考向42抛物线-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）(31199887)_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

考向 42 抛物线 1．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】 首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值. 【详解】 抛物线的焦点坐标为 ， 其到直线 的距离： ， 解得： ( 舍去). 故选：B. 2．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一 点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______. 【答案】 【分析】 先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果. 【详解】 抛物线 ： ( )的焦点 ,∵P为 上一点， 与 轴垂直， 所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 , 不妨设 , 因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧， 又 ， 因为 ，所以 , ， 所以 的准线方程为 故答案为： . 【点睛】 利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已 p 经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤： 若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. 3．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. 4．直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，如图： 1 1 2 2 （1）yy＝－p2，xx＝. 1 2 1 2 （2）|AB|＝x＋x＋p，x＋x≥ ＝p，即当x＝x时，弦长最短为2p. 1 2 1 2 1 2 （3）＋为定值. （4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)． （5）以AB为直径的圆与准线相切． （6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°. 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条 直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 2．抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为y2 2px(p 0)； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为y2 2px(p0)； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为x2 2py(p 0)； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为x2 2py(p0). 3．抛物线的几何性质 标准方程 y2 2px(p 0) y2 2px(p0) x2 2py(p 0) x2 2py(p0)图 形 范 围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 p p p p 几 焦点 F( ,0) F( ,0) F(0, ) F(0, ) 2 2 2 2 何 性 p p p p 准线方程 x x y  y  质 2 2 2 2 顶 点 坐标原点(0，0) 离心率 e1 4．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点P(x ,y )与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 0 0 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 y2 2px(p 0) y2 2px(p0) x2 2py(p 0) x2 2py(p0) p p p p 焦半径公式 |PF | x |PF | x |PF |  y |PF |  y 2 0 2 0 2 0 2 0 【知识拓展】 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标， 再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，A(x ,y )，B(x ,y )，则 1 1 2 2 抛物线 y2 2px(p 0) y2 2px(p0) x2 2py(p 0) x2 2py(p0) 方程焦点弦 | AB| p(x x ) | AB| p(x x ) | AB| p(y  y ) | AB| p(y  y ) 公式 1 2 1 2 1 2 1 2 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． p p 对于抛物线 ，由A( , p)，B( ,p)，可得 ，故抛物线的通径长为2p． y2 2px(p 0) 2 2 | AB|2p 1．（2021·全国·模拟预测（理））已知抛物线 y2 8x 的准线为 l ，点 P 是抛物线上的动点，直线 l 1的方程 为 2xy30 ，过点P分别作 PM l ，垂足为 M ， PN l 1，垂足为 N ，则 PM  PN 的最小值为（ ） 6 5 7 5 A． 5 B． 5 3 5 2 C． 5 D． 5 A2,4 2．（2021·上海·模拟预测）过点 ，且顶点在原点､对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为 ___________. C: y2 8x F l P l 3．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 (cid:2) (cid:2) 上一点， Q 是直线PF与 C 的一个交点，若 FP4FQ ，则 QF  _____________． y2 2pxp0 F 4．（2020·陕西富平·二模（文））如图，过抛物线 的焦点 的直线依次交抛物线及准线于点A，B， C ， BC 2 BF ，且 AF 3 ，则 p ___________. 1．（2021·湖南湘潭·一模）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在 上，且 ， 若点 的坐标为 ，且 ，则 的方程为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 2．（2021·吉林长春·一模（理））已知 是抛物线 上的一点， 是抛物线的焦点，若以 为 始边， 为终边的角 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 3．（2019·吉林长春·一模（理））已知 为坐标原点，抛物线 上一点 到焦点 的距离为6，若点 为抛物线 的准线上的动点，则 的最小值为（ ） A．4 B． C． D． 4．（2021·吉林·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）一模（文））已知 是抛物 线 上的一动点， 是抛物线的焦点，点 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））抛物线 的准线方程是（ ） A． B． C． D． 6．（2021·河南·模拟预测（文））抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且平行于 轴的直线与线段 的中垂线交于点 ，若点 在抛物线 上，则 （ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 7．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学二模（文））已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线相交于点 .若 ，则 的值等于________. 8．（2021·浙江·模拟预测）设正四面体 的棱长是 ， 、 分别是棱 、 的中点， 是平 面 内的动点.当直线 、 所成的角恒为 时，点 的轨迹是抛物线，此时 的最小值是______. 9．（2021·陕西富平·二模（理））已知F是抛物线 的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3， 1），则 周长的最小值为___________. 10．（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 上一点 到焦点 的距离 .不经过点 的直线 与 交于 ， . （1）求抛物线 的标准方程； （2）若直线 ， 的斜率之和为2，证明：直线 过定点.11．（2021·云南五华·模拟预测（理））已知抛物线 ： ， 是坐标原点， 是 的焦 点， 是 上一点， ， ． （1）求 的标准方程； （2）设点 在 上，过 作两条互相垂直的直线 ， ，分别交 于 ， 两点（异于 点）． 证明：直线 恒过定点． 12．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，直线 、 分别与直线 交于点 、 （ 为原点）. （1）求抛物线 的方程； （2）已知点 ，试问： 的外接圆是否恒经过 轴上的定点 （异于点 ）？若是，求出点 的坐标；若不是，请说明理由. 1．（2014·江西·高考真题（理））在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为 直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为（ ）A． B． C． D． 2．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点， 过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 3．（2020·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 4．（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 5．（2012·四川·高考真题（文））已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 ．若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 A． B． C． D． 6．（2014·陕西·高考真题（文））抛物线 的准线方程为_____． 7．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线 截得的 线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 8．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点 . 若 ，则点 的横坐标为_______； 的面积为_______． 9．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点 ，椭圆 的顶点分别为 ， ， ， ，其中点 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程； （2）若过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程. 10．（2021·山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点 ，焦点 在 轴的正半轴上， 是抛物线 上的点，点 到焦点 的距离为1，且到 轴的距离是 ． （1）求抛物线的标准方程； （2）假设直线 通过点 ，与抛物线相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程． 1．【答案】B 【分析】 令抛物线焦点为F，利用抛物线定义可得 ，再求点F到直线 的距离即可. 【详解】 令抛物线 的焦点为F，则 ，连接PF，如图，因 是抛物线 的准线，点 是抛物线上的动点，且 于 ，于是得 ， 点 到直线 ： 的距离 ， 又 于 ，显然点P在点F与N之间，于是有 ，当且仅当F，P，N三点共 线时取“=”， 所以 的最小值为 . 故选：B 2．【答案】 或 【分析】 设抛物线方程为 或 ，代入点即可求解. 【详解】 因为点 在第二象限， 所以设抛物线方程为 或 ， 代入点A，得 ， 所以所求抛物线方程为 或 故答案为： 或 3．【答案】3； 【分析】过点 作准线的垂线 ，由抛物线的定义和三角形相似、 可知， ，进 而可求得结果. 【详解】 如图所示： 过点 作 交 于点 ，利用抛物线定义得到 . 设准线 交x轴于点 ，因为 ， 所以 ，又焦点 到准线 的距离为4，所以 ， 所以 . 故答案为：3 4．【答案】 【分析】 分别过点 ， 作准线的垂线，交准线于 、 两点， ，由题意可得 ，所以 ，即可求出 的值，再利用 ，平行线分线段成比例即可求解. 【详解】C 如图：分别过点 ， 作准线的垂线，交准线于 、 两点， 设 ，则 ， 由双曲线的定义可得： ，所以 ， 在 中， ， 因为 ， ， 所以 ，可得 ， 设准线与 轴相交于点 ，因为 ，所以 即 ， 可得： ， 故答案为： . 1．【答案】A 【分析】 设 为 ，得到 ， ，得到 ，由 ，联立方程组求得 ，结合 ，求得 的值，即可求解. 【详解】 设 为 ，则 ， 又由 ，所以 ， 因为 ，所以 ，可得 ， 由 ，联立方程组，消去 ，可得 ，所以 ，故 ， 又由 ，所以 ，即 ，解得 或 ， 所以 的方程为 或 ． 故选：A． 2．【答案】D 【分析】 设点 ，取 ，可得 ，求出 的值，利用抛物线的定义可求得 的值. 【详解】 设点 ，其中 ，则 ， ， 取 ，则 ， 可得 ，因为 ，可得 ，解得 ，则 ， 因此， . 故选：D.3．【答案】C 【分析】 求出坐标原点 关于准线的对称点 的坐标，由 ，则 ，根据两点间的距 离公式即可求解. 【详解】 解：由题意，抛物线 的准线方程为 ， ∵ ， ∴点 到准线的距离为6，即点 的横坐标为4，不妨设点 在第一象限， 则点 的坐标为 ， ∵坐标原点 关于准线的对称点 的坐标为 ， ∴ ， ∴ 的最小值为 . 故选：C. 4．【答案】C 【分析】 过 作 垂直准线， 为垂足，则有 ，则可转化 ，分析即得解 【详解】过 作 垂直准线， 为垂足， ，所以 （当且仅当 纵坐标相等时取等号） 故选：C 5．【答案】D 【分析】 先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程. 【详解】 抛物线的方程可化为x2 y 故 其准线方程为y 故选：D 6．【答案】A 【分析】 若 点在抛物线外部，由已知可得此种情况不存在；若 点在抛物线内部，设线段 的中点为 ，得 ，再由抛物线定义得 可得答案. 【详解】若 点在抛物线外部，如下图，设线段 的中点为 ， 因为线段 的中垂线是 ，所以 ， 由抛物线定义， 又等于点 到准线 的距离 ，而图中 ， 所以 点不在抛物线外部； 若 点在抛物线内部，如下图， 设线段 的中点为 ， ， ， 因为线段 的中垂线是 ，所以 ， 再由抛物线定义得 ，解得 或 ， 所以 时， ， 时， ， 故选：A.7．【答案】 【分析】 过点 作 垂直于准线于点 ，根据已知条件可得 ，可得 ，设准线与 轴 相交于点 ，根据 ， 即可求得 的值. 【详解】 抛物线 ： 的焦点为 坐标为 ，准线为 过点 作 垂直于准线于点 ， 由抛物线的定义知 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，可得 ， 设准线与 轴相交于点 ，则 ， ， 在 中， ，所以 ， 所以 的值等于 ． 故答案为： ．8．【答案】 【分析】 设点 在底面 的射影点为 ，连接 ，以点 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴的 正方向建立空间直角坐标系，设点 ，由已知条件可得出关于 、 所满足的等式，利用二次函数 的基本性质可求得 的最小值. 【详解】 设点 在底面 的射影点为 ，连接 ，则 ， ， 以点 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 、 ， 设点 ，则 ， ，， 整理可得 ， 由题意可知，方程 表示的曲线为抛物线， 所以 ，故 ，即有 ，可得 ， 则 ， 当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】 方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所满足 的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方程， 即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 9．【答案】 【分析】 求 周长的最小值，即求 的最小值．设点 在准线上的射影为 ，则根据抛物线的定义，可知 ．因此问题转化为求 的最小值，根据平面几何知识，当 、 、 三点共线时 最小，从而可得结果 【详解】 的焦点坐标为 ,求 周长的最小值，即求 的最小值， 设点 在准线上的射影为 ， 根据抛物线的定义，可知 因此， 的最小值，即 的最小值 根据平面几何知识，可得当 ， ， 三点共线时 最小， 因此的最小值为 ， ， 所以 周长的最小值为 ， 故答案为： ． 【点睛】 关键点睛：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当 ， ， 三点共线时 最小，是解题的关键． 10．【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义由 到准线的距离等于 列方程求得 的值，即可 求解； （2）求出点 的坐标，设直线 的方程是 ， ， ，将直线方程与抛物线方程联立， 由韦达定理可得 ， ，利用 列方程可得 ，再代入直线方程即可得所过的定点. 【详解】 （1）抛物线 ： 的焦点 ，准线方程为 ， 因为抛物线上一点 到焦点 的距离 ， 由抛物线的定义得 ，所以 . 所以抛物线 的标准方程是 ； （2）将 代入 可得 或 （舍），所以点 坐标为 ， 因为直线 的斜率不等于 ，设直线 的方程是 ， ， ， 联立 ，得 ， 因为直线 与 有两个交点，所以 ，即 . 由韦达定理得 ， 因为直线 ， 的斜率之和为2， 所以 ， 所以 ，将 代入上式可得： ，即 ， 所以直线 的方程是 ，它过定点 . 【点睛】 思路点睛：解决定值、定点的方法 （1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思 想和消元思想的运用可以有效的简化运算. 11．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【分析】 （1）由题可知 ,代入抛物线 ，,求出p的值,即可得到抛物线方程； （2）设直线 的方程为 ， ， ，利用 化简可得 或 ，代入直线方程即可得证. 【详解】 （1）由 ， ，可得 ， 代入 ： ． 解得 或 （舍），从而 ： ． （2）由题意可得 ，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ， 设 ， ， 由 ，得 ，从而 ， 且 ， ．又 ， ， ∵ ∴ ， 故 ， 整理得 ． 即 ， 从而 或 ，即 或 ． 若 ，则 ，过定点 ，与 点重合，不符合： 若 ，则 ，过定点 ． 综上，直线 过异于 点的定点 ． 12．【答案】（1） ；（2）是， . 【分析】 （1）根据抛物线的焦准距可求得 的值，即可得出抛物线 的方程； （2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，联立直线 与抛物线 的方程，列出韦 达定理，求出点 、 的坐标，根据圆的几何性质可求得 的外接圆圆心 的坐标，根据 结合两点间的距离公式求出 的值，即可得出结论. 【详解】 （1）由题意可知，抛物线 的焦点 到其准线的距离为 ， 因此，抛物线 的方程为 ；（2）若直线 的斜率不存在，则直线 与 轴重合，此时，直线 与抛物线 只有一个交点，不合 乎题意. 设直线 的方程为 ，设点 、 ， 联立 可得 ， ， 由韦达定理可得 ， 直线 的方程为 ，联立 可得 ，即点 ， 同理可得点 ， 设 的外接圆圆心为 ，由于 轴，则 ， 假设 的外接圆恒过 轴上一点 ，则 ， 故点 的坐标为 ， 由于 ，从而 ， 整理可得 ，解得 ， 因此， 的外接圆是否恒经过 轴上的定点 . 1．【答案】A【详解】 试题分析：设直线 因为 ， 表示点 到直线 的距离，所以圆心 的轨 迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，圆 的半径最小值为 ，圆 面积的最小值为 ．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 2．【答案】B 【分析】 依据题意不妨作出焦点在 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 的垂直平分线经过点 ，即求解. 【详解】 如图所示： ． 因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， ， 所以线段 的垂直平分线经过点 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 3．【答案】C 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 . 故选：C. 【点晴】 本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4．【答案】D 【分析】 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除的方法，如 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D． 【详解】 因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得 ， 故选D． 【点睛】 本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 5．【答案】B 【详解】 设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（ ），准线方程为x= , 解得： [点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线 的距离). 6．【答案】 【分析】 本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．【详解】 由抛物线方程可知，抛物线 的准线方程为： ． 故答案为 ． 【点睛】 本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题． 7．【答案】 【详解】 分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点 ，将点 坐标代入可求参数 的值，进 而可求焦点坐标. 详细：由题意可得，点 在抛物线上，将 代入 中， 解得： ， ， 由抛物线方程可得： ， 焦点坐标为 . 点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物 线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.8．【答案】5 【分析】 根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 . 【详解】 因为抛物线的方程为 ，故 且 . 因为 ， ，解得 ，故 ， 所以 ， 故答案为：5； . 9．【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线 的方程为 ，与抛物线方程联立， 并利用韦达定理表示 ，并利用 ，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程. 【详解】 解：（1）由椭圆 可知 ， ， 所以 ， ，则 ， 因为抛物线的焦点为 ，可设抛物线方程为 ， 所以 ，即 . 所以抛物线的标准方程为 .（2）由椭圆 可知 ， ， 若直线 无斜率，则其方程为 ，经检验，不符合要求. 所以直线 的斜率存在，设为 ，直线 过点 ， 则直线 的方程为 ， 设点 ， ， 联立方程组 ， 消去 ，得 .① 因为直线 与抛物线有两个交点， 所以 ，即 ， 解得 ，且 . 由①可知 ， 所以 ， 则 ， 因为 ，且 ， 所以 ，解得 或 ， 因为 ，且 ， 所以 不符合题意，舍去， 所以直线 的方程为 ， 即 . 10．【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）根据抛物线的定义，结合 到焦点、 轴的距离求 ，写出抛物线方程. （2）直线 的斜率不存在易得 与 不垂直与题设矛盾，设直线 方程联立抛物线方程，应用韦达定理 求 ， ，进而求 ，由题设向量垂直的坐标表示有 求直线方程即可. 【详解】 （1）由己知，可设抛物线的方程为 ，又 到焦点 的距离是1， ∴点 到准线的距离是1，又 到 轴的距离是 ， ∴ ，解得 ，则抛物线方程是 ． （2）假设直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，与 联立可得交点 、 的坐标分别为 ， ，易得 ，可知直线 与直线 不垂直，不满足题意，故假设不成立， ∴直线 的斜率存在．设直线 为 ，整理得 ， 设 ， ，联立直线 与抛物线的方程得 ，消去 ，并整理得 ，于是 ， ， ∴ ， 又 ，因此 ，即 ， ∴ ，解得 或 ． 当 时，直线 的方程是 ，不满足 ，舍去． 当 时，直线 的方程是 ，即 ， ∴直线 的方程是 ．