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考向 38 圆的方程
1．（2021·全国高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】
转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即
可得解.
【详解】
圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
2．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆 的圆心重合，
长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．
【答案】
【分析】
由于 是圆，可得 ，通过圆心和半径计算 ，即得解
【详解】
由于 是圆，
即：圆
其中圆心为 ，半径为4
那么椭圆的长轴长为8，即 ， ， ，
那么短轴长为
故答案为：
1.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
2.求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说,求圆的方程有两种方法：①几何法,通过研
究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线．②代数法,即设出圆
的方程,用待定系数法求解．
3.与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结
合求解．常用结论有：
(1)圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于,最小值等于 PC r.
(2)圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径,最小值等于点C到直线
l距离的最小值减去半径.
(3)设点M是圆C内一点,过点M作圆C的弦,则弦长的最大值为直径,最小的弦长为2 r2 CM 2 .
4.与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点
(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③
形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题．
5.与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值
的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.
6.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法.
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式．
1 、 圆的方程
圆的标准方程 圆的一般方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程
圆心
半径
（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；
区别与
（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；
联系
（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程/ 2 、 点与圆的位置关系
标准方程的形式 一般方程的形式
点（x，y）在圆
0 0
上
点（x，y）在圆
0 0
外
点（x，y）在圆
0 0
内
【知识拓展】
1、当D2+E2－4F = 0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0 表示一个点 ；当D2+E2－4F＜0时，方程
x2+y2+Dx+Ey+F = 0没有意义，不表示任何图形．
2、最值问题
（1）.对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，
（2）.然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．
特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．
3 、 与圆有关的对称问题
（1）．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．
（2）．圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
（3）．圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．1．（2021·四川阆中中学高二月考（理））已知圆 ，圆 ，
点 、 分别是圆 、圆 上的动点，点 为 轴上的动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国高三专题练习（理））已知 ， ， ，平面ABC内的动点P，M满足
， ，则 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三专题练习（理））已知 ，方程 表示圆，则圆心
坐标是______．
4．（2021·全国高三专题练习（理））已知三个点 ， ， ，则 的外接圆的圆心
坐标是___________.
1．（2021·泰州市第二中学高二月考）已知定直线l的方程为 ，点Q是直线l上的
动点，过点Q作圆 的一条切线， 是切点，C是圆心，若 面积的最小值为
，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．2．（2021·四川成都·高三模拟预测（文））已知 为圆 上一动点，则点 到直线
的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国高三专题练习（理））抛物线 过圆 的圆心，
为抛物线上一点，则点 到抛物线焦点 的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022·全国高三专题练习（理））“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭
圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆
的离心率为 ，则椭圆 的“蒙日圆”方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
5．（2021·全国高三专题练习（理）） 的外接圆的半径等于3， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·石家庄实验中学高三开学考试）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为
，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
7．（2021·全国高三专题练习（理））“ ”是“方程 表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2022·全国高三专题练习）（多选题）已知平面向量 ， ， ，若 ， 是夹角为 的两个单
位向量， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·云南五华·高三模拟预测（理））如图，矩形 中， ， ，以 为直径的
半圆上有一点 ，若 ，则 的最大值为___________.
10．（2021·合肥市第九中学高三月考（文））在 中， ， ， ，点 在边
上，且 ，动点 满足 ，则 的最小值为___________.
11．（2021·全国高二单元测试）写出一个关于直线 对称的圆的方程___________.
12．（2021·全国高二专题练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意
一点，N为圆E： 上任意一点，则 的最小值为___________．
1．（2020·山东高考真题）已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．C． D．
2．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2020·全国高考真题（文））已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度
的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．（2009·重庆高考真题（文））圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2008·山东高考真题（文））若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则
该圆的标准方程是（ ）
A．
B．(x-2)2+(y-1)2=1
C．(x-1)2+(y-3)2=1
D．
6．（2020·海南高考真题）（多选题）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
7．（2019·浙江高考真题）已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点
，则 _____， ______.
8．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
9．（2011·福建高考真题（文））如图，直线 与抛物线 相切于点 .
（1）求实数 的值；
（2）求以点 为圆心，且与抛物线 的准线相切的圆的方程.
10．（2015·广东高考真题（理））已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ，
．
（1）求圆 的圆心坐标；
（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若
不存在，说明理由．
1． 【答案】B
【分析】
分析可知 ，设点 关于 轴的对称点为 ，可得出
，求出 的最大值，即可得解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ．
，
又 ， ，
所以， ．
点 关于 轴的对称点为 ，
，所以， ，
故选：B．
2． 【答案】D
【分析】
建立直角坐标系，取AC中点N，得到M轨迹为以N为圆心， 为半径的圆，由B，N，M三点共线时，
为最大值求解．
【详解】
如图所示，建立直角坐标系，取AC中点N，
∵ ， ，
∴ ，
∴M轨迹为以N为圆心， 为半径的圆，
∴B，N，M三点共线时， 取得最大值．
又因为 ， ，
所以 ， ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值是 ，
故选：D．3．【答案】
【分析】
先利用方程得到 ，求出 或 ，然后分别求解即可．
【详解】
方程 表示圆，
所以 ，解得 或 ，
当 时，方程 ，配方可得 ，所得圆的圆心坐标为 ；
当 时，方程 ，即 ，此时 ，
方程不表示圆．
综上所述，圆心坐标是 ．
故答案为： ．
4．【答案】(1，3)
【分析】
设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.
【详解】
设圆的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以圆方程为 ，即 ，
所以圆心坐标为 .
故答案为： .1．【答案】B
【分析】
由题意可得直线l的方程为 ，再求出圆C的圆心坐标与半径，由 面积的最小值为
求得 ，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与
圆C上动点F的距离 的最小值．
【详解】
解：由题意可得直线l的方程为 ，
圆C的圆心 ，半径为1，
如图：
，
又 ， 当 取最小值时， 取最小值，
此时 ，可得 ， ，
则 ，解得 ，
则直线l的方程为 ，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离 的最小值为 ．
故选：B．
2．【答案】C
【分析】
求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 ，由 即可求解.【详解】
∵圆 ，∴圆心 ，半径 ，
∴圆心到直线的距离 ，
∴圆 上的点到直线 的距离最大值为 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键.
3．【答案】B
【分析】
先由抛物线 过圆 的圆心，求出p,把A代入，求出m，利用两点间距
离公式即可求解.
【详解】
将 化为圆的标准方程，得 ，
则圆心为(2，-4)，代入抛物线，得 .所以 ，所以抛物线的方程为 .因为点 在
抛物线上，则 ，焦点 ，由两点间距离公式可得点 到焦点的距离为
.
故选：B.
4．【答案】C
【分析】
分类讨论 和 ，当 时，根据离心率求出 ，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切
线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于 的情况与 的方法步骤一致.
【详解】
若 ，则 ，即 ，所以 ，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，不妨取两点 ，则两条切线为 和 ，所以两条切线的交点为 ，且点 在蒙日圆
上，所以半径为 ，所以蒙日圆为 ；
若 ，则 ，即 ，所以 ，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点 ，则两条切线为 和 ，所以两条切线的交点为 ，且点 在蒙日圆上，
所以半径为 ，所以蒙日圆为 ；
综上：椭圆 的“蒙日圆”方程为 或
故选：C.
5．【答案】D
【分析】
建系后，根据圆上一动点C的坐标，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
以 为坐标原点， 轴，建立坐标系，如图，
则 ， ，
设 ，
，则 ，
故选：D
6．【答案】C
【分析】
设出圆的一般式 ，根据 求出 ，然后将点
带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为 ，
由题意得 ，解得 ，
所以 ，
又因为点 在圆上，所以 ，即 .
故选：C.
7．【答案】B
【分析】
根据圆的一般是方程表示圆的条件得 ，再根据集合关系判断必要不充分条件即可.
【详解】
方法一：因为方程 表示圆，，
所以 ，解得
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选:B.
方法二：方程 表示圆，即 表示圆，则需 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选:B.
8．【答案】AC
【分析】
首先由数量积夹角公式得 ，转化为坐标运算后，得向量 的坐标满足圆 ，
利用圆的性质，判断AB选项，利用向量夹角的余弦公式，结合基本不等式判断CD.
【详解】
因为 是夹角为 的两个单位向量，所以 ，
①
设 ，则 ， ，
设 ，将 代入①得，
即
因此向量 的坐标满足圆 ，而圆上的点到原点的最大距离为 ，A正确；
由①知，
当 时等号成立，故C正确.
故选：AC．9．【答案】
【分析】
以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M的方程，设 ，
由 ，得出 ，再设 （ 为参数），代入 中，根据三角函数的值
域，可求得最大值.
【详解】
以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
因为在矩形 中， ， ，所以圆M的半径为 ，
所以 ， ， ， ， ，圆M的方程为 ，
设 ，又 ，
所以 ，解得 ，
又点P是圆M上的点，所以 （ 为参数），
所以 ，其中 ，所以，当 时， 取得最大值 ，
故答案为： .
10．【答案】1
【分析】
以B为原点建立坐标系，结合 ，利用坐标运算求出动点 的轨迹，再结合圆的性质求得最小值即
可.
【详解】
建立如图直角坐标系，依题意知， ， ，设 ，
由 知， ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
由圆的性质可知，当 时， 最小，为3-2=1.
故答案为：1.
11．【答案】 等，只要圆心在直线上均可.
【分析】
设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案.
【详解】
设圆心坐标为 ，
因为圆 关于 对称，
所以 在直线 上，
则 ，
取 ，设圆的半径为1，则圆的方程 ，
故答案为： (不唯一)
12．【答案】
【分析】
首先根据椭圆的定义将 的最小值转化为 ，再根据 （当且仅当
M、N、E共线时取等号），最后根据 求得 的最小值.
【详解】
解：如图，
M为椭圆C上任意一点，N为圆E： 上任意一点，
则 （当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴ ，
当且仅当M、N、E、 共线时等号成立.
∵ ，则 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结
合解题的类型，在平时备考中要注意多总结.
1．【答案】B
【分析】
圆的圆心为 ，半径为 ，得到圆方程.
【详解】
根据题意知圆心为 ，半径为 ，故圆方程为： .
故选：B.
2．【答案】A
【分析】
求出圆心 的轨迹方程后，根据圆心 到原点 的距离减去半径1可得答案.
【详解】
设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
3．【答案】B
【分析】
当直线和圆心与点 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
4．【答案】A
【分析】
根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点 代入圆的方程即可求解.
【详解】
因为圆心在 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为 ，则圆的方程为 ，又点 在圆上，
所以 ，解得 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.
5．【答案】B
【详解】
由题意知圆心坐标为(x,1),∴排除A、C.
0选项B中圆心(2,1)到直线4x-3y=0的距离 ,
即d=r成立,故选B.
6．【答案】ACD
【分析】
结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线，
时表示两条直线.
【详解】
对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
7．【答案】
【分析】
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 的斜率，进一步得到其方程，将
代入后求得 ，计算得解.
【详解】
可知 ，把 代入得 ，此时 .
【点睛】
解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
8．【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】
抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】
本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
9．【详解】
（1）直线 与抛物线 相切于点 .
则 ，得 ，（*）
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，
解得 .
（2）由（1）可知 ，故方程（*）即为 ，解得 ，代入 ，得 .
故点 ，
因为圆 与抛物线 的准线相切，
所以圆 的半径 等于圆心 到抛物线的准线 的距离，
即 ，
所以圆 的方程为 .
【点睛】
本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.
10．【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 ．
【分析】
（1）通过将圆 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线 的方程为y=kx，通过联立直线
与圆 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计
算即得结论；（3）通过联立直线 与圆 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹 的端点与点（4，0）决
定的直线斜率，即得结论
【详解】
（1）由 得 ，
∴ 圆 的圆心坐标为 ；
（2）设 ，则
∵ 点 为弦 中点即 ，∴ 即 ，
∴ 线段 的中点 的轨迹的方程为 ；
（3）由（2）知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧 （如下图所示，不包括两端
点），且 ， ，又直线 ： 过定点 ，
当直线 与圆 相切时，由 得 ，又 ，结合上图可
知当 时，直线 ： 与曲线 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程
