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知识点 55：应用三大观点解决悬绳模型与滑块碰撞问题
【知识点的理解与运用】
1．解动力学问题的三种观点：
①动力学的方法：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
②能量方法：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
③动量方法：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
①如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
②研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问
题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
③若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒
定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
④在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统
机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
⑤在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统
机械能与其他形式能量之间的转换．这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律
去解决．
3．滑块与悬物碰撞模型的特点：
悬绳模型是指由悬绳或通过弧形滑槽将不同的物体连在一起组成的系统。此类问题应认清
物体的运动过程和运动状态，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同的隐含条件及系
统机械能守恒定律的应用。
考点一：悬绳与滑块碰撞问题
题型一：悬绳与滑块水平式碰撞模型
【典例1拔尖题】长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m 的小球A，处于静止状态．A
1
受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点．当 A
回到最低点时，质量为m 的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，
2
并能通过圆周轨迹的最高点．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能E 至少多大？
k
【典例1拔尖题】【答案】(1)m (2)
1
【解析】(1)A恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设 A在最高点时
的速度大小为v，由牛顿第二定律，有mg＝m ，A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，
1 1
取轨迹最低点处重力势能为零，设 A在最低点的速度大小为v ，有mv＝mv2＋2mgl，由
A 1 1 1
动量定理，有I＝mv 联立，得I＝m。
1 A 1
(2)设两球粘在一起时的速度大小为v′，A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需
满足v′＝v ，要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方
A
向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为v ，由动量守恒定律，有mv －mv ＝(m ＋
B 2 B 1 A 1
m)v′，又E ＝mv，联立得碰撞前瞬间B的动能E 至少为E ＝
2 k 2 k k
1
学科网（北京）股份有限公司【典例1拔尖题对应练习】有一种打积木的游戏，装置如图5所示，三块完全相同的积木
叠放在靶位上，长为L，积木B与C夹在固定的两光滑薄板间，一钢球用长为R且不可伸
长的轻绳挂于O点，钢球质量与每块积木的质量相等；游戏时，将钢球拉到与 O等高的P
点(保持绳绷直)由静止释放，钢球运动到最低点时与积木A发生弹性碰撞，积木A滑行一
段距离s(s>2L)后停下，又将钢球拉回P点由静止释放，落下后与静止的积木B发生弹性碰
撞，积木B向前滑行与积木A碰撞后，以共同速度滑行一段距离后停止。已知重力加速度
为g，各接触面间的动摩擦因数相同，碰撞时间极短。求：
(1)钢球与积木A碰撞前、后瞬间的速度大小；
(2)动摩擦因数；
(3)积木B滑行的距离。
【典例1拔尖题对应练习】【答案】(1) 0 (2) (3)s－L
【解析】(1)设钢球和滑块的质量均为m，由机械能守恒定律可得：mgR＝mv
解得v＝，钢球与滑块A碰撞过程满足：mv ＝mv ＋mv ，mv＝mv＋mv
0 0 1 2
解得v＝0，v＝v＝
1 2 0
(2)对滑块A由动能定理：mv＝(μ·3mg＋μ·2mg)L＋μmg(s－L)，解得μ＝
(3)又将钢球拉回P点由静止释放，与落下后静止的积木B发生弹性碰撞，此时B的速度仍
为v ＝滑行s－L后与A碰撞，此时B的速度为v ，则：mv－mv＝－(μ·2mg＋μmg)L－
3 4
μmg(s－2L)，得v ＝，当AB碰撞时，由动量守恒：mv ＝2mv ，解得v ＝v ＝，由动能定
4 4 5 5 4
理：·2mv＝μ·2mgx，解得x＝，则积木B滑行的距离x′＝s－L＋x＝s－L
题型二：悬绳模型与滑块碰撞+板块模型
【典例2拔尖题】如图，一滑板的上表面由长度为L的水平部分AB和半径为R的四分之
一光滑圆弧BC组成，滑板静止于光滑的水平地面上。物体P（可视为质点）置于滑板上面
的A点，物体P与滑板水平部分的动摩擦因数为 （ ）。一根长度为L、不可伸长
的细线，一端固定于O′点，另一端系一质量为m 的小球Q。小球Q位于最低点时与物体P
0
处于同一高度并恰好接触。现将小球Q拉至与O′同一高度（细线处于水平拉直状态），然
2
学科网（北京）股份有限公司后由静止释放，小球Q向下摆动并与物体P发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。设物体P的
质量为m，滑板的质量为2m。
（1）求小球Q与物体P碰撞前瞬间细线对小球拉力的大小；
（2）若物体P在滑板上向左运动从C点飞出，求飞出后相对C点的最大高度；
（3）要使物体P在相对滑板反向运动过程中，相对地面有向右运动的速度，求 的取值
范围。
【典例2拔尖题】【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）小球Q在下落过程中机械能守恒，因此有
在最低点对小球Q牛顿第二定律可得 联立解得
（2）小球Q和物块P发生弹性碰撞，则机械能和动量守恒，因此
， 解得
物体和滑板在水平方向上不受力，则水平方向动量守恒
由能量守恒可得
物体离开滑板后两物体水平方向都做匀速直线运动，因此水平相对位置不变，竖直方向
联立可得
（3）要求P有相对地面向右的速度，说明P要滑到曲面上再返回运动，物块P相对滑板反
方向运动过程中，可以知道当再次回到B点时两者的速度最大，此时P有向右运动的速度
即可，因此再次回到B时水平方向动量守恒可得
3
学科网（北京）股份有限公司由能量守恒可得
联立可得方程
因物体要经过B点，因此要求判别式大于零，速度向右说明结果要小于零；则
，满足不等式即 ，
则 联立可得
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B
上的O′点，O′点左侧粗糙，右侧光滑．用不可伸长的轻绳将质量为 M的小球悬挂在O′点
正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态．将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发
生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5°)，A以速
度v 沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞．一段时间后，A返回到O点的正下方时，
0
相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点．已知 A的质量m ＝0.1
A
kg，B的质量m ＝0.3 kg，A与B的动摩擦因数μ ＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ ＝
B 1 2
0.225，v ＝4 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2.整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略
0
不计，不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小v 与v ；
A B
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功W；
f
（4）实现上述运动过程，的取值范围(结果用cos 5°表示)．
【典例2拔尖题对应练习】【答案】(1)2 m/s 2 m/s (2) m (3)－ J(4)<<
【解析】(1)设水平向右为正方向，因为O′点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，
故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有m v＝m v ＋m v ，m v2＝m v 2＋m v 2
A 0 A A B B A 0 A A B B
代入数据联立解得v ＝－2 m/s，(方向水平向左)，v ＝2 m/s，(方向水平向右)
A B
即A和B速度的大小分别为|v |＝2 m/s，v ＝2 m/s.
A B
(2)A、B碰后A匀速运动过程中，此过程对B有μ(m ＋m )g＝m a，x＝v t－at2
2 A B B 1 0 B1 11
故d＝|v |t＋x，A从碰后到返回到O点正下方，有d＝|v |t＋，μm g＝m a
A 1 0 A 1 1 A A A
联立各式代入数据解得t＝ s，t′＝1 s(舍去)，d＝ m
1 1
(3)在A刚开始减速时，B的速度为v＝v －at＝1 m/s
2 B 11
4
学科网（北京）股份有限公司在A减速过程中，对B分析根据牛顿运动定律可知μm g＋μ(m ＋m )g＝m a
1 A 2 A B B 2
解得a＝ m/s2，设B停下来的时间为t，则有0＝v－at，A减速的时间t＝＝0.5 s
2 3 2 23 2
解得t ＝ s
