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考向 43 二项分布、正态分布
及其应用
1.（2021·新高考2卷T6）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是
A. 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【解析】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概
率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次
测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.2．（2022·新高考 2 卷 T13）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
．
【答案】0．14
【解析】由题意可知， ，故 ．
3．（2019·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布
的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
1.二项分布的均值与方差
(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合
应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b).
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ4）=（ ）
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585
6．（2015·山东·高考真题（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中
随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
7．（2008·四川·高考真题（理））设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 ，购买乙种商品
的概率为 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)记 表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望．
8．（2010·湖南·高考真题）如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直
方图.
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居
民数X的分布列和数学期望．9．（2011·天津·高考真题（理））学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 个白球、 个黑球；
乙箱子里装有 个白球、 个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 个球，
若摸出的白球不少于 个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（I）求在一次游戏中，
（i）摸出 个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（II）求在两次游戏中获奖次数 的分布列及数学期望
10．（2017·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线
上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下
生产的零件的尺寸服从正态分布 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.1 10.0 10.0
9.95 9.96 9.96 9.92 9.98
2 1 4
10.2 10.1 10.0 10.0 10.0
9.91 9.22 9.95
6 3 2 4 5经计算得 ， ，其中xi为抽取的第i个零件
的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，
.
11．（2014·全国·高考真题（理））从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，
近似为样本方差 .
（i）利用该正态分布，求 ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用（i）的结果，求 .
附：
若 则 ， ．
12．（2013·湖北·高考真题（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）
的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p．
0
（1）求p 的值；
0
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣
3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B
两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟
组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p 的概率运完
0
从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
1．【答案】B
【解析】随机变量 服从正态分布 ，
若 ，则依据正态曲线的性质有
故选：B2．【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
故选:C．
3．【答案】D
【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为 ，
因为是有放回的取球，所以 ，
所以
故选：D
4．【答案】A
【解析】由题意， ，解得 ，则 ，所以
.
故选：A.
5．【答案】A
【解析】根据题意
则考生分数超过520分的概率
根据题意可得 ，则
故选：A．
6．【答案】C
【解析】因 ，且 ，则有 ，即 ，
不等式 为： ，则 ， ，
所以 ， ，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C7．【答案】C
【解析】 服从正态分布 ，且 ，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为 ，
由 ，得 ，
令 ，
， 单调递减，又 ， ，
不等式 的解集为 的最小值为
故选：C.
8．【答案】C
【解析】由于随机变量 满足： ， ，
，解得： ，即
，
又 随机变量 ， 满足： ， ，
故选：C.
9．【答案】BC
【解析】对于A，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误，
对于B，由 两边取对数得 ，设 ，则 ，因为 ，所以
，得 ，所以B正确，
对于C，因为随机变量 ， ，所以由正态分布的性质可知，，所以 ，所以C正确，
对于D，通过回归直线 及回归系数 ，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误，
故选：BC
10．【答案】BD
【解析】A：因为 且 ，所以 ，
所以 ，A错误；
B：因为 ，所以 ，B正确；
C：由题知，事件 ，所以 ，C错误；
D：由 的意义可知D正确.
故选：BD
11．【答案】ABD
【解析】对于选项A，根据 得： ，故选项A错误；
对于选项B，根据 得： ，故选项B错误；
对于选项C，因为 ，所以 ，又因为 ，则
，由正态分布的对称性可得： ，故选项C
正确；
对于选项D，随机变量 ，根据二项分布的期望和方差公式： ，解得
，故选项D错误.
故选：ABD12．【答案】ABC
【解析】因为随机变量 ，所以 ，
因为随机变量 ，所以 ，
所以利用正态密度曲线的对称性可得 ， ，故选项A、B正确；
因为 ，
，
所以 ，故选项C正确；
因为 ，
，
所以 ，故选项D错误.
故选：ABC.
13．【答案】8186
【解析】由题意得： ，
，
则 ，
故 ，
则袋装质量在区间 的约有 袋.
故答案为：8186
14．【答案】
【解析】已知随机变量 ， 知 ，
因为 ,所以 .故答案为： .
15．【答案】375
【解析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为 ，
则部件正常工作超过10000小时的概率为 ，
又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为 台.
故答案为：375.
16．【答案】24
【解析】由题意知： ，要使 最大，有
，
化简得 ，解得 ，故 ，又 ，
故 .
故答案为：24.
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
.
（2）解：参加座谈的11人中，得分在 的有 人，所以 的可能取值为 ， ， ，
所以 ， ， .
所以 的分布列为
0 1 2
∴ .
（3）解：由（1）知， ，
所以 .
得分高于77分的人数最有可能是 .
18．【答案】(1) ，中位数为 ；
(2)分布列见解析，
【解析】（1）解：依题意可得 ，解得 ，
因为 ，所以中位数为于 ，
设中位数为 ，则 ，解得 ，故这1200名乘客年龄的中
位数为 ；
（2）解：选择公共交通出行方式的频率为 ，
所以 ，则 的可能取值为 、 、 、 、 ，
所以 ， ，， ，
所以 的分布列为：
所以 ；
19．【答案】(1)X的分布列为：
X 1 2 3
P
；(2)① ．② ．
【解析】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为 的人数为 ，
消费金额为 的人数为 ，设消费金额为 的人数为X，则 ，
所以 ， ， ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
；（2）①由题意得 ，
所以 ，
所以 ．
②由题意及①得 ， ， ，所以 ．
20．【答案】(1) ，59.9万元
(2)分布列见解析，
【解析】(1)由数据可得 ，
,
所以 ，
故y关于x的线性回归方程为 ．
当 时， ，估计该厂6月份的订单金额为59.9万元．
(2)依题意，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，4， ．
； ；
； ；．
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故 ．
1．【答案】B
【解析】由正态分布的对称性可知： ，
所以 ，
所以该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于 的个数为 .
故选：B
2．【答案】D
【解析】由题，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
3．【答案】B
【解析】∵ ，
，
名民兵的射击成绩中有 个在区间 上，
∴ ，
故选：B.
4．【答案】D【解析】因为 的最大值为 ，所以1班的数学成绩 ，2班数学成
绩 ，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A错误；
因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越
大，所以B错误；
因为 ，所以C错误；
因为 ，所以D正确．
故选：D.
5．【答案】A
【解析】根据题意
则考生分数超过520分的概率
根据题意可得 ，则
故选：A．
6．【答案】A
【解析】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；
对于B选项，正态分布图像关于 对称，因为 概率为 ，所以 概率为 ，故 的概率为
，故B正确；
对于C选项，服从二项分布 ，因此 ，则 ，故C正确；
对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量 的观测值越小，则分类变量间越有关系的可
信度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确．
故选:A
7．【答案】C
【解析】对于①，由题意知： ， ，又 ，故 ，错误；
对于②，当 时， ，正确；
对于③，若从甲中取了2个白球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为 ，
若从甲中取了2个黑球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为 ，
若从甲中取了1个白球1个黑球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为 ，
所以取到白球的概率为 ，正确.
故选：C.
8．【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为 ，则 ，
所以 ， ，
由题意， ，且 ， ，
因为 ，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为
，
故选：B.
9．【答案】AC
【解析】对于A，因为甲校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布 （108，
25），则 ，，故A正确．
对于B， ， ，故B不正确．
对于C，甲校的 ，乙校的 ，∴乙更分散，故C正确．
对于D，因为甲校数学学科的考试成绩服从正态分布 （108，25），所以
，
乙校数学学科的考试成绩服从正态分布 ，所以
，故D不正确．
故选：AC.
10．【答案】ABD
【解析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则 ，
，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得 ，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
11．【答案】AC
【解析】对于A，根据正态曲线的对称性可得： ，故A
正确；
对于B, 当 时，
，故B错误；对于C，D，根据正态分布的 准则，在正态分布中 代表标准差， 代表均值,
即为图象的对称轴，根据 原则可知 数值分布在 中的概率为0.6826，是常数，
故由 可知，C正确，D错误，
故选：AC
12．【答案】ABC
【解析】A：独立检验中 的值越大，说明这两个变量的相关程度越大，正确；
B： ， ，可得 ，正确；
C：由题意， ，所以当 且 ，要使概率依次增大，则有
，即 ，故概率最大时有 ，正确；
D： ， ，错误；
故选：ABC
13．【答案】20
【解析】由小明骑车上学迟到的概率 知，小明骑车花费 分钟才会迟到.
若小明步行上学，要使迟到的概率不大于 ，则步行花费时间应小于 分钟，
故小明应该至少比平时出门的时间早 分钟.
故答案为：
14．【答案】
【解析】 ，
中位数= ，
∴ ， ，
∴ ，∴ .
故答案为：=.15．【答案】0.0116
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：0.0116.
16．【解析】至少射击4次合格通过的概率为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 得最大值，故 ．
故答案为：
17．【答案】(1)0.15；
(2)① ，②如果我是丁，我不会和他打赌，理由见解析.
【解析】（1）因为 ， ，
∴ ；
（2）①由题可得甲 获胜的概率为 ，
甲 获胜的概率为 ，甲 获胜的概率为 ，
所以，甲代表学校出战省运会的概率为 ；
（2）由题可得丁获得奖金的期望值为：
，
所以如果我是丁，我不会和他打赌.
18．【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）由频率分布直方图可得 ，
解得 ，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为 ．
（2）估计样本中男生短跑成绩的平均数为
．
（3）由（2）知 ，所以 ，
所以该校男生短跑成绩在 以外的概率为
根据题意 ，
所以 ．
19．【答案】(1)分布列见解析， (2)27人
【解析】（1）由题意知， 的可能取值0，1，2，3．
由题可知，任意1名学生竞赛得分“良好”及以上的概率为 ，竞赛得分是“良好”以下的概率为
．若以频率估计概率，则 服从二项分布 ．
； ；； ．
所以 的分布列为:
．（或 ）
（2）
估计获得表彰的学生人数为 人.
20．【答案】(1)中位数为98，平均值为 (2)
【解析】（1）由已知得，有10个数不超过97，有10个数不低于98，中间的5个数为97，97，98，98，
98，所以 的中位数为98，
进一步由已知得， 的平均值为
．
故中位数为98，平均值为 .
（2）由题意知 ，即 ，
因为 ， ，
所以
．
1．【答案】B【解析】由题意
故选B．
2．【答案】C
【解析】根据正态分布的性质， ，故选C.
3．【答案】C
【解析】由正态密度曲线的性质可知， 、 的密度曲线分别关于 、
对称，因此结合所给图象可得 且 的密度曲线较 的密度曲线
“瘦高”，所以 ，所以对任意正数 ， ．
4．【答案】C
【解析】因为 ，所以 ．
由题意知图象（如图）的对称轴为直线 ，
，
所以 ．
所以 ．
故选：C．
5．【答案】B【解析】正态分布曲线关于 对称，因为 ,故选B．
6．【答案】(1)0.5；(2)0.8；(3)分布列见解析． ．
【解析】（1）令 表示进入商场的1位顾客购买甲种商品的事件， 表示进入商场的1位顾客购买乙种商
品的事件，令 表示进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的事件，则 ，
，
所以 .
（2）令 表示进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的事件，由（1）知，其对立事件
，
，所以 .
（3） 的所有可能值为0，1，2，3，由（2）知， ，
， ， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
的期望 .
7．【答案】(1) ；(2)分布列见解析， .
【解析】(1)依题意及频率分布直方图知， ，解得 .
(2)由题意知， .
因此 ， ，， .
故随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为 .
8．【答案】（I）（i） ；（ii） ；（II）见解析
【解析】（I）记“在一次游戏中摸出 个白球”为事件 ，
（i） ，即摸出 个白球的概率为：
（ii）
即获奖的概率为：
（II）由题意可知， 所有可能的取值为： ，且
则 ； ；
的分布列如下：
9．【答案】（1） ， （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在 之外的概率为0.0026，
故 .
因此 .
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 ，
得 的估计值为 ， 的估计值为 ，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的平均数为 ，
因此 的估计值为 .
，
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的样本方差为 ，因此 的估计值为 .
10．【答案】（I） ；（II）（i） ；（ii） ．
【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值 和样本方差 分别为
，
．
（II）（i）由（I）知， 服从正态分布 ，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知
，所以 ．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的 原则；3、二项分布的期望．
11．【答案】（1）0.9772 （2）A型车5辆，B型车12辆
【解析】(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700
