AB所在直线
0 0
的斜率为 ，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值 .
（3）在抛物线 中，以M(x，y) 为中点的弦所在直线的斜率 .
0 0
2 ． 弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于 两个不同的点，
则弦长 .
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.1．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线 （ ）的右焦点为 ，直线
与双曲线只有1个交点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·模拟预测（理））已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线 ，
动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d，d，O为坐标原点，则当d+d最小时，
1 2 1 2
cos∠MFO＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·云南五华·模拟预测（理））已知 ， 分别为椭圆 ： 的左，右焦点，单位圆
与 的一个公共点为 ， 与 异于 的交点为 ，则 的面积为______．
4．（2021·全国·模拟预测（理））设M，N是双曲线 实轴的两个端点，Q是双曲
线上的一点（异于M，N两点）， ， ，则 ________．
1．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线 ，直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，记
，其中O为坐标原点，则（ ）
A．m的最小值为2，且此时l与x轴平行 B．m的最小值为2，且此时l与x轴垂直
C．m的最大值为2，且此时l与x轴平行 D．m的最大值为2，且此时l与x轴垂直
2．（2021·全国·模拟预测（理））过抛物线 的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物
线分别交于A，B两点（点A在第一象限），过A作抛物线的切线交x轴于点C，则 的面积为
（ ）A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江实验中学三模（文））已知抛物线 的焦点为F，经过点F的直线与抛
物线C交于A､B两点，若AB的中点为 ，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
4．（2021·江苏·一模）过抛物线 的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段 中点的横坐
标为3，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021·云南曲靖·二模（文））已知双曲线 的右焦点为 ，直线 ､ 是双曲线的两渐近
线， ， 是垂足.点 在双曲线上，经过 分别与 ､ 平行的直线与 ､ 相交于 ､ 两点， 是
坐标原点， 的面积为 ，四边形 的面积为 .则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021·陕西·模拟预测（理））已知抛物线x2＝2py（p＞0）焦点为F，O为坐标原点，直线l过点F
与抛物线交于A，B两点，与x轴交于C（2p，0），若|AB|＝17，则△OCF的面积为 ____．
7．（2021·甘肃省民乐县第一中学三模（理））已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，斜率大于0的直线 经过点 与 的右支交于 ， 两点，若 与 的内切圆面积
之比为9，则直线 的斜率为______．
8．（2021·全国·模拟预测（文））已知 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 交于
， 两点.若 ，则实数 的值为___________.
9．（2021·全国·模拟预测（文））已知直线 是双曲线 的两条渐近线，点 是双曲线上一点，若点 到渐近线 的距离的取值范围是 ，则点 到渐近线 的距离的取值范围是__________．
10．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的
直线与抛物线C交于A，B两点，且 的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
（2）已知 ，若P在线段 上， 是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求
面积的最大值．
11．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））设椭圆 ，椭圆的右焦点恰好是抛物
线 的焦点．椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点 的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重
合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．
12．（2021·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左、右焦点
分别为 ，直线 交双曲线C于M，N两点.
（1）若M（2，3），四边形 的面积为12，求双曲线C的方程；
（2）若 ，且四边形 是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围.
1．（2021·山东·高考真题）关于 ， 的方程 ，给出以下命题；
①当 时，方程表示双曲线；②当 时，方程表示抛物线；③当 时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当 时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 .若 成
等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
3．（2021·全国·高考真题（文））设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
4．（2020·全国·高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹
为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
5．（2020·全国·高考真题（文））设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在
上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．（2020·全国·高考真题（文））设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ，
两点，若 ，则 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国·高考真题（理））设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条
渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于______.
9．（2021·全国·高考真题（文））已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标
原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
10．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
1．【答案】C
【分析】
求得双曲线的渐近线方程，结合图象可得直线的斜率k．
【详解】
双曲线 的渐近线方程为 ，
直线 经过焦点 ，当 时，只有直线 与渐近线 平行，与双曲线有1个交点，可得 ，同理可得，当 时， ，故 ．
故选：C．
2．【答案】A
【分析】
由抛物线的定义可知，d＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d+d＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d+d
1 1 2 1 2
最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果.
【详解】
由抛物线的定义可知，d＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，
1
∴d+d＝|MF|+|MN|，
1 2
当M、F、N三点共线时，d+d最小，
1 2
∵抛物线C：y2＝4x，
∴焦点F（1，0），
∴|FN|＝d＝ ，
设直线l'与x轴的交点为D，
令y＝0，得 ，即FD＝2+1＝3，
在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝ ．
故选：A．
3．【答案】
【分析】由题意，求出直线 方程，联立椭圆方程求交点坐标，根据三角形面积公式直接求解.
【详解】
由椭圆 ： 可知， ，
所以 ,
不妨取 ，
则直线 方程为 ，
联立 可解的 或 ，
所以 ,
所以 ，
故答案为：
4．【答案】
【分析】
设出Q坐标，求出 、 的正切函数值，然后结合点在双曲线上，转化求解即可．
【详解】
设 ，则 ， ，所以 ，
又Q在双曲线上，可得 ，所以 ，可得 ．
故答案为： ．1．【答案】B
【分析】
记 ，其中 ，从而可表示出 ，化简后利用
基本不等式可求得答案
【详解】
记 ，其中 ，则
，当且仅当
时取到等号，
因此m的最小值为2，此时l与x轴垂直，m没有最大值．
故选：B
2．【答案】A
【分析】
设点 ， ，联立直线与抛物线方程可得， ， ， ，所以
点 ， ，再结合导数的几何含义，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
设点 ， ，
由题意可得抛物线 的焦点为 ，
则直线 的方程为 ，
联立 ，化简整理可得， ，
解得 ， ，所以点 ， ，
由 ，可得 ， ，
所以过点A的切线斜率 ，
所以切线方程 ，即 ，
则C点的坐标为 ，
所以 ．
故选：A．
3．【答案】D
【分析】
设 ，由题意得到 ，设直线AB方程为 ，联立方程组得到
，根据 均为抛物线上的点，得到 ，两式相加得出关于 的方程，求得 的值，结
合焦点弦的性质，即可求解.
【详解】
设 ，
因为 中点坐标为 ，可得 ， ，
因为直线AB过焦点 ，可设直线AB方程为 ，联立直线AB与抛物线方程 ，整理得 ，则 ，
因为 均为抛物线上的点，可得 ，
两式相加得 ，
即 ，解得 或 ，
因为 ，可得 或 .
故选：D.
4．【答案】D
【分析】
根据抛物线方程得它的准线为 ，从而得到线段 中点 到准线的距离等于4．过 、 分别作
、 与 垂直，垂足分别为 、 ，根据梯形中位线定理算出 ，结合抛物线的定
义即可算出 的长．
【详解】
解： 抛物线方程为 ， 抛物线的焦点为 ，准线为
设线段 的中点为 ，则 到准线的距离为： ，
过 、 分别作 、 与 垂直，垂足分别为 、 ，
根据梯形中位线定理，可得 ，
再由抛物线的定义知： ， ，
．
故选：D.5．【答案】A
【分析】
由双曲线方程求出两条渐近线方程，设 ，得出两条与渐近线平行的直线方程，联立直线方程求出
A、B的坐标，可得 与 的值，即可求出四边形OAMB的面积，再求出 的面积即可.
【详解】
由题意知，双曲线的渐近线方程为 ，
不妨设 ，则 ，设 ，
所以过M与 平行的直线方程为： ，
过M与 平行的直线方程为： ；
所以 ，解得 ，同理，解得 ，
所以 ， ，
得 ；
又 ， 为等腰三角形，
所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A
6．【答案】32
【分析】
根据抛物线的性质和过焦点直线的关系，联立直线和抛物线得到方程，再根据韦达定理，题中所给条件可
以求出 ， 则也可求了.
【详解】
解：∵直线l过点 ， ，∴ ，
∴直线l的方程为 ，
联立直线l与抛物线方程 ，可得 ，
设 ， ，
由韦达定理可得， ，
由弦长公式可得
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：32．
7．【答案】
【分析】
设 与 的内切圆圆心分别为 ， ， 的内切圆与三边分别切于点 ， ， ， 利用
内切圆的性质得 ．设直线 的倾斜角为 ，在 中， ，在
中， ，由题得 得 ，再由二倍角公式可得答案．
【详解】
设 与 的内切圆圆心分别为 ， ，连接 ， ， ，
的内切圆与三边分别切于点 ， ， ，如图，则 ，
所以 ，即 ，
同理 ，所以 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
由题得 ，所以 ，
解得 ，所以 ．
故答案为： ﹒
8．【答案】
【分析】
依题意联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可得到 ，再根据 ，则 ，即可得到
方程，解得即可；
【详解】解：依题意联立直线与椭圆方程 ，消去 并整理得 ，解得 或
，不妨取 ，则 ， ， ，
所以 ， ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，即
，即 所以 ，解得
故答案为：
9．【答案】
【分析】
设点P（x，y），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得
0 0
P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．
【详解】
设点 ，由题可设渐近线 ，渐近线 ，由点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，有 ，又 ，即
，则 ，则 ，由 与 成反比，且 ，所以
故答案为： .
10．【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设点 ，由中点坐标得 ，再由直线AB的斜率得 ，将A、B两点代
入抛物线方程中计算可求得 得抛物线的方程；
（2）设 ，且 ，设点 ， ，求得切线PH、PG的方程，再由点P在切线
PG、PH上得出直线GH的方程 ，与抛物线 联立，求得弦长 ，以及点P到直线GH的
距离，表示 的面积，根据二次函数的性质可求得三角形面积的最大值.
【详解】
解：（1）设点 ，则 ，所以 ，又因为直线AB的斜率为1，所以
，
将A、B两点代入抛物线方程中得： ，将上述两式相减得， ，
即 ，所以 ，即 ，所以 ，
因此，抛物线的方程为 ；
（2）因为 ，P在线段 上，所以设 ，且 ，
设点 ， ，则切线PH、PG的斜率定存在，设直线PH的方程为 ，与抛物
线 联立消y得： ，
所以 ，即 ，解得 ，所以切线PH的方程为
，即 ，
同理得切线PG的方程为 ，又点P在切线PG、PH上，所以 ，所以直线GH的方程为 ，即 ，
直线GH的方程与抛物线 联立 ，整理得 ，所以
，
又点P到直线GH的距离为 ，
所以 的面积为 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 面积的最大
值为 ．
11．【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据焦点为 ，且离心率 ，可得 ， ，即可得解；
（2）显然斜率不为 ，设过点 的直线为 ，设 ， ．联立 整
理，得 ，则有 ， ，设直线AC的方程为 ，
直线BD的方程为 ，联立结合韦达定理即可得解.
【详解】
（1）∵抛物线 的焦点为 ，∴ ．又∵ ，∴ ，∴ ．
∴椭圆E的标准方程为 ．
（2）由（1）可得 ， ．设过点 的直线为 ，设 ， ．
联立 整理，得 ，
，∴ ， ．
设直线AC的方程为 ，直线BD的方程为 ，
联立两条直线方程，解得 ①，
将 ， 代入①，得 ②，
将 ， 代入②，得 ． ，
∴直线AC，BD的交点的横坐标为定值－4．
12．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）依题意得四边形 是平行四边形，写出四边形 的面积的表达式，求得 ，结合两点
距离公式求得 ， ，根据双曲线定义求出 ， ，即可求方程；
（2）联立方程，因为 是矩形，则 ，代入坐标计算化简，结合 即可求得结
果．
【详解】
(1) 因为直线y=kx交双曲线C于M， N两点，所以M， N两点关于原点对称，
从而四边形 是平行四边形.
设双曲线C的焦距为2c，
则四边形 的面积 ，解得c=2，
从而F(-2， 0)， F(2， 0)，所以
1 2
于是 ，解得
所以双曲线C的方程为
(2)设 ，则
由 得
因为
所以 ，化简得
因为 ，所以
由 ，得 ，
解得
由 得 ，
解得 .
因此，e的取值范围为1．【答案】B
【分析】
根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的类别即可.
【详解】
当 时，方程表示双曲线；
当 时，方程表示两条垂直于 轴的直线；
当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆；
当 时，方程表示圆；
当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆．
∴①③⑤正确.
故答案为：B
2．【答案】C
【分析】
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以 或 ，
其中 为双曲线， 为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的
逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
3．【答案】A
【分析】
设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后消元，即
可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】
设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即
可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端
点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范
围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
4．【答案】A
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】
设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
5．【答案】B
【分析】
由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，
联立即可得到 ，代入 中计算即可.
【详解】
由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，解得 ，所以
故选：B
【点晴】
本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道
中档题.
6．【答案】B
【分析】
根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点 的
坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】
因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物
线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
7．【答案】B
【分析】
因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ， 两点
坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求
得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，
在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
8．【答案】
【分析】
利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】
由题意知：
抛物线方程为：在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又 ，
故答案为：
9．【答案】
【分析】
根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形 面
积等于 ，即可求解.
【详解】
因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
10．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，
将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合
二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.【详解】
（1）抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点 、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
