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考向 45 二项式定理
1．（2021·山东·高考真题） 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0 B． C． D．32
【答案】D
【分析】
根据 的二项展开式系数之和为 求解即可
【详解】
的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
故选：D
2．（2021·湖南·高考真题） 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】15
【分析】
写出二项展开式的通项，由 的指数为0求得 值，则答案可求．
【详解】
解：由 ．
取 ，得 ．
展开式中常数项为 ．
故答案为：15．1.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意
k 0,1,2,L ,n
k的取值范围（ ）.
m
（1）第 项：：此时k+1=m,直接代入通项.
（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
2．解题技巧：
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x
＝1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
0 1 2 n
奇数项系数之和为a＋a＋a＋…＝ ，
0 2 4
偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝ .
1 3 5
1. 二项式定理
(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-rbr+…+ bn(n∈N*)
2. 二项展开式的通项
T = an-rbr,它表示第r+1项
r+1
3. 二项式系数
， ，…，
【知识拓展】
1. =1， =1， = + .
2. = (0≤m≤n).
3.二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第 +1项的二项式系数最大,最大值为 ;当n为奇数时,第 项和第 项的二
项式系数最大,最大值为 或 .
4.各二项式系数和: + + +…+ =2n， + + +…= + + +…=2n-1.
1．（2021·云南大理·模拟预测（理））二项式 的展开式中 的系数是 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式
中常数项为（ ）
A．80 B．160 C．240 D．320
3．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知多项式 ，则
______， ______.
4．（2021·上海·模拟预测） 二项展开式中的x的有理项的系数和为______1．（2021·上海·模拟预测）二项式 的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
A．4项 B．7项 C．5项 D．6项
2．（2021·辽宁·抚顺市第二中学模拟预测） 的展开式中，第二项为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林长春·一模（理）） 展开式中， 的系数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·模拟预测）在 的二项展开式中， 的系数为（ ）
A．40 B．20 C．-40 D．-20
5．（2021·全国·模拟预测） 展开式中 的系数是（ ）
A．10 B． C．5 D．
6．（2021·浙江·模拟预测） 的展开式中的常数项为 32，则实数a的值为________；展开
式中含 项的系数为________.
7．（2021·全国·模拟预测）若二项式 展开式的各项系数和为81，则展开式中的常数项是
___________.
8．（2021·上海·模拟预测）在 的展开式中， 与 项的系数和为___________.（结果用数值
表示）
9．（2021·全国·模拟预测（理））已知二项式 的展开式中，常数项为 ，则实数
___________.10．（2021·全国·模拟预测（理））已知 的展开式中 的系数为 ， 的展开式中 的
系数为 ， ，则非零常数 的值为________．
11．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学三模（理））若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式
中的常数项是________．
12．（2021·全国·模拟预测）已知 的展开式的二项式系数和为128，若
，则 ________．
1．（2020·山东·高考真题）在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·高考真题）已知 的展开式中 的系数为40，则 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2020·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
4．（2020·全国·高考真题（理）） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
5．（2019·全国·高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（2021·浙江·高考真题）已知多项式 ，则 ___________，___________.
7．（2020·浙江·高考真题）设 ，则 ________；
________．
8．（2021·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是__________．
9．（2020·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是_________．
10．（2019·江苏·高考真题）设 .已知 .
（1）求n的值；
（2）设 ，其中 ，求 的值.
1．【答案】B
【分析】
根据多项式乘法法则及排列组合知识即可求解.
【详解】
解： 可以看作8个因式 的乘积，根据多项式乘法法则，展开式中 项需要从8个因式中
取7个 和1个 相乘得到，
所以由排列组合的知识有展开式中 的系数 ，解得 ，故选：B.
2．【答案】D
【分析】
令 解得 ，再求得 展开式的通项公式求解.
【详解】
令 得 ，解得 ，
则 展开式的通项为 ，
则 展开式中常数项为 ．
故选：D
3．【答案】
【分析】
设 ，利用赋值法可得出 ，求得 ，利
用赋值法可得出 的值.
【详解】
设 ，则 ，
因为 ，
所以， ，
因此， .
故答案为： ； .
4．【答案】255
【分析】易得 展开式的通项为 ，再由 为有理数求解.
【详解】
展开式的通项为 ，
若 为有理数，则 ，
所以x的有理项的系数和为 ，
故答案为：255
1．【答案】D
【分析】
根据二项展开式的通项公式，由 的指数值为整数即可解出．
【详解】
二项式 的展开式中，通项公式为 ，
， 时满足题意，共6项．
故选：D.
2．【答案】C
【分析】
先表示出展开式的通项，再令r=1可求得.
【详解】
,
第二项是 ，即 =
故选：C3．【答案】B
【分析】
写出展开式的通项公式 ，令 ，即得解
【详解】
展开式的通项为 ，
令 ，
故 ，
故选：B.
4．【答案】A
【分析】
由二项式得到展开式通项，进而确定 的系数.
【详解】
的展开式的通项 ，
令 ，解得 ，故 的系数为 ，
故选：A.
5．【答案】B
【分析】
前一个括号内有 与 两项， ， ，所以分两种情况讨论得解.
【详解】
前一个括号内有 与 两项，
，
展开式第 项 ，
， 展开式 系数为 ，，
时， 不能出现
∴ 的系数为 ．
故选：B．
6．【答案】
【分析】
先求出 的展开式的通项公式为 ，由 ，可得 ，从而可由题意可得
，可求出a的值，含 项的系数由 展开式的常数项加上二次项系数
【详解】
因为 的展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式中的常数项为 ，解得 .
所以 的展开式中含 项的系数为 .
故答案为： ，
7．【答案】32
【分析】
利用赋值法求得 ，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】
令 得 ，
二项式 展开式的通项公式为 ，
由 解得 ，所以展开式中的常数项为 .
故答案为：
8．【答案】
【分析】
根据二项展开式的通项公式以及多项式的乘法原理即可解出．【详解】
因为 展开式的通项公式为 ，所以 的展开式中 的系数为
， 项的系数为 ，即 与 项的系数和为 ．
故答案为： ．
9．【答案】2
【分析】
写出二项式的展开式公式 ，令 ，结合题意即可求出参数a
【详解】
二项式 的展开式通项公式为
令 ，解得 ，
因为常数项为14，
所以 ，解得 ，
故答案为：2
10．【答案】
【分析】
根据题设二项式分别写出 的系数 、 ，由已知等量关系列方程求参数 的值即可.
【详解】
的展开式中含 的项为： ，
∴ ，
的展开式中含 的项为： ，
∴ ，
由 ，即 ，解得 ．
故答案为：
11．【答案】60
【分析】根据二项式系数之和，可求得n值，求得 展开式的通项公式，令 ，求得k值，计算即
可得答案.
【详解】
根据二项式系数之和为64，可得 ，解得 ，
所以 展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，
所以展开式中的常数项为 .
故答案为：60
12．【答案】
【分析】
根据二项式系数和，可求得n值，设 ，则 ，所求即为
，根据展开式的通项公式，即可求得 ，即可得答案.
【详解】
由 的展开式的二项式系数和为128，则 ，∴ ．
设 ，则 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：
1．【答案】A
【分析】
本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】
第 项的二项式系数为 ，
故选：A.
2．【答案】A
【分析】
写出x2项，进一步即可解出.
【详解】
，所以 .
故选：A.
3．【答案】C
【分析】
首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
【详解】
展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】
二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项
公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且
n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
4．【答案】C
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘
积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
5．【答案】A
【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】
由题意得x3的系数为 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
6．【答案】 ; .
【分析】
根据二项展开式定理，分别求出 的展开式，即可得出结论.
【详解】
，
，
所以 ，，
所以 .
故答案为： .
7．【答案】
【分析】
利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】
的通项为 ，
令 ，则 ，故 ；
.
故答案为： ； .
【点晴】
本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
8．【答案】160
【分析】
求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】
的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
9．【答案】10
【分析】
写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得
．
所以 的系数为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
10．【答案】（1） ；
（2）-32.
【分析】
(1)首先由二项式展开式的通项公式确定 的值，然后求解关于 的方程可得 的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算 的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到 的展开式，最后结合平方差公式即可确定 的
值.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，
．
因为 ，
所以 ，
解得 ．
（2）由（1）知， ．．
解法一：
因为 ，所以 ，
从而 ．
解法二：
．
因为 ，所以 ．
因此 ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
